1.1 第2课时锐角的正弦、余弦-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

参考答案 第一章直角三角形的边角关系 1锐角三角函数 第1课时锐角的正切 基础过关 1.C【变式】C2.D3.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB-BC= V窗g=16emnA-器-号-是mB-瓷-9=手4.c5A 6.A7.A 能力提升 8B9.A【变式B10.是1.厅2.解：过点A作AE1BC于点E,过点D作 本DF1BC于点R.由题意，得mC-8F=合，CD=10m,∠B=45,AD=6m,易证四 帐 边形AEFD是矩形，.AE=DF,EF=AD=6m.设DF=xm,则CF=2xm.在 Rt△CFD中，由勾股定理，得DF2十CF=CD,即x2+(2x)2=10,解得x=2√5（负值 舍去)，.DF=2√5m,CF=4√5m,AE=2√5m.∠AEB=90°，∠B=45°，∴.BE= AE=2√5m,∴.BC=BE+EF+CF=2√5+6+4W5=(6√5+6)m.即BC的长为(6√5 十6)m. 思维拓展 她 13.解：(1)√3 ②：在R△ABC巾，mA-=oA-瓷-专 第2课时锐角的正弦、余弦 基础过关 1.C2.C3A4. 3 5.B6.B7.B8.D9.解：在Rt△ABC中，：∠C=90°， 0 sA-6=号AC=6AB=10,曲勾股定理，得BC=VAB-4A0=V0-6 8..Cawc=AB+AC+BC=10+6+8=24.Sawc-AC.BC-X6X8-24, △ABC的周长为24，面积为24. 能力提升 10.D11.D 2指 13.214.解：(1)过点B作BC⊥OA于点C.BO=5, m∠BOA=各，“%=子，BC=3.在R△OBC中，由勾股定理，得0OC- 线 VB0=BC=V分-3=4，…点B的坐标为(4,3)：(2)25 5 思维拓展 15.解：1)在R△ABC中，∠C=90,sinA=BC=g,cosB=BC=;(2):在 AB c AB R△ABC巾，∠C=0amA=C=号：aB=瓷=名：(3)由I.得smA cosB,由(2)，得mA·anB=1:(4)①号 ②立 230°，45°，60°角的三角函数值 基础过关 1.B2.B3>4解：0)原式=3×号+2×号-厅+1：(2)原式 =+8-2. 5.A6.60°7.90°8.D9.30°10.解：在Rt△ABC中，∠BAC 第1页（共42页） =90°，∠ACB=45,AB=5m,∴AC=aA45=子=5(m).在Rt△ABD中，∠BAD= 90,∠D=30,AD=,AB=点=5B(m),CD=AD-AC=5V5-5≈5X1.732 tan30√5 -5=3.66(m).答：CD的长度约为3.66m. 能力提升 11.C12.A13.6-2 4 14.解：在Rt△ABC中，：BC=2,∠A=30°，∠ACB=90°， ∴AC=BC tan A 3 2=23,EF=AC=2尽.在R△ECF中，：∠E=45,∠FCE= 3 90.FC-EF.sin E=2/3x=:AF=AC-FC=2/-/6. 2 思维拓展 15.解：1111(1)过点B作BD⊥AC于点D,则∠ADB=90°.：在Rt△ABD 中，smA-0osA=品smA十osA=(0)+(0) =BD+AD.在 AB R△ABD中，由勾股定理，得BD+AD=AB,simA十cosA=1;(2):sinA=号， 3 simA+cosA=l,∠A为悦角casA=1-(号)=寺 3 三角函数的计算 基础过关 1.D2.C3.(1)0.45(2)0.52(3)0.64(4)-0.784.B5.B6.B7.70 8解：在R△ABC中，AB=120cm,∠BAC=90,∠B=3.7amB-6AC= AB·tanB≈120×0.67=80.4≈≈80(cm).答：AC的长约为80cm. 能力提升 ,2110解：过点A作AD1BC于点D,延长AD交地面于点E.”如月铝∠B =70°，.AD=AB·sin70°≈92×0.94=86.48(cm).易得DE=6cm,.AE=AD+ DE=86.48十6=92.48≈92.5(cm).答：把手A离地面的高度约为92.5cm. 思维拓展 11.解：过点E作EF⊥CD于点F,延长AB,DC交于点H,则∠EFD=90°.由题意，得 在R△EFD中，∠EDF=6O,BD=6m,sm∠EDF-第os∠EDF-品EF ED·sn60=6×9=35(m,FD=ED·cos60=6X2=3(m.由题意，得∠H= 90°，四边形AEFH是矩形，∴AH=EF=3√3m,HF=AE=1.5m.CF=CD-FD =3.5-3=0.5(m),∴.CH=HF-CF=1.5-0.5=1(m).在Rt△BCH中，∠H=90°， ∠BCH=180-∠D=180-135=45.:os∠BCH-g是an∠BCH-8盟， CH ·BC=CH S得-2E≈1.4m,BH=CHm行=1X1=1m.AB=AH BH=3√3-1≈4.2(m).答：BC的长度约为1.4m,AB的长度约为4.2m. 小专题一求锐角三角函数值的常用方法 1.B2.C3.24.A5.D6.B7.解：1)在R△ABC中，∠C=90,tanB= 5 含瓷=子，可设AC=3,BC=4,由勾股定理，易得AB=5x.:AB=5,5x=5,解 得x=1..AC=3,BC=4.:BD=1,.CD=BC-BD=4-1=3.在Rt△ACD中，由 勾股定理，得AD=√CD+AC=√3十3=3√2；(2)过点D作DE⊥AB于点E. 第2页（共42页） SAABD= AB,DE=2BD·AC,∴DE=BDAC=X3- AB 6 ,.sin∠BAD= DE5√2 AD3210' 8B9B10.号山A12A13专14.3 15.解：(1)在 R△DEA中，DE=2,simA=号，AD=DE-是=3，AB=DB+AD=9+3 sin A 2 12.在R△ABC中，AB=12,sinA=号BC=AB·sinA=12X号=8：(2)在 Rt△ABC中，AB=12,BC=8,由勾股定理，得AC=√/AB2-BC=√/122-82=4√5. 在Rt△DEA中，DE=2,AD=3,由勾股定理，得AE=√AD-DE=√/32-2=√5， .CE=AC-AE=4√5-√5=3W5.在Rt△DEC中，由勾股定理，得CD= V+DE=V3+交-ios∠CDE-8器-号.易得DE/BC,∠CDE =∠BCD,∴cOs∠BCD=coS∠CDE=名 4解直角三角形 基础过关 1.C2.45°45°203.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB-BC= √2-33，sinA=AB-25-∠A=30,∠B=90-∠A=90° -30°=60°.4.C5.D6.C7.解：如图.4 .在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B a B =60,∠A=90°-∠B=90°-60°=30.1anB=6,∴a= b=1.sin B tan B3 =b,c= b==2. c inB√5 能力提升 8.B9.C10.解：(1)AM⊥MN,DN⊥MN,∴.∠AMN=∠DNM=90°.AD∥ MN,..∠DAM=180°-∠AMV=180°-90°=90°，.四边形AMND是矩形，.AD= MN=ME十EF+FN=20.0十40.0十20.0=80.0(m),..“大碗”的口径AD的长为 80.0m;(2)延长CB交AM于点G.由题意，得BE=GM=2.4m,BG=ME=20.0m, BG⊥AM,∠EBG=90°，∴∠ABG=∠ABE-∠EBG=152°-90°=62°.在Rt△ABG 中，AG=BG·tan62°≈20.0×1.88=37.6(m),,.AM=AG+GM=37.6+2.4=40.0(m), .“大碗”的高度AM的长约为40.0m. 思维拓展 11.解：(1)2(2)如图② 取格点B,连接AB,BN,可得AB∥MC, ·∠CPN=∠BAN.易知△ABN为直角三角形，且∠ABN=90°.在Rt△ABN中，AB E,AN=VD.心eos∠CPN=ms∠BAN装-亮=号：（③）设BC的长度为单 位1，构造如图③所示的网格图， 取格点D,连接AD,DN,可得AD∥ CM,.∠CPN=∠DAN.易知△ADN为直角三角形，且∠ADN=90°.在Rt△ADN 中，AD=而.AN=26cs∠CPN=cos∠DAN=银-=S-号.÷∠CPN= 45°. 第3页（共42页）第2课时 锐 ②基础过关⊙逐点击破 知识点1正弦和余弦 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4, AB=5,那么sinA的值是 c D.3 4 (第1题图) (第2题图) 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4, AC=3,则cosB的值为 C. D. 3.在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=8,sinA= 三则DC的长为 ( A.6 B.7.5 C.8 D.12.5 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1,BC=√2， 则cosA的值为 知识点2正弦、余弦与梯子的倾斜程度 的关系 5.如图，梯子与地面的夹角为∠α，关于∠α的 三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系， 下列叙述正确的是 A.sina的值越小，梯子越陡 B.cosα的值越小，梯子越陡 C.梯子的长度决定倾斜程度 D.梯子的倾斜程度与∠α的 三角函数值无关 知识点3锐角三角函数 6.(教材P6习题T,变式)在△ABC中，∠C 90°，AC=8,BC=15,则下列三角函数值正 确的是 3数学九年级下册配BSD版 角的正弦、余弦 A.sin B.cos A=17 8 CanA=号 D.anB= 15 7.如图，某滑雪场有一坡角为α的滑雪道，滑雪 道AC的长为300m,则滑雪道的坡顶到坡 底的竖直高度AB的长为 A.300 cos a m B.300 sin a m C. 300 -m C-a cos a D. 30 -m sin a 8.在△ABC中，∠C=90,anA=3,则sinB 的值为 A.110 10 B号 c 38 9.（教材P6随堂练习T2变式)如图，在△ABC 巾，∠C=90,0sA=号AC=6,求△ABc 的周长和面积. 网能力提升。整合运用 10.迁移构造法如图，格点三角形ABC放置在 5×4的正方形网格中，则sin∠ABC的值 为 () B.3 C.⑤ D.25 5 (第10题图)（第11题图） 11.数学文化如图是源于我国汉代数学家赵爽 的弦图，它是由四个全等直角三角形与一 个小正方形拼成的一个大正方形.若小正 方形的面积为1，大正方形的面积为25，直 角三角形中较小的锐角为a,则cosα的值 为 ( A.B. C. D 12.如图，在四边形ABCD中，E,F分别是 AB,AD的中点.若EF=6,BC=13,CD= 5,则sinC的值为 (第12题图) (第13题图) 13.如图，某梯子长10m,斜靠在竖直的墙面 上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子 顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平 地面的点B处.现将梯子底端向墙面靠近， 使梯子与地面所成角为B,已知sina= c0sP=号，则梯子顶端上升了m, 14.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A 的坐标为(10,0)，点B在第一象限内， B0=5,sin∠B0A=3 (1)求点B的坐标； (2)cos∠BAO的值为 ⑤思维拓展⊙学科素养 15.(教材P,习题T3变式)如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，a,b,c分别表示Rt△ABC中 ∠A,∠B,∠C的对边， (1)求sinA,cosB; (2)求tanA,tanB; (3)观察(1)(2)中的计算结果，你能发现 sinA与cosB,tanA与tanB之间有什 么关系吗？ (4)应用： ①在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= 号则casB的值为 ； ②在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA= 2,则tanB的值为 第一章直角三角形的边角关系4