精品解析：广东清远市连州市2025—2026学年上学期期末核心素养监测 九年级数学

连州市2025-2026学年度第一学期期末核心素养监测 九年级数学 说明：监测工具共6页，23小题，分值120分．监测用时120分钟． 注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔填写学校、班级、姓名、试室号、座位号和考号，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案没写在答题卡指定位置无效． 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4.学生必须保持答题卡的整洁．监测时间结束后，将监测工具和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 如下图的三视图对应的物体是（ ） A. B. C. D. 3. 若是方程的一个根，则方程的另一个根是（ ） A. B. C. 1 D. 4 4. 下列各组图形中，不是位似图形的是 A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 若菱形的边长为5，一条对角线长为6，则菱形的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 20 D. 24 7. 小亮在进行一元二次方程估算根的过程中，列了如下表格，根据表格信息，该根的十分位上的数字是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1246 1560 “有2个人同月过生日”的频率 0.79 0.763 0.77 0.781 0.779 0.78 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是（ ） A. 0.79 B. 0.78 C. 0.77 D. 0.76 9. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由六月份的辆增加到八月份的辆，则该汽车六月至八月销售量平均每月增长率为（ ） A. B. C. D. 10. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 点，都在反比例函数的图象上，则___．（填“”或“”） 12. 一只不透明的袋子中，装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球有______个． 13. 如图，以正方形各边中点为顶点，可以组成一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为_______． 14. 将方程转化为的形式，则______． 15. 如图，边长为的正方形中，是对角线上的一点，且，点在上，过点作于点，于点，则的值为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16. 在解方程时，小王的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． （1）小王的解答过程从第几步开始出现错误？错误的原因是什么？ （2）请给出这道题的正确解答过程． 17. 已知：如图，在中，，是的平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形． 18. 某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． （1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______； （2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. 如图，某农户准备利用一面长为的墙，用总长度为的篱笆围成一个矩形养鸡场．鸡场的一边靠墙，另三边用篱笆围起来，围成矩形的鸡场四周不能有空隙． （1）若要围成鸡场的面积为，求鸡场的长和宽； （2）某超市购进该农户养的鸡，其成本价为每只鸡元．该超市计划以每只鸡元的价格出售，预计每天可售出只．经过市场调查发现，售价每降低元，每天可多售出只鸡．若该超市希望每天销售鸡的利润达到元，那么每只鸡的售价应定为多少元？ 20. 如图，在中，，点D是的中点，连接. （1）尺规作图：过点A作直线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，取的中点E，作射线交直线l于点F，连接．判断四边形的形状，并说明理由． 21. 综合与实践 为了加强视力保护意识，小北想在书房里挂一张测试距离为5m的视力表，但两面墙的距离只有3m．在一次综合实践课上，小北向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长）． 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长（光路图做法：作于点，延长线交于点，使得线段和关于对称）． （1）甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ （2）乙生的方案中，当视力表的全长为时，求平面镜的长． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分. 22. 综合运用 【问题背景】如下图，，是函数图象上的两点． （1）求的值； 【构建联系】 （2）连接，，，求的面积； 【深入探究】 （3）点在函数图象上，且，过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成一个矩形．是否存在不经过点的新矩形，使其周长和面积是原矩形的一半？说明理由． 23. 如下图，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且．连接，交于点，连接． （1）猜想与之间的关系？并说明理由； （2）若，求的度数； （3）如图2，延长交于点，连接，与交于点，与交于点，连接，若，猜想，的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 连州市2025-2026学年度第一学期期末核心素养监测 九年级数学 说明：监测工具共6页，23小题，分值120分．监测用时120分钟． 注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔填写学校、班级、姓名、试室号、座位号和考号，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案没写在答题卡指定位置无效． 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4.学生必须保持答题卡的整洁．监测时间结束后，将监测工具和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据条件式，结合比例的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， 故选：C． 2. 如下图的三视图对应的物体是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据三视图还原几何体，根据三视图进行判断即可，良好的空间想象能力，熟知三视图的确定方法，是解题的关键． 【详解】解：由三视图可知，对应的物体为： 故选D． 3. 若是方程的一个根，则方程的另一个根是（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，设方程的另一根为m，则有，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴方程的另一个根为1， 故选：C． 4. 下列各组图形中，不是位似图形的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】根据位似图形的定义，可得A，C，D是位似图形，A与C的位似中心是交点，D的为中心是圆心；B不是位似图形． 故选B． 【点睛】本题考查了位似图形的定义．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 6. 若菱形的边长为5，一条对角线长为6，则菱形的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 20 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，利用勾股定理求出另一条对角线的长度，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半可得答案． 【详解】解：如图所示，在菱形中，对角线交于点O，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7. 小亮在进行一元二次方程估算根的过程中，列了如下表格，根据表格信息，该根的十分位上的数字是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，中数据得到时，；时，，则可判断方程的一个根在和之间． 【详解】解：时，；时，， 方程的一个根在和之间，则该根的十分位上的数字是 故选：A． 8. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1246 1560 “有2个人同月过生日”的频率 0.79 0.763 0.77 0.781 0.779 0.78 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是（ ） A. 0.79 B. 0.78 C. 0.77 D. 0.76 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，当试验次数足够大时，频率的稳定值即为概率值，由表格数据可知，随着试验次数增加，频率在0.78附近波动并稳定，据此可得答案． 【详解】解：由表格中的数据可知，随着试验次数的增加，“有2个人同月过生日”的频率逐渐稳定在0.78附近 ∵大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值， ∴估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是0.78， 故选：B． 9. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由六月份的辆增加到八月份的辆，则该汽车六月至八月销售量平均每月增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平均增长率问题，设每月增长率为x，则七月份销售量为，八月份销售量为七月份的倍，即． 根据题意，八月份销售量为辆，可得方程为：，解方程，即可求解． 【详解】解：设每月增长率为x，根据题意得， ， 解得：（舍去） 答：该汽车六月至八月销售量平均每月增长率为 故选：D 10. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数、反比例函数图象与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：若，反比例函数过一、三象限，一次函数过一、三、四象限； 若，反比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、四象限． 故选：A． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 点，都在反比例函数的图象上，则___．（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】由反比例函数的图像性质得到在同一象限内，随的增大而减小，即可得到答案． 【详解】解：， 在同一象限内，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据反比例函数的图像性质判断出函数的增减性，熟练掌握函数的增减性是解题的关键． 12. 一只不透明的袋子中，装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球有______个． 【答案】4 【解析】 【分析】设有x个红球，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了简单的概率公式应用，解分式方程，熟练掌握公式和解方程是解题的关键． 【详解】解：设有x个红球，根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， 故有4个红球， 故答案为：4． 13. 如图，以正方形各边中点为顶点，可以组成一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握相似比的概念：相似多边形对应边的比叫做相似比是解题的关键．设正方形的边长为，根据勾股定理求出正方形的边长，即可求解． 【详解】解：如图，根据题意，设正方形的边长为， ∵、、、分别为正方形各边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴新正方形与原正方形的相似比， 故答案为：． 14. 将方程转化为的形式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据配方法解题即可． 本题考查了配方法的应用，求代数式的值，熟练掌握配方是解题的关键． 【详解】解：， 移项，得． 配方，得，即． 又． 解得． 故， 故答案为：． 15. 如图，边长为的正方形中，是对角线上的一点，且，点在上，过点作于点，于点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形性质，勾股定理，作于点，由正方形的性质可知为等腰直角三角形，根据正方形的边长为，得到，可求，利用面积法得，将面积公式代入即可． 【详解】解：连接，作于点，则，由正方形的性质可知， 为等腰直角三角形， 又∵正方形的边长为，则， 在直角三角形中， ， 又，， ，即， ， ． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16. 在解方程时，小王的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． （1）小王的解答过程从第几步开始出现错误？错误的原因是什么？ （2）请给出这道题的正确解答过程． 【答案】（1）第二步开始出现错误，见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法． （1）由方程两边都除以，没有考虑的情况，这会导致漏解，从而可得答案． （2）把方程移项化为，再利用因式分解的方法解方程即可． 【小问1详解】 解：第二步开始出现错误，错误的原因是方程两边都除以，但没有考虑的情况，这会导致漏解，因此小王的解答过程不正确； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴，即， ∴或． 解得：，． 17. 已知：如图，在中，，是的平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查了正方形、矩形的判定，角平分线的性质及等腰三角形的判定与性质．先根据已知条件得出，再由，利用三角形内角和定理得出，从而根据等腰三角形的判定可知，，证明出四边形是矩形，进而求得四边形是正方形． 【详解】略 18. 某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． （1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______； （2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用列表或画树状图求概率，概率公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张，运用概率公式进行计算，即可作答． （2）先理解题意，再画树状图，得到一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种，运用概率公式进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张， ∴将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：依题意，画树状图如下所示： ∴一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种， ∴这两个小组研究方向不同的概率． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. 如图，某农户准备利用一面长为的墙，用总长度为的篱笆围成一个矩形养鸡场．鸡场的一边靠墙，另三边用篱笆围起来，围成矩形的鸡场四周不能有空隙． （1）若要围成鸡场的面积为，求鸡场的长和宽； （2）某超市购进该农户养的鸡，其成本价为每只鸡元．该超市计划以每只鸡元的价格出售，预计每天可售出只．经过市场调查发现，售价每降低元，每天可多售出只鸡．若该超市希望每天销售鸡的利润达到元，那么每只鸡的售价应定为多少元？ 【答案】（1）长为，宽为 （2）元 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键，注意宽的取值范围． （1）设的长为 ，则，根据围成鸡场的面积为，建立一元二次方程，解方程，并根据题意取舍的值，即可求解； （2）设售价降低元，则售价定为元，根据天销售鸡的利润达到元，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设的长为 ，则， 得． 解得，． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 所以，鸡场的长为，宽为； 【小问2详解】 解：设售价降低元，则售价定为元， 得． 解得．此时． 所以，每只鸡的售价应定为元． 20. 如图，在中，，点D是的中点，连接. （1）尺规作图：过点A作直线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，取的中点E，作射线交直线l于点F，连接．判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 则直线l为所求． （2） 解：四边形是矩形．理由： 由（1）知， ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵，点D是的中点， ∴， 即． ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）利用尺规作图：作，根据内错角相等，两直线平行解答即可； （2）根据等腰三角形的性质，矩形的判定证明即可． 本题考查了角的基本作图，等腰三角形的性质，矩形的判定，熟练掌握性质和判定是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，只需作， 根据内错角相等，两直线平行，得， 【小问2详解】 略 21. 综合与实践 为了加强视力保护意识，小北想在书房里挂一张测试距离为5m的视力表，但两面墙的距离只有3m．在一次综合实践课上，小北向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长）． 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长（光路图做法：作于点，延长线交于点，使得线段和关于对称）． （1）甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ （2）乙生的方案中，当视力表的全长为时，求平面镜的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）证明，得到，代入相关数值即可求解； （2）证明，得到，求出，代入相关数值即可求解． 【小问1详解】 解：由题意知，， ， 又∵， ， ， 由题意知，，，， ， 解得， 即小视力表中相应“”的高是； 【小问2详解】 解：由题意知，， ∵，， ， ∵， ， ， 由题意知，，， ， ， ． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分. 22. 综合运用 【问题背景】如下图，，是函数图象上的两点． （1）求的值； 【构建联系】 （2）连接，，，求的面积； 【深入探究】 （3）点在函数图象上，且，过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成一个矩形．是否存在不经过点的新矩形，使其周长和面积是原矩形的一半？说明理由． 【答案】（1）6；（2）；（3）存在不经过点P的新矩形，使得周长和面积分别是原矩形的一半，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数与几何综合，解一元二次方程，熟知反比例函数的相关知识是解题的关键。 （1）把点A和点B的坐标代入反比例函数的解析式中可得，解方程即可得到答案； （2）过点A和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为点C，点D，根据列式求解即可； （3）根据题意可得点P在第一象限，则，设点是第一象限内的一点，过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成一个矩形，这个矩形满足题意，则，，求出s、t的值即可得到结论； 【详解】（1）解：∵，是函数图象上的两点， ∴， 解得， 即的值为； （2）解：如图所示，过点A和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为点C，点D， 由（1）得，，则， ∴ ； （3）解：存在不经过点P的新矩形，使得周长和面积分别是原矩形的一半，理由如下： 由（）知反比例函数的解析式为， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限 ∵点在函数图象上，且， ∴点P一定在第一象限， ∴原矩形的周长为，原矩形的面积为 ， 设点在第一象限，过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成一个矩形，这个矩形满足题意，则，， ∴， ∴，即， 解得或， ∴，或，， ∴或， ∴存在不经过点P的新矩形，使得周长和面积分别是原矩形的一半． 23. 如下图，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且．连接，交于点，连接． （1）猜想与之间的关系？并说明理由； （2）若，求的度数； （3）如图2，延长交于点，连接，与交于点，与交于点，连接，若，猜想，的数量关系，并证明． 【答案】（1）且，理由见详解 （2） （3），理由见详解 【解析】 【分析】（1）根据可得，则，，进而可得，则． （2）过E点作交于H点，根据证明，则可得，再根据等腰三角形三线合一可得，由三角形的外角的性质可得 ，则可得，进而可得． （3）由等腰直角三角形的性质可得，，由线段垂直平分线的性质可得，，由三角形内角和定理可得，进而可得，根据证明，则可得，又由可得，进而可得，，从而可得． 【小问1详解】 解： 且理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴且． 【小问2详解】 解：如图，过E点作交于H点， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵中， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：，理由如下： ∵，， ∴，且， ∴，， ∴， ∵和中，，， ∴， ∴， ∴ 即， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $