1.4 解直角三角形-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

4 解直角三角形 ②基础过关。逐点击破 ∠A.若AC=4,osA=号，则BD的长度 知识点1已知两边解直角三角形 为 ( 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3,AB= 19 4 R号 c D.4 4,欲求∠A的度数，最适宜的做法是( A.根据tanA的值求出∠A 7.(教材P6例2变式)在Rt△ABC中，∠C B.根据sinA的值求出∠A 90°，∠B=60°，b=√3，求这个直角三角形的 C.根据cosA的值求出∠A 其他元素 D.先根据sinB求出∠B,再利用 90°-∠B求出∠A 2.在Rt△ABC中，若∠C=90°，a=20,c=20√2， 则∠A= ,∠B= ,b= 3.（教材P16例1变式)如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，AB=2√3，BC=√3.求这个直角 三角形的其他元素。 能力提升。整合运用 8.一配电房示意图如图所 单位：m 示，它是一个轴对称图形. 已知BC=6m,∠ABC= a,则房顶A离地面EF的 知识点2已知一锐角和一边解直角三角形 高度为 4.在△ABC中，∠C=90°，且已知b和∠B,下 A.(4+3sin a)m B.(4+3tan a)m 列求c的表达式正确的是 ) A.c=bcos B B.c=bsin B C.(4+3)m sin a D.( 9.数学文化图①是第七届国际数学教育大会 C.c=- b sin B D.c=b cos B (ICME)的会徽，图②由其主体图案中相邻两 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， 个直角三角形组合而成.作菱形CDEF,使点 AB=8,则BC的长是 ( D,E,F分别在边OC,OB,BC上，过点E作 A.43 B.4 C.8√3 D.4√3 EH⊥AB于点H.当AB=BC,∠BOC=30°， 3 DE=2时，EH的长为 ) B (第5题图) (第6题图) ICME-7 D 图① 图② 6.(教材P。“做一做”变式)如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC= A.√3 C.√2 D 11数学九年级下册配BSD版 10.(江西)图①是世界第一“大碗”—一景德镇 思维拓展⊙学科素养 昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵 11.【问题呈现】 感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万 如图①，在边长为1的正方形网格中，连接 瓷之母”.如图②，“大碗”的主视图由“大 格点D,N和格点E,C,DN与EC相交于 碗”主体ABCD和矩形碗底BEFC组成. 点P,求tan∠CPN的值. 已知AD∥EF,AM,DN是太阳光线，AM 【方法归纳】 ⊥MN,DN⊥MN,点M,E,F,N在同一条 求一个锐角的三角函数值，我们往往需要 直线上.经测量ME=FN=20.0m,EF= 找出（或构造出）一个直角三角形.观察发 40.0m,BE=2.4m,∠ABE=152° 现，问题中∠CPN不在直角三角形中，我 (1)求“大碗”的口径AD的长； 们常常利用网格画平行线等方法解决此类 (2)求“大碗”的高度AM的长 问题，比如连接格点M,N,可得MN∥EC, (结果精确到0.1m,参考数据：sin62°≈ 则∠DNM=∠CPN,连接DM,那么 0.88,cos62°≈0.47，tan62°≈1.88) ∠CPN就变换到Rt△DMN中了. 太阳光线 【问题解决】 (I)直接写出图①中tan∠CPN的值为 图① 图② (2)如图②，在边长为1的正方形网格中， AN与CM相交于点P,求cos∠CPN 的值； 【思维拓展】 (3)如图③，AB⊥BC,AB=4BC,点M在 AB上，且AM=BC,延长CB到点N, 使BN=2BC,连接AN交CM的延长 线于点P,用上述方法构造网格求 ∠CPN的度数， M 图① 图② 图③ 第一章直角三角形的边角关系12参考答案 第一章直角三角形的边角关系 1锐角三角函数 第1课时锐角的正切 基础过关 1.C【变式】C2.D3.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB-BC= V窗g=16emnA-器-号-是mB-瓷-9=手4.c5A 6.A7.A 能力提升 8B9.A【变式B10.是1.厅2.解：过点A作AE1BC于点E,过点D作 本DF1BC于点R.由题意，得mC-8F=合，CD=10m,∠B=45,AD=6m,易证四 帐 边形AEFD是矩形，.AE=DF,EF=AD=6m.设DF=xm,则CF=2xm.在 Rt△CFD中，由勾股定理，得DF2十CF=CD,即x2+(2x)2=10,解得x=2√5（负值 舍去)，.DF=2√5m,CF=4√5m,AE=2√5m.∠AEB=90°，∠B=45°，∴.BE= AE=2√5m,∴.BC=BE+EF+CF=2√5+6+4W5=(6√5+6)m.即BC的长为(6√5 十6)m. 思维拓展 她 13.解：(1)√3 ②：在R△ABC巾，mA-=oA-瓷-专 第2课时锐角的正弦、余弦 基础过关 1.C2.C3A4. 3 5.B6.B7.B8.D9.解：在Rt△ABC中，：∠C=90°， 0 sA-6=号AC=6AB=10,曲勾股定理，得BC=VAB-4A0=V0-6 8..Cawc=AB+AC+BC=10+6+8=24.Sawc-AC.BC-X6X8-24, △ABC的周长为24，面积为24. 能力提升 10.D11.D 2指 13.214.解：(1)过点B作BC⊥OA于点C.BO=5, m∠BOA=各，“%=子，BC=3.在R△OBC中，由勾股定理，得0OC- 线 VB0=BC=V分-3=4，…点B的坐标为(4,3)：(2)25 5 思维拓展 15.解：1)在R△ABC中，∠C=90,sinA=BC=g,cosB=BC=;(2):在 AB c AB R△ABC巾，∠C=0amA=C=号：aB=瓷=名：(3)由I.得smA cosB,由(2)，得mA·anB=1:(4)①号 ②立 230°，45°，60°角的三角函数值 基础过关 1.B2.B3>4解：0)原式=3×号+2×号-厅+1：(2)原式 =+8-2. 5.A6.60°7.90°8.D9.30°10.解：在Rt△ABC中，∠BAC 第1页（共42页） =90°，∠ACB=45,AB=5m,∴AC=aA45=子=5(m).在Rt△ABD中，∠BAD= 90,∠D=30,AD=,AB=点=5B(m),CD=AD-AC=5V5-5≈5X1.732 tan30√5 -5=3.66(m).答：CD的长度约为3.66m. 能力提升 11.C12.A13.6-2 4 14.解：在Rt△ABC中，：BC=2,∠A=30°，∠ACB=90°， ∴AC=BC tan A 3 2=23,EF=AC=2尽.在R△ECF中，：∠E=45,∠FCE= 3 90.FC-EF.sin E=2/3x=:AF=AC-FC=2/-/6. 2 思维拓展 15.解：1111(1)过点B作BD⊥AC于点D,则∠ADB=90°.：在Rt△ABD 中，smA-0osA=品smA十osA=(0)+(0) =BD+AD.在 AB R△ABD中，由勾股定理，得BD+AD=AB,simA十cosA=1;(2):sinA=号， 3 simA+cosA=l,∠A为悦角casA=1-(号)=寺 3 三角函数的计算 基础过关 1.D2.C3.(1)0.45(2)0.52(3)0.64(4)-0.784.B5.B6.B7.70 8解：在R△ABC中，AB=120cm,∠BAC=90,∠B=3.7amB-6AC= AB·tanB≈120×0.67=80.4≈≈80(cm).答：AC的长约为80cm. 能力提升 ,2110解：过点A作AD1BC于点D,延长AD交地面于点E.”如月铝∠B =70°，.AD=AB·sin70°≈92×0.94=86.48(cm).易得DE=6cm,.AE=AD+ DE=86.48十6=92.48≈92.5(cm).答：把手A离地面的高度约为92.5cm. 思维拓展 11.解：过点E作EF⊥CD于点F,延长AB,DC交于点H,则∠EFD=90°.由题意，得 在R△EFD中，∠EDF=6O,BD=6m,sm∠EDF-第os∠EDF-品EF ED·sn60=6×9=35(m,FD=ED·cos60=6X2=3(m.由题意，得∠H= 90°，四边形AEFH是矩形，∴AH=EF=3√3m,HF=AE=1.5m.CF=CD-FD =3.5-3=0.5(m),∴.CH=HF-CF=1.5-0.5=1(m).在Rt△BCH中，∠H=90°， ∠BCH=180-∠D=180-135=45.:os∠BCH-g是an∠BCH-8盟， CH ·BC=CH S得-2E≈1.4m,BH=CHm行=1X1=1m.AB=AH BH=3√3-1≈4.2(m).答：BC的长度约为1.4m,AB的长度约为4.2m. 小专题一求锐角三角函数值的常用方法 1.B2.C3.24.A5.D6.B7.解：1)在R△ABC中，∠C=90,tanB= 5 含瓷=子，可设AC=3,BC=4,由勾股定理，易得AB=5x.:AB=5,5x=5,解 得x=1..AC=3,BC=4.:BD=1,.CD=BC-BD=4-1=3.在Rt△ACD中，由 勾股定理，得AD=√CD+AC=√3十3=3√2；(2)过点D作DE⊥AB于点E. 第2页（共42页） SAABD= AB,DE=2BD·AC,∴DE=BDAC=X3- AB 6 ,.sin∠BAD= DE5√2 AD3210' 8B9B10.号山A12A13专14.3 15.解：(1)在 R△DEA中，DE=2,simA=号，AD=DE-是=3，AB=DB+AD=9+3 sin A 2 12.在R△ABC中，AB=12,sinA=号BC=AB·sinA=12X号=8：(2)在 Rt△ABC中，AB=12,BC=8,由勾股定理，得AC=√/AB2-BC=√/122-82=4√5. 在Rt△DEA中，DE=2,AD=3,由勾股定理，得AE=√AD-DE=√/32-2=√5， .CE=AC-AE=4√5-√5=3W5.在Rt△DEC中，由勾股定理，得CD= V+DE=V3+交-ios∠CDE-8器-号.易得DE/BC,∠CDE =∠BCD,∴cOs∠BCD=coS∠CDE=名 4解直角三角形 基础过关 1.C2.45°45°203.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB-BC= √2-33，sinA=AB-25-∠A=30,∠B=90-∠A=90° -30°=60°.4.C5.D6.C7.解：如图.4 .在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B a B =60,∠A=90°-∠B=90°-60°=30.1anB=6,∴a= b=1.sin B tan B3 =b,c= b==2. c inB√5 能力提升 8.B9.C10.解：(1)AM⊥MN,DN⊥MN,∴.∠AMN=∠DNM=90°.AD∥ MN,..∠DAM=180°-∠AMV=180°-90°=90°，.四边形AMND是矩形，.AD= MN=ME十EF+FN=20.0十40.0十20.0=80.0(m),..“大碗”的口径AD的长为 80.0m;(2)延长CB交AM于点G.由题意，得BE=GM=2.4m,BG=ME=20.0m, BG⊥AM,∠EBG=90°，∴∠ABG=∠ABE-∠EBG=152°-90°=62°.在Rt△ABG 中，AG=BG·tan62°≈20.0×1.88=37.6(m),,.AM=AG+GM=37.6+2.4=40.0(m), .“大碗”的高度AM的长约为40.0m. 思维拓展 11.解：(1)2(2)如图② 取格点B,连接AB,BN,可得AB∥MC, ·∠CPN=∠BAN.易知△ABN为直角三角形，且∠ABN=90°.在Rt△ABN中，AB E,AN=VD.心eos∠CPN=ms∠BAN装-亮=号：（③）设BC的长度为单 位1，构造如图③所示的网格图， 取格点D,连接AD,DN,可得AD∥ CM,.∠CPN=∠DAN.易知△ADN为直角三角形，且∠ADN=90°.在Rt△ADN 中，AD=而.AN=26cs∠CPN=cos∠DAN=银-=S-号.÷∠CPN= 45°. 第3页（共42页）