寒假培优：比例的应用（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

寒假培优讲义：比例的应用 知识梳理+例题讲解+培优练习 预习说明 1.预习目标：掌握比例在实际问题中的应用方法，能解决比例分配、比例尺、速度时间等常见问题。 2.预习方法：结合课本例题，分析比例关系，动手列式计算，标注疑问点，通过练习巩固解题思路。 3.预习重点：识别问题中的比例关系，正确设未知数，应用比例基本性质列方程求解。 知识梳理 1、比例应用的基本类型 （1）比例分配问题：将总量按一定比例分配给不同部分，如分配物品、资金等。 解题关键：先求出总份数，再根据比例计算各部分数量。 公式：某部分数量 = 总量 × 。 （2）比例尺问题：地图或图纸上的距离与实际距离的比例关系。 比例尺定义：图上距离:实际距离 = 比例尺。 应用公式： 图上距离 = 实际距离 × 比例尺 实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺 （3）速度/时间/路程比例问题：在路程一定时，速度与时间成反比例；在速度一定时，路程与时间成正比例。 正比例关系： （速度不变）。 反比例关系： （路程不变）。 2、解题步骤 ① 分析问题：找出已知量和未知量，确定比例关系（正比例或反比例）。 ② 设未知数：通常设所求量为 。 ③ 列比例式：根据比例关系写出比例式。 ④ 解比例：应用比例的基本性质（外项积 = 内项积）解方程。 ⑤ 检验结果：代入原问题验证是否合理。 3、注意事项 单位统一：计算前确保单位一致（如将千米化为米）。 比例方向：区分正比例（同向变化）和反比例（反向变化）。 实际意义：结果需符合生活实际（如人数不能为小数）。 例题讲解 【典型例题1】 六年级一班有45名学生，男生与女生的人数比是4:5。求男生和女生各有多少人？ 解析： 这是比例分配问题，总人数45人对应总份数4+5=9份。 男生人数 = （人）。 女生人数 = （人）。 答案：男生20人，女生25人。 【跟踪练习】 一个果园有60棵果树，苹果树与梨树的比是3:2。求苹果树和梨树各有多少棵？ 【典型例题2】 在一幅地图上，用5厘米表示实际距离150千米。这幅地图的比例尺是多少？ 解析： 比例尺 = 图上距离:实际距离。 先统一单位：150千米 = 15000000厘米。 比例尺 = 。 答案：这幅地图的比例尺是1:3000000。 【跟踪练习】 在一幅比例尺为1:200000的地图上，量得两地距离是8厘米。求两地的实际距离是多少千米？ 【典型例题3】 一辆汽车以每小时60千米的速度行驶，4小时可以到达目的地。如果速度提高到每小时80千米，需要多少小时到达？ 解析： 路程一定，速度与时间成反比例。 设需要 小时，则 。 解得 （小时）。 答案：需要3小时到达。 【跟踪练习】 小明骑自行车每分钟行200米，15分钟可以到学校。如果他每分钟行250米，需要多少分钟到学校？ 培优练习 一、选择题 1．教室黑板的长是3米、高是1.5米，把它画到纸上是长6厘米、宽3厘米的长方形。这是按比例尺是（    ）画的。 A．1∶2 B．1∶50 C．1∶5 D．50∶1 2．南京到上海的距离是270km，在一幅地图上量得它们之间的距离是27cm。这幅地图的比例尺是（    ）。 A． B． C． D． 3．把一个图形的每条边放大到原来的4倍，放大后的图形与原来图形对应边长的比是（    ）。 A． B． C． D． 4．如果把一个三角形按3∶1放大，那么下面说法正确的是（    ）。 A．放大后的图形的内角与原图形的内角比是3∶1 B．放大后的图形的边长与原图形的边长比是3∶1 C．放大后的图形的面积与原图形的面积比是3∶1 D．放大后的图形的周长与原图形的周长比是9∶1 5．园园和乐乐分别将教室的黑板画了下来，如下图。如果园园是按1∶m的比画的，那么乐乐是按（    ）的比画的。 A． B． C． D． 二、填空题 6．平移和旋转不改变图形的( )和( )，但会改变图形的位置。图形的放大和缩小只改变( )。在轴对称变换中，对应点到对称轴的( )相等。 7．某AI智能导航系统在绘制地图时，采用的比例尺是1∶40000000，量得甲地到乙地的图上距离是3.2厘米，两地的实际距离是( )千米。 8．中央处理器（CPU）是一台计算机的运算核心和控制核心，相当于计算机的心脏。现将一个长30毫米的CPU零件画在图纸上，长为18厘米，这张图纸的比例尺是( )。 9．一幅地图的线段比例尺是，它表示实际距离是图上距离的( )倍，改写成数值比例尺是( )。 10．如果把一个正方形按放大，放大前后边长的比是( )，面积的比是( )。 三、判断题 11．一幅零件图的比例尺是5∶1，说明图上距离比实际距离大。( ) 12．图上距离∶实际距离＝4cm∶2800cm＝，所以比例尺是比值。( ) 13．任何图上距离都小于实际距离。( ) 14．将一个图形按画在设计图上，这表示将图形放大。( ) 15．把一个三角形按2∶1放大后，它的每条边的长度和面积都扩大到原来的2倍。( ) 四、解答题 16．两列火车分别从济南、杭州两地同时相对开出，甲车每小时行125千米，乙车每小时行215千米。经过2.6小时两车相遇，那么在比例尺是1∶4000000的地图上，济南与杭州两地间的图上距离是多少厘米？ 17．一根竹竿长4m，直立在地面时，它的影子长2.5m。同一时间，量得一座楼房的影子长17.5m。这座楼房高多少米？ 18．在比例尺是1∶5000000的地图上，量得甲、乙两地之间的距离是19.6厘米，一辆快车和一辆慢车同时从甲、乙两地出发相向而行，3.5小时后两车相遇。已知快车和慢车的速度比是4∶3，这两辆车的速度各是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假培优讲义：比例的应用 知识梳理+例题讲解+培优练习 预习说明 1.预习目标：掌握比例在实际问题中的应用方法，能解决比例分配、比例尺、速度时间等常见问题。 2.预习方法：结合课本例题，分析比例关系，动手列式计算，标注疑问点，通过练习巩固解题思路。 3.预习重点：识别问题中的比例关系，正确设未知数，应用比例基本性质列方程求解。 知识梳理 1、比例应用的基本类型 （1）比例分配问题：将总量按一定比例分配给不同部分，如分配物品、资金等。 解题关键：先求出总份数，再根据比例计算各部分数量。 公式：某部分数量 = 总量 × 。 （2）比例尺问题：地图或图纸上的距离与实际距离的比例关系。 比例尺定义：图上距离:实际距离 = 比例尺。 应用公式： 图上距离 = 实际距离 × 比例尺 实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺 （3）速度/时间/路程比例问题：在路程一定时，速度与时间成反比例；在速度一定时，路程与时间成正比例。 正比例关系： （速度不变）。 反比例关系： （路程不变）。 2、解题步骤 ① 分析问题：找出已知量和未知量，确定比例关系（正比例或反比例）。 ② 设未知数：通常设所求量为 。 ③ 列比例式：根据比例关系写出比例式。 ④ 解比例：应用比例的基本性质（外项积 = 内项积）解方程。 ⑤ 检验结果：代入原问题验证是否合理。 3、注意事项 单位统一：计算前确保单位一致（如将千米化为米）。 比例方向：区分正比例（同向变化）和反比例（反向变化）。 实际意义：结果需符合生活实际（如人数不能为小数）。 例题讲解 【典型例题1】 六年级一班有45名学生，男生与女生的人数比是4:5。求男生和女生各有多少人？ 解析： 这是比例分配问题，总人数45人对应总份数4+5=9份。 男生人数 = （人）。 女生人数 = （人）。 答案：男生20人，女生25人。 【跟踪练习】 一个果园有60棵果树，苹果树与梨树的比是3:2。求苹果树和梨树各有多少棵？ 【典型例题2】 在一幅地图上，用5厘米表示实际距离150千米。这幅地图的比例尺是多少？ 解析： 比例尺 = 图上距离:实际距离。 先统一单位：150千米 = 15000000厘米。 比例尺 = 。 答案：这幅地图的比例尺是1:3000000。 【跟踪练习】 在一幅比例尺为1:200000的地图上，量得两地距离是8厘米。求两地的实际距离是多少千米？ 【典型例题3】 一辆汽车以每小时60千米的速度行驶，4小时可以到达目的地。如果速度提高到每小时80千米，需要多少小时到达？ 解析： 路程一定，速度与时间成反比例。 设需要 小时，则 。 解得 （小时）。 答案：需要3小时到达。 【跟踪练习】 小明骑自行车每分钟行200米，15分钟可以到学校。如果他每分钟行250米，需要多少分钟到学校？ 答案及解析 【跟踪练习1答案】 苹果树36棵，梨树24棵。 解析： 总份数 = 3+2=5份。 苹果树 = （棵）。 梨树 = （棵）。 【跟踪练习2答案】 实际距离是16千米。 解析： 实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺 = 厘米。 1600000厘米 = 16千米。 【跟踪练习3答案】 需要12分钟到学校。 解析： 路程一定，速度与时间成反比例。 设需要 分钟，则 。 解得 （分钟）。 培优练习 一、选择题 1．教室黑板的长是3米、高是1.5米，把它画到纸上是长6厘米、宽3厘米的长方形。这是按比例尺是（    ）画的。 A．1∶2 B．1∶50 C．1∶5 D．50∶1 【答案】B 【分析】比例尺表示图上距离与实际距离的比，公式为：比例尺＝图上距离∶实际距离。先统一单位 ，根据1米＝100厘米，则黑板实际长3米＝300厘米，黑板实际高1.5米＝150厘米。用图上距离∶实际距离，分别计算长和高的比例尺，长和高的比例尺一致，确定最终比例尺。 【详解】3米＝300厘米 1.5米＝150厘米 长的比例尺：6厘米∶300厘米 ＝6∶300 ＝（6÷6）∶（300÷6） ＝1∶50 高的比例尺：3厘米∶150厘米 ＝3∶150 ＝（3÷3）∶（150÷3） ＝1∶50 长和高的比例尺一致，因此这幅图的比例尺是1∶50。 故答案为：B 2．南京到上海的距离是270km，在一幅地图上量得它们之间的距离是27cm。这幅地图的比例尺是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】图上距离和实际距离已知，依据“”即可求得这张地图的比例尺。 【详解】 南京到上海的距离是270km，在一幅地图上量得它们之间的距离是27cm。这幅地图的比例尺是。 故答案为：A 3．把一个图形的每条边放大到原来的4倍，放大后的图形与原来图形对应边长的比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据把图形按照放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是；可知将每条边放大到原来的4倍，放大后的边长与原边长的比为；据此解答。 【详解】根据分析可得： 把一个图形的每条边放大到原来的4倍，放大后的图形与原来图形对应边长的比是（）。 故答案为：B 4．如果把一个三角形按3∶1放大，那么下面说法正确的是（    ）。 A．放大后的图形的内角与原图形的内角比是3∶1 B．放大后的图形的边长与原图形的边长比是3∶1 C．放大后的图形的面积与原图形的面积比是3∶1 D．放大后的图形的周长与原图形的周长比是9∶1 【答案】B 【分析】图形放大前后，图形的形状不变，所以 三角形放大后的内角与原图形相同，即内角比是1：1；把三角形按3：1放大，就是把三角形的各条边的长都放大到原来的3倍，所以 放大后的图形与原图形的边长比和周长比都是3：1，而面积比是。 【详解】 A.三角形的内角和始终是180°，放大图形不会改变内角的大小，所以内角比是1：1，该选项错误； B.按3：1放大，就是指各边的长度变为原来的3倍，因此放大后的边长与原图形边长比是3：1，该选项正确； C.三角形面积比是边长比的平方，即，不是3：1，该选项错误； D.周长是各边长度之和，放大后的周长与原周长比等于边长比，即3：1，不是9：1，该选项错误。 故答案为；B 5．园园和乐乐分别将教室的黑板画了下来，如下图。如果园园是按1∶m的比画的，那么乐乐是按（    ）的比画的。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从题图中看出乐乐画的黑板的长是园园的倍，即乐乐画的图上距离是园园的2倍，所以用园园的比例尺乘2即可得到乐乐的比例尺。再根据比的基本性质（比的前项和比的后项同时乘或除以同一个不为0的数比值不变）把比的前项化成1的比即可。据此解答。 【详解】 故答案为：A 二、填空题 6．平移和旋转不改变图形的( )和( )，但会改变图形的位置。图形的放大和缩小只改变( )。在轴对称变换中，对应点到对称轴的( )相等。 【答案】 形状 大小 大小 距离 【分析】平移是把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同； 旋转是把图形绕着一点旋转一定的角度，并没有改变图形的形状、大小； 将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分可以完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在轴对称变换中，对应点到对称轴的距离相等。 图形的放大与缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大与缩小后所得图形与原图形相比形状相同、大小不同，据此解答。 【详解】根据分析可得： 平移和旋转不改变图形的（形状）和（大小），但会改变图形的位置。图形的放大和缩小只改变（大小）。在轴对称变换中，对应点到对称轴的（距离）相等。 7．某AI智能导航系统在绘制地图时，采用的比例尺是1∶40000000，量得甲地到乙地的图上距离是3.2厘米，两地的实际距离是( )千米。 【答案】 1280 【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，则实际距离＝图上距离÷比例尺，比形式的比例尺可以写成分数形式，运用分数除法计算得出答案，再根据1千米＝100000厘米，得出答案。 【详解】两地的实际距离为： （厘米） 128000000厘米＝1280千米 因此两地的实际距离是1280千米。 8．中央处理器（CPU）是一台计算机的运算核心和控制核心，相当于计算机的心脏。现将一个长30毫米的CPU零件画在图纸上，长为18厘米，这张图纸的比例尺是( )。 【答案】6∶1 【分析】图上距离与实际距离的比叫做比例尺。先要将单位换算成统一的单位，1厘米＝10毫米，用30除以进率10即可换算为厘米，再将两个数的比化简成为最简整数比即可填空。 【详解】1厘米＝10毫米 30÷10＝3（厘米） 18厘米∶3厘米 ＝（18÷3）∶（3÷3） ＝6∶1 即这张图纸的比例尺是6∶1。 9．一幅地图的线段比例尺是，它表示实际距离是图上距离的( )倍，改写成数值比例尺是( )。 【答案】 5000000 【分析】根据线段比例尺可知图上1cm表示实际50km；50km＝5000000cm，用实际距离除以图上距离，求出实际距离是图上距离的几倍；根据比例尺的定义，比例尺＝图上距离：实际距离，写出数值比例尺，据此解答。 【详解】50km＝5000000cm 比例尺：1cm：50km＝1cm：5000000cm＝1：5000000 所以，一幅地图的线段比例尺是，它表示实际距离是图上距离的5000000倍，改写成数值比例尺是。 10．如果把一个正方形按放大，放大前后边长的比是( )，面积的比是( )。 【答案】 【分析】根据题意，假设原来正方形的边长为1份，放大后的边长为3份，所以放大前后边长的比是； 正方形的面积等于边长乘边长，分别计算放大前和放大后的面积，再求比；原来正方形的面积为（平方厘米），放大后正方形的面积为（平方厘米），所以面积比是。 【详解】因此，如果把一个正方形按放大，放大前后边长的比是，面积的比是。 三、判断题 11．一幅零件图的比例尺是5∶1，说明图上距离比实际距离大。( ) 【答案】 √ 【分析】图上距离与实际距离的比叫做比例尺。在绘制地图、建筑物平面图、零件等图纸时，需要把实际长度缩小或扩大一定的数值，这就要用到比例尺。比例尺5∶1表示图上距离与实际距离的比是5∶1，即图上距离是实际距离的5倍。因此，图上距离大于实际距离。 【详解】由分析可知，比例尺5∶1表示图上距离与实际距离的比是5∶1，即图上距离是实际距离的5倍，所以图上距离比实际距离大。原题说法正确。 故答案为：√ 12．图上距离∶实际距离＝4cm∶2800cm＝，所以比例尺是比值。( ) 【答案】× 【分析】比例尺的定义是图上距离与实际距离的比，通常写成前项为1的比的形式（如1∶700）。题目中将4cm∶2800cm化简为，虽然数值正确，但比例尺的正确表示应为比的形式，而非分数形式。 【详解】根据比例尺的定义：比例尺＝图上距离∶实际距离。题目中图上距离为4cm，实际距离为2800cm，化简得4∶2800＝1∶700。比例尺应表示为“1∶700”，而非分数“”。因此，题目中的结论错误。 故答案为：× 13．任何图上距离都小于实际距离。( ) 【答案】× 【分析】比例尺有两种，一种是放大的比例尺，图上距离大于实际距离；一种是缩小的比例尺，图上距离小于实际距离；据此解答。 【详解】根据分析可知，任何图纸上的距离不一定都小于实际距离。原题干说法错误。 故答案为：× 14．将一个图形按画在设计图上，这表示将图形放大。( ) 【答案】× 【分析】比例尺表示图上距离与实际距离的比。比例1：3表示图上距离为1份，实际距离为3份，因此图上距离小于实际距离，图形被缩小。试题中“将图形放大”的说法错误。 【详解】比例1：3表示图上距离与实际距离的比是1：3，即图上距离是实际距离的，因此图形被缩小到原来的，而不是放大。 故答案为：× 15．把一个三角形按2∶1放大后，它的每条边的长度和面积都扩大到原来的2倍。( ) 【答案】× 【分析】按比例放大图形时，边长扩大到原来的倍数与面积扩大的倍数不同。边长按比例放大，面积则按比例的平方放大。据此判断。 【详解】设三角形的底边为，对应边上的高为，则三角形的面积为。把一个三角形按2∶1放大后，那么三角形的底边为，对应边上的高为，则三角形的面积为，所以三角形的面积扩大的倍数为，所以三角形的面积扩大到原来的4倍。题目中认为面积扩大到原来的2倍是错误的。 故答案为：×。 四、解答题 16．两列火车分别从济南、杭州两地同时相对开出，甲车每小时行125千米，乙车每小时行215千米。经过2.6小时两车相遇，那么在比例尺是1∶4000000的地图上，济南与杭州两地间的图上距离是多少厘米？ 【答案】22.1厘米 【分析】根据速度和×相遇时间＝路程，代入数据求出济南、杭州两地的路程是多少千米，再根据1千米＝100000厘米把千米化成厘米，根据图上距离＝实际距离×比例尺，代入数据计算即可解答。 【详解】（125＋215）×2.6 ＝340×2.6 ＝884（千米） 884千米＝88400000厘米 88400000×＝22.1（厘米） 答：济南与杭州两地间的图上距离是22.1厘米。 17．一根竹竿长4m，直立在地面时，它的影子长2.5m。同一时间，量得一座楼房的影子长17.5m。这座楼房高多少米？ 【答案】 28米 【分析】根据同一时间、同一地点物体高度与影子长度成正比例关系，即物体高度与影子长度成正比例。设这座楼房高米，列方程得：。先根据比例的基本性质“在比例里，两个外项的积等于两个内项的积”化简方程，再根据等式的性质求出方程的解。据此解答。 【详解】解：设这座楼房高米。                                                答：这座楼房高28米。 18．在比例尺是1∶5000000的地图上，量得甲、乙两地之间的距离是19.6厘米，一辆快车和一辆慢车同时从甲、乙两地出发相向而行，3.5小时后两车相遇。已知快车和慢车的速度比是4∶3，这两辆车的速度各是多少？ 【答案】160千米/小时；120千米/小时 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，用19.6÷列式计算求出实际距离是多少厘米，再把厘米化成千米，再根据“速度和＝路程÷相遇时间”求出速度和，把快车和慢车的速度比看作份数比，用速度和除以总份数，求出1份是多少千米/小时，再分别乘快车和慢车的份数即可解答。 【详解】19.6÷＝19.6×5000000＝98000000（厘米） 98000000厘米＝980千米 980÷3.5＝280（千米/小时） 280÷（4＋3） ＝280÷7 ＝40（千米/小时） 40×4＝160（千米/小时） 40×3＝120（千米/小时） 答：快车的速度是160千米/小时，慢车的速度是120千米/小时。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $