2025-2026学年高一寒假精英物理讲义：第11讲 动力学中的连接体和临界、极值问题

动力学中的连接体和临界、极值问题 【目标要求】　 1.知道连接体的类型以及运动特点，会用整体法、隔离法解决连接体问题。 2.理解几种常见的临界极值条件，会用极限法、假设法、数学方法解决临界极值问题。 【理解规律】 一、动力学中的连接体问题 多个相互关联的物体连接(叠放、并排或由绳子、细杆、弹簧等联系)在一起构成的物体系统称为连接体。系统稳定时连接体一般具有相同的速度、加速度(或速度、加速度大小相等)。 1.共速连接体 两物体通过弹力、摩擦力作用，具有相同的速度和相同的加速度。 (1)绳的拉力(或物体间的弹力)相关类连接体 (2)叠加类连接体(一般与摩擦力相关) 例1　(2023·湖南岳阳市检测)如图所示，水平面上有两个质量分别为m1和m2的木块1和2，中间用一条轻绳连接，两木块的材料相同，现用力F向右拉木块2，当两木块一起向右做匀加速直线运动时，已知重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A.若水平面是光滑的，则m2越大，绳的拉力越大 B.若木块和水平面间的动摩擦因数为μ，则绳的拉力为＋μm1g C.绳的拉力大小与水平面是否粗糙无关 D.绳的拉力大小与水平面是否粗糙有关 答案　C 解析　若设木块和地面间的动摩擦因数为μ，以两木块整体为研究对象，根据牛顿第二定律有 F－μ(m1＋m2)g＝(m1＋m2)a， 得a＝，以木块1为研究对象，根据牛顿第二定律有FT－μm1g＝m1a，得a＝，系统加速度与木块1加速度相同，联立解得FT＝F，可知绳子拉力大小与动摩擦因数μ无关，与两木块质量大小有关，无论水平面是光滑的还是粗糙的，绳的拉力大小均为FT＝F，且m2越大，绳的拉力越小，故选C。 拓展1　两个质量分别为m1和m2的木块1和2，中间用一条轻绳连接。 ①如图甲所示，用力F竖直向上拉木块时，绳的拉力大小FT＝　　　　　；  ②如图乙所示，用力F沿光滑固定斜面向上拉木块时，绳的拉力大小为　　　　　；斜面不光滑时绳的拉力大小FT＝　　　　　。  答案　①　②　 拓展2　若质量为m1和m2的木块A和B叠放在一起，放在光滑水平面上，B在拉力F的作用下，A、B一起(相对静止)做匀加速直线运动，则A受到的摩擦力大小为　　　。  答案　 【小结1】 1.整体法与隔离法在分析共速连接体问题中的应用 (1)整体法：若连接体内的物体具有共同加速度，可以把它们看成一个整体，分析整体受到的外力，应用牛顿第二定律求出加速度； (2)隔离法：求系统内两物体之间的作用力时，就需要把物体从系统中隔离出来，应用牛顿第二定律列方程求解； (3)整体法和隔离法交替使用：一般情况下，若连接体内各物体具有相同的加速度，且求物体之间的作用力时，可以先用整体法求出加速度，然后再隔离某一物体，应用牛顿第二定律求相互作用力；若求某一外力，可以先隔离某一物体求出加速度，再用整体法求合外力或某一个力。 2.共速连接体对合力的“分配协议” 一起做加速运动的物体组成的系统，若外力F作用于m1上，则m1和m2之间的相互作用力FT＝，若作用于m2上，则FT＝。此“协议”与有无摩擦无关(若有摩擦，两物体与接触面间的动摩擦因数必须相同)，与两物体间有无连接物、是何种连接物(轻绳、轻杆、轻弹簧)无关，而且无论物体组成的系统处于平面、斜面还是竖直方向，此“协议”都成立。 【变式1】如图所示，粗糙水平面上两物块，质量分别为M、m在已知在与水平方向夹角为θ的推力F的作用下，M、m一起做匀加速直线运动，地面动摩擦因数为μ求M对m的作用力的大小． 答案　 解析　仍采用力的分配思想来解决此题。如果F是水平的，则可以很简单写出作用力为。现在F变为倾斜向下，那么在F的作用下M受到的摩擦力增加了μFcosθ，那么与不加外力的情况相比，M受到了一个水平向右的和一个水平向左的，则系统按质量分配这两个力的合力。（整体法与隔离法不再解析） 【变式2】（2025江西模拟）如图，光滑水平面上A、B两个物体通过细线连接，两物体的质量分别为mA、mB，物体A、B在大小为FA和FB的水平恒力作用下共同做匀加速直线运动，则细线的拉力大小为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】FA作用在A上时贡献的绳拉力为，FB作用在B上时贡献的绳拉力为，则答案选C。整体法与隔离法不再解析。 2.速度关联的连接体 轻绳在伸直状态下，两端的连接体沿绳方向的速度大小总是相等。下面三图中A、B两物体速度和加速度大小相等，方向不同。 例2　(多选)如图所示，固定在地面上的光滑斜面体倾角为θ＝30°，一根轻绳跨过斜面体顶端的光滑定滑轮，绳两端系有小物块a、b，a的质量为2m，b的质量为4m。重力加速度为g，定滑轮左侧轻绳与斜面平行，右侧轻绳竖直。将a、b由静止释放，则下列说法正确的是(　　) A.绳子对b的拉力大小为4mg B.a的加速度大小为 C.绳子对定滑轮的作用大小为2mg D.在相同时间内(b未触地)，a、b速度变化量大小不相等 答案　BC 解析　在相同时间内(b未触地)，a、b加速度的大小相等，速度变化量大小相等，D错误；以b为研究对象，设绳子拉力为FT，由牛顿第二定律有4mg－FT＝4ma，以a为研究对象，由牛顿第二定律有FT－2mgsin θ＝2ma，联立解得FT＝2mg，a＝，故A错误，B正确；由几何关系知，两侧绳子的夹角为60°，则绳子对定滑轮的作用力大小为F＝2FTcos 30°＝2mg，故C正确。 【小结1】 关联速度连接体做加速运动时，由于加速度的方向不同，一般采用分别选取研究对象，对两物体分别列牛顿第二定律方程，用隔离法求解加速度及相互作用力。 【变式3】(2021·海南卷·7)如图，两物块P、Q用跨过光滑轻质定滑轮的轻绳相连，开始时P静止在水平桌面上。将一个水平向右的推力F作用在P上后，轻绳的张力变为原来的一半。已知P、Q两物块的质量分别为mP＝0.5 kg、mQ＝0.2 kg，P与桌面间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g＝10 m/s2。则推力F的大小为(　　) A.4.0 N B.3.0 N C.2.5 N D.1.5 N 答案　A 解析　P静止在水平桌面上时，由平衡条件有FT1＝mQg＝2 N，Ff＝FT1＝2 N<μmPg＝2.5 N，推力F作用在P上后，轻绳的张力变为原来的一半，即FT2＝＝1 N，故Q物块加速下降，有mQg－FT2＝mQa，可得a＝5 m/s2，而P物块将以相同大小的加速度向右加速运动，对P由牛顿第二定律有FT2＋F－μmPg＝mPa，解得F＝4.0 N，故选A。 【变式4】(2024·全国甲卷·15)如图，一轻绳跨过光滑定滑轮，绳的一端系物块P，P置于水平桌面上，与桌面间存在摩擦；绳的另一端悬挂一轻盘(质量可忽略)，盘中放置砝码。改变盘中砝码总质量m，并测量P的加速度大小a，得到a－m图像。重力加速度大小为g。在下列a－m图像中，可能正确的是(　　) 答案　D 解析　当m质量较小时，由于P与桌面存在摩擦，a＝0；当m趋于无穷大时，加速度大小趋近于g。故选D。 【小结2】对于速度关联的连接体问题可以采用“动力和阻力”的思想进行快速求解，如变式3中F和Q的重力共同提供了系统运动的“动力”，P受到的摩擦力为系统运动的阻力，这三个力的“合力”提供了系统运动的加速度，则可直接列出 二、动力学中的临界和极值问题 1.常见的临界条件 (1)两物体脱离的临界条件：FN＝0。 (2)相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值。 (3)绳子断裂或松弛的临界条件：绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是FT＝0。 例3　(2023·湖南长沙市期末)如图所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端叠放两个质量均为1 kg的物体A、B(B物体与弹簧拴接)，弹簧的劲度系数为k＝50 N/m，初始时系统处于静止状态。现用一方向竖直向上的拉力F作用在物体A上，使物体A开始向上做加速度大小a为4 m/s2的匀加速直线运动，重力加速度g取10 m/s2，空气阻力忽略不计，下列说法正确的是(　　) A.外力F刚施加的瞬间，F的大小为4 N B.当弹簧压缩量减小到0.3 m时，A、B间弹力大小为1.2 N C.A、B分离时，A物体的位移大小为0.12 m D.B物体速度达到最大时，B物体的位移为0.22 m 答案　C 解析　施加外力前，系统处于静止状态，对整体受力分析，由平衡条件得2mg＝kx0，代入数据解得x0＝0.4 m，外力施加的瞬间，物体A加速度为4 m/s2，对整体，由牛顿第二定律得F－2mg＋kx0＝2ma，代入数据解得F＝8 N，故A错误；当弹簧压缩量减小到0.3 m时，设A、B间弹力大小为FAB，对A受力分析，由牛顿第二定律得F'＋FAB－mg＝ma，对A、B组成的系统受力分析，由牛顿第二定律得F'＋kx1－2mg＝2ma，代入数据联立解得FAB＝1 N，故B错误；设A、B分离时，弹簧的形变量为x2，对B受力分析，由牛顿第二定律得kx2－mg＝ma，代入数据解得x2＝0.28 m，所以A物体的位移大小为x0－x2＝0.4 m－0.28 m＝0.12 m，故C正确；当B物体的合力为零时速度达到最大，由C项可知A、B分离时有向上的加速度，所以速度最大时A、B已经分离，当合力为零时，对B受力分析，由平衡条件得kx3＝mg，代入数据解得x3＝0.2 m，故B物体的位移大小为x0－x3＝0.2 m，故D错误。 例4　如图甲所示，物块A、B静止叠放在水平地面上，B受到从零开始逐渐增大的水平拉力F的作用，A、B间的摩擦力Ff1、B与地面间的摩擦力Ff2随水平拉力F变化的情况如图乙所示。已知物块A的质量m＝3 kg，g取10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 (1)分析图乙可知，A、B间最大静摩擦力为　　　　 N，B与地面间最大静摩擦力为　　　　 N，F＝　　　　 N时，B开始滑动，F＝　　　　 N时，A、B间发生相对滑动；  (2)下列说法正确的是　　　　。  A.两物块间的动摩擦因数为0.2 B.当0<F<4 N时，A、B保持静止 C.当4 N<F<12 N时，A、B发生相对滑动 D.当F>12 N时，A的加速度随F的增大而增大 答案　(1)6　4　4　12　(2)AB 解析　(2)根据题图乙可知，发生相对滑动时，A、B间的滑动摩擦力为6 N，所以A、B之间的动摩擦因数μ＝＝0.2，选项A正确；当0<F<4 N时，根据题图乙可知，Ff2还未达到B与地面间的最大静摩擦力，此时A、B保持静止，选项B正确；当4 N<F<12 N时，根据题图乙可知，此时A、B间的摩擦力还未达到最大静摩擦力，所以没有发生相对滑动，选项C错误；当F>12 N时，根据题图乙可知，此时A、B发生相对滑动，对物块A有a＝＝2 m/s2，加速度不变，选项D错误。 【例5】(2023·北京卷·6)如图所示，在光滑水平地面上，两相同物块用细线相连，两物块质量均为1 kg，细线能承受的最大拉力为2 N。若在水平拉力F作用下，两物块一起向右做匀加速直线运动。则F的最大值为(　　) A.1 N B.2 N C.4 N D.5 N 答案　C 解析　对两物块整体受力分析有Fmax＝2ma，再对后面的物块受力分析有FTmax＝ma，又FTmax＝2 N，联立解得Fmax＝4 N，故选C。 【小结3】 处理临界问题的三种方法 极限法 把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的 假设法 临界问题存在多种可能，特别是有非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题 数学法 将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件 【课堂提升1】如图甲所示，一个质量m＝0.5 kg的小物块(可看成质点)，以v0＝2 m/s的初速度在平行斜面向上的拉力F＝6 N作用下沿斜面向上做匀加速运动，经t＝2 s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L＝8 m，已知斜面倾角θ＝37°，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求： (1)物块加速度a的大小； (2)物块与斜面之间的动摩擦因数μ； (3)若拉力F的大小和方向可调节，如图乙所示，为保持原加速度不变，F的最小值是多少。 答案　(1)2 m/s2　(2)0.5　(3) N 解析　(1)根据L＝v0t＋at2， 代入数据解得a＝2 m/s2。 (2)根据牛顿第二定律有F－mgsin θ－μmgcos θ＝ma，代入数据解得μ＝0.5。 (3)设F与斜面夹角为α， 平行斜面方向有Fcos α－mgsin θ－μFN＝ma 垂直斜面方向有FN＋Fsin α＝mgcos θ 联立解得F＝ ＝ 当sin(φ＋α)＝1时，F有最小值Fmin， 代入数据解得Fmin＝ N。 随堂练习 1.如图，质量mA＝0.1 kg、mB＝0.4 kg的A、B两物体在水平推力F＝1.5 N的作用下，沿光滑水平面做匀加速直线运动，物体A、B始终保持相对静止。A和B接触面竖直，且A不与地面接触。已知物体A和B之间的动摩擦因数为0.9，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　　) A.A、B两物体的加速度大小为0.3 m/s2 B.A、B两物体之间的压力大小为1.2 N C.A、B两物体之间的摩擦力大小为1.08 N D.B物体对地面的压力大小为4 N 答案　B 解析　对A、B两物体整体进行受力分析，根据牛顿第二定律F＝(mA＋mB)a，解得A、B两物体的加速度大小为a＝3 m/s2，故A错误；对A、B两物体整体进行受力分析，竖直方向有FN＝(mA＋mB)g＝5 N，故B对地面的压力大小为5 N，故D错误；对A进行受力分析，水平方向有F－FBA＝mAa，故B对A的弹力FBA＝1.2 N，故B正确；对A进行受力分析，竖直方向有FfAB＝mAg＝1 N，故A、B之间的摩擦力大小始终为1 N，故C错误。 2.(多选)如图所示，质量为M=2 kg的凹形槽在水平拉力F作用下向左做匀加速直线运动。凹形槽与水平地面间的动摩擦因数为μ1=0.7，凹形槽内有一质量为m=1 kg的小铁块恰好能静止在后壁上，铁块与凹形槽间的动摩擦因数为μ2=0.5。运动一段时间后逐渐减小拉力(但凹形槽仍做加速运动)，铁块开始沿凹形槽竖直的后壁落到底部且不反弹。之后当凹形槽的速度为v0=4 m/s时突然撤去拉力，最终铁块恰好没有与凹形槽的前壁相碰，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2，不计铁块大小和槽的厚度，则开始运动时拉力F的大小和凹形槽的长度L分别为(　　) A.F=81 N B.F=162 N C.L=0.6 m D.L=1.2 m 答案　AC 解析　铁块恰好能静止在凹形槽后壁上，竖直方向受力平衡，由平衡条件有mg=μ2FN，对铁块，在水平方向上，根据牛顿第二定律有FN=ma，以铁块和凹形槽组成的整体为研究对象，根据牛顿第二定律有F-μ1(M+m)g=(M+m)a，联立解得F=81 N，因为μ1>μ2，所以撤去拉力后铁块与凹形槽发生相对滑动，当凹形槽停止后，铁块继续减速至零。对铁块受力分析，根据牛顿第二定律有μ2mg=ma1，对凹形槽受力分析，根据牛顿第二定律有μ1(M+m)g-μ2mg=Ma2，铁块运动的位移为x1=，凹形槽运动的位移为x2=，凹形槽的长度为L=x1-x2，联立解得L=0.6 m，故选A、C。 3.(2025·湖南岳阳市校考)如图所示，细线的一端固定在倾角为30°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球，静止时细线与斜面平行。已知重力加速度为g。使滑块以加速度a＝2g水平向左加速运动，小球与滑块相对静止，则下列说法中正确的是(　　) A.细线对小球的拉力大小为mg B.细线对小球的拉力大小为()mg C.小球对滑块的压力大小为mg D.小球对滑块的压力大小为2mg 答案　A 解析　设当小球贴着滑块一起向左运动且支持力为零时加速度为a0，小球受到重力、拉力作用，根据牛顿第二定律a0＝gtan 60°＝g，当滑块以加速度a＝2g向左加速运动时，此时小球已经飘离斜面，则此刻小球对滑块的压力为0，设此时细线与水平方向的夹角为α，故有FTsin α＝mg，FTcos α＝ma＝2mg，解得FT＝mg，故A正确，B、C、D错误。 4.(多选)(2024·湖南岳阳市一模)如图所示，矩形盒内用两根不可伸长的轻线固定一个质量为m＝0.6 kg的匀质小球，a线与水平方向成37°角，b线水平。两根轻线所能承受的最大拉力都是Fm＝15 N，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则(　　) A.系统静止时，a线所受的拉力大小12 N B.系统静止时，b线所受的拉力大小8 N C.当系统沿竖直方向匀加速上升时，为保证轻线不被拉断，加速度最大为5 m/s2 D.当系统沿水平方向向右匀加速运动时，为保证轻线不被拉断，加速度最大为10 m/s2 答案　BC 解析　系统静止时，小球受力如图甲所示，竖直方向有Fa·sin 37°＝mg，水平方向有Fa·cos 37°＝Fb，解得Fa＝10 N，Fb＝8 N，故B正确，A错误；系统竖直向上匀加速运动时，小球受力如图乙所示 当a线拉力为15 N时，由牛顿第二定律得，竖直方向有Fm·sin 37°－mg＝ma，水平方向有Fm·cos 37°＝Fb，解得Fb＝12 N，此时加速度有最大值a＝5 m/s2，故C正确；系统水平向右匀加速运动时，由牛顿第二定律得，竖直方向有Fa·sin 37°＝mg，水平方向有Fb－Fa·cos 37°＝ma 解得Fa＝10 N，当Fb＝15 N时，加速度最大为a≈11.7 m/s2，故D错误。 5.马车是古代的主要运输工具，如图所示为一匹马水平拉动一车货物，其中最上面有两个木板A和B，A、B之间和B与车之间接触面都水平，A、B之间的动摩擦因数为μ1，B与车之间的动摩擦因数为μ2，A质量为m，B质量为2m，车的质量为5m，地面对车的摩擦力不计，马给车的水平拉力为F，A、B始终没有离开车表面，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　) A.若μ1>μ2，逐渐增大F，A会相对B先滑动 B.若μ1>μ2，当F＝8μ2mg时，B与车之间开始相对滑动 C.若μ1<μ2，不管F多大，A、B都不会相对滑动 D.若μ1<μ2，A、B与车都相对静止，F的最大值为6μ1mg 答案　B 解析　若μ1>μ2，B相对于车比A相对于B先滑动，所以不管F多大，B相对车滑动后，A相对B一直静止，故A错误；若μ1>μ2，整体相对静止的最大拉力F＝8μ2mg，当F＝8μ2mg时，B与车之间开始相对滑动，故B正确；若μ1<μ2，A相对B比B相对于车先滑动，故C错误；若μ1<μ2，A、B与车都相对静止，系统的最大加速度为a＝μ1g，则对整体受力分析知最大拉力F＝8μ1mg，故D错误。 6.如图所示，用足够长的轻质细绳绕过两个光滑轻质滑轮将木箱与重物连接，木箱质量M＝8 kg，重物质量m＝2 kg，木箱与地面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2。 (1)要使装置能静止，木箱与地面间的动摩擦因数需满足什么条件？ (2)若木箱与地面间的动摩擦因数μ＝0.4，用大小为80 N的水平拉力F将木箱由静止向左拉动位移x＝0.5 m时，求重物的速度大小v。 答案　(1)μ≥0.5　(2) m/s 解析　(1)对重物受力分析，根据受力平衡可得 FT＝mg＝20 N 对木箱受力分析，可得Ff＝2FT，又Ff＝μMg 联立解得μ＝0.5，故要使装置能静止，木箱与地面间的动摩擦因数需满足μ≥0.5。 (2)设木箱加速度大小为a，则重物加速度大小为2a，对重物受力分析，根据牛顿第二定律可得 FT'－mg＝2ma 对木箱受力分析，有F－μMg－2FT'＝Ma 解得a＝0.5 m/s2 当拉动木箱向左匀加速运动的位移为x＝0.5 m时，重物向上的位移为h＝2x＝1 m，由2×2a·h＝v2，可得此时重物的速度大小为v＝ m/s。 7.(多选)(2025·湖南邵阳市检测)如图所示，倾角为30°足够长的固定光滑斜面底端有一固定挡板，轻弹簧一端与挡板连接，另一端与物块A接触但不连接，A上方放置另一物块B，B与物块C用跨过光滑轻质定滑轮的细线连接，B与定滑轮间的细线与斜面平行。开始时用手托住C，使细线处于伸直但不拉紧的状态，此时A、B静止在斜面上。某时刻突然释放C，一段时间后A、B分离，此时C未触地。已知A、B分离时，B的速度大小为v，A、B、C的质量均为m，弹簧劲度系数为k，弹簧的形变始终在弹性限度内，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　) A.刚释放C时，A、B间的弹力大小为mg B.A、B分离时，B的加速度大小为g C.A的速度最大时沿斜面上升的距离为 D.分离时刻弹簧处于被压缩状态 答案　BD 解析　未释放C时，设弹簧的弹力为F，以A、B为研究对象，则有F=2mgsin 30°=mg，刚释放C时，设A、B间的弹力为F'，细线的拉力为FT，此时的加速度为a，对于C而言，有mg-FT=ma，对于B而言，则有FT+F'-mgsin 30°=ma，以A为研究对象，根据牛顿第二定律F-F'-mgsin 30°=ma，联立解得a=g，F'=mg，A错误；A、B分离时，其间的弹力为零，设此时B的加速度为a'，细线的拉力为FT'，以C为研究对象则有mg-FT'=ma'，以B为研究对象，根据牛顿第二定律可知FT'-mgsin 30°=ma'，解得a'=g，B正确；初始时弹簧的压缩量x==，当A的速度最大时，弹簧弹力与A重力沿斜面向下的分力平衡，则有x'==，故A的速度最大时沿斜面上升的距离Δx=x-x'=，C错误；A、B分离瞬间，它们具有共同沿斜面向上的加速度，合外力沿斜面向上，故弹簧仍处于压缩状态，D正确。 8．如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端有固定转动轴O，杆可在竖直面内绕转动轴O无摩擦转动；质量为m的物块放置在光滑水平面上，开始时，使小球靠在物块的光滑侧面上，轻杆与水平面夹角45°，用手控制物块静止，然后释放物块，在之后球与物块运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．球与物块分离前，杆上的弹力逐渐增大 B．球与物块分离前，球与物块的速度相等 C．球与物块分离前，物块的速度先增大后减小 D．球与物块分离时，球的加速度等于重力加速度 【答案】D 【详解】AD．对小球和物块整体受力分析，受重力，杆的弹力F，地面的支持力FN，如图1所示， 在水平方向由牛顿第二定律得 分离后物块的加速度为零，可知在球与物块分离前，物块的加速度逐渐减小，而小球水平方向的分加速度与物块的加速度相等，所以物块的水平方向分加速度逐渐减小，而逐渐增大，所以弹力逐渐减小，当恰好分离时，水平加速度为零，弹力为零，球只受重力，加速度等于重力加速度g，故A错误，D正确； B．设球的速度为v，球与物块分离前，物块与球的水平速度相等，球的速度与杆垂直向下，如图2所示， 将球的速度分解为水平方向和竖直方向两个分速度，由图可知，球的速度大于物块的速度，故B错误； C．由于地面光滑，杆对物块的弹力始终向左，物块的加速度始终向左，所以物块一直加速，故C错误。故选D。 学科网（北京）股份有限公司 $ 动力学中的连接体和临界、极值问题 【体系构建】 1．知道连接体的类型以及运动特点，会用整体法、隔离法解决连接体问题。 2．理解几种常见的临界极值条件，会用极限法、假设法、数学方法解决临界极值问题。 【必备知识】 知识点一 动力学中的连接体问题 多个相互关联的物体连接（叠放、并排或由绳子、细杆、弹簧等联系）在一起构成的物体系统称为连接体。系统稳定时连接体一般具有相同的速度、加速度（或速度、加速度大小相等）。 1．共速连接体 两物体通过弹力、摩擦力作用，具有相同的速度和相同的加速度。 （1）绳的拉力（或物体间的弹力）相关类连接体 （2）叠加类连接体（一般与摩擦力相关） 例1．（2023·湖南岳阳市检测）如图所示，水平面上有两个质量分别为m1和m2的木块1和2，中间用一条轻绳连接，两木块的材料相同，现用力F向右拉木块2，当两木块一起向右做匀加速直线运动时，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（ ） A．若水平面是光滑的，则m2越大，绳的拉力越大 B．若木块和水平面间的动摩擦因数为μ，则绳的拉力为+ μm1g C．绳的拉力大小与水平面是否粗糙无关 D．绳的拉力大小与水平面是否粗糙有关 拓展1．两个质量分别为m1和m2的木块1和2，中间用一条轻绳连接。 ①如图甲所示，用力F竖直向上拉木块时，绳的拉力大小FT =___________； ②如图乙所示，用力F沿光滑固定斜面向上拉木块时，绳的拉力大小为___________；斜面不光滑时绳的拉力大小FT =___________。 拓展2．若质量为m1和m2的木块A和B叠放在一起，放在光滑水平面上，B在拉力F的作用下，A、B一起（相对静止）做匀加速直线运动，则A受到的摩擦力大小为___________。 【小结】 1．整体法与隔离法在分析共速连接体问题中的应用。 （1）整体法：若连接体内的物体具有共同加速度，可以把它们看成一个整体，分析整体受到的外力，应用牛顿第二定律求出加速度； （2）隔离法：求系统内两物体之间的作用力时，就需要把物体从系统中隔离出来，应用牛顿第二定律列方程求解； （3）整体法和隔离法交替使用：一般情况下，若连接体内各物体具有相同的加速度，且求物体之间的作用力时，可以先用整体法求出加速度，然后再隔离某一物体，应用牛顿第二定律求相互作用力；若求某一外力，可以先隔离某一物体求出加速度，再用整体法求合外力或某一个力。 2．共速连接体对合力的“分配协议”。 一起做加速运动的物体组成的系统，若外力F作用于m1上，则m1和m2之间的相互作用力FT = ，若作用于m2上，则FT = 。此“协议”与有无摩擦无关（若有摩擦，两物体与接触面间的动摩擦因数必须相同），与两物体间有无连接物、是何种连接物（轻绳、轻杆、轻弹簧）无关，而且无论物体组成的系统处于平面、斜面还是竖直方向，此“协议”都成立。 【变式1】如图所示，粗糙水平面上两物块，质量分别为M、m在已知在与水平方向夹角为θ的推力F的作用下，M、m一起做匀加速直线运动，地面动摩擦因数为μ求M对m的作用力的大小。 【变式2】（2025江西模拟）如图，光滑水平面上A、B两个物体通过细线连接，两物体的质量分别为mA、mB，物体A、B在大小为FA和FB的水平恒力作用下共同做匀加速直线运动，则细线的拉力大小为（ ） A．0 B． C． D． 2．速度关联的连接体 轻绳在伸直状态下，两端的连接体沿绳方向的速度大小总是相等。下面三图中A、B两物体速度和加速度大小相等，方向不同。 例2．（多选）如图所示，固定在地面上的光滑斜面体倾角为θ = 30°，一根轻绳跨过斜面体顶端的光滑定滑轮，绳两端系有小物块a、b，a的质量为2m，b的质量为4m。重力加速度为g，定滑轮左侧轻绳与斜面平行，右侧轻绳竖直。将a、b由静止释放，则下列说法正确的是（ ） A．绳子对b的拉力大小为4mg B．a的加速度大小为 C．绳子对定滑轮的作用大小为2mg D．在相同时间内（b未触地），a、b速度变化量大小不相等 【小结】 关联速度连接体做加速运动时，由于加速度的方向不同，一般采用分别选取研究对象，对两物体分别列牛顿第二定律方程，用隔离法求解加速度及相互作用力。 【变式3】（2021·海南卷·7）如图，两物块P、Q用跨过光滑轻质定滑轮的轻绳相连，开始时P静止在水平桌面上。将一个水平向右的推力F作用在P上后，轻绳的张力变为原来的一半。已知P、Q两物块的质量分别为mP = 0.5 kg、mQ = 0.2 kg，P与桌面间的动摩擦因数μ = 0.5，重力加速度g = 10 m/s2。则推力F的大小为（ ） A．4.0 N B．3.0 N C．2.5 N D．1.5 N 【变式4】（2024·全国甲卷·15）如图，一轻绳跨过光滑定滑轮，绳的一端系物块P，P置于水平桌面上，与桌面间存在摩擦；绳的另一端悬挂一轻盘（质量可忽略），盘中放置砝码。改变盘中砝码总质量m，并测量P的加速度大小a，得到a－m图像。重力加速度大小为g。在下列a－m图像中，可能正确的是（ ） 【小结】对于速度关联的连接体问题可以采用“动力和阻力”的思想进行快速求解，如变式3中F和Q的重力共同提供了系统运动的“动力”，P受到的摩擦力为系统运动的阻力，这三个力的“合力”提供了系统运动的加速度，则可直接列出 知识点二 动力学中的临界和极值问题 1．常见的临界条件 （1）两物体脱离的临界条件：FN = 0。 （1）相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值。 （3）绳子断裂或松弛的临界条件：绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是FT = 0。 例3．（2023·湖南长沙市期末）如图所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端叠放两个质量均为1 kg的物体A、B（B物体与弹簧拴接），弹簧的劲度系数为k = 50 N/m，初始时系统处于静止状态。现用一方向竖直向上的拉力F作用在物体A上，使物体A开始向上做加速度大小a为4 m/s2的匀加速直线运动，重力加速度g取10 m/s2，空气阻力忽略不计，下列说法正确的是（ ） A．外力F刚施加的瞬间，F的大小为4 N B．当弹簧压缩量减小到0.3 m时，A、B间弹力大小为1.2 N C．A、B分离时，A物体的位移大小为0.12 m D．B物体速度达到最大时，B物体的位移为0.22 m 例4．如图甲所示，物块A、B静止叠放在水平地面上，B受到从零开始逐渐增大的水平拉力F的作用，A、B间的摩擦力Ff1、B与地面间的摩擦力Ff2随水平拉力F变化的情况如图乙所示。已知物块A的质量m = 3 kg，g取10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 （1）分析图乙可知，A、B间最大静摩擦力为__________N，B与地面间最大静摩擦力为__________N，F =__________N时，B开始滑动，F =__________N时，A、B间发生相对滑动； （2）下列说法正确的是__________。 A．两物块间的动摩擦因数为0.2 B．当0＜F＜4 N时，A、B保持静止 C．当4 N＜F＜12 N时，A、B发生相对滑动 D．当F＞12 N时，A的加速度随F的增大而增大 例5．（2023·北京卷·6）如图所示，在光滑水平地面上，两相同物块用细线相连，两物块质量均为1 kg，细线能承受的最大拉力为2 N。若在水平拉力F作用下，两物块一起向右做匀加速直线运动。则F的最大值为（ ） A．1 N B．2 N C．4 N D．5 N 【小结】 处理临界问题的三种方法 极限法 把物理问题（或过程）推向极端，从而使临界现象（或状态）暴露出来，以达到正确解决问题的目的 假设法 临界问题存在多种可能，特别是有非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题 数学法 将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件 【课堂提升1】如图甲所示，一个质量m = 0.5 kg的小物块（可看成质点），以v0 = 2 m/s的初速度在平行斜面向上的拉力F = 6 N作用下沿斜面向上做匀加速运动，经t = 2 s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L = 8 m，已知斜面倾角θ = 37°，重力加速度g取10 m/s2，sin 37° = 0．6，cos 37° = 0.8。求： （1）物块加速度a的大小； （2）物块与斜面之间的动摩擦因数μ； （3）若拉力F的大小和方向可调节，如图乙所示，为保持原加速度不变，F的最小值是多少。 课时精炼 1．如图，质量mA = 0.1 kg、mB = 0.4 kg的A、B两物体在水平推力F = 1.5 N的作用下，沿光滑水平面做匀加速直线运动，物体A、B始终保持相对静止。A和B接触面竖直，且A不与地面接触。已知物体A和B之间的动摩擦因数为0.9，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是（ ） A．A、B两物体的加速度大小为0.3 m/s2 B．A、B两物体之间的压力大小为1.2 N C．A、B两物体之间的摩擦力大小为1.08 N D．B物体对地面的压力大小为4 N 2．（多选）如图所示，质量为M = 2 kg的凹形槽在水平拉力F作用下向左做匀加速直线运动。凹形槽与水平地面间的动摩擦因数为μ1 = 0.7，凹形槽内有一质量为m = 1 kg的小铁块恰好能静止在后壁上，铁块与凹形槽间的动摩擦因数为μ2 = 0.5。运动一段时间后逐渐减小拉力（但凹形槽仍做加速运动），铁块开始沿凹形槽竖直的后壁落到底部且不反弹。之后当凹形槽的速度为v0 = 4 m/s时突然撤去拉力，最终铁块恰好没有与凹形槽的前壁相碰，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2，不计铁块大小和槽的厚度，则开始运动时拉力F的大小和凹形槽的长度L分别为（ ） A．F = 81 N B．F = 162 N C．L = 0.6 m D．L = 1.2 m 3．（2025·湖南岳阳市校考）如图所示，细线的一端固定在倾角为30°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球，静止时细线与斜面平行。已知重力加速度为g。使滑块以加速度a = 2g水平向左加速运动，小球与滑块相对静止，则下列说法中正确的是（ ） A．细线对小球的拉力大小为mg B．细线对小球的拉力大小为()mg C．小球对滑块的压力大小为mg D．小球对滑块的压力大小为2mg 4．（多选）（2024·湖南岳阳市一模）如图所示，矩形盒内用两根不可伸长的轻线固定一个质量为m = 0.6 kg的匀质小球，a线与水平方向成37°角，b线水平。两根轻线所能承受的最大拉力都是Fm = 15 N，已知sin 37° = 0.6，cos 37° = 0.8，g取10 m/s2，则（ ） A．系统静止时，a线所受的拉力大小12 N B．系统静止时，b线所受的拉力大小8 N C．当系统沿竖直方向匀加速上升时，为保证轻线不被拉断，加速度最大为5 m/s2 D．当系统沿水平方向向右匀加速运动时，为保证轻线不被拉断，加速度最大为10 m/s2 5．马车是古代的主要运输工具，如图所示为一匹马水平拉动一车货物，其中最上面有两个木板A和B，A、B之间和B与车之间接触面都水平，A、B之间的动摩擦因数为μ1，B与车之间的动摩擦因数为μ2，A质量为m，B质量为2m，车的质量为5m，地面对车的摩擦力不计，马给车的水平拉力为F，A、B始终没有离开车表面，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ） A．若μ1＞μ2，逐渐增大F，A会相对B先滑动 B．若μ1＞μ2，当F = 8μ2mg时，B与车之间开始相对滑动 C．若μ1＜μ2，不管F多大，A、B都不会相对滑动 D．若μ1＜μ2，A、B与车都相对静止，F的最大值为6μ1mg 6．如图所示，用足够长的轻质细绳绕过两个光滑轻质滑轮将木箱与重物连接，木箱质量M = 8 kg，重物质量m = 2 kg，木箱与地面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2。 （1）要使装置能静止，木箱与地面间的动摩擦因数需满足什么条件？ （2）若木箱与地面间的动摩擦因数μ = 0.4，用大小为80 N的水平拉力F将木箱由静止向左拉动位移x = 0.5 m时，求重物的速度大小v。 7．（多选）（2025·湖南邵阳市检测）如图所示，倾角为30°足够长的固定光滑斜面底端有一固定挡板，轻弹簧一端与挡板连接，另一端与物块A接触但不连接，A上方放置另一物块B，B与物块C用跨过光滑轻质定滑轮的细线连接，B与定滑轮间的细线与斜面平行。开始时用手托住C，使细线处于伸直但不拉紧的状态，此时A、B静止在斜面上。某时刻突然释放C，一段时间后A、B分离，此时C未触地。已知A、B分离时，B的速度大小为v，A、B、C的质量均为m，弹簧劲度系数为k，弹簧的形变始终在弹性限度内，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ） A．刚释放C时，A、B间的弹力大小为mg B．A、B分离时，B的加速度大小为g C．A的速度最大时沿斜面上升的距离为 D．分离时刻弹簧处于被压缩状态 8．如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端有固定转动轴O，杆可在竖直面内绕转动轴O无摩擦转动；质量为m的物块放置在光滑水平面上，开始时，使小球靠在物块的光滑侧面上，轻杆与水平面夹角45°，用手控制物块静止，然后释放物块，在之后球与物块运动的过程中，下列说法正确的是（ ） A．球与物块分离前，杆上的弹力逐渐增大 B．球与物块分离前，球与物块的速度相等 C．球与物块分离前，物块的速度先增大后减小 D．球与物块分离时，球的加速度等于重力加速度 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $