寒假培优：正比例和反比例（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

寒假培优讲义：正比例和反比例 知识梳理+例题讲解+培优练习 预习说明 1.预习目标：理解正比例和反比例的意义，能判断两种量是否成正比例或反比例关系；能根据数量关系列出比例式，并解决简单的实际问题。 2.预习方法：结合生活中的实例（如买文具、走路速度、工作时间等）进行观察和比较；通过列表、画图等方式分析两个量之间的变化规律；多做判断题和应用题，提升逻辑思维能力。 3.预习重点：掌握正比例和反比例的判断标准，理解“比值一定”和“乘积一定”的含义。 4.温馨提示：“正比例”和“反比例”是研究两个量之间关系的重要方法，学习时要注重观察变化规律，避免死记硬背。注意区分两种比例的本质区别。 知识梳理 1、正比例的意义 （1）生活中的正比例： 买同样的笔记本，买的本数越多，总价越高；本数越少，总价越低。 汽车以每小时60千米的速度匀速行驶，时间越长，路程越远。 这些例子中，两个量之间的变化有共同规律——一种量扩大，另一种量也随着扩大；一种量缩小，另一种量也随着缩小，并且它们的比值保持不变。 （2）正比例的定义： 两种相关联的量，如果它们的比值一定（也就是商一定），这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 用字母表示：如果 （k 是常数，且 k ≠ 0），那么 x 和 y 成正比例。 （3）判断方法： 一看是不是两个相关联的量（一个变化，另一个也变化） 二看是不是同向变化（同增或同减） 三看比值是否相等 （4）图像特征： 在方格纸上描点表示正比例关系的两个量，所有的点连起来是一条从原点出发的直线。 2、反比例的意义 （1）生活中的反比例： 用同样多的砖铺地，每块砖的面积越大，需要的块数就越少；每块砖的面积越小，需要的块数就越多。 从学校回家，速度越快，用的时间越少；速度越慢，用的时间越多。 这些例子中，两个量的变化规律是：一种量扩大，另一种量反而缩小；一种量缩小，另一种量反而扩大，并且它们的乘积保持不变。 （2）反比例的定义： 两种相关联的量，如果它们的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 用字母表示：如果 （k 是常数，且 k ≠ 0），那么 x 和 y 成反比例。 （3）判断方法： 一看是不是两个相关联的量 二看是不是反向变化（一个扩大，另一个缩小） 三看乘积是否相等 （4）图像特征： 在方格纸上描点表示反比例关系的两个量，所有的点连起来是一条曲线（本册不要求掌握图像形状，了解即可）。 3、正比例与反比例的对比 （1）相同点： 都是两种相关联的量 都有一个不变的量（正比例：比值不变；反比例：乘积不变） （2）不同点： 项目 正比例 反比例 变化方向 同向变化（同增同减） 反向变化（一增一减） 不变量 比值（商）一定 乘积一定 字母表达式 y/x = k x×y = k 实例 总价与数量（单价不变） 路程一定时，速度与时间 4、注意事项 （1）判断是否成比例，必须先看两个量是否相关联，再分析变化规律。 （2）“不变量”是判断的关键：正比例看商，反比例看积。 （3）有些量看似有关系，但不成比例（如人的身高和年龄），必须通过计算验证。 （4）题目中常出现“一定”“不变”“相同”等词，提示我们寻找不变量。 例题讲解 【典型例题1】 一辆汽车匀速行驶，行驶的路程与时间如下表： 时间（时） 1 2 3 4 5 路程（千米） 60 120 180 240 300 路程和时间成正比例吗？为什么？ 解析： 路程和时间是相关联的量。 计算比值： 60÷1 = 60，120÷2 = 60，180÷3 = 60，240÷4 = 60，300÷5 = 60 比值都是60，说明比值一定。 所以，路程和时间成正比例。 答：成正比例，因为路程与时间的比值一定。 【跟踪练习】 小明买同一种铅笔，数量与总价如下表： 数量（支） 1 2 3 4 5 总价（元） 2 4 6 8 10 总价和数量成正比例吗？请说明理由。 【典型例题2】 一批书要包装，每包的本数与包数如下表： 每包本数（本） 10 20 30 40 60 包数（包） 12 6 4 3 2 每包本数和包数成反比例吗？为什么？ 解析： 每包本数和包数是相关联的量。 计算乘积： 10×12 = 120，20×6 = 120，30×4 = 120，40×3 = 120，60×2 = 120 乘积都是120，说明乘积一定。 所以，每包本数和包数成反比例。 答：成反比例，因为每包本数与包数的乘积一定。 【跟踪练习】 用同样多的方砖铺地，每块砖的面积与所需块数如下表： 每块砖面积（m²） 0.2 0.4 0.5 0.8 1.0 所需块数（块） 400 200 160 100 80 每块砖的面积与所需块数成反比例吗？请说明理由。 【典型例题3】 判断下面各题中的两种量是否成比例，成什么比例，并说明理由。 （1）一个人的体重和年龄。 （2）长方形的长一定，面积和宽。 （3）路程一定，速度和时间。 解析： （1）体重和年龄：虽然相关联，但体重不会随年龄匀速增长，比值和乘积都不固定，不成比例。 （2）长方形的长一定：面积 ÷ 宽 = 长（一定），所以面积和宽成正比例。 （3）路程一定：速度 × 时间 = 路程（一定），所以速度和时间成反比例。 答：（1）不成比例；（2）成正比例；（3）成反比例。 【跟踪练习】 判断下列各题是否成比例，成什么比例： （1）正方形的边长和周长。 （2）圆的周长和直径。 （3）一批货物，运走的吨数和剩下的吨数。 培优练习 一、选择题 1．学校举行四驱车模比赛。乐乐的车模速度为480米/分，跑完全程用了5分钟。小宇的车模跑完全程比乐乐的多用了1分钟，小宇的车模速度为（    ）米/分。 A．384 B．400 C．576 D．600 2．爷爷要给屋子重新铺地砖，不同面积的地砖与所需的块数的关系如下。如果爷爷用0.6m2的地砖铺地，所用地砖的块数比用0.8m2的地砖多（    ）块。 每块地砖的面积 0.3 0.4 0.5 … 所需的块数 160 120 96 … A．20 B．60 C．80 D．140 3．下列两种量成反比例关系的是（    ）。 A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆柱的体积一定，它的底面半径和高 C．正方体的表面积一定，它的棱长和棱的数量 D．三角形的面积一定，它的底边的长度和对应的高 4．如图所示，一个大长方形被两条线段分成四个小长方形，如果其中图形A、B、C的面积分别为2cm2、4cm2和5cm2，那么阴影部分的面积为（    ）cm2。 A．1 B． C． D． 5．有两个相关联的量，它们的关系如下图，这两个量可能是（    ）。 A．小明的身高和年龄 B．买水果的重量和单价 C．汽车运货的次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数 D．正方形的边长与面积 二、填空题 6．笔墨纸砚是中国独有的书画用具，即文房四宝。其中，墨锭的制作过程最为繁杂。李老师根据教程自己制作墨锭，已知20克墨锭能磨出墨液250毫升。如果李老师想磨出600毫升墨液，那么要制作( )克的墨锭。 7．如果a与b是两种相关联的量（a、b均不为0），当时，a与b成( )比例关系；当时，a与b( )比例关系。 8．把相同体积的钢材熔铸成不同底面积的圆柱，圆柱的底面积与高的变化情况如下表。 圆柱的底面积/ 300 200 150 100 圆柱的高/m 2 3 4 6 (1)表中有( )和( )两种量。 (2)圆柱的高随着圆柱底面积的变小而不断变( )，而且它们的乘积总是一定的，是( )，所以圆柱的底面积和圆柱的高成( )比例。 9．如果平行四边形的面积一定，那么底和高成( )比例；如果高一定，那么面积和底成( )比例。 三、判断题 10．订阅《小学数学报》的份数与所需钱数成正比例。( ) 11．一个同学从家到学校，所用的时间和速度成反比例关系。( ) 12．亮亮每天从家里出发走同一路线步行去学校，则步行的速度和所用时间成正比例关系。( ) 13．汽车总辆数一定，每排停放的辆数和停放的排数成反比例关系。( ) 14．圆柱的底面积一定，它的侧面积和高成正比例。( ) 四、解答题 15．小恒骑自行车平均每小时骑12km。 （1）填表。 时间/时 1 2 3 4 5 6 … 路程/km 12 24 … （2）根据表中的数据在上图中描出时间和路程的对应点，再把这些点按顺序连起来。 （3）时间与路程（    ）正比例关系。（填“成”或“不成”） （4）小恒骑行2.5小时，骑行的路程是（    ）km；骑行84km，需要（    ）小时。 16．爸爸准备给客厅铺地砖，用边长5分米的方砖铺，需540块，若改用边长6分米的方砖铺，需多少块？（用比例解） 17．灵灵做“杠杆原理”实验，选了一根粗细均匀的竹竿，在中点位置拴上绳子，然后从中点开始每隔相等距离画上刻度线。实验时，他在左右两边各放上一袋水果，此时竹竿正好平衡。 (1)已知左边的水果重1.5kg，那么右边的水果重多少千克？请列式计算。 (2)刻度距离和水果质量存在怎样的比例关系？为什么？请用简单文字或数量关系式说明理由。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假培优讲义：正比例和反比例 知识梳理+例题讲解+培优练习 预习说明 1.预习目标：理解正比例和反比例的意义，能判断两种量是否成正比例或反比例关系；能根据数量关系列出比例式，并解决简单的实际问题。 2.预习方法：结合生活中的实例（如买文具、走路速度、工作时间等）进行观察和比较；通过列表、画图等方式分析两个量之间的变化规律；多做判断题和应用题，提升逻辑思维能力。 3.预习重点：掌握正比例和反比例的判断标准，理解“比值一定”和“乘积一定”的含义。 4.温馨提示：“正比例”和“反比例”是研究两个量之间关系的重要方法，学习时要注重观察变化规律，避免死记硬背。注意区分两种比例的本质区别。 知识梳理 1、正比例的意义 （1）生活中的正比例： 买同样的笔记本，买的本数越多，总价越高；本数越少，总价越低。 汽车以每小时60千米的速度匀速行驶，时间越长，路程越远。 这些例子中，两个量之间的变化有共同规律——一种量扩大，另一种量也随着扩大；一种量缩小，另一种量也随着缩小，并且它们的比值保持不变。 （2）正比例的定义： 两种相关联的量，如果它们的比值一定（也就是商一定），这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 用字母表示：如果 （k 是常数，且 k ≠ 0），那么 x 和 y 成正比例。 （3）判断方法： 一看是不是两个相关联的量（一个变化，另一个也变化） 二看是不是同向变化（同增或同减） 三看比值是否相等 （4）图像特征： 在方格纸上描点表示正比例关系的两个量，所有的点连起来是一条从原点出发的直线。 2、反比例的意义 （1）生活中的反比例： 用同样多的砖铺地，每块砖的面积越大，需要的块数就越少；每块砖的面积越小，需要的块数就越多。 从学校回家，速度越快，用的时间越少；速度越慢，用的时间越多。 这些例子中，两个量的变化规律是：一种量扩大，另一种量反而缩小；一种量缩小，另一种量反而扩大，并且它们的乘积保持不变。 （2）反比例的定义： 两种相关联的量，如果它们的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 用字母表示：如果 （k 是常数，且 k ≠ 0），那么 x 和 y 成反比例。 （3）判断方法： 一看是不是两个相关联的量 二看是不是反向变化（一个扩大，另一个缩小） 三看乘积是否相等 （4）图像特征： 在方格纸上描点表示反比例关系的两个量，所有的点连起来是一条曲线（本册不要求掌握图像形状，了解即可）。 3、正比例与反比例的对比 （1）相同点： 都是两种相关联的量 都有一个不变的量（正比例：比值不变；反比例：乘积不变） （2）不同点： 项目 正比例 反比例 变化方向 同向变化（同增同减） 反向变化（一增一减） 不变量 比值（商）一定 乘积一定 字母表达式 y/x = k x×y = k 实例 总价与数量（单价不变） 路程一定时，速度与时间 4、注意事项 （1）判断是否成比例，必须先看两个量是否相关联，再分析变化规律。 （2）“不变量”是判断的关键：正比例看商，反比例看积。 （3）有些量看似有关系，但不成比例（如人的身高和年龄），必须通过计算验证。 （4）题目中常出现“一定”“不变”“相同”等词，提示我们寻找不变量。 例题讲解 【典型例题1】 一辆汽车匀速行驶，行驶的路程与时间如下表： 时间（时） 1 2 3 4 5 路程（千米） 60 120 180 240 300 路程和时间成正比例吗？为什么？ 解析： 路程和时间是相关联的量。 计算比值： 60÷1 = 60，120÷2 = 60，180÷3 = 60，240÷4 = 60，300÷5 = 60 比值都是60，说明比值一定。 所以，路程和时间成正比例。 答：成正比例，因为路程与时间的比值一定。 【跟踪练习】 小明买同一种铅笔，数量与总价如下表： 数量（支） 1 2 3 4 5 总价（元） 2 4 6 8 10 总价和数量成正比例吗？请说明理由。 【典型例题2】 一批书要包装，每包的本数与包数如下表： 每包本数（本） 10 20 30 40 60 包数（包） 12 6 4 3 2 每包本数和包数成反比例吗？为什么？ 解析： 每包本数和包数是相关联的量。 计算乘积： 10×12 = 120，20×6 = 120，30×4 = 120，40×3 = 120，60×2 = 120 乘积都是120，说明乘积一定。 所以，每包本数和包数成反比例。 答：成反比例，因为每包本数与包数的乘积一定。 【跟踪练习】 用同样多的方砖铺地，每块砖的面积与所需块数如下表： 每块砖面积（m²） 0.2 0.4 0.5 0.8 1.0 所需块数（块） 400 200 160 100 80 每块砖的面积与所需块数成反比例吗？请说明理由。 【典型例题3】 判断下面各题中的两种量是否成比例，成什么比例，并说明理由。 （1）一个人的体重和年龄。 （2）长方形的长一定，面积和宽。 （3）路程一定，速度和时间。 解析： （1）体重和年龄：虽然相关联，但体重不会随年龄匀速增长，比值和乘积都不固定，不成比例。 （2）长方形的长一定：面积 ÷ 宽 = 长（一定），所以面积和宽成正比例。 （3）路程一定：速度 × 时间 = 路程（一定），所以速度和时间成反比例。 答：（1）不成比例；（2）成正比例；（3）成反比例。 【跟踪练习】 判断下列各题是否成比例，成什么比例： （1）正方形的边长和周长。 （2）圆的周长和直径。 （3）一批货物，运走的吨数和剩下的吨数。 答案及解析 【跟踪练习1答案】 总价与数量是相关联的量。 计算比值：2÷1 = 2，4÷2 = 2，6÷3 = 2，8÷4 = 2，10÷5 = 2，比值都是2。 比值一定，所以总价和数量成正比例。 答：成正比例，因为总价与数量的比值一定。 【跟踪练习2答案】 每块砖面积与所需块数是相关联的量。 计算乘积：0.2×400 = 80，0.4×200 = 80，0.5×160 = 80，0.8×100 = 80，1.0×80 = 80，乘积都是80。 乘积一定，所以成反比例。 答：成反比例，因为每块砖面积与所需块数的乘积一定。 【跟踪练习3答案】 （1）正方形的边长和周长：周长 ÷ 边长 = 4（一定），所以成正比例。 （2）圆的周长和直径：周长 ÷ 直径 = π（一定），所以成正比例。 （3）运走的吨数和剩下的吨数：虽然相关联，但它们的和一定，不是比值或乘积一定，不成比例。 答：（1）成正比例；（2）成正比例；（3）不成比例。 培优练习 一、选择题 1．学校举行四驱车模比赛。乐乐的车模速度为480米/分，跑完全程用了5分钟。小宇的车模跑完全程比乐乐的多用了1分钟，小宇的车模速度为（    ）米/分。 A．384 B．400 C．576 D．600 【答案】B 【分析】比赛全程距离固定，速度与时间成反比例关系，路程不变时，速度越快，用时越短，速度×时间＝路程。需先通过乐乐的速度和时间算出全程距离，再结合小宇的用时求出其速度。 【详解】全程距离：（米） （分） 小宇的速度：（米/分） 故答案为：B 2．爷爷要给屋子重新铺地砖，不同面积的地砖与所需的块数的关系如下。如果爷爷用0.6m2的地砖铺地，所用地砖的块数比用0.8m2的地砖多（    ）块。 每块地砖的面积 0.3 0.4 0.5 … 所需的块数 160 120 96 … A．20 B．60 C．80 D．140 【答案】A 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。根据表格数据，每块地砖面积与所需块数成反比例关系。 根据“每块地砖面积×所需块数＝屋子地面总面积”，结合表格中任意一组数据计算屋子地面总面积。以每块地砖面积0.3m2，所需块数160块为例，可得屋子地面总面积为：0.3×160＝48（m2）。根据“所需块数＝屋子地面总面积÷每块地砖面积”，可得48÷0.6＝80（块）。同理，48÷0.8＝60（块）。用0.6m2的地砖铺地所需块数减去用0.8m2的地砖铺地所需块数即可。 【详解】0.3×160＝48（m2） 48÷0.6＝80（块） 48÷0.8＝60（块） 80－60＝20（块） 爷爷用0.6m2的地砖铺地，所用地砖的块数比用0.8m2的地砖多20块。 故答案为：A 3．下列两种量成反比例关系的是（    ）。 A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆柱的体积一定，它的底面半径和高 C．正方体的表面积一定，它的棱长和棱的数量 D．三角形的面积一定，它的底边的长度和对应的高 【答案】D 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就成反比例关系。逐一分析各选项中的两个量是否存在乘积为定值的关系。 【详解】A．长方形的周长公式为C＝2×（a＋b）（C为周长，a为长，b为宽）。当周长C一定时，a＋b＝C÷2（一定），是和一定，不是乘积一定，所以长和宽不成反比例关系。 B．圆柱的体积公式为V＝πr2h（V为体积，r为底面半径，h为高）。当体积V一定时，πr2h＝V（一定），是r2与h的乘积一定，而不是底面半径r和高h的乘积一定，所以底面半径和高不成反比例关系。 C．正方体的表面积公式为S＝6a2（S为表面积，a为棱长），棱的数量是固定的12条，棱长和棱的数量之间不存在乘积一定的关系，所以不成反比例关系。 D．三角形的面积公式为S＝ah÷2（S为面积，a为底边长度，h为对应的高）。当面积S一定时，ah＝2S（一定），是底边的长度和对应的高的乘积一定，所以它们成反比例关系。 成反比例关系的是选项D中的两种量。 故答案为：D 4．如图所示，一个大长方形被两条线段分成四个小长方形，如果其中图形A、B、C的面积分别为2cm2、4cm2和5cm2，那么阴影部分的面积为（    ）cm2。 A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】设阴影部分所在的小长方形面积为xcm2。因为长方形的长（或宽）一定时，面积与宽（或长）成正比例关系，所以A与B的面积比等于x与C的面积比，即2∶4＝x∶5。根据比例的基本性质“内项之积等于外项之积”，解出x的值后。因为阴影部分是一个三角形，它的面积是所在小长方形面积的一半，所以用x的值除以2得出阴影部分面积。 【详解】解：设阴影部分所在的小长方形面积为xcm2。 2∶4＝x∶5 4x＝2×5 4x＝10 x＝10÷4 x＝2.5 2.5÷2＝（cm2） 所以阴影部分的面积为cm2。 故答案为：D 5．有两个相关联的量，它们的关系如下图，这两个量可能是（    ）。 A．小明的身高和年龄 B．买水果的重量和单价 C．汽车运货的次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数 D．正方形的边长与面积 【答案】C 【分析】两个相关联的量，一个量随另一个量的变化而变化，若两个量的比值一定，则这两个量是正比例关系。由关系图可知，图中两个量的比值是一定的，因此图中两个量是正比例关系。 根据正比例关系的定义，逐项分析每个选项中的两个量是否成正比例关系。 【详解】A．小明的身高和年龄的比值不一定为定值，所以这两个量不成正比例关系，不符合题意。 B．因为总价等于单价与重量的乘积，所以买水果的重量和单价的比值不为定值，这两个量不成正比例关系，不符合题意。 C．由于运货总吨数与每次运货的吨数的比值等于汽车运货的次数，且汽车运货的次数一定，所以每次运货的吨数和运货总吨数成正比例关系，符合题意。 D．正方形的面积除以边长等于边长，边长不是定值，所以正方形的边长与面积不成比例，不符合题意。 故答案为：C 二、填空题 6．笔墨纸砚是中国独有的书画用具，即文房四宝。其中，墨锭的制作过程最为繁杂。李老师根据教程自己制作墨锭，已知20克墨锭能磨出墨液250毫升。如果李老师想磨出600毫升墨液，那么要制作( )克的墨锭。 【答案】48 【分析】根据题意，20克墨锭能磨出墨液250毫升，每克墨锭能磨出墨液的毫升数一定，则墨液的毫升数与墨锭的克数成正比例，列比例方程并求解，即可解答。 【详解】解：设要想磨出600毫升墨液，要制作x克的墨锭。 因此，如果李老师想磨出600毫升墨液，那么要制作48克的墨锭。 7．如果a与b是两种相关联的量（a、b均不为0），当时，a与b成( )比例关系；当时，a与b( )比例关系。 【答案】 反 不成 【分析】两种相关联的量，若它们的比值一定，两种量成正比例；若它们的乘积一定，两种量成反比例。据此解答。 【详解】由，得a×b＝15，乘积一定，符合反比例的意义，所以a与b成反比例； 由a＝b＋5，得a－b＝5，差一定，所以a与b不成比例关系。 所以当时，a与b成反比例关系；当时，a与b不成比例关系。 【点睛】本题关键是根据正反比例的判定规则，通过变形判断a和b的关系：可推出a×b＝15，乘积一定故成反比例；a＝b＋5仅差一定，不满足正反比例的判定条件，因此不成比例。 8．把相同体积的钢材熔铸成不同底面积的圆柱，圆柱的底面积与高的变化情况如下表。 圆柱的底面积/ 300 200 150 100 圆柱的高/m 2 3 4 6 (1)表中有( )和( )两种量。 (2)圆柱的高随着圆柱底面积的变小而不断变( )，而且它们的乘积总是一定的，是( )，所以圆柱的底面积和圆柱的高成( )比例。 【答案】(1) 圆柱的底面积 圆柱的高 (2) 大 反 【分析】（1）观察表格可知，表格第一行表示圆柱的底面积，表格第二行表示圆柱的高，据此解答； （2）两种相关联的量，若它们的比值一定，两种量成正比例；若它们的乘积一定，两种量成反比例，据此解答。 【详解】（1）表中有圆柱的底面积和圆柱的高两种量。 （2）由表可知，圆柱的高随着圆柱底面积的变小而不断变大。 （一定） 圆柱的底面积×高=圆柱的体积（一定），圆柱底面积和圆柱高的乘积一定，所以圆柱的底面积和圆柱的高成反比例。 因此，圆柱的高随着圆柱底面积的变小而不断变大，而且它们的乘积总是一定的，是600m3，所以圆柱的底面积和圆柱的高成反比例。 9．如果平行四边形的面积一定，那么底和高成( )比例；如果高一定，那么面积和底成( )比例。 【答案】 反 正 【分析】两种相关联的量，若它们的比值一定，两种量成正比例；若它们的乘积一定，两种量成反比例。据此解答。 【详解】如果平行四边形的面积一定，即底×高＝面积（一定），底和高的乘积一定，那么底和高成反比例； 如果平行四边形的高一定，即面积÷底＝高（一定），面积和底的比值一定，那么面积和底成正比例。 因此，如果平行四边形的面积一定，那么底和高成反比例；如果高一定，那么面积和底成正比例。 三、判断题 10．订阅《小学数学报》的份数与所需钱数成正比例。( ) 【答案】√ 【分析】判断两个量是否成正比例，要看它们的比值是否一定。订阅份数与所需钱数是相关联的量，钱数除以份数等于单价，单价一定，则比值一定，它们成正比例。 【详解】订阅份数与所需钱数是两种相关联的量，它们与《小学数学报》的单价有下面的关系：钱数 ÷ 份数 ＝ 单价（一定）。由于单价一定，钱数与份数的比值一定，所以订阅份数与所需钱数成正比例。 故答案为：√ 11．一个同学从家到学校，所用的时间和速度成反比例关系。( ) 【答案】√ 【分析】两种相关联的量，若它们的比值一定，两种量成正比例；若它们的乘积一定，两种量成反比例。据此解答。 【详解】一个同学从家到学校路程一定，时间×速度＝路程（一定），即时间与速度的乘积一定，因此所用的时间和速度成反比例关系。 故答案为：√ 12．亮亮每天从家里出发走同一路线步行去学校，则步行的速度和所用时间成正比例关系。( ) 【答案】× 【分析】根据比例关系的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且商（比值）一定，这两种量就成正比例关系；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且乘积一定，这两种量就成反比例关系。 本题中，亮亮每天走同一路线，路程相同。根据：路程＝速度×时间，当路程一定时，速度和时间成反比例关系（乘积为一定的），而不是正比例关系。 【详解】因为亮亮每天走同一路线，路程相同。根据路程＝速度×时间，当路程一定时，速度和时间成反比例关系，而不是正比例关系。所以，题目的说法是错误的。 故答案为：× 13．汽车总辆数一定，每排停放的辆数和停放的排数成反比例关系。( ) 【答案】√ 【分析】根据反比例的定义，两个相关联的量，如果它们的乘积一定，则它们成反比例关系。本题中，汽车总辆数一定，即每排停放的辆数和停放的排数的乘积一定，因此它们成反比例关系。 【详解】由题意，汽车总辆数＝每排停放的辆数×停放的排数。由于汽车总辆数一定，所以每排停放的辆数和停放的排数的乘积是一个定值。根据反比例的意义，当两个相关联的量的乘积一定时，这两个量成反比例关系。因此，题中的判断是正确的。 故答案为：√ 14．圆柱的底面积一定，它的侧面积和高成正比例。( ) 【答案】√ 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且商（比值）一定，这两种量就成正比例关系；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且乘积一定，这两种量就成反比例关系。 判断两个量是否成正比例，需看它们的比值是否一定。 【详解】圆柱的侧面积＝底面周长×高。当底面积一定时，则底面半径也一定，进而底面周长也固定。因此，侧面积与高的比值（即底面周长）为定值，符合正比例的定义。原题说法正确。 故答案为：√ 四、解答题 15．小恒骑自行车平均每小时骑12km。 （1）填表。 时间/时 1 2 3 4 5 6 … 路程/km 12 24 … （2）根据表中的数据在上图中描出时间和路程的对应点，再把这些点按顺序连起来。 （3）时间与路程（    ）正比例关系。（填“成”或“不成”） （4）小恒骑行2.5小时，骑行的路程是（    ）km；骑行84km，需要（    ）小时。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）成 （4）30；7 【分析】（1）根据路程速度时间，求出小恒3小时所行驶的路程，4小时所行驶的路程，5小时所行驶的路程，6小时所行驶的路程，完成表格； （2）根据统计表中的数据，在图中描出时间和路程所对应的点，再把它们按顺序连接起来即可； （3）因为路程时间速度，小恒骑自行车的速度是每小时12km，是一定的，即路程和时间的比值一定，所以时间和路程成正比例； （4）根据路程速度时间，时间路程速度，分别代入数据求出路程和时间即可。 【详解】（1）（km） （km） （km） （km） 时间/时 1 2 3 4 5 6 … 路程/km 12 24 36 48 60 72 … （2） （3）时间与路程成正比例关系。 （4）（km） （h） 小恒骑行2.5小时，骑行的路程是30km；骑行84km，需要7小时。 16．爸爸准备给客厅铺地砖，用边长5分米的方砖铺，需540块，若改用边长6分米的方砖铺，需多少块？（用比例解） 【答案】375块 【分析】客厅的总面积保持不变，所以方砖的面积和所需块数成反比例关系。先设改用边长6分米的方砖需要x块，分别算出两种方砖的面积：边长5分米的方砖面积是5×5＝25平方分米，边长6分米的方砖面积是6×6＝36平方分米。根据“总面积相等”，可以列出反比例方程36x＝25×540，最后解这个方程即可得到需要方砖的数量。 【详解】解：设需要x块。 6×6×x＝5×5×540 36x＝25×540 36x＝13500 36x÷36＝13500÷36 x＝375 答：需要375块。 17．灵灵做“杠杆原理”实验，选了一根粗细均匀的竹竿，在中点位置拴上绳子，然后从中点开始每隔相等距离画上刻度线。实验时，他在左右两边各放上一袋水果，此时竹竿正好平衡。 (1)已知左边的水果重1.5kg，那么右边的水果重多少千克？请列式计算。 (2)刻度距离和水果质量存在怎样的比例关系？为什么？请用简单文字或数量关系式说明理由。 【答案】(1)0.9千克 (2)成反比例关系；理由见详解 【分析】（1）根据题意，用左边水果的质量×左边刻度距离＝右边水果质量×右边刻度距离。所以用左边水果质量×左边刻度距离÷右边刻度距离＝右边水果质量。 （2）因为左边水果质量×左边刻度距离＝右边水果质量×右边刻度距离。两个量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就成反比例关系。而刻度距离乘水果质量的积是一定的， 它们成反比例关系。据此分析即可。 【详解】（1）1.5×3÷5 ＝4.5÷5 ＝0.9（千克） 答：那么右边的水果重0.9千克。 （2）刻度距离和水果质量存在反比例关系。因为左边水果质量×左边刻度距离＝右边水果质量×右边刻度距离。刻度距离和水果质量的乘积一定，所以刻度距离和水果质量存在反比例关系。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $