精品解析：新疆乌鲁木齐市第三十一中学2025-2026学年高一上学期12月第二次月考数学试题

2025-2026学年第一学期第二次月考 高一数学（问卷） （时间：120分钟 总分：150分 命题人：蒲海娜） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C.  D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若正实数满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 4. 函数的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 6. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，则的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的有（ ） A. 是第一象限角 B. 若是第三象限角，则是第二或第四象限角 C. 终边在轴上的角可表示为 D. 与终边相同 10. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 定义域为 B. 在上单调递减 C. 图象关于直线对称 D. 值域为 11. 关于幂函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，图象关于原点对称 B. 当时，定义域为 C. 所有幂函数都过点 D. 当时，函数在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个扇形的圆心角为2弧度，弧长为6，则该扇形的面积为__________． 13. 命题“”为真命题，则实数的最大值为__________． 14. 不等式的解集为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）化简； （2）已知，求的值． 16. 已知正实数满足 （1）求的最大值； （2）求的最小值． 17. 已知函数，且. （1）写出函数的解析式； （2）求的值； （3）若，求实数的值. 18. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）若对任意，都有恒成立，求实数的最大值． 19. 已知函数是奇函数． （1）求的定义域及实数a的值； （2）用单调性定义判定的单调性． 20. 已知函数，． （1）求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期第二次月考 高一数学（问卷） （时间：120分钟 总分：150分 命题人：蒲海娜） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C.  D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确； 故选：C. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得或，则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 若正实数满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据基本不等式的变形不等式可得. 【详解】因为正实数满足，由基本不等式， 当且仅当时等号成立，将代入得. 所以时，的最大值为4. 故选：B 4. 函数的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用配方法求二次函数最值即可. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 所以函数的最小值是2. 故选：B. 5. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意结合函数相等的定义，分析函数的对应关系和定义域，进而逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为，与的对应关系不相同， 所以不是同一个函数，故A错误； 对于选项B：因为的定义域为，的定义域为， 两者的定义域不相同，所以不是同一个函数，故B错误； 对于选项C：因为与，即对应关系相同， 且定义域均为，所以是同一个函数，故C正确； 对于选项D：因为与，即对应关系相同， 且定义域均为，所以是同一个函数，故D正确； 故选：CD. 6. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合分式、根式的意义列式求解即可. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域是. 故选：A. 7. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于ABD：举反例说明即可；对于C：根据不等式的性质分析判断即可. 【详解】因为， 对于选项AD：例如，符合， 但，，即，故AD错误； 对于选项B：例如，符合，但，故B错误； 对于选项C：因为，则， 可得，所以，故C正确； 故选：C 8. 设函数，则的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由零点存在性定理逐一判断即可. 【详解】因为和为增函数，所以也为增函数，因为 ，，所以根据零点存在性定理可知的零点一定位于区间内. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的有（ ） A. 是第一象限角 B. 若是第三象限角，则是第二或第四象限角 C. 终边在轴上的角可表示为 D. 与终边相同 【答案】ABCD 【解析】 【分析】根据象限角及终边相同的角直接判断可得. 【详解】对A：因为，所以与角终边相同，所以是第一象限角，故A正确； 对B：若是第三象限角，则，， 当时，，所以是第二象限角； 当时，，所以是第四象限角； 所以是第二或第四象限角，故B正确； 对C：当角的终边与终边相同时，，当角的终边与终边相同时，， 所以终边在轴上的角可表示为 ， 所以C正确； 对D：因为，所以与终边相同，故D正确. 故选：ABCD 10. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 定义域为 B. 在上单调递减 C. 图象关于直线对称 D. 值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AC：根据对数函数求函数的定义域，并判断对称性；对于BD：作出函数图象，结合图象判断单调性和值域. 【详解】由对数函数可知：函数的定义域为，故A正确； 且函数的定义域不关于直线对称，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误； 作出函数的图象，如图所示： 所以函数在上单调递减，值域为，故BD正确； 故选：ABD. 11. 关于幂函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，图象关于原点对称 B. 当时，定义域为 C. 所有幂函数都过点 D. 当时，函数在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接根据幂函数的图象和性质判断可得. 【详解】因为幂函数， 对A：若时，，所以函数图象关于原点对称，故A正确； 对B：若时，，所以函数的定义域为，故B错误； 对C：当时，，所以所有幂函数都过点，故C正确； 对D：由幂函数性质可知，当时，函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个扇形的圆心角为2弧度，弧长为6，则该扇形的面积为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】由弧度数公式可得扇形的半径，再由扇形面积公式可得. 【详解】因为扇形的圆心角为2弧度，弧长为6，即， 所以扇形的半径，再由扇形面积公式. 故答案为：9 13. 命题“”为真命题，则实数的最大值为__________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意可得，进而最值可得，即可得结果. 【详解】若命题“”为真命题，即， 因为，当且仅当时，等号成立， 可得，所以实数的最大值为0. 故答案为：0. 14. 不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】直接将分式化为，从而可解得答案. 【详解】由，则，解得 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）化简； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合诱导公式化简整理即可； （2）可得，根据齐次式问题化弦为切运算求解即可. 【小问1详解】 由题意可得：. 【小问2详解】 因为， 所以. 16. 已知正实数满足 （1）求的最大值； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合基本不等式运算求解即可； （2）根据题意利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可. 【小问1详解】 因为正实数满足， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 【小问2详解】 因为正实数满足， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 17. 已知函数，且. （1）写出函数的解析式； （2）求的值； （3）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知的函数值，求参数，即可得到结果. （2）根据函数解析式求函数值. （3）分情况讨论求实数的值. 【小问1详解】 由于，故，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，，. 【小问3详解】 当时，，解得，舍去. 当时，，解得或，其中不符合题意，舍去. 综上，. 18. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）若对任意，都有恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）可知1，3为方程的两根，结合韦达定理运算求解即可； （2）可知恒成立，结合判别式运算求解即可. 【小问1详解】 若不等式的解集为， 可知1，3为方程的两根， 则，解得， 检验符合题意，所以实数的值为2. 【小问2详解】 若对任意，都有恒成立，即恒成立， 则，解得， 所以实数的最大值为. 19. 已知函数是奇函数． （1）求的定义域及实数a的值； （2）用单调性定义判定的单调性． 【答案】（1）定义域为， （2）在、上单调递减 【解析】 【分析】（1）借助奇函数的性质计算即可得； （2）借助函数单调性的定义作差判断即可得. 【小问1详解】 由：，得，所以的定义域为， 因为是奇函数，则，即， 即，所以，则，所以； 【小问2详解】 ，， 则， 当时，，，，则， 即，所以在上单调递减， 当，，，，则， 即，所以在上单调递减， 故在、上单调递减. 20. 已知函数，． （1）求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值． 【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间是，. （2），此时；，此时. 【解析】 【分析】（1）由余弦函数的周期公式即可求得答案，再利用整体法即可得到单调减区间； （2），利用余弦函数的单调性即可求得其最小值和最大值及取得最值时的值. 【小问1详解】 的最小正周期， 当，即，时，单调递减， ∴的单调递减区间是，. 【小问2详解】 ∵，则， 故， ∴，此时，即， ，此时，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $