专题09 函数的概念、表示方法-（高教版）基础模块上册

专题09 函数的概念、表示方法 一、知识梳理 （1）函数的概念 设集合A是一个非空的实数集，对A内任意实数,按照某个确定的对应关系，有唯一确定的实数值与它对应，则称这种对应关系为集合A上的一个函数.记作 上式中为自变量，为因变量.自变量的取值集合A称为函数的定义域，对应的因变量的集合称为函数是值域. 函数时对应的因变量值，记作称为函数处的函数值. 定义域存在的依据： 分式的分母≠0； 偶次方根的被开方数≥0； 对数中真数＞0. （2）函数的表示方法 利用解析式表示函数的方法称为解析法，一次函数、一元二次函数、反比例函数等都是用解析法表示的； 利用图像表示函数的方法称为图像法； 通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表示函数的方法称为列表法． 当自变量在不同范围内取值时，需要用不同的解析式来表示，我们称这样的函数为分段函数．分段函数的定义域是自变量的各段不同取值范围的并集，值域是函数在各段不同取值范围的函数值的并集．分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数． 二、题型精练 题型1 函数的概念 【典例1】．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【典例2】．若函数 ，则 （    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【典例3】．已知函数，则 ． 题型2 函数的表示方法 【典例1】． 设，，则 . 【典例2】．已知函数，则函数（   ）. A． B． C． D． 【典例3】．已知函数，则 ． 三、知识检测 单选题 1．下列各点在函数图像上的是（   ）. A． B． C． D． 2．函数的定义域为 （   ）. A． B． C． D． 3．函数的定义域为 （   ）. A． B． C． D． 4．下列各函数中，与函数是同一函数的是（   ） A． B． C． D． 5．下列图形中，表示函数关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   6．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 9．函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 10．已知分段函数则的值为（   ） A．4 B．0 C．2 D． 11．设，则（　　 ） A．10 B．11 C．12 D．13 12．已知，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 填空题 13．已知函数，则 ． 14．已知函数，若，则 15．已知，则 ． 16．已知函数，则 ． 17．已知，则 ， ， ； ； 18．已知，则 19．已知函数，则 . 20．已知函数则 21．已知函数若，则 ． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 函数的概念、表示方法 一、知识梳理 （1）函数的概念 设集合A是一个非空的实数集，对A内任意实数,按照某个确定的对应关系，有唯一确定的实数值与它对应，则称这种对应关系为集合A上的一个函数.记作 上式中为自变量，为因变量.自变量的取值集合A称为函数的定义域，对应的因变量的集合称为函数是值域. 函数时对应的因变量值，记作称为函数处的函数值. 定义域存在的依据： 分式的分母≠0； 偶次方根的被开方数≥0； 对数中真数＞0. （2）函数的表示方法 利用解析式表示函数的方法称为解析法，一次函数、一元二次函数、反比例函数等都是用解析法表示的； 利用图像表示函数的方法称为图像法； 通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表示函数的方法称为列表法． 当自变量在不同范围内取值时，需要用不同的解析式来表示，我们称这样的函数为分段函数．分段函数的定义域是自变量的各段不同取值范围的并集，值域是函数在各段不同取值范围的函数值的并集．分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数． 二、题型精练 题型1 函数的概念 【典例1】．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式函数开偶次方根被开方数为非负数列式即可求解. 【详解】要使函数有意义， 则需使，解得或， 所以函数定义域为. 故选：A. 【典例2】．若函数 ，则 （    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】根据函数的解析式代入求解即可. 【详解】因为函数 ， 所以， ，所以 . 故选：A. 【典例3】．已知函数，则 ． 【答案】4 【分析】将代入函数解析式计算即可． 【详解】∵， ∴， 故答案为：4． 题型2 函数的表示方法 【典例1】． 设，，则 . 【答案】 【分析】根据复合函数的运算顺序，先求内层函数的值，再将其作为外层函数的自变量代入计算. 【详解】，， 则，， 故答案为：. 【典例2】．已知函数，则函数（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法可求. 【详解】令， 则， 则， 故选：D. 【典例3】．已知函数，则 ． 【答案】2 【分析】根据自变量的范围，选择相应的函数式，由内到外代入计算可求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：2 三、知识检测 单选题 1．下列各点在函数图像上的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各点代入解析式即可判断. 【详解】函数， 对于A，，A错误； 对于B，，定义域为，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误； 故选：C. 2．函数的定义域为 （   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 必须有， 解得或， 所以函数的定义域为， 故选：D. 3．函数的定义域为 （   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶次方根的被开方数大于或等于零求解即可. 【详解】要使函数有意义，则需满足， 因为对于任意实数，恒成立， 所以对于任意实数，恒成立， 即的解集为， 所以函数的定义域为. 故选：A. 4．下列各函数中，与函数是同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相等函数的定义逐项判断即可得解. 【详解】函数，定义域为， 选项，函数，定义域为，定义域不同，不是同一函数，故错误； 选项，函数，定义域为，定义域相同，但对应法则不同，不是同一函数，故错误 选项，函数，定义域为，定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数，故正确； 选项，函数，定义域为，定义域相同，但对应法则不同，不是同一函数，故错误， 故选：. 5．下列图形中，表示函数关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数的定义求解即可. 【详解】由函数的定义：对于非空实数集中的每一个，按照某个对应法则，都有唯一确定的实数y与它对应， 则称这个对应关系为集合上的函数. 选项A，当时，有四个与之对应，A错误； 选项B，当时，有两个与之对应，B错误； 选项C，对于任意时，只有唯一的与之对应，C正确； 选项D，当时，有两个与之对应，D错误. 故选：C. 6．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式被开方数非负及分式的分母不为零即可求解． 【详解】要使有意义， 则，则，， 故函数的定义域为：， 故选：C． 7．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分母不为零及二次根式的性质列出不等式组即可得解. 【详解】函数， 则，解得且，故函数的定义域为， 故选：. 8．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 必须有，即， 解得或， 所以函数的定义域是， 故选：B. 9．函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的定义域为各段函数定义域的并集即可得解. 【详解】函数， 当时，函数有定义；当时函数有定义， 所以函数定义域为， 故选：. 10．已知分段函数则的值为（   ） A．4 B．0 C．2 D． 【答案】C 【分析】先求出内层函数值，再求外层函数值即可. 【详解】由于，代入对应表达式， 故，由于， 代入对应的表达式， 因此． 故选：C. 11．设，则（　　 ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】由分段函数解析式求函数值即可得解. 【详解】函数， 则， 故选：. 12．已知，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的概念即可求解． 【详解】由题意设，则， 代入得，则． 故选：A． 填空题 13．已知函数，则 ． 【答案】 【分析】将代入函数中即可得解. 【详解】函数，则， 故答案为：. 14．已知函数，若，则 【答案】 【分析】根据题意，代入即可求值. 【详解】因为， 则， 故答案为： 15．已知，则 ． 【答案】1 【分析】根据函数值的概念，求解即可． 【详解】令，即；代入得：． 故答案为：. 16．已知函数，则 ． 【答案】 【分析】将代入中，求出函数解析式即可. 【详解】已知函数， ， 故答案为：. 17．已知，则 ， ， ； ； 【答案】 / 【分析】根据题意，结合具体函数求函数值，代入即可求解. 【详解】因为， 所以； ； ； ，； 故答案为：；；；. 18．已知，则 【答案】 【分析】利用换元法求函数解析式. 【详解】令，则, , 则 故答案为：. 19．已知函数，则 . 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式，代入求解即可. 【详解】因为，所以， 故答案为：. 20．已知函数则 【答案】0 【分析】根据题意，结合分段函数的解析式，代入即可求解. 【详解】， ． 故答案为：0. 21．已知函数若，则 ． 【答案】或 【分析】由分段函数解析式，分情况讨论解得. 【详解】当时，若， 解得，符合条件， 当，若， 解得或（舍去）， 综上，为或. 故答案为：或. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $