寒假培优：圆锥（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

寒假培优讲义：圆锥 知识梳理+例题讲解+培优练习 预习说明 1.预习目标：认识圆锥的特征，了解圆锥的各部分名称；理解圆锥的侧面展开图；掌握圆锥侧面积和表面积的计算方法，并能解决简单的实际问题。 2.预习方法：结合生活中常见的圆锥形物体（如冰淇淋蛋筒、圣诞帽、沙堆等）进行观察；动手制作圆锥模型，理解展开图；通过公式推导和例题练习掌握计算方法。 3.预习重点：圆锥的特征、侧面积与表面积的计算公式及其应用。 4.温馨提示：本讲内容与圆柱有联系，可对比学习；动手操作有助于理解空间图形，建议准备纸张、剪刀、胶水等工具，增强直观感受。 知识梳理 1、圆锥的认识 （1）生活中的圆锥：生活中有些物体是圆锥形的，如冰淇淋蛋筒、圣诞帽、漏斗、某些屋顶等。它们有一个圆形的底面，顶部是一个尖尖的点。 （2）圆锥的特征： 圆锥有一个圆形的底面。 有一个顶点（尖尖的顶部）。 从顶点到底面圆心的距离叫做高，圆锥只有一条高。 圆锥有一个曲面，叫做侧面，侧面展开后是一个扇形。 2、圆锥的侧面展开图 （1）展开过程：沿着圆锥的母线剪开侧面，会得到一个扇形。 扇形的半径 = 圆锥的母线长（从顶点到底面边缘的长度） 扇形的弧长 = 圆锥底面的周长（C = 2πr） 所以，扇形的面积就是圆锥的侧面积。 3、圆锥的面积计算 （1）侧面积： 圆锥的侧面积等于圆周率 (π) 乘以底面半径与母线长的乘积。 字母公式表示： 其中： 代表底面半径 代表母线长 （2）表面积： 圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成。其字母公式表示为：S_表 = πrl + πr²，其中r代表圆锥底面的半径，l代表圆锥的母线长。 （3）说明： 计算时注意单位统一（如半径是厘米，母线长也用厘米）。 π一般取近似值3.14，题目有要求时按要求取值。 实际问题中，有些圆锥没有底面（如漏斗、帽子），表面积要根据实际情况调整。 4、生活中的应用举例 制作一个圣诞帽，需要多少纸？→ 求侧面积（无底） 给一个圆锥形沙堆盖塑料布，盖的是哪部分？→ 求侧面积 做一个有底的圆锥形笔筒，需要多少材料？→ 求表面积 5、注意事项 （1）圆锥的高是顶点到底面圆心的垂直距离，不是母线长。 （2）母线长是顶点到底面边缘的长度，通常题目会直接给出，或通过勾股定理求出（本册不涉及复杂计算）。 （3）侧面展开图是扇形，不是三角形，扇形的弧长等于底面周长。 （4）计算表面积时，要先判断是否有底面，避免多算或少算。 例题讲解 【典型例题1】 一个圆锥的底面半径是3 cm，母线长是5 cm，求它的侧面积。（π取3.14） 解析： 侧面积 = π × r × l = 3.14 × 3 × 5 = 47.1（cm²） 答：它的侧面积是47.1平方厘米。 【跟踪练习】 一个圆锥的底面半径是4 cm，母线长是6 cm，求它的侧面积。（π取3.14） 【典型例题2】 一个圆锥形圣诞帽，底面直径是20 cm，母线长是30 cm，做这顶帽子需要多少平方厘米的纸？（帽子无底，π取3.14） 解析： 无底帽子：只需要计算侧面积 半径 = 20 ÷ 2 = 10（cm） 侧面积 = 3.14 × 10 × 30 = 942（cm²） 答：做这顶帽子需要942平方厘米的纸。 【跟踪练习】 一个圆锥形漏斗，底面半径是5 cm，母线长是13 cm，制作这个漏斗需要多少平方厘米的铁皮？（无底） 【典型例题3】 一个圆锥的侧面积是188.4 cm²，底面半径是6 cm，求它的母线长。（π取3.14） 解析： 侧面积 = π × r × l 188.4 = 3.14 × 6 × l 188.4 = 18.84 × l l = 188.4 ÷ 18.84 = 10（cm） 答：它的母线长是10厘米。 【跟踪练习】 一个圆锥的侧面积是251.2 dm²，底面半径是8 dm，求它的母线长。（π取3.14） 答案及解析 【跟踪练习1答案】 侧面积 = π × r × l = 3.14 × 4 × 6 = 75.36（cm²） 答：侧面积是75.36平方厘米。 解析：直接代入公式 S_侧 = πrl，注意单位一致。 【跟踪练习2答案】 无底漏斗：只求侧面积 侧面积 = 3.14 × 5 × 13 = 204.1（cm²） 答：需要204.1平方厘米的铁皮。 解析：实际问题中“漏斗”通常无底，只算侧面积。 【跟踪练习3答案】 侧面积 = π × r × l → 251.2 = 3.14 × 8 × l 251.2 = 25.12 × l l = 251.2 ÷ 25.12 = 10（dm） 答：母线长是10分米。 解析：根据侧面积公式变形，求出母线长 l = 侧面积 ÷ (πr) 培优练习 一、选择题 1．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是削去部分体积的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把一个圆柱削成一个最大的圆锥，则圆柱和圆锥等底等高，圆锥的体积是等底等高的圆柱体积的，可以把圆柱的体积看成3份，圆锥的体积看成1份，则圆柱的体积比圆锥多2份，所以圆锥的体积是削去部分体积的。 【详解】把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是削去部分体积的。 故答案为：A 2．一个圆锥形铁块的底面积为20cm2，高为9cm。把圆锥完全浸没在盛有水的内底面积为30cm2的圆柱形容器里（水没有溢出），水面升高（    ）cm。 A．4 B．6 C．3 D．2 【答案】D 【分析】把圆锥浸没在圆柱形容器的水中，水无溢出，说明容器中水上升部分的体积等于圆锥的体积。 根据圆锥的体积公式V＝Sh，先算出圆锥的体积；再根据圆柱的体积公式V＝Sh，推出h＝V÷S，解答即可。 【详解】×20×9 ＝×9 ＝60（cm3） 60÷30＝2（cm） 水面升高2厘米。 故答案为：D 3．一个圆锥的底面半径缩小到原来的，高扩大到原来的9倍，圆锥的体积（    ）。 A．缩小到原来的 B．扩大到原来的3倍 C．不变 D．缩小到原来的 【答案】C 【分析】圆锥的体积公式是： 设原来圆锥的底面半径为r，高为h，则原体积： 底面半径缩小到原来的，新半径，高扩大到原来的9倍，新高，变化后的体积。 所以，圆锥的体积不变。 【详解】一个圆锥的底面半径缩小到原来的，高扩大到原来的9倍，圆锥的体积不变。 故答案为：C 4．一个圆锥的高是15cm，底面半径是高的，则圆锥的体积是（    ）。 A．1177.5 B．392.5 C．8 D．14.1 【答案】B 【分析】根据题意，已知一个圆锥的高是15cm，底面半径是高的，用15cm乘即可求出圆锥的底面半径；根据圆锥的体积公式，代入数据计算，即可解答。 【详解】底面半径：（cm） 圆锥的体积：（cm3） 故答案为：B 5．把一段圆柱形钢材削成一个最大的圆锥，削去部分的质量是4kg，则这段圆柱形钢材的质量是（    ）kg。 A．24 B．6 C．12 D．8 【答案】B 【分析】圆柱形钢材削成一个最大的圆锥，说明圆柱与圆锥等底等高，此时圆柱体积是圆锥体积3倍，设圆锥体积1份，则圆柱体积3份，圆柱削成最大圆锥，削去2份，对应质量是4千克，据此算出1份质量，再算出圆柱3份的质量。 【详解】（千克） 故答案为：B 二、填空题 6．圆锥的底面是一个( )形，圆锥的侧面展开后是一个( )。从圆锥的( )到( )的距离是圆锥的高，用字母( )表示。 【答案】 圆 扇形 顶点 底面圆心 h 【详解】 如图所示，圆锥的底面是一个圆形，将圆锥的侧面展开得到一个扇形。 如图所示，从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫圆锥的高。 因此，圆锥的底面是一个圆形，圆锥的侧面展开后是一个扇形。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，用字母h表示。 7．把一个圆柱形钢坯削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是。原圆柱形钢坯的体积是( )。 【答案】2.7 【分析】根据题意，把一个圆柱形钢坯削成一个最大的圆锥，则圆锥和圆柱等底等高，圆锥的体积是圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，削去部分的体积是圆柱体积的，单位“1”未知，用削去部分的体积除以，即可求出圆柱的体积，据此解答。 【详解】由分析可得： （cm3） 因此，把一个圆柱形钢坯削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是1.8cm3。原圆柱形钢坯的体积是2.7cm3。 8．用一个底面积为、高为30cm的圆锥形容器盛满水，然后把水倒入底面周长为12.56cm的圆柱形容器内，水的高度为( )cm。 【答案】75 【分析】用一个底面积为94.2cm2、高为30cm的圆锥形容器盛满水，根据圆锥的体积公式，代入数据即可求出圆锥的容积，也就是水的体积；水的体积不变，把水倒入底面周长为12.56cm的圆柱形容器内，根据，求出圆柱的底面半径；根据圆的面积公式，代入数据求出圆柱的底面积；最后用水的体积除以圆柱的底面积，求出水的高度，据此解答。 【详解】水的体积：（cm3） 圆柱的底面半径：（cm） 圆柱的底面积：（cm2） 水的高度：（cm） 因此，用一个底面积为94.2cm2、高为30cm的圆锥形容器盛满水，然后把水倒入底面周长为12.56cm的圆柱形容器内，水的高度为75cm。 9．一个棱长是4dm的正方体容器装满水，现将其中的水倒入一个底面积是的圆锥形容器里，正好装满。这个圆锥形容器的高是( )dm。 【答案】16 【分析】已知正方体容器的棱长是4dm，根据正方体的体积，代入数据即可求出正方体的容积，也就是水的体积；将水倒入一个底面积是12dm2的圆锥形容器装满，圆锥的体积等于水的体积，由圆锥的体积公式可知：，即可求出圆锥的高，据此解答。 【详解】正方体的体积：（dm3） 圆锥的体积：64dm3 圆锥的高：（dm） 因此，这个圆锥形容器的高是16dm。 10．一个直角三角形的两条直角边长分别为4cm和3cm，分别以这两条直角边为轴，将这个直角三角形旋转一周，得到的两个圆锥的体积比是( )。 【答案】 【分析】圆锥体积公式：（以哪条直角边为轴，哪条边就是高h，另一条边就是底面半径r） 以3cm边为轴旋转：高3cm，底面半径4cm，体积是 以4cm边为轴旋转：高4cm，底面半径3cm，体积是 体积比是。 【详解】由分析可得： 一个直角三角形的两条直角边长分别为4cm和3cm，分别以这两条直角边为轴，将这个直角三角形旋转一周，得到的两个圆锥的体积比是。 三、判断题 11．把圆锥的侧面展开，可能得到一个三角形。( ) 【答案】× 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图的特征：圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长，半径等于圆锥的母线长。三角形是平面图形，有三条直边，而圆锥的侧面展开后不可能形成三角形，据此解答。 【详解】根据分析可知：把圆锥的侧面展开，可得到一个扇形。因此，不可能得到一个三角形。 故答案为：× 12．把一段圆柱钢块削成一个最大圆锥体，削去部分重8kg，这段圆柱钢重12kg。( ) 【答案】 √ 【分析】根据圆柱与圆锥体积的关系，在圆柱中削成一个圆锥，最大圆锥的体积是圆柱的，削去部分的体积是圆柱的。由于重量与体积成正比，削去部分重8kg对应圆柱总重量的，据此可得出答案。 【详解】将圆柱削成最大圆锥时，圆锥体积是圆柱的，削去部分体积为圆柱的。削去部分重量为8kg，对应圆柱总重量的，列式计算：（kg）。 则圆柱钢重12kg，题干说法正确。 故答案为：√ 13．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是48dm3，那么这个圆柱的体积是12dm3。( ) 【答案】× 【分析】根据等底等高的圆柱和圆锥的体积关系，圆柱体积是圆锥的3倍。将体积之和看作（3＋1）份，求出每份对应的体积，再计算圆柱的体积即可判断。 【详解】48÷（3＋1） ＝48÷4 ＝12（dm³） 12×3＝36（dm³） 题目中圆柱体积写为12dm³，与计算结果不符， 故答案为：× 14．圆柱的体积比和它等底等高的圆锥的体积大。( ) 【答案】× 【分析】根据，，可以看出当它们等底等高时，圆柱体积是圆锥的3倍。设圆锥的体积为，则与它等底等高的圆柱体积为，圆柱体积比圆锥大。所以，圆柱体积比圆锥大的是圆锥体积的2倍，而非原题所述的。 【详解】设圆锥的体积为，则与它等底等高的圆柱体积为。圆柱体积比圆锥大：。 ，即圆柱体积比圆锥大2倍，而非。原题说法错误。 故答案为：× 15．一个圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，要使圆锥的体积不变，高应缩小为原来的。( ) 【答案】√ 【分析】根据题意，设原来圆锥的底面半径为3，高为6，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出原来圆锥的体积； 现在圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，则现在圆锥的底面半径是（3×2），体积不变，根据圆锥的高h＝3V÷S，据此求出现在圆锥的高； 再用现在圆锥的高除以原来圆锥的高，求出现在圆锥的高是原来的几分之几。 【详解】设原来圆锥的底面半径为3，高为6； 现在圆锥的底面半径为：3×2＝6 原来圆锥的体积： ×π×32×6 ＝×π×9×6 ＝18π 现在圆锥的高： 18π×3÷（π×62） ＝18π×3÷（π×36） ＝54π÷36π ＝1.5 现在圆锥的高是原来圆锥高的： 1.5÷6＝ 所以，一个圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，要使圆锥的体积不变，高应缩小为原来的。 原题说法正确。 故答案为：√ 四、计算题 16．计算下面各圆锥的体积。 （1）    （2）   （3） 【答案】（1）16m3 （2）18.84dm3 （3）9.42cm3 【分析】根据圆锥的体积＝×底面积×高，底面积＝半径×半径×圆周率，据此列式解答即可。 【详解】（1） （2） （dm3） （3） （cm3） 五、解答题 17．在底面半径为6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃缸中，放入一个底面半径为4厘米、高9厘米的圆锥体铅块，放水将铅块全部淹没，当铅块取出后，玻璃缸中的水位下降多少厘米？ 【答案】 厘米 【分析】先根据圆锥体积公式求出铅块体积，此体积即为减少的水的体积，再根据圆柱底面积公式求出玻璃缸底面积，最后用减少的水的体积（圆锥铅块的体积）除以玻璃缸底面积得到水位下降的高度。用到圆锥体积公式和圆柱底面积公式。 【详解】 （立方厘米） （平方厘米） ÷ ＝48÷36 ＝ ＝（厘米） 答：当铅块取出后，玻璃缸中的水位下降厘米。 18．如下图，左边是一听装满饮料的圆柱形易拉罐，右边是一个圆锥形酒杯。每听易拉罐饮料大约能倒满几杯？ 【答案】7杯 【分析】根据圆柱的体积＝底面积高、底面积＝半径的平方（取3.14）、圆锥的体积＝底面积高，先分别计算出圆柱形易拉罐和圆锥形酒杯的容积，然后用易拉罐的容积除以酒杯的容积，得到能倒满的杯数。据此解答。 【详解】 （cm） （cm） （杯） 答：每听易拉罐饮料大约能倒满7杯。 19．一个圆锥形沙堆的占地面积是，高是1.8m，每立方米沙重1.6t。用一辆载重量是3000kg的小货车运这堆沙子，多少次可以运完？ 【答案】4次 【分析】圆锥形沙堆的体积=×圆锥形沙堆的占地面积×高，据此得出圆锥形沙堆的体积；圆锥形沙堆的重量=每立方米沙子的重量×圆锥形沙堆的体积，据此得出圆锥形沙堆的重量；把3000kg的单位化为吨，用圆锥形沙堆的重量除以小货车的载重量，结果用进一法取值即可解答。 【详解】 （） （t） （次） 答：4次可以运完。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假培优讲义：圆锥 知识梳理+例题讲解+培优练习 预习说明 1.预习目标：认识圆锥的特征，了解圆锥的各部分名称；理解圆锥的侧面展开图；掌握圆锥侧面积和表面积的计算方法，并能解决简单的实际问题。 2.预习方法：结合生活中常见的圆锥形物体（如冰淇淋蛋筒、圣诞帽、沙堆等）进行观察；动手制作圆锥模型，理解展开图；通过公式推导和例题练习掌握计算方法。 3.预习重点：圆锥的特征、侧面积与表面积的计算公式及其应用。 4.温馨提示：本讲内容与圆柱有联系，可对比学习；动手操作有助于理解空间图形，建议准备纸张、剪刀、胶水等工具，增强直观感受。 知识梳理 1、圆锥的认识 （1）生活中的圆锥：生活中有些物体是圆锥形的，如冰淇淋蛋筒、圣诞帽、漏斗、某些屋顶等。它们有一个圆形的底面，顶部是一个尖尖的点。 （2）圆锥的特征： 圆锥有一个圆形的底面。 有一个顶点（尖尖的顶部）。 从顶点到底面圆心的距离叫做高，圆锥只有一条高。 圆锥有一个曲面，叫做侧面，侧面展开后是一个扇形。 2、圆锥的侧面展开图 （1）展开过程：沿着圆锥的母线剪开侧面，会得到一个扇形。 扇形的半径 = 圆锥的母线长（从顶点到底面边缘的长度） 扇形的弧长 = 圆锥底面的周长（C = 2πr） 所以，扇形的面积就是圆锥的侧面积。 3、圆锥的面积计算 （1）侧面积： 圆锥的侧面积等于圆周率 (π) 乘以底面半径与母线长的乘积。 字母公式表示： 其中： 代表底面半径 代表母线长 （2）表面积： 圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成。其字母公式表示为：S_表 = πrl + πr²，其中r代表圆锥底面的半径，l代表圆锥的母线长。 （3）说明： 计算时注意单位统一（如半径是厘米，母线长也用厘米）。 π一般取近似值3.14，题目有要求时按要求取值。 实际问题中，有些圆锥没有底面（如漏斗、帽子），表面积要根据实际情况调整。 4、生活中的应用举例 制作一个圣诞帽，需要多少纸？→ 求侧面积（无底） 给一个圆锥形沙堆盖塑料布，盖的是哪部分？→ 求侧面积 做一个有底的圆锥形笔筒，需要多少材料？→ 求表面积 5、注意事项 （1）圆锥的高是顶点到底面圆心的垂直距离，不是母线长。 （2）母线长是顶点到底面边缘的长度，通常题目会直接给出，或通过勾股定理求出（本册不涉及复杂计算）。 （3）侧面展开图是扇形，不是三角形，扇形的弧长等于底面周长。 （4）计算表面积时，要先判断是否有底面，避免多算或少算。 例题讲解 【典型例题1】 一个圆锥的底面半径是3 cm，母线长是5 cm，求它的侧面积。（π取3.14） 解析： 侧面积 = π × r × l = 3.14 × 3 × 5 = 47.1（cm²） 答：它的侧面积是47.1平方厘米。 【跟踪练习】 一个圆锥的底面半径是4 cm，母线长是6 cm，求它的侧面积。（π取3.14） 【典型例题2】 一个圆锥形圣诞帽，底面直径是20 cm，母线长是30 cm，做这顶帽子需要多少平方厘米的纸？（帽子无底，π取3.14） 解析： 无底帽子：只需要计算侧面积 半径 = 20 ÷ 2 = 10（cm） 侧面积 = 3.14 × 10 × 30 = 942（cm²） 答：做这顶帽子需要942平方厘米的纸。 【跟踪练习】 一个圆锥形漏斗，底面半径是5 cm，母线长是13 cm，制作这个漏斗需要多少平方厘米的铁皮？（无底） 【典型例题3】 一个圆锥的侧面积是188.4 cm²，底面半径是6 cm，求它的母线长。（π取3.14） 解析： 侧面积 = π × r × l 188.4 = 3.14 × 6 × l 188.4 = 18.84 × l l = 188.4 ÷ 18.84 = 10（cm） 答：它的母线长是10厘米。 【跟踪练习】 一个圆锥的侧面积是251.2 dm²，底面半径是8 dm，求它的母线长。（π取3.14） 培优练习 一、选择题 1．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是削去部分体积的（    ）。 A． B． C． D． 2．一个圆锥形铁块的底面积为20cm2，高为9cm。把圆锥完全浸没在盛有水的内底面积为30cm2的圆柱形容器里（水没有溢出），水面升高（    ）cm。 A．4 B．6 C．3 D．2 3．一个圆锥的底面半径缩小到原来的，高扩大到原来的9倍，圆锥的体积（    ）。 A．缩小到原来的 B．扩大到原来的3倍 C．不变 D．缩小到原来的 4．一个圆锥的高是15cm，底面半径是高的，则圆锥的体积是（    ）。 A．1177.5 B．392.5 C．8 D．14.1 5．把一段圆柱形钢材削成一个最大的圆锥，削去部分的质量是4kg，则这段圆柱形钢材的质量是（    ）kg。 A．24 B．6 C．12 D．8 二、填空题 6．圆锥的底面是一个( )形，圆锥的侧面展开后是一个( )。从圆锥的( )到( )的距离是圆锥的高，用字母( )表示。 7．把一个圆柱形钢坯削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是。原圆柱形钢坯的体积是( )。 8．用一个底面积为、高为30cm的圆锥形容器盛满水，然后把水倒入底面周长为12.56cm的圆柱形容器内，水的高度为( )cm。 9．一个棱长是4dm的正方体容器装满水，现将其中的水倒入一个底面积是的圆锥形容器里，正好装满。这个圆锥形容器的高是( )dm。 10．一个直角三角形的两条直角边长分别为4cm和3cm，分别以这两条直角边为轴，将这个直角三角形旋转一周，得到的两个圆锥的体积比是( )。 三、判断题 11．把圆锥的侧面展开，可能得到一个三角形。( ) 12．把一段圆柱钢块削成一个最大圆锥体，削去部分重8kg，这段圆柱钢重12kg。( ) 13．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是48dm3，那么这个圆柱的体积是12dm3。( ) 14．圆柱的体积比和它等底等高的圆锥的体积大。( ) 15．一个圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，要使圆锥的体积不变，高应缩小为原来的。( ) 四、计算题 16．计算下面各圆锥的体积。 （1）    （2）   （3） 五、解答题 17．在底面半径为6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃缸中，放入一个底面半径为4厘米、高9厘米的圆锥体铅块，放水将铅块全部淹没，当铅块取出后，玻璃缸中的水位下降多少厘米？ 18．如下图，左边是一听装满饮料的圆柱形易拉罐，右边是一个圆锥形酒杯。每听易拉罐饮料大约能倒满几杯？ 19．一个圆锥形沙堆的占地面积是，高是1.8m，每立方米沙重1.6t。用一辆载重量是3000kg的小货车运这堆沙子，多少次可以运完？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $