专题11 概率与统计（B卷·能力提升）--2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》（原卷版+解析版）

编写说明：2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及湖南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》的第11个专题，内容为概率与统计。 2026版湖南省（对口招生）《数学考纲专题练》 专题11 概率与统计 （B卷·基础巩固） 班级 姓名 学号 成绩 一、单选题 1．将3张相同的消费券分给9个人，每人至多分到1张，则不同的分法共有（   ）. A．60种 B．72种 C．84种 D．90种 2．在某市技能大赛结束后，3名参赛学生和2名指导教师站成一排合影.如果两名教师之间至少有一名学生，那么不同的站法种数为（    ） A．48 B．64 C．72 D．120 3．从甲、乙、丙三名学生中任选两名学生参加比赛，丙被选中的概率是（    ） A． B． C． D． 4．某学校为了解学生对篮球、足球运动的喜爱程度，用分层抽样法从高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高一年级的学生有人，则样本容量为（　　） A． B． C． D． 5．某次数学趣味竞赛共有10组题目，某班得分情况如下表．全班40名同学的成绩的中位数和众数分别是（   ） 人数 2 5 13 10 7 3 成绩/分 50 60 70 80 90 100 A．75分，70分 B．70分，70分 C．80分，80分 D．75分，80分 6．在的展开式中，含项的系数为（　　） A． B．15 C． D．20 7．某班有学生55名，现将所有学生按学号顺序排列，采取系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知样本中有学号为4，15，37，48的学生，则样本中还有一名学生的学号为（   ） A．24 B．25 C．26 D．27 8．某班的19名男生和20名女生中，任意选出两名学生参加学生代表大会，则选出的学生中恰有1名女生的不同选派方案共有（    ） A．380种 B．39种 C．20种 D．19种 9．在展开式中,各项系数之和为（    ） A． B． C． D． 10．的展开式中的常数项为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．袋中有6个红色球，3个黄色球，4个黑色球，从袋中任取一个球，则取到的球不是黑色球的概率为 . 12．二项式的展开式中的常数项是第 项. 13．已知一组数据，那么这组数据的方差为为 . 14．某校老年、中年和青年教师的人数见下表： 类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 人数 采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有7人，则该样本中的中年教师人数为 人． 15．若的二项展开式中，x项的系数为20，则 ． 三、解答题 16．一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．求： (1)样本空间的样本点的总数； (2)摸出2个黑球的概率. 17．育人中学开展课外体育活动，决定开设A：篮球、B：乒乓球、C：踢毽子、D：跑步四种活动项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（每人只选取一种），随机抽取了 50名学生进行调查，并将调查结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你结合图中信息解答下列问题．    (1)样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为________ . (2)A项目的人数为 . (3)若该校有学生100人，请根据样本估计全校最喜欢踢毽子的学生人数约是多少? 18．某射手一次射中10环的概率为，射中9环的概率为，射中8环的概率为，求这个射手 (1)一次射中10环或9环的概率； (2)一次射中不低于8环的概率. 19．某公司生产的某批产品共有10件，其中正品8件，次品2件，每次随机取出一件，有放回地选取3次，用表示取到次品的次数． (1)求随机变量的分布列； (2)求取到次品的次数不超过2的概率以及随机变量的数学期望． 20．已知箱子中装有4个白球和5个黑球，且规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现在从该箱子中任取（无放回且每个球取得的机会均等）3个球，记随机变量为取出的3个球所得分数之和． (1)求随机变量的分布列； (2)求随机变量的数学期望． 21．某中职学校某专业位同学的文化普测数学成绩如下：. (1)求位同学的数学平均成绩； (2)从中任意抽取人，求抽到成绩为优秀（大于或等于分）的同学概率， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及湖南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》的第11个专题，内容为概率与统计。 2026版湖南省（对口招生）《数学考纲专题练》 专题11 概率与统计 （B卷·基础巩固） 班级 姓名 学号 成绩 一、单选题 1．将3张相同的消费券分给9个人，每人至多分到1张，则不同的分法共有（   ）. A．60种 B．72种 C．84种 D．90种 【答案】C 【分析】由题意，问题等价于从人选出人各分张券，由组合数公式计算即可. 【详解】将3张相同的消费券分给9个人，每人至多分到1张， 问题等价于从人选出人各分张券， 则不同的分法共有种. 故选：C. 2．在某市技能大赛结束后，3名参赛学生和2名指导教师站成一排合影.如果两名教师之间至少有一名学生，那么不同的站法种数为（    ） A．48 B．64 C．72 D．120 【答案】C 【分析】利用插空法即可求解. 【详解】依题意，先将3名参赛学生进行全排列，有种方法， 再从这3名学生所形成的4个空中选4个安排2名指导教师，有种方法， 故共有种站法. 故选：C. 3．从甲、乙、丙三名学生中任选两名学生参加比赛，丙被选中的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举出所需基本事件，利用古典概型的概率公式即可得解. 【详解】从甲、乙、丙三名同学中任选两名参加比赛， 其基本事件有：甲乙、甲丙、乙丙，共3件； 其中丙被选中的基本事件有：甲丙、乙丙，共2件； 则所求概率为. 故选：B. 4．某学校为了解学生对篮球、足球运动的喜爱程度，用分层抽样法从高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高一年级的学生有人，则样本容量为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分层抽样的定义及运算求解即可. 【详解】设抽取的样本容量为， 由题意可得， 解得， 所以样本容量为， 故选：． 5．某次数学趣味竞赛共有10组题目，某班得分情况如下表．全班40名同学的成绩的中位数和众数分别是（   ） 人数 2 5 13 10 7 3 成绩/分 50 60 70 80 90 100 A．75分，70分 B．70分，70分 C．80分，80分 D．75分，80分 【答案】A 【分析】根据中位数和众数的概念可求解. 【详解】把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第20、21个数，即为70、80， 所以全班40名同学的成绩的中位数是：； 70出现了13次，出现的次数最多，则众数是70． 故选：A 6．在的展开式中，含项的系数为（　　） A． B．15 C． D．20 【答案】C 【分析】根据题意，结合二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】因为的展开式的通项为， 令，即， 故含项的系数为. 故选：C. 7．某班有学生55名，现将所有学生按学号顺序排列，采取系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知样本中有学号为4，15，37，48的学生，则样本中还有一名学生的学号为（   ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】C 【分析】根据总数和样本容量计算出组数和组距，再根据等距抽样方法求解即可. 【详解】根据系统抽样的方法，将55名同学按学号顺序平均分为5组，每组为11人，即组距为11． 由题意知，第组抽取的学号为4，则后面第组抽取的学号应为， 即第组抽取的学号应为． 故选：C． 8．某班的19名男生和20名女生中，任意选出两名学生参加学生代表大会，则选出的学生中恰有1名女生的不同选派方案共有（    ） A．380种 B．39种 C．20种 D．19种 【答案】A 【分析】根据分步乘法计数原理，结合组合数的概念，即可求解. 【详解】选2人，恰好有1人是女生，说明这两人是1男1女， 先从20名女生中选1名女生的选法有， 再从19名男生中选1名男生的选法有， 所以总的方案有种. 故选：A. 9．在展开式中,各项系数之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二项展开式的系数和即可得解. 【详解】令 则展开式中各项系数的和为. 故选:. 10．的展开式中的常数项为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项展开式的通项求解. 【详解】的展开式的通项为，， 令，得， 则的展开式中的常数项为. 故选：C. 二、填空题 11．袋中有6个红色球，3个黄色球，4个黑色球，从袋中任取一个球，则取到的球不是黑色球的概率为 . 【答案】 【分析】根据古典概型的概率公式求值即可. 【详解】由题意可知，袋中共有个球， 其中不是黑色球的有个， 所以从袋中任取一个球，取到的球不是黑色球的概率为. 故答案为：. 12．二项式的展开式中的常数项是第 项. 【答案】9 【分析】先求出二项展开式通项，令求解k的值即可. 【详解】的展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式中的常数项是第9项. 故答案为:9. 13．已知一组数据，那么这组数据的方差为为 . 【答案】（人教版）：；（高教版）：2 【分析】先求出这组数据的平均数，由此再求出这组数据的方差. 【详解】解法一（人教版）： 因为数据的平均数为， 所以这组数据的方差为 . 故答案为：. 解法二（高教版）： 因为数据的平均数为， 所以这组数据的方差为 . 故答案为：. 14．某校老年、中年和青年教师的人数见下表： 类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 人数 采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有7人，则该样本中的中年教师人数为 人． 【答案】 【分析】根据分层抽样原理求解即可解得. 【详解】由题，分层抽样的抽样比为. 则样本中的中年教师人数为人. 故答案为： 15．若的二项展开式中，x项的系数为20，则 ． 【答案】4 【分析】根据题意写出二项展开式的通项公式，结合x项的系数为20，列出等式即可得解. 【详解】二项展开式的通项公式为， 令，解得， 此时， 因为x项的系数为20，所以， 解得， 故答案为：. 三、解答题 16．一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．求： (1)样本空间的样本点的总数； (2)摸出2个黑球的概率. 【答案】(1)6个 (2) 【分析】（1）将黑球进行编号，列出样本空间的样本点，即可求解. （2）根据古典概型计算概率. 【详解】（1）将黑球编号为黑，黑，黑， 从4个球中摸出2个球， 样本空间(黑,黑),(黑,黑), (黑,白), (黑,黑),(黑,白),(黑,白)， 共有6个样本点. （2）由于4个球大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型， 样本空间共有6个样本点， 事件“摸出两个黑球”有3个样本点：(黑,黑),(黑,黑),(黑,黑)， 所以，摸出2个黑球的概率为. 17．育人中学开展课外体育活动，决定开设A：篮球、B：乒乓球、C：踢毽子、D：跑步四种活动项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（每人只选取一种），随机抽取了 50名学生进行调查，并将调查结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你结合图中信息解答下列问题．    (1)样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为________ . (2)A项目的人数为 . (3)若该校有学生100人，请根据样本估计全校最喜欢踢毽子的学生人数约是多少? 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据四种活动项目的人数占比之和为，计算求解即可； （2）根据随机抽取的四种活动项目人数之和为50名，计算求解即可； （3）用该校的总人数乘以喜欢踢毽子的学生人数所占的百分比即可． 【详解】（1）由扇形图可知，样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为： . （2）由条形图可知，A项目的人数为. （3）由题意可知，全校最喜欢踢毽子的学生人数约是. 18．某射手一次射中10环的概率为，射中9环的概率为，射中8环的概率为，求这个射手 (1)一次射中10环或9环的概率； (2)一次射中不低于8环的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合互斥事件概率的加法运算，即可求解； （2）根据题意，结合互斥事件概率的加法运算，即可求解. 【详解】（1）由题意，设事件射中10环，事件射中9环，事件射中8环， 所以一次射中10环或9环的概率， 即一次射中10环或9环的概率为； （2）由题意，一次射中不低于8环的概率， 因此一次射中不低于8环的概率. 19．某公司生产的某批产品共有10件，其中正品8件，次品2件，每次随机取出一件，有放回地选取3次，用表示取到次品的次数． (1)求随机变量的分布列； (2)求取到次品的次数不超过2的概率以及随机变量的数学期望． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据的不同取值求解对应的概率，再列分布列即可. （2）根据概率分布求解的概率，再由数学期望的公式计算即可. 【详解】（1）因为每次取一件产品，取到次品的概率，取到次品的概率为， 的可能取值为0，1，2，3，则 故随机变量的分布列为： 0 1 2 3 P （2）取到次品的次数不超过2的概率． 的数学期望 ． 20．已知箱子中装有4个白球和5个黑球，且规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现在从该箱子中任取（无放回且每个球取得的机会均等）3个球，记随机变量为取出的3个球所得分数之和． (1)求随机变量的分布列； (2)求随机变量的数学期望． 【答案】(1)分布列见详解 (2) 【分析】（1）随机变量的可能取值有：3，4，5，6，求出相应的概率可得所求随机变量的分布列； （2）利用离散型随机变量的数学期望公式，即可求解． 【详解】（1）由题意得随机变量的可能取值有：3，4，5，6， ； ； ； . 所以随机变量得分布列如下： （2）随机变量的数学期望为：. 21．某中职学校某专业位同学的文化普测数学成绩如下：. (1)求位同学的数学平均成绩； (2)从中任意抽取人，求抽到成绩为优秀（大于或等于分）的同学概率， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平均数公式即可求解； （2）根据古典概型即可求解. 【详解】（1）平均数. （2）设事件为“成绩为优秀（大于或等于分）的同学”，故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $