第六章 三角计算（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一下册》高教版2023修订版）

编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第六章三角计算的单元测试卷，主要考查和角公式、二倍角公式、利用正弦余弦定理解三角形、正弦型函数的图像和性质、三角计算的应用。 第六章 三角计算 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 计算：sincos=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正弦的二倍角公式。 【详解】要计算 sincos，可以利用正弦的二倍角公式：sin2θ=2sinθcosθ 从而有sinθcosθ=sin2θ，令 θ=，则 2θ=，代入公式：sincos=sin​ 已知 sin=，所以：×=，因此，sincos=。故B选项正确 故选：B. 2．已知cos(α-β)cosα+sin(α-β)sinα=，则cosβ=（ ） A． B． C．- D．- 【答案】B 【分析】本题考查的是两角差的余弦公式。 【详解】因为cos(α−β)cosα+sin(α−β)sinα=. 根据两角差的余弦公式：cos(x−y)=cosxcosy+sinxsiny,令 x=α−β，y=α，则左边即为 cos((α−β)−α)=cos(−β)=cosβ。因此有：cosβ=. 故所求 cosβ的值为，故B选项正确 故选：B. 3．函数f(x)=2sin(5x+)的最小正周期为（ ） A． B． C． D．2π 【答案】B 【分析】本题考察的是正弦型函数的周期。 【详解】函数 f(x)=2sin(5x+)的最小正周期为 T=。 本题中 ω=5，所以：T=.因此，函数的最小正周期为 ，故B选项正确； 故选：B 4. 计算：=（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查两角差公式及互补角公式的运用。 【详解】‌简化分母‌：利用互补角公式 sin70°=cos20°（因为 sin(90°−x)=cosx) 表达式变为 ,‌展开分子中的 sin20°‌： 使用两角差公式 sin(30°−10°)=sin30°cos10°−cos30°sin10°=cos10°−sin10°， 因此：2cos10°−sin20°=2cos10°−(cos10°−sin10°)=cos10°+sin10° ‌合并分子项‌：将cos10°+sin10°重写为(cos10°+sin10°)=⋅sin70°（因为 cos10°+sin10°=sin(60°+10°)=sin70° ‌最终计算‌：=⋅=⋅1=（因 sin70°=cos20°）.故C选项正确. 故选：C 5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,若a=5，b=3，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正弦定理。 【详解】在 △ABC 中，由正弦定理：==2R 可得：=​，代入已知 a=5，b=3，得：=，故选项A正确 故选：A. 6. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,若==，则该三角形的形状是（ ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】由已知可得acosA=bcosB,由余弦定理可得a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),又由已知可得b2=2a2,联立解得c2=3a2=a2+b2,利用勾股定理即可得解三角形的形状。 【详解】因为=，可得：acosA=bcosB，由余弦定理可得：a，整理可得：a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)，（1） 因为=，可得：b2=2a2,（2） 由（1）（2）解得：c2=3a2=a2+b2，故A选项正确。 故选：A. 7. 已知角α为第二象限角，且sinα=，则sin2α=（ ） A． B．- C． D．- 【答案】D 【分析】本题考察的是二倍角公式。 【详解】已知 α为第二象限角，且 sinα=，则 cosα=−=−1−=−.由二倍角公式 sin2α=2sinαcosα，得 sin2α=2⋅⋅(−)=−.，故选项D正确。 故选：D. 8. 函数f(x)=4sin(2x+)+3的最小值为（ ） A．-1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查的是正弦型函数的最值。 【详解】函数 f(x)=4sin(2x+)+3的最小值由正弦函数的值域决定。 对于任意 θ，sinθ∈[−1,1]。因此 4sin(2x+)∈[−4,4]。 进而 f(x)=4sin(2x+)+3∈[−1,7]。所以函数的最小值为−1，故选项A正确。 故选：A. 9. 在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c,已知b=2，A=45°，B=60°，则a=（ ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考察的是正弦定理的运用。 【详解】在 △ABC中，已知 b=2，A=45°，B=60°，由正弦定理： =​可得：a=b⋅=2⋅=2⋅=，因此，a=，故选项A正确。 故选：A. 10. 在△ABC中，已知a=3，b=4，cosC=，则△ABC的面积为（ ） A．9 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的面积公式。 【详解】在 △ABC 中，已知 a=3，b=4，cosC=。由 cosC=得 cos2C=， 则 sin2C=1−cos2C=1−=。由于 C是三角形内角，sinC>0，所以 sinC=。 三角形面积公式为 S=absinC，代入得：S=×3×4×=. 故 △ABC 的面积为 。故选项B正确 故选：B. 11. 已知函数f(x)=cos2x-sin2x，则f(x)的最大值与最小值的差为（ ） A．1 B. 2 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查二倍角公式和函数最值。 【详解】函数 f(x)=cos2x−sin2x可化为二倍角公式 cos2x，即f(x)=cos2x.. 余弦函数的值域为 [−1,1]，故 f(x)的最大值为1，最小值为-1，其差为1−(−1)=2，故B选项正确。 故选：B. 12. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为π，将该函数的图像向左平移个单位后，得到的图像对应的函数为奇函数，则f(x)的图像（ ） A．关于点(，0)对称 B．关于直线x=对称 C. 关于点(，0)对称 D．关于直线x=对称 【答案】B 【分析】本题考查的是正弦型函数的图像 【详解】已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，∣φ∣<）的最小正周期为 π，则 ω=2，即 f(x)=sin(2x+φ)。将该函数的图像向左平移 个单位，得到函数 g(x)=sin(2(x+)+φ)=sin(2x++φ)。因为 g(x)为奇函数，所以+φ=kπ（k∈Z）。结合 ∣φ∣<，解得 k=0，φ=−。因此 f(x)=sin(2x−)。正弦函数 sin(2x−)的对称轴满足 2x−=+kπ（k∈Z），解得 x=+。 当 k=0时，x=，即函数图像关于直线 x=对称。对称中心满足 2x−=kπ（k∈Z），解得 x=+，点 (,0)和 (,0)均不满足，故选项B正确 故选：B. 13. 在△ABC中，若sinA>sinB，则A与B的大小关系为（ ） A．A>B B．A<B C． A≤B D. A，B大小关系不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查正弦定理的运用。 【详解】在 △ABC△ABC 中，由正弦定理 ==2R可得 sinA>sinB等价于 a>b。在三角形中，根据大边对大角，由 a>b 可得 A>B。因此，A与 B的大小关系为 A>B因此，A 选项正确。 故选：A 14. 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a=2bsinA，则B=（ ） A． B. C．或 D． 或 【答案】C 【分析】本题考察的是三角形中给边求角结合正弦定理。 【详解】由已知条件 a=2bsinA，结合正弦定理 =，可得 a=.代入已知等式：⋅=2bsinA.因为 b≠0，sinA≠0，两边约去 bsinA 得 =2,即sinB=.由于 B 是三角形内角，0<B<π，所以B=或B=。因此，C选项正确。 故选：C 15. 已知tan(α+β)=，tan(β-)=，则tan(α+)=（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考察正切的差角公式。 【详解】已知 tan(α+β)=，tan(β−)=，则 α+=(α+β)−(β−)， 利用正切差角公式：tan(α+)===.，故选项B正确。 故选：B. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知sinα+cosα=，则sin2α=______。 【答案】1 【分析】本题主要考查二倍角公式。 【详解】由 sinα+cosα=，两边平方得：(sinα+cosα)2=2,即： sin2α+cos2α+2sinαcosα=2.因为 sin2α+cos2α=1，代入得：1+2sinαcosα=2，根据二倍角公式，1+sin2α=2解得：sin2α=1. 17. 函数y=sin(11π+x)cos(7π+x)的最小正周期是______。 【答案】π 【分析】本题主要考查正弦型函数的周期。 【详解】函数 y=sin(11π+x)cos(7π+x) 可化简为：sin(11π+x)=sin(π+x)=−sinx, cos(7π+x)=cos(π+x)=−cosx,所以y=(−sinx)(−cosx)=sinxcosx=sin2x. 函数 sin2x的最小正周期为 T==π。 18.已知角α为锐角，且cos(α+)=-，则tan2α=______。 【答案】 【分析】本题考察诱导公式和二倍角公式的综合应用。 【详解】已知 α 为锐角，且 cos(α+)=。利用诱导公式：cos(α+)=−sinα， 得−sinα=−⇒sinα=.由 sin2α+cos2α=1得cosα===. 因此tanα===.由二倍角公式 tan2α=，得tan2α===. 19. 在△ABC中，已知a=2，b=3，cosB=，则sinA=______。 【答案】 【分析】本题主要考查正弦定理的运用。 【详解】在 △ABC 中，已知 a=2，b=3，cosB=。由 cosB=得 sinB==。 由正弦定理 =得：sinA===.因此，sinA=。 20.函数y=sin3x的图像向左平移______个单位所得图像的解析式是y=sin(3x+)。 【答案】 【分析】本题主要考查正弦型函数的图像。 【详解】设函数 y=sin3x的图像向左平移 φ 个单位，根据平移规律，新函数为： y=sin3(x+φ)=sin(3x+3φ).已知平移后的函数为 y=sin(3x+)，比较可得： 3φ=⇒φ=.因此，应向左平移个单位。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知sinα=-，α∈(π，)，求sin2α，cos2α，tan2α的值. 【答案】、、 【分析】本题主要考查二倍角公式。 【详解】因为sinα=-，α∈(π，)，所以cosα=-，所以tanα== 所以sin2α=2sinαcosα=2×()()=；cos2α=cos2α-sin2α=()2()2=；tan2α=== . 22．已知函数y=sin2x-cos2x，求函数的最大值、最小值和周期. 【答案】最大值2，最小值-2，周期π 【分析】本题考查的是正弦型函数的性质。 【详解】y=2(sin2x-cos2x)=2(sin2xcos-cos2xsin)=2sin(2x-)， 所以ymax=2，ymin=-2，T==π. 23．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若B=C，ab=64，三角形的面积S=16，求b的值. 【答案】8 【分析】本题主要考查正弦定理及三角形面积公式。 【详解】在 △ABC中，由 B=C得 b=c。已知 ab=64，面积 S=16。 由面积公式 S=b2sinA=16，得b2sinA=32 . (1) 由 ab=64得 a=。根据正弦定理 =，代入a 得=⇒b2=64⋅.(2) 将 (1) 代入 (2)：=64⋅⇒32=64sinB⇒sinB=.由于 B=C 且为三角形内角，故 B 为锐角，B=。进而 A=π−2B=，sinA=sin=。代入 (1)：b2⋅=32⇒b2=64⇒b=8. 24. 已知f(x)=sinx+sin(-x). (1)若α∈[0，]，且sin2α=，求f(α)的值； (2)若x∈[0，]，求f(x)的单调递增区间. 【答案】(1)；(2)[0，] 【分析】本题考察的是二倍角公式和辅助角公式及正弦型函数单调区间。 【详解】（1）由题设知f(α)=sinα+cosα，因为sin2α==2sinα·cosα>0, α∈[0，]，所以α∈(0，)，sinα+cosα>0。由(sinα+cosα)2=1+2sinα·cosα=，得sinα+cosα=，所以f(α)=. （2）由（1）知f(x)=sin(x+)，又0≤x≤π，所以f(x)的单调递增区间为[0，]. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第六章三角计算的单元测试卷，主要考查和角公式、二倍角公式、利用正弦余弦定理解三角形、正弦型函数的图像和性质、三角计算的应用。 第六章 三角计算 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．计算：sincos=（    ） A． B． C． D． 2．已知cos(α-β)cosα+sin(α-β)sinα=，则cosβ=（ ） A． B． C．- D．- 3．函数f(x)=2sin(5x+)的最小正周期为（ ） A． B． C． D．2π 4. 计算：=（ ） A． B． C． D． 5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,若a=5，b=3，则的值是（ ） A． B． C． D． 6. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,若==，则该三角形的形状是（ ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 7. 已知角α为第二象限角，且sinα=，则sin2α=（ ） A． B．- C． D．- 8. 函数f(x)=4sin(2x+)+3的最小值为（ ） A．-1 B．3 C．5 D．7 9. 在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c,已知b=2，A=45°，B=60°，则a=（ ） A． B．2 C．2 D．4 10. 在△ABC中，已知a=3，b=4，cosC=，则△ABC的面积为（ ） A．9 B． C．3 D． 11. 已知函数f(x)=cos2x-sin2x，则f(x)的最大值与最小值的差为（ ） A．1 B. 2 C．4 D． 12. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为π，将该函数的图像向左平移个单位后，得到的图像对应的函数为奇函数，则f(x)的图像（ ） A．关于点(，0)对称 B．关于直线x=对称 C.关于点(，0)对称 D．关于直线x=对称 13. 在△ABC中，若sinA>sinB，则A与B的大小关系为（ ） A．A>B B．A<B C． A≤B D. A，B大小关系不能确定 14. 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a=2bsinA，则B=（ ） A． B. C．或 D． 或 15.已知tan(α+β)=，tan(β-)=，则tan(α+)=（ ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知sinα+cosα=，则sin2α=______。 17. 函数y=sin(11π+x)cos(7π+x)的最小正周期是______。 18. 已知角α为锐角，且cos(α+)=-，则tan2α=______。 19. 在△ABC中，已知a=2，b=3，cosB=，则sinA=______。 20. 函数y=sin3x的图像向左平移______个单位所得图像的解析式是y=sin(3x+)。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知sinα=-，α∈(π，)，求sin2α，cos2α，tan2α的值. 22.已知函数y=sin2x-cos2x，求函数的最大值、最小值和周期. 23．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若B=C，ab=64，三角形的面积S=16，求b的值. 24. 已知f(x)=sinx+sin(-x). (1) 若α∈[0，]，且sin2α=，求f(α)的值； (2) 若x∈[0，]，求f(x)的单调递增区间. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $