1.1 第1课时锐角的正切-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

第一章直角三角形的边角关系 1锐角三角函数 第1课时 锐角的正切 ②基础过关○逐点击破 知识点2正切与梯子的倾斜程度的关系 知识点1正切 4.(易错题)如图，梯子（长度不变）和地面所成 1.(云南)如图，在△ABC中，若∠B=90°，AB 的锐角为∠α，关于∠α的正切值与梯子的倾 =3,BC=4,则tanA的值为 斜程度的关系，下列叙述正确的是( ) A.tana的值越大，梯子越缓 A B c. B.tana的值越小，梯子越陡 C.tana的值越大，梯子越陡 D.梯子的倾斜程度与∠α的 正切值无关 [B.. 5.(教材P3例1变式)如图，甲、乙两个自动扶 (第1题图) (变式题图) 梯，比较陡的自动扶梯是 【变式】如图，在边长为1的小正方形组成的 网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则 26m 10m tanC的值为 ( ) B 7m A号 B c 甲 乙 A.甲 B.乙 2.(教材Ps习题T4变式)在Rt△ABC中， C.甲、乙一样陡 D.无法确定 ∠C=90,mA=号周mB的值为（ ) 知识点3坡度 A 号 c号 6.如图，AB是河堤横断面的迎水坡，堤高 AC=3,水平距离BC=1,则斜坡AB的坡 3.(教材P4习题T,变式)如图，在Rt△ABC 度为 ( 中，∠C=90°，BC=12cm,AB=20cm,求 tanA和tanB的值. A.3 B 5 C.30° D.60 i-1:55m (第6题图) (第7题图) 7.(教材P4随堂练习T2变式)如图，某地修建的 座建筑物的截面的高BC=5m,坡面AB的 坡比为1：√3，则AB的长度为 () A.10m B.103m C.5m D.5√3m 1数学九年级下册配BSD版 可能力提升。整合运用 12.如图，一座堤坝的横断面为梯形，AD∥BC, AB坡的坡角为45°，DC坡的坡度为1：2， 8.(教材P4习题T,变式)在△ABC中， 其他数据如图所示，求BC的长.（结果保留 AC=5,BC=4,AB=3,那么下列各式正确 根号) 的是 46m D AamA=号 B.tan A=4 10m CanA=号 D.tan A=5 9.如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点 上，则tanC的值为 ( 号 u B (第9题图) (变式题图) 【变式】如图所示的网格是正方形网格，点 A,B,C都在格点上，则tan∠BAC的值 ⊙思维拓展⊙学科素养 为 ) 13.定义：在直角三角形中，锐角α的邻边与对边 的比叫做角a的余切，记作cota,即cota= A.2 B. c.2￥5D.有 10.如图，在矩形ABCD中，AB=10,BC=8,E 角：鹤解盘限据上述角的余切定义，部答 为AD边上一点，沿CE将△CDE折叠，点 下列问题： D正好落在AB边上的点F处，则 (1)c0t30°= tan∠AFE的值为 (2)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= 子试求oA的值 (第10题图) (第11题图) 11.如图，点A在反比例函数y=上(x>0)的图 象上，点B在反比例函数y=一3(z<O)的 图象上，且OA⊥OB.线段AB交反比例函 数y=1(x>0)的图象于另一点C,连接 OC.若点C为AB的中点，则tan∠OCA 的值为 第一章直角三角形的边角关系2参考答案 第一章直角三角形的边角关系 1锐角三角函数 第1课时锐角的正切 基础过关 1.C【变式】C2.D3.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB-BC= V窗g=16emnA-器-号-是mB-瓷-9=手4.c5A 6.A7.A 能力提升 8B9.A【变式B10.是1.厅2.解：过点A作AE1BC于点E,过点D作 本DF1BC于点R.由题意，得mC-8F=合，CD=10m,∠B=45,AD=6m,易证四 帐 边形AEFD是矩形，.AE=DF,EF=AD=6m.设DF=xm,则CF=2xm.在 Rt△CFD中，由勾股定理，得DF2十CF=CD,即x2+(2x)2=10,解得x=2√5（负值 舍去)，.DF=2√5m,CF=4√5m,AE=2√5m.∠AEB=90°，∠B=45°，∴.BE= AE=2√5m,∴.BC=BE+EF+CF=2√5+6+4W5=(6√5+6)m.即BC的长为(6√5 十6)m. 思维拓展 她 13.解：(1)√3 ②：在R△ABC巾，mA-=oA-瓷-专 第2课时锐角的正弦、余弦 基础过关 1.C2.C3A4. 3 5.B6.B7.B8.D9.解：在Rt△ABC中，：∠C=90°， 0 sA-6=号AC=6AB=10,曲勾股定理，得BC=VAB-4A0=V0-6 8..Cawc=AB+AC+BC=10+6+8=24.Sawc-AC.BC-X6X8-24, △ABC的周长为24，面积为24. 能力提升 10.D11.D 2指 13.214.解：(1)过点B作BC⊥OA于点C.BO=5, m∠BOA=各，“%=子，BC=3.在R△OBC中，由勾股定理，得0OC- 线 VB0=BC=V分-3=4，…点B的坐标为(4,3)：(2)25 5 思维拓展 15.解：1)在R△ABC中，∠C=90,sinA=BC=g,cosB=BC=;(2):在 AB c AB R△ABC巾，∠C=0amA=C=号：aB=瓷=名：(3)由I.得smA cosB,由(2)，得mA·anB=1:(4)①号 ②立 230°，45°，60°角的三角函数值 基础过关 1.B2.B3>4解：0)原式=3×号+2×号-厅+1：(2)原式 =+8-2. 5.A6.60°7.90°8.D9.30°10.解：在Rt△ABC中，∠BAC 第1页（共42页） =90°，∠ACB=45,AB=5m,∴AC=aA45=子=5(m).在Rt△ABD中，∠BAD= 90,∠D=30,AD=,AB=点=5B(m),CD=AD-AC=5V5-5≈5X1.732 tan30√5 -5=3.66(m).答：CD的长度约为3.66m. 能力提升 11.C12.A13.6-2 4 14.解：在Rt△ABC中，：BC=2,∠A=30°，∠ACB=90°， ∴AC=BC tan A 3 2=23,EF=AC=2尽.在R△ECF中，：∠E=45,∠FCE= 3 90.FC-EF.sin E=2/3x=:AF=AC-FC=2/-/6. 2 思维拓展 15.解：1111(1)过点B作BD⊥AC于点D,则∠ADB=90°.：在Rt△ABD 中，smA-0osA=品smA十osA=(0)+(0) =BD+AD.在 AB R△ABD中，由勾股定理，得BD+AD=AB,simA十cosA=1;(2):sinA=号， 3 simA+cosA=l,∠A为悦角casA=1-(号)=寺 3 三角函数的计算 基础过关 1.D2.C3.(1)0.45(2)0.52(3)0.64(4)-0.784.B5.B6.B7.70 8解：在R△ABC中，AB=120cm,∠BAC=90,∠B=3.7amB-6AC= AB·tanB≈120×0.67=80.4≈≈80(cm).答：AC的长约为80cm. 能力提升 ,2110解：过点A作AD1BC于点D,延长AD交地面于点E.”如月铝∠B =70°，.AD=AB·sin70°≈92×0.94=86.48(cm).易得DE=6cm,.AE=AD+ DE=86.48十6=92.48≈92.5(cm).答：把手A离地面的高度约为92.5cm. 思维拓展 11.解：过点E作EF⊥CD于点F,延长AB,DC交于点H,则∠EFD=90°.由题意，得 在R△EFD中，∠EDF=6O,BD=6m,sm∠EDF-第os∠EDF-品EF ED·sn60=6×9=35(m,FD=ED·cos60=6X2=3(m.由题意，得∠H= 90°，四边形AEFH是矩形，∴AH=EF=3√3m,HF=AE=1.5m.CF=CD-FD =3.5-3=0.5(m),∴.CH=HF-CF=1.5-0.5=1(m).在Rt△BCH中，∠H=90°， ∠BCH=180-∠D=180-135=45.:os∠BCH-g是an∠BCH-8盟， CH ·BC=CH S得-2E≈1.4m,BH=CHm行=1X1=1m.AB=AH BH=3√3-1≈4.2(m).答：BC的长度约为1.4m,AB的长度约为4.2m. 小专题一求锐角三角函数值的常用方法 1.B2.C3.24.A5.D6.B7.解：1)在R△ABC中，∠C=90,tanB= 5 含瓷=子，可设AC=3,BC=4,由勾股定理，易得AB=5x.:AB=5,5x=5,解 得x=1..AC=3,BC=4.:BD=1,.CD=BC-BD=4-1=3.在Rt△ACD中，由 勾股定理，得AD=√CD+AC=√3十3=3√2；(2)过点D作DE⊥AB于点E. 第2页（共42页） SAABD= AB,DE=2BD·AC,∴DE=BDAC=X3- AB 6 ,.sin∠BAD= DE5√2 AD3210' 8B9B10.号山A12A13专14.3 15.解：(1)在 R△DEA中，DE=2,simA=号，AD=DE-是=3，AB=DB+AD=9+3 sin A 2 12.在R△ABC中，AB=12,sinA=号BC=AB·sinA=12X号=8：(2)在 Rt△ABC中，AB=12,BC=8,由勾股定理，得AC=√/AB2-BC=√/122-82=4√5. 在Rt△DEA中，DE=2,AD=3,由勾股定理，得AE=√AD-DE=√/32-2=√5， .CE=AC-AE=4√5-√5=3W5.在Rt△DEC中，由勾股定理，得CD= V+DE=V3+交-ios∠CDE-8器-号.易得DE/BC,∠CDE =∠BCD,∴cOs∠BCD=coS∠CDE=名 4解直角三角形 基础过关 1.C2.45°45°203.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB-BC= √2-33，sinA=AB-25-∠A=30,∠B=90-∠A=90° -30°=60°.4.C5.D6.C7.解：如图.4 .在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B a B =60,∠A=90°-∠B=90°-60°=30.1anB=6,∴a= b=1.sin B tan B3 =b,c= b==2. c inB√5 能力提升 8.B9.C10.解：(1)AM⊥MN,DN⊥MN,∴.∠AMN=∠DNM=90°.AD∥ MN,..∠DAM=180°-∠AMV=180°-90°=90°，.四边形AMND是矩形，.AD= MN=ME十EF+FN=20.0十40.0十20.0=80.0(m),..“大碗”的口径AD的长为 80.0m;(2)延长CB交AM于点G.由题意，得BE=GM=2.4m,BG=ME=20.0m, BG⊥AM,∠EBG=90°，∴∠ABG=∠ABE-∠EBG=152°-90°=62°.在Rt△ABG 中，AG=BG·tan62°≈20.0×1.88=37.6(m),,.AM=AG+GM=37.6+2.4=40.0(m), .“大碗”的高度AM的长约为40.0m. 思维拓展 11.解：(1)2(2)如图② 取格点B,连接AB,BN,可得AB∥MC, ·∠CPN=∠BAN.易知△ABN为直角三角形，且∠ABN=90°.在Rt△ABN中，AB E,AN=VD.心eos∠CPN=ms∠BAN装-亮=号：（③）设BC的长度为单 位1，构造如图③所示的网格图， 取格点D,连接AD,DN,可得AD∥ CM,.∠CPN=∠DAN.易知△ADN为直角三角形，且∠ADN=90°.在Rt△ADN 中，AD=而.AN=26cs∠CPN=cos∠DAN=银-=S-号.÷∠CPN= 45°. 第3页（共42页）