寒假培优：比例的意义和基本性质（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

寒假培优讲义：比例的意义和基本性质 知识梳理+例题讲解+培优练习 预习说明 1.预习目标：理解比例的意义和基本性质，掌握判断比例和解比例的方法。 2.预习方法：结合课本内容，动手推导比例性质，标注疑问点，通过例题和练习巩固知识。 3.预习重点：比例的定义、内项与外项的识别、比例的基本性质应用。 知识梳理 1、比例的意义 （1）定义：表示两个比相等的式子叫做比例。例如，若 的比值等于 的比值，则 是比例。 （2）比例的项： 组成比例的四个数称为比例的项。 外项：比例两端的项（如 中， 和 是外项）。 内项：比例中间的项（如 中， 和 是内项）。 （3）判断方法：若两个比的比值相等，则能组成比例。例如，判断 和 是否成比例，计算 ，比值相等，所以能组成比例。 2、比例的基本性质 （1）内容：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。 （2）字母表示：若 ，则 （其中 ）。 （3）应用： 验证四个数能否组成比例（如2、3、4、6，因为 ，所以能组成比例）。 求比例中的未知项（如已知 ，由 可求得 ）。 3、解比例 （1）定义：求比例中未知项的过程。 （2）步骤： ① 根据比例的基本性质，将比例转化为方程（如 ）。 ② 解方程求未知数。 ③ 检验结果是否正确（代入原比例验证比值是否相等）。 （3）注意：解比例时需规范书写步骤，标注“解：”和“检验：”。 例题讲解 【典型例题1】 判断 和 能否组成比例，并说明理由。 解析： 计算比值： 因为比值相等，所以能组成比例 。 答案：能组成比例。 【跟踪练习】 判断 和 是否能组成比例。 【典型例题2】 已知比例 ，求 的值。 解析： 根据比例的基本性质： 解得 。 检验：代入原比例， ，比值均为 ，正确。 答案： 。 【跟踪练习】 在比例 中，求 的值。 【典型例题3】 解比例 。 解析： 根据比例的基本性质： 解得 。 检验：代入原比例， ，比值均为0.8，正确。 答案： 。 【跟踪练习】 解比例 。 培优练习 一、选择题 1．在下面各组比中，可以和4∶5组成比例的选项是（    ）。 A．2.5∶2 B．6∶10 C．1∶2.5 D．1.2∶1.5 2．珙桐有“中国鸽子树”之称，它的伴生树有天师栗等。一棵珙桐树高4m，它的伴生树是它高度的。下面能与4∶组成比例的是（    ）。 A．5∶4 B．5∶ C．∶5 D．4∶5 3．下面各比中，能与组成比例的是（    ）。 A． B． C． D． 4．在2∶3＝6∶9中，将2缩小到原来的，要使比例仍成立，需要（    ）。 A．把9缩小到原来的 B．把3缩小到原来的 C．把6扩大到原来的10倍 D．把3扩大到原来的10倍 5．甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加工100个，丙∶乙＝3∶4，甲∶（乙＋丙）＝2∶3，甲、乙、丙一共加工了（    ）个零件。 A．1750 B．1800 C．1850 D．1900 二、填空题 6．一个比例的两个内项之积是最小的质数，若其中一个外项是，则另一个外项是( )。 7．在比例中，如果将第一个比的后项加6，要使比例仍然成立，第二个比的前项应变成( )。 8．已知甲×43＝乙×60%，那么甲：乙＝( )。 9．一张直角三角形硬纸板，两直角边AB与BC的比是，AB长6cm。如果以AB边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积是( )。 10．把6x＝2×9改写成比例是( )∶2＝( )∶6。 三、判断题 11．在比例中，两个内项的积与两个外项的积的商是1。( ) 12．在一个比例中，两个内项之积为24，那么两个外项之积也为24。( ) 13．如果，那么13×3＝26×6。( ) 14．任意两个圆，它们各自的周长与直径的比一定能组成一个比例。( ) 15．（甲数和乙数都不等于0），那么甲数∶乙数＝15∶1。( ) 四、计算题 16．解比例。                      五、解答题 17．在比例中，若1.5加上4.5，则32要减去多少才能让这个比例成立？ 18．用同样的时间，师傅可以做18个零件，徒弟只能做12个零件。 (1)师徒两人做一个零件所用的时间比是多少？ (2)如果做一个零件师傅需要20分钟，徒弟需要多少分钟？ 19．甲乙两袋米共重440千克，甲袋米吃了，乙袋米吃了，这时甲乙两袋米的质量比为8∶5，两袋米原来各有多少千克？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假培优讲义：比例的意义和基本性质 知识梳理+例题讲解+培优练习 预习说明 1.预习目标：理解比例的意义和基本性质，掌握判断比例和解比例的方法。 2.预习方法：结合课本内容，动手推导比例性质，标注疑问点，通过例题和练习巩固知识。 3.预习重点：比例的定义、内项与外项的识别、比例的基本性质应用。 知识梳理 1、比例的意义 （1）定义：表示两个比相等的式子叫做比例。例如，若 的比值等于 的比值，则 是比例。 （2）比例的项： 组成比例的四个数称为比例的项。 外项：比例两端的项（如 中， 和 是外项）。 内项：比例中间的项（如 中， 和 是内项）。 （3）判断方法：若两个比的比值相等，则能组成比例。例如，判断 和 是否成比例，计算 ，比值相等，所以能组成比例。 2、比例的基本性质 （1）内容：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。 （2）字母表示：若 ，则 （其中 ）。 （3）应用： 验证四个数能否组成比例（如2、3、4、6，因为 ，所以能组成比例）。 求比例中的未知项（如已知 ，由 可求得 ）。 3、解比例 （1）定义：求比例中未知项的过程。 （2）步骤： ① 根据比例的基本性质，将比例转化为方程（如 ）。 ② 解方程求未知数。 ③ 检验结果是否正确（代入原比例验证比值是否相等）。 （3）注意：解比例时需规范书写步骤，标注“解：”和“检验：”。 例题讲解 【典型例题1】 判断 和 能否组成比例，并说明理由。 解析： 计算比值： 因为比值相等，所以能组成比例 。 答案：能组成比例。 【跟踪练习】 判断 和 是否能组成比例。 【典型例题2】 已知比例 ，求 的值。 解析： 根据比例的基本性质： 解得 。 检验：代入原比例， ，比值均为 ，正确。 答案： 。 【跟踪练习】 在比例 中，求 的值。 【典型例题3】 解比例 。 解析： 根据比例的基本性质： 解得 。 检验：代入原比例， ，比值均为0.8，正确。 答案： 。 【跟踪练习】 解比例 。 答案及解析 【跟踪练习1答案】 能组成比例。 解析： 比值相等，所以能组成比例。 【跟踪练习2答案】 。 解析： 根据比例的基本性质： 解得 。 检验：代入原比例， ，比值均为 ，正确。 【跟踪练习3答案】 。 解析： 根据比例的基本性质： 解得 。 检验：代入原比例， ，比值均为0.6，正确。 培优练习 一、选择题 1．在下面各组比中，可以和4∶5组成比例的选项是（    ）。 A．2.5∶2 B．6∶10 C．1∶2.5 D．1.2∶1.5 【答案】D 【分析】表示两个比相等的式子叫比例。据此求出4∶5的比值，再逐个求出每个选项的比值各是多少，然后根据比值相等的两个比能组成比例，判断出能与4∶5组成比例的是哪个选项。 先根据比的基本性质（比的前项和后项都乘或除以一个不为0的数，比值不变）化简比，再求比值。 【详解】4∶5＝，4∶5的比值是。 A.2.5∶2＝（2.5×2）∶（2×2）＝5∶4＝，与4∶5的比值不相等，不能组成比例； B．6∶10＝（6÷2）∶（10÷2）＝3∶5＝，与4∶5的比值不相等，不能组成比例； C．1∶2.5＝（1×2）∶（2.5×2）＝2∶5＝，与4∶5的比值不相等，不能组成比例； D．1.2∶1.5＝（1.2×10）∶（1.5×10）＝12∶15＝（12÷3）∶（15÷3）＝4∶5＝，与4∶5的比值相等，能组成比例。 只有D选项的比可以与4∶5组成比例。 故答案为：D 2．珙桐有“中国鸽子树”之称，它的伴生树有天师栗等。一棵珙桐树高4m，它的伴生树是它高度的。下面能与4∶组成比例的是（    ）。 A．5∶4 B．5∶ C．∶5 D．4∶5 【答案】B 【分析】要判断哪个选项能与4∶组成比例，先计算4∶的比值，再逐一计算选项的比值进行对比。比的比值等于前项除以后项，据此计算各选项，进而确定正确答案。 【详解】4∶＝4÷＝20 A．5∶4 ＝5÷4 ＝1.25 与20不相等，排除。 B．5∶ ＝5÷ ＝5×4 ＝20 与4∶的比值相等，符合要求。 C．∶5 ＝÷5 ＝× ＝ 与20不相等，排除。 D．4∶5 ＝4÷5 ＝0.8 与20不相等，排除。 能与4∶组成比例的是“5∶”。 故答案为：B 3．下面各比中，能与组成比例的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据比例的定义，表示两个比相等的式子叫做比例。计算的比值，再分别计算各个比的比值，比值相等，则可以组成比例；比值不相等，则不能组成比例，据此解答。 【详解】 A.，，不能与组成比例； B.，，不能与组成比例； C.，，能与组成比例； D.，，不能与组成比例。 故答案为：C 4．在2∶3＝6∶9中，将2缩小到原来的，要使比例仍成立，需要（    ）。 A．把9缩小到原来的 B．把3缩小到原来的 C．把6扩大到原来的10倍 D．把3扩大到原来的10倍 【答案】B 【分析】解答这道题需明确比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。在2∶3＝6∶9中，2×9＝3×6＝18。题目中已知“2缩小到原来的”，则外项2变为。分别计算四个选项的两外项的积和两内项的积，看是不是相等，据此判断即可。 【详解】根据分析： A．把9缩小到原来的 ，，，两个外项和两个内项的积不相等，比例不成立。 B．把3缩小到原来的 ，，，两个外项的积和两个内项的积相等，比例仍成立。 C．把6扩大到原来的10倍      ，，，两个外项和两个内项的积不相等，比例不成立。 D．把3扩大到原来的10倍 ，，，两个外项和两个内项的积不相等，比例不成立。 故答案为：B 【点睛】解答这道题的关键是熟知比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 5．甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加工100个，丙∶乙＝3∶4，甲∶（乙＋丙）＝2∶3，甲、乙、丙一共加工了（    ）个零件。 A．1750 B．1800 C．1850 D．1900 【答案】A 【分析】根据题意，设乙加工零件为个。已知甲比乙多加工100个，则甲加工（＋100）个；已知丙∶乙＝3∶4，即丙加工零件个数是乙的，也就是丙加工个； 根据甲∶（乙＋丙）＝2∶3，列出比例方程，并求出方程的解，即乙加工零件的个数，进而求出甲、丙加工零件的个数； 最后把三人加工零件的个数相加，求出他们一共加工零件的总个数。 【详解】解：设乙加工零件个，则甲加工零件为（＋100）个，丙加工零件为个。 （＋100）∶（＋）＝2∶3 2（＋）＝3（＋100） 2×＝3＋300 ＝3＋300 －3＝300 ＝300 ＝300÷ ＝300×2 ＝600 甲：600＋100＝700（个） 丙：600×＝450（个） 一共：700＋600＋450＝1750（个） 甲、乙、丙一共加工了1750个零件。 故答案为：A 【点睛】根据甲、乙、丙加工零件个数之间的关系，用未知数表示甲、乙、丙加工零件的个数，再根据已知的比例式列出比例方程是解题的关键。 二、填空题 6．一个比例的两个内项之积是最小的质数，若其中一个外项是，则另一个外项是( )。 【答案】11 【分析】最小的质数是2；根据比例的基本性质，内项之积等于外项之积；已知两个内项之积是2，两个外项之积也是2，一个外项是，用2除以即可求出另一个外项，据此解答。 【详解】由分析可知： 所以，一个比例的两个内项之积是最小的质数，若其中一个外项是，则另一个外项是11。 7．在比例中，如果将第一个比的后项加6，要使比例仍然成立，第二个比的前项应变成( )。 【答案】4 【分析】第一个比的后项原来是12，加6后变为18，原比例为，变化后第一个比为； 设变化后第二个比的前项为，则新比例为； 根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，计算即可。 【详解】 设变化后第二个比的前项为，                         所以要使比例仍然成立，第二个比的前项应变成4. 8．已知甲×43＝乙×60%，那么甲：乙＝( )。 【答案】 【分析】根据比例的基本性质，内项之积等于外项之积；在比例中，甲是外项、所以43也是外项，乙是内项、所以60%也是内项；化简后得到最简比即可，据此解答。 【详解】甲：乙＝ 因此，已知甲×43＝乙×60%，那么甲：乙＝。 9．一张直角三角形硬纸板，两直角边AB与BC的比是，AB长6cm。如果以AB边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积是( )。 【答案】904.32 【分析】已知AB与BC的比是，AB长6cm，设BC的长度为xcm，根据比例关系可得：，根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得（cm）； 当以AB边为轴旋转一周时，BC边为旋转后所形成圆锥的底面半径，AB边为圆锥的高，所以圆锥的底面半径，高； 将，，代入公式可得：（cm³）。 【详解】设BC的长度为xcm：        （cm³） 因此，一张直角三角形硬纸板，两直角边AB与BC的比是，AB长6cm。如果以AB边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积是904.32。 10．把6x＝2×9改写成比例是( )∶2＝( )∶6。 【答案】 x 9 【分析】根据比例的基本性质：内项×内项＝外项×外项，2和9为同一项，6和x为同一项，从后面的式子可知，2所在的是内项，所以9是另一个内项；6所在的是外项，所以x是另一个外项，根据分析填入答案即可。 【详解】因此，把改写成比例是。 三、判断题 11．在比例中，两个内项的积与两个外项的积的商是1。( ) 【答案】√ 【分析】比例的基本性质是：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。两个相同的数相除，商是1，据此分析。 【详解】在比例中，两个外项的积＝两个内项的积。所以，两个内项的积与两个外项的积的商是1，说法正确。 故答案为：√ 12．在一个比例中，两个内项之积为24，那么两个外项之积也为24。( ) 【答案】√ 【分析】比例的基本性质是：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积； 题干中已知两个内项之积为24，根据比例的基本性质，两个外项之积也应为24。 【详解】根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积，已知两个内项之积为24，所以两个外项之积也为24。 故答案为：√ 13．如果，那么13×3＝26×6。( ) 【答案】× 【分析】根据比例的基本性质，如果两个分数相等，则第一个分数的分子与第二个分数的分母的乘积等于第一个分数的分母与第二个分数的分子的乘积； 本题中，已知 ，因此应有 ，而非 ，两者不同，故结论错误。 【详解】由 ，根据比例的基本性质，得 ，说法错误。 故答案为：× 14．任意两个圆，它们各自的周长与直径的比一定能组成一个比例。( ) 【答案】√ 【分析】根据圆的周长公式C＝πd，可得周长与直径的比C∶d＝π。π是一个常数，对于任意圆都相同。因此，任意两个圆的周长与直径的比值都等于π，即比值相等。根据比例的定义（两个比值相等即可组成比例），该说法正确。 【详解】取第一个圆的直径为2厘米，则周长为π×2＝2π（厘米），周长与直径的比为2π∶2＝π。 取第二个圆的直径为4厘米，则周长为π×4＝4π（厘米），周长与直径的比为4π∶4＝π。 因为π＝π，所以2π∶2＝4π∶4，即两个比相等，能组成比例。 因此，任意两个圆，它们各自的周长与直径的比一定能组成一个比例，这句话说法正确。 故答案为：√ 15．（甲数和乙数都不等于0），那么甲数∶乙数＝15∶1。( ) 【答案】× 【分析】根据比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积，如果甲数×a＝乙数×b（a、b均不为0），则甲数∶乙数＝b∶a。本题中a＝，b＝，根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，化简为最简单的整数比，据此判断。 【详解】甲数×＝乙数× 甲数∶乙数＝∶ ＝（×20）∶（×20） ＝15∶16 与题干中的15∶1矛盾，因此甲数∶乙数＝15∶1的说法错误。 故答案为：× 四、计算题 16．解比例。                   【答案】；；； ；； 【分析】根据在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。解比例，据此解答。 【详解】解：                                 解：                                   解：                                                                                解：                             解：                                      解：                                              五、解答题 17．在比例中，若1.5加上4.5，则32要减去多少才能让这个比例成立？ 【答案】24 【分析】已知原比例中第一个外项为1.5，加上4.5后，新的第一个外项为6，根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，原比例内项为4和12，其积为48。变化后，一个外项为6，则另一个外项为8，原比例中第二个外项为32，变化后为8，所以32要减去的数值为24。 【详解】 答：32要减去24才能让这个比例成立。 18．用同样的时间，师傅可以做18个零件，徒弟只能做12个零件。 (1)师徒两人做一个零件所用的时间比是多少？ (2)如果做一个零件师傅需要20分钟，徒弟需要多少分钟？ 【答案】(1) (2) 30分钟 【分析】（1）已知相同时间内师傅做18个零件，设时间为单位“1”，则师傅做一个零件的时间为，相同时间内徒弟做12个零件，则徒弟做一个零件的时间为，所以师徒做一个零件的时间比为，化简得； （2）由第一问知师徒时间比为，设徒弟做一个零件需分钟，列出比例式，即 ，根据比例性质解比例即可。 【详解】（1） 答：师徒两人做一个零件所用的时间比是。 （2）解：设徒弟需要x分钟。                           答：徒弟需要30分钟. 19．甲乙两袋米共重440千克，甲袋米吃了，乙袋米吃了，这时甲乙两袋米的质量比为8∶5，两袋米原来各有多少千克？ 【答案】甲袋米原来有240千克，乙袋米原来有200千克 【分析】设甲袋原有大米千克，则乙袋原有大米千克；由“甲袋米吃了，”得出甲袋米剩下千克；由“乙袋米吃了，”得出乙袋米剩下，再根据“这时甲、乙两袋米的质量比为8：5”得出等量关系为：甲袋剩下米的质量乙袋剩下米的质量＝，据此列方程解答。 【详解】解：设甲袋原有大米千克，则乙袋原有大米千克。 乙原来：（千克） 答：甲袋米原来有240千克，乙袋米原来有200千克。 【点睛】列方程是解答应用题的一种有效的方法，解题的关键是弄清题意，找出应用题中的等量关系。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $