第六章 三角计算（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一下册》高教版2023修订版）

编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第六章三角计算的考点梳理卷，主要梳理和考查了和角公式、二倍角公式、利用正弦余弦定理解三角形、正弦型函数的图像和性质、三角计算的应用等常见考点。 第六章 三角计算 目录 考点一 和角公式直接应用 1 考点二 给值求值 2 考点三 给值求角 3 考点四 辅助角公式 4 考点五 根据正弦型函数的图像求解析式 4 考点六 利用正、余弦定理解三角形 5 考点七 三角形面积公式 6 考点八 二倍角公式 7 考点九 三角函数的周期和单调区间 8 考点十 三角计算的应用 8 考点一 和角公式直接应用 1．计算cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)= 。 【答案】 【分析】本题主要考查余弦的差角公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，以及诱导公式。 【详解】根据余弦的差角公式： cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=cos(α−35°−25°+α)=cos(-60°) 根据诱导公式：cos(-60°)=cos60°=. 2. 计算：= 。 【答案】1 【分析】本题主要考查正切的差角公式tan(α+β)=。 【详解】=====(45°+15°)=(60°)==1. 考点二 给值求值 3. 已知sinα=-，sinβ=，且180°<α<270°,90°<β<180°，则cos(α-β)= 。 【答案】 【分析】本题主要考查根据同角三角函数求值，利用余弦差公式计算得出值。 【详解】已知 sinα=−，180∘<α<270∘，则 α在第三象限，cosα=−。 已知 sinβ=，90∘<β<180∘，则 β在第二象限，cosβ=−。 由余弦差公式： cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(−)(−)+(−)()=−=. 4. 若tanα=2，tanβ=，则tan(α-β)=（ ） A. - B.  C.3 D. 【答案】B 【分析】本题主要考查正切差角公式 【详解】根据正切差角公式： tan(α−β)=，代入 tanα=2，tanβ=：tan(α−β)====​ 因此，tan(α−β)=，故选项B正确. 故选：B． 考点三 给值求角 5. 已知sinα=，sinβ=，且α,β为锐角，求α+β的值. 【答案】 【分析】本题主要考查和角公式的计算，给定值求角。 【详解】已知 sinα=，sinβ=，且α,β为锐角。 首先计算 cosα和 cosβ： cosα===，cosβ===. 计算 cos(α+β)： cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=⋅−⋅=. 计算 sin(α+β)： sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=⋅+⋅=. 由于 sin(α+β)=，cos(α+β)=，且 α+β∈(0,π)，所以 α+β=。 因此，α+β的值为 。 6.  已知cosα=，cos(α+β)=，且α,β∈(0,)，求β的值. 【答案】 【分析】本题主要考查余弦的差角公式，给定值求角。 【详解】已知 cosα=，cos(α+β)=−，且 α,β∈(0,)。 计算 sinα和 sin(α+β)： sinα===，由于 α+β∈(0,π)且 cos(α+β)<0，所以 α+β∈(,π)，则 sin(α+β)>0，sin(α+β)===. 利用差角公式求 cosβ： cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα, 代入数值： cosβ=(−)⋅+⋅=. 由于 β∈(0,)，且 cosβ=，得 β=。 考点四 辅助角公式 7. 求sin+cos的值. 【答案】 【分析】本题主要考查辅助角公式的运用，asinα+bcosα=sin(α+φ),其中tanφ=. 【详解】sin+cos=2sin(+)=2sin=2×=. 8. y=cosx+cos(x+)的最大值是 。 【答案】 【分析】本题主要考查辅助角公式的运用，并得出最大值。 【详解】y=cosx+cos(x+)=2cos(x+)cos(−)=2cos(x+)⋅=cos(x+).由于 cos(x+)∈[−1,1]，所以 ymax=。 考点五 根据正弦型函数的图像求解析式 9. 如图所示，某地一天从6-14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωt+φ)，其中A>0，ω>0，|φ|<π,x∈[6,14]. (1)求这一天6-14时的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式. 【答案】（1）20℃；（2）y=10sin(t+) 【分析】本题主要考查根据正弦型函数的图像求解析式。 【详解】（1）由图可知，这一天6-14时的最大温差为10-(-10)=20℃ (2) 由图可知，A=10，最小正周期为T=16=，所以ω=， 当 t=6时，y=−10。代入得： 10sin(×6+φ)=−10  ⟹  sin(+φ)=−1.所以+φ=+2kπ或+φ=+2kπ,k∈Z. 解之得：φ=−+2kπ或φ=+2kπ.因为|φ|<π，因此，φ=。所以这段曲线的函数解析式为y=10sin(t+). 10. 已知函数y=Asin(ωt+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图像如图所示，求f(x)解析式. 【答案】y=2sin(2x-) 【分析】本题主要考查用正弦型函数的图像求解析式。 【详解】由图可知，A=2，最小正周期为==，所以ω=2， 当 x=时，y=2。代入得：2sin(×+φ)=2 ⟹  sin(+φ)=1.所以+φ=+2kπ,k∈Z. 解之得：φ=-+2kπ.因为|φ|<π，因此，φ=-。所以f(x)的函数解析式为y=2sin(2x-). 考点六 利用正、余弦定理解三角形 11. 在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC= 。 【答案】2 【分析】本题主要考查利用正弦定理解三角形 【详解】在 △ABC 中，已知 AB=，∠A=75°，∠B=45°，则 ∠C=180°−75°−45°=60°。 由正弦定理：= ,代入值：AC====2. 12. 已知△ABC中，a=，b=4，∠A=30°，则∠B=（ ） A.30° B. 30°或150° C.60° D.60°或120° 【答案】D 【分析】本题主要考查利用正弦定理解三角形 【详解】根据正弦定理：=​ 代入 a=4，b=4，∠A=30°： =  ⟹  =  ⟹  8=  ⟹  sinB== 在 0°<B<180° 范围内，sinB=，对应 B=60° 或 B=120° 。 检验：若 B=60° ，则 C=180° −30° −60° =90°，三角形存在。 若 B=120°，则 C=180° −30° −120° =30°，三角形存在。 同时满足大边对大角：b>a，故 B>A，两种情形均满足。 因此 ∠B=60°或 120°，故选项 D正确。 故选：D. 考点七 三角形面积公式 13. 已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c,若a2=b2+c2-bc，bc=4，则△ABC的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【分析】本题主要考查利用余弦定理和三角形面积公式，求三角形面积。 【详解】由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA，与已知条件a2=b2+c2-bc比较，得 −2bccosA=−bc  ⟹  cosA=.因为 A 是三角形内角，所以 A=60°。又 bc=4，则三角形面积为 S=bcsinA=×4×sin60°=2×=.因此，△ABC的面积为​，故选项C正确。 故选：C. 14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,已知B=150°，若a=c，b=2，则△ABC的面积. 【答案】 【分析】本题主要考查利用余弦定理和三角形面积公式，求三角形面积。 【详解】在 △ABC 中，已知 B=150°，a=c，b=2。 由余弦定理：b2=a2+c2−2accosB 代入已知条件：(2)2=(c)2+c2−2⋅(c)⋅c⋅cos150∘ 28=3c2+c2−2c2⋅(−) 28=4c2+c2⋅=4c2+3c2=7c2 解得：c2=4  ⟹  c=2进而：a=×2=2​ 三角形面积为：S=acsinB=×2×2×sin150∘=×2×2×= 因此，△ABC 的面积为. 考点八 二倍角公式 15. 已知=1，求sin2α的值. 【答案】-2+2 【分析】本题主要考查二倍角公式，sin2α=2sinαcosα。 【详解】因为=1，所以sinα-cosα=sinαcosα， 即(sinα-cosα)2=(sinαcosα)2，整理可得1-sin2α=sin22α，解得sin2α=-2+2或sin2α=-2-2(舍去)，故sin2α=-2+2. 16. 已知cos2α=，则(cosα+sinα)(cosα-sinα)=（ ）. A. B.  C. D. 【答案】A 【分析】本题主要考查利用平方差公式和余弦的二倍角公式。 【详解】由平方差公式得：(cosα+sinα)(cosα−sinα)=cos2α−sin2α=cos2α 已知 cos2α=，所以(cosα+sinα)(cosα−sinα)=。故选项A正确。 故选A. 考点九 三角函数的周期和单调区间 17. 若函数y=3sin(ax+)的最小正周期是2π，则a= . 【答案】±1 【分析】本题主要考查三角函数的周期。 【详解】函数 y=3sin(ax+)的最小正周期为 T=。已知 T=2π，则 2π=  ⟹  ∣a∣=1  ⟹  a=±1. 18. 求函数y=sin(2x+)的单调递减区间. 【答案】 [+kπ,+kπ],k∈Z. 【分析】本题主要考查三角函数的单调区间。 【详解】函数 y=sin(2x+)的单调递减区间可通过正弦函数的单调性求得。正弦函数 sinu在区间 [+2kπ,+2kπ]上单调递减（k∈Z）。令 u=2x+，解不等式： +2kπ≤2x+≤+2kπ.整理得：+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. 因此，函数的单调递减区间为 [+kπ,+kπ],k∈Z。 考点十 三角计算的应用 19. 海面上有相距10海里的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离为（ ）. A.10海里 B. 海里 C. 海里 D.海里 【答案】5 【分析】本题主要考查三角计算的应用，利用正弦定理，求三角形的边长。 【详解】在 △ABC中，已知 AB=10 海里，∠CAB=60°，∠CBA=75°， 则 ∠ACB=180°−60°−75°=45°。 由正弦定理：=，代入得： BC===5，因此，B、C 间的距离为 5海里，故选项 D正确。 故选D. 20. 如图，已知四栋建筑物A，B，C，D，其中B，C，D在同一条直线上，A与B之间有池塘，无法测得AB的距离，已知A到D和C的距离分别为10和14，并且∠ABC=45°，DC=6，求A到B的距离. 【答案】5 【分析】本题主要考查三角计算的应用，利用三角形中的余弦定理求出A、B的距离。 【详解】已知 AD=10，AC=14，DC=6，∠ABC=45∘，且点 B,D,C共线， 设 AB=x，BD=y，则 BC=y+6。 在 △ABD中，由余弦定理：AD2=AB2+BD2−2⋅AB⋅BD⋅cos45° 代入得：100=x2+y2−xy (1) 在 △ABC 中，由余弦定理： AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cos45°代入得：196=x2+(y+6)2−x(y+6) (2) 将式 (2) 减去式 (1)，化简得：2y−x=10⇒y=​ 代入式 (1)，解得：x2=150⇒x=5(取正值)，因此，A 到 B 的距离为 5。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第六章三角计算的考点梳理卷，主要梳理和考查了和角公式、二倍角公式、利用正弦余弦定理解三角形、正弦型函数的图像和性质、三角计算的应用等常见考点。 第六章 三角计算 目录 考点一 和角公式直接应用 1 考点二 给值求值 2 考点三 给值求角 2 考点四 辅助角公式 2 考点五 根据正弦型函数的图像求解析式 3 考点六 利用正、余弦定理解三角形 3 考点七 三角形面积公式 4 考点八 二倍角公式 4 考点九 三角函数的周期和单调区间 5 考点十 三角计算的应用 5 考点一 和角公式直接应用 1．计算cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)= . 2. 计算：= . 考点二 给值求值 3. 已知sinα=-，sinβ=，且180°<α<270°,90°<β<180°，则cos(α-β)= . 4. 若tanα=2，tanβ=，则tan(α-β)=（ ） A.- B.  C.3 D. 考点三 给值求角 5. 已知sinα=，sinβ=，且α,β为锐角，求α+β的值. 6. 已知cosα=，cos(α+β)=，且α,β∈(0,)，求β的值. 考点四 辅助角公式 7. 求sin+cos的值. 8. y=cosx+cos(x+)的最大值是 . 考点五 根据正弦型函数的图像求解析式 9. 如图所示，某地一天从6-14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωt+φ)，其中A>0，ω>0，|φ|<π,x∈[6,14]. (1) 求这一天6-14时的最大温差； (2) 写出这段曲线的函数解析式. 10. 已知函数y=Asin(ωt+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图像如图所示，求f(x)解析式. 考点六 利用正、余弦定理解三角形 11. 在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC= . 12.已知△ABC中，a=，b=4，∠A=30°，则∠B=（ ） A.30° B. 30°或150° C.60° D.60°或120° 考点七 三角形面积公式 13.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c,若a2=b2+c2-bc，bc=4，则△ABC的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,已知B=150，若a=c，b=2，则△ABC的面积. 考点八 二倍角公式 15. 已知=1，求sin2α的值. 16. 已知cos2α=，则(cosα+sinα)(cosα-sinα)=（ ） A. B.  C. D. . 考点九 三角函数的周期和单调区间 17. 若函数y=3sin(ax+)的最小正周期是2π，则a= . 18. 求函数y=sin(2x+)的单调递减区间. 考点十 三角计算的应用 19. 海面上有相距10海里的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离为（ ） A.10海里 B. 海里 C. 海里 D.海里. 20. 如图，已知四栋建筑物A，B，C，D，其中B，C，D在同一条直线上，A与B之间有池塘，无法测得AB的距离，已知A到D和C的距离分别为10和14，并且∠ABC=45°，DC=6，求A到B的距离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $