专题10 函数的单调性、奇偶性-（高教版）基础模块上册

专题10 函数的单调性、奇偶性 一、知识梳理 （1）函数的单调性 设函数y=f(x)的定义域为D，区间I⊆D． 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么称函数y=f(x)在区间I上是增函数，区间I称为函数y=f(x)的增区间．如图（1）所示．（同号为增）． 如果对于区间I上的任意两点x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么称函数y=f(x)在区间I上是减函数，区间I称为函数y=f(x)的减区间．如图（2）所示．（异号为减）． 如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y=f(x)在区间I上具有单调性，区间I称为单调区间．增区间也称为单调增区间，减区间也称为单调减区间． （2）函数的奇偶性（前提：定义域必须关于原点对称.） 设函数y=f(x)的定义域为数集D，若对于任意的x∈D，都有−x∈D，且f(−x)=f(x)，则称y=f(x)是偶函数．偶函数的图像关于y轴对称． 设函数y=f(x)的定义域为数集D，若对于任意的x∈D，都有−x∈D，且f(−x)=−f(x)，则称y=f(x)是奇函数．奇函数的图像关于原点中心对称． 二、题型精练 题型1 函数的单调性 【典例1】．如图，下列关于函数的单调性的说法不正确的是（   ）. A．在上是增函数 B．在上是增函数 C．在上是减函数 D．在上是减函数 【答案】D 【分析】根据图像判断函数的单调性即可得解. 【详解】由图像可知，在上是增函数，故选项正确； 在上是增函数，故选项正确； 在上是减函数，故选项正确； 在上先增后减，故选项错误； 故选：. 【典例2】．已知函数在上是减函数，m的取值范围为 【答案】 【分析】根据一次函数为减函数，由此列不等式求解即可. 【详解】已知函数为一次函数， 由其在上是减函数，得，解得， 所以m的取值范围为， 故答案为：. 题型2 函数的奇偶性 【典例1】．下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质，函数满足即可得解. 【详解】A.定义域为，关于原点对称，，，故为非奇非偶函数； B. 定义域为，关于原点对称，，故为偶函数； C. 定义域为，关于原点对称，，故为奇函数； D. 定义域为，关于原点对称，，故为奇函数. 故选：B. 【典例2】．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性和单调性，即可求解. 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数， 所以， 因为函数在上是增函数， 所以，即. 故选：C. 【典例3】．若函数为奇函数，则 ． 【答案】 【分析】由奇函数定义，集合嵌套函数运算即可. 【详解】已知是奇函数，当，，， 且，解得， 所以， 则， 故答案为：. 三、知识检测 单选题 1．若函数在上是减函数，则（   ）. A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】根据函数单调性求解即可. 【详解】因为函数在上是减函数，，所以. 故选：B. 2．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的开口方向和对称轴即可求解. 【详解】函数开口向下，对称轴为， 所以单调递减区间为. 故选：C. 3．函数的增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出二次函数的对称轴，即可求解增区间. 【详解】因为函数为， 对称轴为， 因为， 所以函数图像开口向上， 所以函数的增区间为. 故选:C. 4．已知函数是R上的减函数，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D．无法比较与的大小 【答案】B 【分析】由函数的单调性即可得解. 【详解】因为函数是R上的减函数，且， 所以. 故选：B. 5．如下图所示，在同一个平面直角坐标系中，函数和函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数与一次函数的图像与性质可判断. 【详解】，，开口向下，故排除AC； ，，为增函数，故排除CD； 故选：B； 6．函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】因为， 所以函数图像开口向上，对称轴为， 所以函数的单调减区间为. 故选：C. 7．如图，其中表示减函数的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据减函数的定义求解即可. 【详解】根据减函数的定义知，如果函数在区间上是减函数，其图象的特征是从左到右呈下降趋势，仅有选项符合题意. 故选：D. 8．若二次函数在上是减函数，在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意知， 二次函数在上是减函数，在上是增函数， 即对称轴为直线，则， 所以. 故选：D. 9．二次函数的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据二次函数的最大值求解即可. 【详解】二次函数的对称轴为，开口向下. 所以当时，函数有最大值为. 故选：C. 10．若 在 上是减函数，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据减函数的定义比较大小即可. 【详解】由于 在 上单调递减，自变量越大，函数值越小， 比较自变量大小得， 因此函数值关系为， 故选：C. 11．下列函数关于轴对称的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性即可判断. 【详解】对A：函数的定义域为R，且， 所以函数是奇函数，函数图象关于原点对称，故A项错误； 对B：函数的定义域为R，且， 所以函数既不是奇函数也不是偶函数，故函数图象不关于轴对称，故B项错误； 对C：函数的定义域为R，且， 所以函数是偶函数，故函数图象关于轴对称，故C项正确； 对D：函数的定义域为R，且， 所以函数是奇函数，故函数图象关于原点对称，故D项错误. 故选：D. 12．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和单调性易得答案. 【详解】A:是奇函数在定义域内单调递减,故错误, B:是奇函数在定义域内单调递增,故正确, C:是非奇非偶函数,故错误, D:是偶函数,故错误. 故选:B. 13．下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C．， D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义即可求解. 【详解】对A，令，定义域为，又， 所以是偶函数，故A正确. 对B，令，定义域为，又， 所以是奇函数，故B错误. 对C，定义域为，所以是非奇非偶函数，故C错误. 对D，令，定义域为，又， 所以是奇函数，故D错误. 故选：A. 14．下列函数既是奇函数又是偶函数的是（   ） . A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性求解即可. 【详解】选项A：定义域为，且，所以不是偶函数，A错误. 选项B：定义域为，且，所以不是奇函数，B错误. 选项C：定义域为，关于原点不对称，即不是奇函数也不是偶函数，C错误. 选项D：定义域为，且，即是奇函数也是偶函数，D正确. 故选：D. 15．点关于轴对称的点的坐标是 （   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在平面直角坐标系中，关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，进而求解即可. 【详解】因为在平面直角坐标系中，关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等， 所以点关于轴对称的点的坐标是， 故选：B. 填空题 16．函数在区间上的最大值是 . 【答案】26 【分析】求解二次函数的对称轴即可知函数在上的单调性即可求解最大值. 【详解】因为函数为， 所以， 对称轴为，函数图像开口向上， 所以函数在区间上单调递减， 所以当时，函数有最大值为. 故答案为：26. 17．若偶函数在上单调递减，则 （用，，填空）． 【答案】 【分析】由单调性可得，再根据函数的奇偶性可得结果. 【详解】因为在上单调递减，所以. 又因为是偶函数，所以， 所以. 故答案为： 18．如图，给出奇函数的局部图象，则的值为 .    【答案】 【分析】根据函数的奇偶性即可得解. 【详解】由图象可知，， 又因为函数为奇函数， 所以. 故答案为：. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 函数的单调性、奇偶性 一、知识梳理 （1）函数的单调性 设函数y=f(x)的定义域为D，区间I⊆D． 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么称函数y=f(x)在区间I上是增函数，区间I称为函数y=f(x)的增区间．如图（1）所示．（同号为增）． 如果对于区间I上的任意两点x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么称函数y=f(x)在区间I上是减函数，区间I称为函数y=f(x)的减区间．如图（2）所示．（异号为减）． 如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y=f(x)在区间I上具有单调性，区间I称为单调区间．增区间也称为单调增区间，减区间也称为单调减区间． （2）函数的奇偶性（前提：定义域必须关于原点对称.） 设函数y=f(x)的定义域为数集D，若对于任意的x∈D，都有−x∈D，且f(−x)=f(x)，则称y=f(x)是偶函数．偶函数的图像关于y轴对称． 设函数y=f(x)的定义域为数集D，若对于任意的x∈D，都有−x∈D，且f(−x)=−f(x)，则称y=f(x)是奇函数．奇函数的图像关于原点中心对称． 二、题型精练 题型1 函数的单调性 【典例1】．如图，下列关于函数的单调性的说法不正确的是（   ）. A．在上是增函数 B．在上是增函数 C．在上是减函数 D．在上是减函数 【典例2】．已知函数在上是减函数，m的取值范围为 题型2 函数的奇偶性 【典例1】．下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【典例3】．若函数为奇函数，则 ． 三、知识检测 单选题 1．若函数在上是减函数，则（   ）. A． B． C． D．无法判断 2．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 3．函数的增区间是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数是R上的减函数，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D．无法比较与的大小 5．如下图所示，在同一个平面直角坐标系中，函数和函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 6．函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 7．如图，其中表示减函数的是（   ）. A． B． C． D． 8．若二次函数在上是减函数，在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 9．二次函数的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．若 在 上是减函数，则 （    ） A． B． C． D． 11．下列函数关于轴对称的是（    ）. A． B． C． D． 12．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递增的是（    ） A． B． C． D． 13．下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C．， D． 14．下列函数既是奇函数又是偶函数的是（   ） . A． B． C． D． 15．点关于轴对称的点的坐标是 （   ）. A． B． C． D． 填空题 16．函数在区间上的最大值是 . 17．若偶函数在上单调递减，则 （用，，填空）． 18．如图，给出奇函数的局部图象，则的值为 .    1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $