精品解析：河北邢台市2025-2026学年上学期九年级期末考试数学试卷

2025-2026学年第一学期期末考试 九年级数学试卷（冀教版） 说明：1．本试卷共6页，满分120分． 2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 双曲线位于第一、三象限，则“”可以是（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，根据双曲线的象限分布由k的符号决定，当时，图像位于第一、三象限，即可得到答案． 【详解】解：∵双曲线位于第一、三象限， ∴“”大于0， 选项C符合题意， 故选：C． 2. 嘉嘉用软件绘制抛物线时，将系数“3”误认为“”，得到的新抛物线与原抛物线相比，发生改变的是（ ） A. 开口大小 B. 开口方向 C. 对称轴 D. 顶点坐标 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，比较原抛物线与新抛物线的系数a，分析开口方向、开口大小、对称轴和顶点坐标的变化即可求解． 【详解】解：在二次函数和中，对称轴均为直线，顶点坐标为， 故选项C、D不符合题意； ∵原函数，新函数， ∴开口方向均向上，未改变，故选项B不符合题意； ∵， ∴开口大小改变，故选项A符合题意， 故选：A． 3. 有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中同时抽取两张．下列事件为随机事件的是（ ） A. 两张卡片的数字之和等于2． B. 两张卡片的数字之和大于2． C. 两张卡片的数字之和等于7． D. 两张卡片的数字之和大于7． 【答案】C 【解析】 【分析】将两张卡片数字之和所有结果列出有3、4、5、6、7五种情况，再结合必然事件、不可能事件、随机事件的概念对选项依次判断即可． 【详解】解：A、两张卡片的数字之和等于2是不可能事件，故A不符合题意； B、两张卡片的数字之和大于2是必然事件，故B不符合题意； C、两张卡片的数字之和等于7是随机事件，故C符合题意； D、两张卡片的数字之和大于7是不可能事件，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4. 将抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线是． 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，理解平移规律是解题的关键． 5. 一城市准备选购一千株高度大约为2m的某种风景树来进行街道绿化，�有四个苗圃生产基地投标（单株树的价格都一样）．�采购小组从四个苗圃中都任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如下： 树苗平均高度（单位：m） 标准差 甲苗圃 1.8 0.2 乙苗圃 1.8 0.6 丙苗圃 2.0 0.6 丁苗圃 2.0 0.2 请你帮采购小组出谋划策，应选购（ ） A. 甲苗圃的树苗 B. 乙苗圃的树苗; C. 丙苗圃的树苗 D. 丁苗圃的树苗 【答案】D 【解析】 【分析】根据标准差和方差可以反映数据的波动大小，选出合适苗圃的树苗；再比较它们的高度，进而确定选购哪家的树苗. 【详解】由于标准差和方差可以反映数据的波动大小，所以甲苗圃与丁苗圃比较合适； 又因为丁苗圃树苗平均高度大于甲苗圃，所以应选丁苗圃的树苗． 故选D． 【点睛】考查了标准差，标准差也均称方差，方差是反映一组数据波动大小的特征数，方差越大，数据的波动性越大；方差越小，稳定性越好. 6. 如图6×7的方格中，点A，B，C，D是格点，线段CD是由线段AB位似放大得到的，则它们的位似中心是（　　） A. P1 B. P2 C. P3 D. P4 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析： ∵如图，连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心. ∴它们的位似中心是 故选C. 7. 如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义． 根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，投放点落在不规则图案上的频率稳定在， 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故答案为：B． 8. 如图是老师画出的，已标出三边的长度．下面四位同学画出的三角形与老师画出的不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：A、由两组角相等的两个三角形相似可得画出来的三角形和相似，故选项不符合题意； B、因为，且，则可得画出来的三角形和相似，故选项不符合题意； C、因为，则可得画出来的三角形和相似，故选项不符合题意； D、知道两边和邻角，画出来的三角形不一定和相似，故选项符合题意； 故选：D． 9. 已知二次函数的图象如图所示，点，，，在轴上，若满足以下条件：①函数图象与轴负半轴相交；②当，随的增大而减小，则坐标系的原点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 由条件①可确定轴在抛物线与轴的两个交点之间，由条件②可确定轴在顶点左侧，进而求解． 【详解】解：函数图象与轴负半轴相交， 轴在抛物线与轴的两个交点之间， 点，可能是原点， 当时，随的增大而减小， 轴在抛物线顶点左侧， 点可能是原点． 故选：B． 10. 如图，是劣弧上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先过点O作，运用垂径定理，勾股定理进行列式计算，得，再结合是上的一动点，与交于点，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，过点O作，交于一点，连接，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∵是上的一个动点，与交于点． ∴当时，即点与点重合时，则有最小值，且为3， 故选：B 11. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，设这批椽的数量为x株，则正确的是（　　） A. 依题意 B. 依题意 C. 这批椽的数量为45株 D. 一株椽的价钱为132文 【答案】A 【解析】 【分析】先根据少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱可得一株椽的价钱为文，再根据总价钱等于一株椽的价钱乘以椽的数量建立方程即可． 【详解】解：由题意得：一株椽的价钱为文， 则可列方程为， 故选：A． 【点睛】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键． 12. 如图所示为用镜子拼成的正八边形，点为上一点，现从点射出一束光线，经过两次反射后，到达边上的点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和反射定理． 设上方的正八边形的顶点依次为，，，与的交点为，先求出正八边形每个内角的度数，再由光的反射定理得、、和的数量关系，再利用多边形是五边形，求出与的度数和，再求出的度数，然后求出答案即可． 【详解】解：如图，设上方的正八边形的顶点依次为，，，与的交点为， 八边形是正八边形， ， 设，， 由光的反射定理可知：， ， 多边形是五边形， ， 即， 化简得：， ， ， 多边形是四边形，， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知的半径为2，点到圆心的距离为3，则点与的位置关系是_____． 【答案】点在圆外 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和半径大小判定即可． 【详解】解：的半径为2，点到圆心的距离为3， 所以， 则点与的位置关系是点在圆外， 故答案为：点在圆外． 14. 若关于x的一元二次方程配方后得到方程，则c的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方得，可得，解方程即可得c的值． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即． ∵， ∴， 解得， 故答案为：3． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 15. 如图，将三角形纸片沿折叠，点恰好与的内心重合，若，则___________． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形内心的性质，角平分线的定义等，熟练掌握三角形内心的性质是解题的关键． 根据折叠的性质和三角形内心的性质得出，平分，平分，求得，然后用周角定义即可求解． 【详解】解：∵沿折叠，点恰好与的内心重合， ∴，平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：40． 16. 如图，矩形是由三个全等矩形拼成的，与、分别交于点．设，，的面积依次为．若，则的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，得出，是解题关键． 由条件可以得出，可以求出与的相似比为，与相似比为，由相似三角形的性质，就可以求出，从而可以求出． 【详解】解：矩形是由三个全等矩形拼成的， ，， 四边形，四边形是平行四边形，， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：8． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知关于的方程． （1）说明方程有两个不相等的实数根； （2）当方程的一个根为时，求此方程的另一根． 【答案】（1） 证明：∵关于的方程 ， 无论a取何值，， ，即． 方程有两个不相等的实数根； （2）该方程的另一根为2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和方程的解、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）计算得到根的判别式大于0，即可证明方程有两个不相等的实数根； （2）把方程的解代入方程即可得a值，进而解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入，得 解得． ∴方程为，则， ∴，， 解得，， 故该方程的另一根为2． 18. 如图，经过某丁字路口的汽车，可能向左转或向右转．如果这两种可能性大小相同，现有A，B，C三辆汽车经过这个丁字路口． （1）A汽车经过这个丁字路口向左转的概率为___________； （2）求A，B，C三辆汽车中至少有两辆汽车向左转的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是求概率问题，掌握树状图的画法和概率公式是解决此题的关键． （1）汽车经过丁字路口只有左转、右转2种等可能情况，A车左转是其中1种，根据概率公式直接解答即可． （2）树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出至少有两辆车向左转的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵汽车经过丁字路口只有左转和右转两种可能性，且这两种可能性大小相同， ∴汽车向左转的概率． 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，三辆汽车经过这个丁字路口共有8种等可能的结果，其中至少有两辆汽车向左转的结果有4种． （至少有两辆汽车向左转）． 19. 如图，正方形在第一象限，已知点． （1）若反比例函数的图象经过点，求反比例函数的图象与边的交点坐标； （2）若反比例函数的图象与正方形的边有交点（包含顶点），求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数解析式的求法，正方形的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标的特征是解答的关键． （1）先求得点D的坐标，再利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求解即可； （2）先求得点C的坐标，当函数过点A时，则，当函数过点C时，同理可得：，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，轴， 在正方形中，，，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，由得， ∴反比例函数的图象与边的交点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）得：点C的坐标分别为， 当反比例函数的图象过点A时，则， 当反比例函数的图象过点C时，则， 由图可得，满足条件的k的取值范围为． 20. 某校为了解七年级学生跳绳情况，从七年级甲、乙两个班级随机抽取部分学生进行测试，两班抽取的人数相同，测试成绩分为，，，四个等级，其中各等级的得分分别记为分、分、分、分．现将甲、乙两班级的测试成绩整理并绘制成如下统计图表： 班级 平均数 中位数 众数 甲班 乙班 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为_____，的值为_____，的值为_____； （2）学校要组织一个跳绳展示活动，需要从甲、乙两个班级中选择一个班级参加，你会推荐哪个班级参加？请说明理由； （3）从甲班抽取的数据中选取个，与乙班抽取的全部数据组成一组新数据，若这组新数据的中位数大于原乙班数据的中位数，则的最小值为_____． 【答案】（1），， （2） 推荐甲班， 理由是：甲班成绩的中位数和众数都高于乙班， （3） 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、条形统计图与扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的关键． （1）根据加权平均数的计算方法进行计计算即可得，根据中位数的定义求得，根据众数的定义求得； （2）根据中位数和众数可知，乙班成绩的众数和中位数大于甲班成绩，即可求解； （3）乙原来的中位数为，那么需要从甲最少抽取个10分的数据，才能使新数据的中位数大于原甲数据的中位数． 【小问1详解】 解：， 甲班人数为：人 甲班的成绩的中位数为第和个的平均数，即， 根据扇形统计图可得：乙班级的人数最多，即众数为，则 故答案为：，，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：乙原来的中位数为，乙班全部数据中分的有人，分的有人，少于分的有人 中位数为第和个的平均数即， 新数据的中位数大于原乙班数据的中位数，则新数据中的中位数最少应为， 设甲班抽取的数据中选取个分， ∴，解得： 故答案为：． 21. 滑梯的坡角越小，安全性越高，从安全性及适用性出发，嘉嘉同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮嘉嘉解决方案中的问题． 【方案设计】如图，将滑梯顶端拓宽为（），使，并将原来的滑梯改为（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上） 【测量数据】滑梯的高，滑梯的坡度为，滑梯的坡角． 【解决问题】 （1）求滑梯的长度； （2）调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （注：，，） 【答案】（1）滑梯的长度为； （2）调整后的滑梯会多占的地面． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，勾股定理，平行四边形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用坡比得出， 然后代入求值即可； （）过点作直线的垂线，垂足为， 证明四边形为平行四边形，则有，，通过勾股定理得出，所以，求出，最后由线段和差即可求解． 【小问1详解】 解：∵滑梯的坡度为， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴滑梯的长度为； 【小问2详解】 解：过点作直线的垂线，垂足为， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 在中，， 在中，，即， 解得， ∴， 答：调整后的滑梯会多占的地面． 22. 【典题重现】 课本中P91有一道例题，如图1，为一块铁板余料．已知，高．要用这块余料裁出一个正方形材料，且使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形的边长应为多少毫米？ 【变式拓展】 若从这块余料裁出一个矩形材料，其余条件不变，如图2，求这个矩形材料的最大面积． 【答案】[典题重现]；[变式拓展] 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值等等，解本题的关键是证明出． （1）先证明，设正方形零件的边长为，则，，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果； （2）设，根据（1）可得，根据，可得，即可得，再根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值． 【详解】解：[典题重现] ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设正方形零件的边长为，则， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴这个正方形零件的边长是； [变式拓展] 解：设，同（1）可得，则 ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形面积， ∵， ∴当时，矩形面积最大，最大面积是． 23. 消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为，着火点A距离点B的水平距离为，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为其中b，c为常数 （1）写出点B的坐标，并用含b的代数式表示c； （2）若着火点A高出地面． ①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的解析式，并求它的对称轴； ②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，直接写出抛物线水流路线解析式中b的取值范围包含端点是______，及c的最小值是______． 【答案】（1）点B的坐标为， （2）①抛物线的解析式为：，对称轴为直线；②， 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，理解题意，结合图形，综合运用二次函数的性质及一次函数的性质是解题关键． （1）根据题意得出点B的坐标为，然后代入二次函数解析式即可得出结果； （2）①根据题意确定，结合（1）结论代入求解即可确定函数解析式，再求对称轴即可； ②根据题意分两种情况分析：当抛物线经过点时，当抛物线经过点时，即可确定b的取值范围；再由c与b的函数解析式，利用一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为， 点B的坐标为， 抛物线L的解析式为经过点， ， 整理得：； 【小问2详解】 ①着火点A距离点B的水平距离为，着火点A高出地面，点B的坐标为， ， ， 由（1）得， 抛物线的解析式为：， 水流恰好经过着火点A， 代入得：， 解得：， ， 抛物线的解析式为：， 对称轴为直线， ②消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，， 当抛物线经过点时， ， 解得：； 当抛物线经过点时， ， 解得：， 综上可得：， ，， 随b的增大而增大， 当时，c取得最小值为， 的最小值为 故答案为：， 24. 如图1，平行四边形中，，点在边上运动（点可以与点重合），以点为圆心，为半径的与对角线相交于另一点，与边相交于另一点． （1）当为中点时，求的长； （2）①如图2，当与边相切于点时，的长为___________； ②如图3，当时，通过计算比较弦和的大小关系； （3）当与平行四边形的边恰好有一个公共点时，直接写出的值或取值范围． 【答案】（1）3 （2）①，②弦长大于的长． （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定、直线与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用等知识，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活应用相关知识是解题的关键． （1）根据，解直角三角形求出和，在直角三角形中求出即可解答； （2）①当与边相切于点时，则，即，可得，继而由列方程求出； ②连接，，分别求出，，进而求出，，再比较大小即可； （3）分当与相切时，点在圆内，两种情况讨论，画出图形求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵为中点， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①连接， 当与边相切于点时，则，即， ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵，， ∴， ∴， ②连接，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：①当与相切时，设切点为，如图， 由上述结果可知，，， ∴， ， 即当，与相切，与平行四边形的边的公共点的个数为1， ②过点，如图，与平行四边形的边的公共点的个数为， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴是直径，此时， 当时，点在圆内，与平行四边形的边的公共点的个数为1， 综上所述，的值的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末考试 九年级数学试卷（冀教版） 说明：1．本试卷共6页，满分120分． 2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 双曲线位于第一、三象限，则“”可以是（ ） A. B. C. 1 D. 0 2. 嘉嘉用软件绘制抛物线时，将系数“3”误认为“”，得到的新抛物线与原抛物线相比，发生改变的是（ ） A. 开口大小 B. 开口方向 C. 对称轴 D. 顶点坐标 3. 有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中同时抽取两张．下列事件为随机事件的是（ ） A. 两张卡片的数字之和等于2． B. 两张卡片的数字之和大于2． C. 两张卡片的数字之和等于7． D. 两张卡片的数字之和大于7． 4. 将抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 一城市准备选购一千株高度大约为2m的某种风景树来进行街道绿化，�有四个苗圃生产基地投标（单株树的价格都一样）．�采购小组从四个苗圃中都任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如下： 树苗平均高度（单位：m） 标准差 甲苗圃 1.8 0.2 乙苗圃 1.8 0.6 丙苗圃 2.0 0.6 丁苗圃 2.0 0.2 请你帮采购小组出谋划策，应选购（ ） A. 甲苗圃的树苗 B. 乙苗圃的树苗; C. 丙苗圃的树苗 D. 丁苗圃的树苗 6. 如图6×7的方格中，点A，B，C，D是格点，线段CD是由线段AB位似放大得到的，则它们的位似中心是（　　） A. P1 B. P2 C. P3 D. P4 7. 如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是老师画出的，已标出三边的长度．下面四位同学画出的三角形与老师画出的不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象如图所示，点，，，在轴上，若满足以下条件：①函数图象与轴负半轴相交；②当，随的增大而减小，则坐标系的原点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 10. 如图，是劣弧上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，设这批椽的数量为x株，则正确的是（　　） A. 依题意 B. 依题意 C. 这批椽的数量为45株 D. 一株椽的价钱为132文 12. 如图所示为用镜子拼成的正八边形，点为上一点，现从点射出一束光线，经过两次反射后，到达边上的点，若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知的半径为2，点到圆心的距离为3，则点与的位置关系是_____． 14. 若关于x的一元二次方程配方后得到方程，则c的值为_____． 15. 如图，将三角形纸片沿折叠，点恰好与的内心重合，若，则___________． 16. 如图，矩形是由三个全等矩形拼成的，与、分别交于点．设，，的面积依次为．若，则的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知关于的方程． （1）说明方程有两个不相等的实数根； （2）当方程的一个根为时，求此方程的另一根． 18. 如图，经过某丁字路口的汽车，可能向左转或向右转．如果这两种可能性大小相同，现有A，B，C三辆汽车经过这个丁字路口． （1）A汽车经过这个丁字路口向左转的概率为___________； （2）求A，B，C三辆汽车中至少有两辆汽车向左转的概率． 19. 如图，正方形在第一象限，已知点． （1）若反比例函数的图象经过点，求反比例函数的图象与边的交点坐标； （2）若反比例函数的图象与正方形的边有交点（包含顶点），求的取值范围． 20. 某校为了解七年级学生跳绳情况，从七年级甲、乙两个班级随机抽取部分学生进行测试，两班抽取的人数相同，测试成绩分为，，，四个等级，其中各等级的得分分别记为分、分、分、分．现将甲、乙两班级的测试成绩整理并绘制成如下统计图表： 班级 平均数 中位数 众数 甲班 乙班 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为_____，的值为_____，的值为_____； （2）学校要组织一个跳绳展示活动，需要从甲、乙两个班级中选择一个班级参加，你会推荐哪个班级参加？请说明理由； （3）从甲班抽取的数据中选取个，与乙班抽取的全部数据组成一组新数据，若这组新数据的中位数大于原乙班数据的中位数，则的最小值为_____． 21. 滑梯的坡角越小，安全性越高，从安全性及适用性出发，嘉嘉同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮嘉嘉解决方案中的问题． 【方案设计】如图，将滑梯顶端拓宽为（），使，并将原来的滑梯改为（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上） 【测量数据】滑梯的高，滑梯的坡度为，滑梯的坡角． 【解决问题】 （1）求滑梯的长度； （2）调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （注：，，） 22. 【典题重现】 课本中P91有一道例题，如图1，为一块铁板余料．已知，高．要用这块余料裁出一个正方形材料，且使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形的边长应为多少毫米？ 【变式拓展】 若从这块余料裁出一个矩形材料，其余条件不变，如图2，求这个矩形材料的最大面积． 23. 消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为，着火点A距离点B的水平距离为，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为其中b，c为常数 （1）写出点B的坐标，并用含b的代数式表示c； （2）若着火点A高出地面． ①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的解析式，并求它的对称轴； ②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，直接写出抛物线水流路线解析式中b的取值范围包含端点是______，及c的最小值是______． 24. 如图1，平行四边形中，，点在边上运动（点可以与点重合），以点为圆心，为半径的与对角线相交于另一点，与边相交于另一点． （1）当为中点时，求的长； （2）①如图2，当与边相切于点时，的长为___________； ②如图3，当时，通过计算比较弦和的大小关系； （3）当与平行四边形的边恰好有一个公共点时，直接写出的值或取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $