7.2.3平行的性质 讲义(八大题型) 2025--2026学年人教版七年级数学下册

7.2.3平行的性质（八大题型） 1．如图，点阵中与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 延长使之相交，则，由，得到，故． 【详解】解：延长使之相交，则， 由图可得， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角度的计算．熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．依题意可得，然后根据平角的定义即可解答． 【详解】解：如图， 依题意得，，， ∴， ∴． 故选：B． 3．如图，在中，．证明： (1) (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． （1）根据平行线的性质得出，等量代换可得出，进而可得出． （2）由得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴． 4．如图，直线，直线与相交，若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键. 根据两直线平行同位角相等的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5．如图平行于，，则 ． 【答案】/50 【分析】本题考查了平行线的性质，先根据平行得到和为同位角，两直线平行，同位角相等． 【详解】解：平行于，， ． 故答案为：． 6．如图，，相交于点，平分交于点，平分交于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 先根据内错角相等，两直线平行得，进而根据两直线平行，内错角相等得，再根据角平分线定义得，，进而得，最后根据内错角相等，两直线平行得． 【详解】证明：， ， ． 平分，平分， ，， ， ． 7．如图，直线，含角的直角三角尺按图所示的方式放置．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 如图，过点作的平行线，根据平角的定义结合可求出的度数，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，通过角度的和差关系求出的度数；最后根据平行于同一直线的两直线平行，以及两直线平行，内错角相等可求出的度数． 【一题多解法】如图，过点作的平行线，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，结合角度的和差关系求出的度数；最后根据平行于同一直线的两直线平行，以及两直线平行，内错角相等可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作的平行线． ，， ． ， ． ， ． ，， ， ． 故答案为：． 【一题多解法】 如图，过点作的平行线， ． ， ． ，， ， ． 故答案为：． 8．当前市民的环保意识越来越强，很多人租用共享单车出行．如图是某品牌共享单车放在水平地面的几何示意图，其中，都与地面l平行，，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据易得，根据平行线的性质得到、，进而得到，，再根据平行线的性质得到，据此解答即可． 【详解】解：，都与地面l平行， ， 、， ，， ，， ， ， ． 9．如图，，AD平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义，关键是相关性质和定义的熟练掌握． 由两直线平行，内错角相等可得到，再根据角平分线的定义即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：B． 10．如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ． 【答案】55° 【分析】本题考查平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键． 过点作，故可得出，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11．如图，直线、被直线所截，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据同旁内角互补即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 12．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则．如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，掌握平行线的性质是解题的关键． 由平面镜反射光线的规律和，可得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由平面镜反射光线的规律和，可得，， ∴， ∵反射光线与平行， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 13．如图， ，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，如图，由，得，从而求出，最后由对顶角相等即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 14．如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． 根据平行线的性质，即“两直线平行，同旁内角互补”，由此可求解与的度数，再根据由此可求解． 【详解】解：，， ，． ，， ，， ． 故答案为：． 15．如图，直线被直线所截，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 16．如图：在①，②，分别平分和，③，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决问题． 问题：已知，，________，与相等吗？为什么？ 【答案】①；与相等，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与角的和差运算，同时也涉及角平分线的定义（选条件②时）和比例角的计算（选条件③时）． 解题的关键是利用平行线的性质得到角的关系，再结合所给条件（平行、角平分线或比例角），通过角的和差推导得出与相等． 由 ，根据“两直线平行，内错角相等”，得． 若选条件①，则，利用角的和差 ，即可推出 ． 若选条件②（角平分线），则，，结合，可得，，从而． 若选条件③（比例角），则，，结合 ，可得． 【详解】解：补充条件，如果添加条件① 与相等． 因为， 所以． 因为， 所以． 所以． 即． 补充条件，如果添加条件②，分别平分和， 与 相等 因为， 所以 因为平分 所以． 因为平分 所以． 由，可得 ， 即． 补充条件，如果添加条件③，， 与 相等 因为 所以 由得 ， 即． 同理，由得 ， 即 因为 所以 即． 17．如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，且分别交射线于点、． (1)当 时，直接填空：___________，____________； (2)点运动过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的比值； (3)当，时，求的度数． 【答案】(1)； (2)不变， (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）根据，由同旁内角互补得，因为、分别平分和，根据角度等量关系可得，即可解出答案； （2）由角平分线与平行线的性质，可得，故得的比值不变； （3）根据角度之间的倍数关系，证出以及，根据平行线同旁内角互补以及角度关系转换可得出，故可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， 故答案为：；． （2）解：的值不发生变化． 理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 18．如图，，为平行线之间一点，连接，，为上方一点，连接，，为延长线上一点．若，分别平分，，则与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过作平行线，利用平行线的性质将角进行转化，结合角平分线的定义，推导出与的数量关系． 【详解】解:如图，过点作，过点作． ∵ ， ∴， ∴，． ∵ ，分别平分，， ∴，，， ∴． ∵ ， ∴， ∴． ∵ ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，解题关键是通过作平行线将角进行转化，结合角平分线的定义建立角之间的数量关系． 19．如图，已知，，与相等吗？试说明理由． 【答案】．理由见解析 【分析】利用平行线的性质来推导．已知两组对边分别平行，可以通过同旁内角互补的性质，建立与和其他角的关系，从而得出与的数量关系． 【详解】解：∵ ， ∴． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 【点睛】本题考查了平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）和补角的性质（同角的补角相等），解题关键是通过平行线的性质，找到与与公共角的互补关系，进而利用补角的传递性证明两角相等． 20．填空：如图，已知，则可推得：，理由如下： ∵（已知）， ∴ ．（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知）， ∴，（ ） ∴．（ ） 【答案】 C 两直线平行，同旁内角互补 同角的补角相等 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴．（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知）， ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∴．（ 同角的补角相等 ） 故答案为：C，两直线平行，同旁内角互补， 同角的补角相等． 21．如图，点E，F分别在长方形纸片的边，上，分别沿，将，折叠得到，，其中，点恰好落在边上．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，角的和差．由折叠可得，，由长方形得到，，因此，再由平行线的性质得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：由折叠可得，， ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 22．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一条边上，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中角度的计算、平行线的性质，由平行线的性质可得的度数，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：如图所示，∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 23．如图，直线，点在直线上，且，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与垂直的定义，掌握垂直的夹角为、邻补角的和为是解题的关键． 先根据垂直的定义得到直角，结合的度数、可求出的度数，再利用邻补角的关系求出的度数． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ，， ∴， ∴， ∵与是邻补角， ∴． 故答案为：． 24．如图，直线，若，于点，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质． 根据得到，根据“两直线平行同旁内角互补”得到，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 故选：C． 25．若两个角的两边互相平行，其中一个角为，则另一个角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质，分类讨论；分两种情况分别画出图形，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：已知，，交于点O．求的度数． ①如图1，∵， ∴， ∵， ∴； ②如图2，∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，另一个角的度数为或， 故答案为：或． 26．光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以光线在水中是平行的，在空气中也是平行的．如图，一个透明的玻璃杯放在水平桌面上，玻璃杯上方的虚线与水面平行．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 光在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，根据平行线的性质将转化为，将转化为，代入数据即可求解． 【详解】解：如图，， ． ， ． ， ． ， ， ． 27．一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，在与原来相反的方向上行驶，那么两个拐弯的角（    ） A．先向左转，再向左转 B．先向左转，再向右转 C．先向左转，再向右转 D．先向左转，再向左转 【答案】A 【分析】本题重点考查方向角的理解与应用，理解“在与原来相反的方向上行驶”意味着方向改变180度，并正确计算两次拐弯的角度和或差是解题的关键． 汽车两次拐弯后方向与原方向相反，说明两次拐弯的总方向改变量为180度，根据这个判断即可． 【详解】汽车两次拐弯后方向与原方向相反，说明两次拐弯的总方向改变量为180度， 选项A，先向左转，再向左转，总改变量为，满足条件； 选项B，先向左转，再向右转，总改变量为，方向不变，不符合； 选项C，先向左转，再向右转，总改变量为，不符合； 选项D，先向左转，再向左转，总改变量为，不符合． 故选：A． 28．如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据两直线平行，同旁内角互补，求得，再根据两直线平行，内错角相等，即得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 29．如图，街道与平行，拐角，则拐角的大小是 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质．由两直线平行，内错角相等，即可得到． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 30．如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 【答案】(1)平行于同一条直线的两直线平行 (2)， (3)对，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，需熟练掌握平行线的三条性质，根据平行线的三条性质得到角度相等是求解本题的关键． （1）根据平行公理的推论，即“平行于同一条直线的两直线平行”即可求解； （2）根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”，可由求解；再根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解； （3）根据平行线的性质可得，再根据即可求解． 【详解】（1）解：平行于同一条直线的两直线平行； （或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行； （2）解：如图，过点C作， ， ， ， ， ， , ， ； ， ， ， ， ， ； （3）解：对，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， , ， ． 31．如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质与判定. 过点P作，则，根据平行线的性质可得，，据此先求出的度数，再求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 32．如图，点，分别是，上的点，点在，之间，连接并延长至点．点是下方一点，连接，，若平分，平分，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，利用辅助线构造平行线是解题的关键． 过点G作交于点L，令交于点N，则，，，根据角平分线的性质和角平分线的定义，用和表示出和，结合已知条件即可解答． 【详解】解：如图，过点G作交于点L，令交于点N， 设，， ∵平分，平分， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得 ∴， 即． 故答案为：． 33．如图，已知直线，，，的角平分线与的角平分线交于点，则 ． 【答案】142 【分析】本题考查平行线的判定及性质，角平分线，掌握平行线的判定及性质是解题的关键． 过点作，过点作，得到，因此，，，根据角的和差可得，从而有，根据角平分线的定义得到．过点作，则，因此． 【详解】解：过点作，过点作， ， ， ，，， ， ， 即， ， ， 平分，平分， ，， ． 过点作， ， ， ，， ． 故答案为：142． 34．转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线构造平行线，利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质进行角度计算． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 故选：B． 35．如下图，平分，，． (1)若，求的度数； (2)试说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质以及平行公理的推论，掌握平行线的判定与性质的互推关系和平行公理的推论是解题的关键． （1）利用角平分线定义得到角的等量关系，结合已知推出，再由平行线的同旁内角互补求出，最后根据角平分线求出． （2）由推出，结合（1）中已证的，根据平行公理的推论得出． 【详解】（1）解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ， ∴． ∵， ∴，． （2）证明：∵， ∴． 由（1），得， ∴． 36．完成下面推理过程： 如图，四边形中，为线段、上的点，当，时，可推得的理由如下： ∵（已知） ∴（① ） ∴② （③ ） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（④ ）． 【答案】见解析 【分析】本题考查直线平行的判定与性质．根据直线平行的判定定理与性质定理即可求解． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 37．如图，已知． （1）试说明； （2）若平分，于点E，，求的度数． 解：（1）证明： ∵（已知） ∴_______（________________________） ∴（________________________） ∵（已知） ∴（________________________） ∴（________________________） （2）∵平分（已知） ∴（________________________） ∵（已知） （已知） ∴_______ 又∵（已证） ∴_______ 又∵（已知） ∴（垂直的定义） 由（1）知 ∴（________________________） ∵ ∴ _______． 【答案】（1）；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；（2）角平分线的定义；31；31；两直线平行，同位角相等；59 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，角的和差． （1）根据平行线的判定和性质补全证明过程即可； （2）根据角平分线的定义，角的和差运算补全证明过程即可． 【详解】解：（1）证明： ∵（已知） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（同旁内角互补，两直线平行） 故答案为：；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行； （2）∵平分（已知） ∴（角平分线的定义） ∵（已知） （已知） ∴ 又∵（已证） ∴ 又∵（已知） ∴（垂直的定义） 由（1）知 ∴（两直线平行，同位角相等） ∵ ∴ ． 故答案为：角平分线的定义；31；31；两直线平行，同位角相等；59． 38．如图，已知，垂足为点，，垂足为点，，求证．阅读并完成下列推理过程，在括号内填写理由． ∵，， ∴，， ∴， ∴（_________________________）， ∴， ∵， ∴（_________________________）， ∴_____， ∴． 【答案】同位角相等，两直线平行；；同角的补角相等； 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据同位角相等，两直线平行得，得到，由同角的补角相等得，推出，可得结论．掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴， ∵， ∴（同角的补角相等）， ∴， ∴． 故答案为：同位角相等，两直线平行；；同角的补角相等；． 39．把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，点分别在线段上，连接，若，，是的角平分线．试说明：． 解：∵是的角平分线， ∴________（角平分线的定义）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴________（内错角相等，两直线平行）， ∴（________）， 又∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴________． 【答案】；；两直线平行，同旁内角互补；． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线定义，根据角平分线定义可得，进而可得，据此再根据平行线的判定定理可得出； 根据平行线的性质可得，所以有，再根据平行线的判定定理即可得到结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴（角平分线的定义）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴， 故答案为：；；两直线平行，同旁内角互补；． 40．已知：如图，，求证：． 下面是小明同学的解答过程：请将小明的解答过程补充完整． 证明：∵（邻补角的定义）， （已知）， ∴____________（______________________） ∴（______________________）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（______________________）． 【答案】；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定方法． 根据平行线的性质和判定方法求解即可． 【详解】证明：∵（邻补角的定义）， （已知）， ∴ （同角的补角相等） ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026下学年7.2.3平行的性质（八大题型） 目录 一、新课标要求 1 二、平行线的性质 1 三、平行线性质与判定的对比 1 四、知识点总结与应用 2 五、重难点解析 2 六、视野拓展 3 题型一、两直线平行，同位角相等 3 题型二、两直线平行，内错角相等 4 题型三、两直线平行，同旁内角互补 5 题型四、根据平行线的性质，探索角的关系 6 题型五、根据平行线的性质，求角的度数 8 题型六、平行线的性质在生活中的应用 9 题型七、根据平行线的判定与性质求角 10 题型八、根据平行线的判定与性质证明 11 一、新课标要求 根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，七年级学生需要掌握平行线的性质： 1. 探索并证明平行线的性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补 2. 理解平行线性质与判定之间的互逆关系 3. 能够运用平行线的性质解决简单的几何问题 4. 通过平行线的学习，发展推理能力和几何直观 5. 体会数学的严谨性和逻辑性，培养理性思维 二、平行线的性质 1. 平行线的三大性质： 性质1：两直线平行，同位角相等 若 a∥b，则 ∠1 = ∠2 性质2：两直线平行，内错角相等 若 a∥b，则 ∠3 = ∠4 性质3：两直线平行，同旁内角互补 若 a∥b，则 ∠5 + ∠6 = 180° 2. 平行线的其他重要性质： 性质4：平行线间的距离处处相等 性质5：平行于同一直线的两条直线互相平行 若 a∥c 且 b∥c，则 a∥b 三、平行线性质与判定的对比 对比项 平行线的性质 平行线的判定 已知条件 已知两直线平行 已知角的数量关系 结论 得到角的数量关系 （同位角相等、内错角相等、同旁内角互补） 得到两直线平行 逻辑关系 由"线"推"角" 由"角"推"线" 应用场景 已知平行，求角度 已知角度关系，证明平行 图形语言 ∵ a∥b ∴ ∠1=∠2 ∵ ∠1=∠2 ∴ a∥b 重要提示：平行线的性质与判定是互逆的关系。性质是"由线到角"，判定是"由角到线"。在解题时，一定要分清已知条件和要求证的结论。 四、知识点总结与应用 1. 核心知识点： 平行线的三大基本性质 性质1：两直线平行，同位角相等 性质2：两直线平行，内错角相等 性质3：两直线平行，同旁内角互补 平行线的其他性质 平行线间的距离处处相等 平行于同一直线的两条直线互相平行 垂直于同一直线的两条直线互相平行（在同一平面内） 性质与判定的互逆关系 性质：由"线平行" ⇒ "角的关系" 判定：由"角的关系" ⇒ "线平行" 五、重难点解析 1. 重点内容： 平行线三大性质的掌握与运用 平行线性质与判定的区别与联系 利用平行线性质进行角度计算和证明 平行线间距离概念的理解与应用 2. 难点突破： 复杂图形中的角度计算：标记已知角，寻找平行线，应用对应性质 性质与判定的混淆： 记忆口诀： "性质"是已知平行得角等（互补） "判定"是已知角等（互补）得平行 多步骤推理：采用"∵...∴..."的格式，每一步都要有依据 实际应用问题：利用平行线性质解决测量等问题 六、视野拓展 1. 平行线性质在几何证明中的应用： 证明角度相等或互补 证明三角形内角和定理 证明平行四边形性质 解决与平行线相关的综合几何问题 2. 平行线性质与欧几里得第五公设： 平行线的性质与欧几里得几何第五公设（平行公设）密切相关。这个公设等价于我们熟悉的平行公理："过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。" 3. 非欧几何中的"平行线"： 双曲几何：过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行 椭圆几何（球面几何）：没有平行线，任意两条直线都会相交 4. 平行线性质在现代科技中的应用： 计算机图形学：用于三维图形渲染、透视投影计算； 建筑设计：确保建筑结构的稳定性，创建对称、平衡的建筑作品； 工程测量：利用平行线间距离相等的性质进行精准测量。 题型一、两直线平行，同位角相等 1．如图，点阵中与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，．证明： (1) (2)． 4．如图，直线，直线与相交，若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 5．如图平行于，，则 ． 题型二、两直线平行，内错角相等 6．如图，，相交于点，平分交于点，平分交于点，．求证：． 7．如图，直线，含角的直角三角尺按图所示的方式放置．若，则的度数为 ． 8．当前市民的环保意识越来越强，很多人租用共享单车出行．如图是某品牌共享单车放在水平地面的几何示意图，其中，都与地面l平行，，，若，求的度数． 9．如图，，AD平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ． 题型三、两直线平行，同旁内角互补 11．如图，直线、被直线所截，若，，则 ． 12．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则．如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则（   ） A． B． C． D． 13．如图， ，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 14．如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若，，则的度数是 ． 15．如图，直线被直线所截，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型四、根据平行线的性质，探索角的关系 16．如图：在①，②，分别平分和，③，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决问题． 问题：已知，，________，与相等吗？为什么？ 17．如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，且分别交射线于点、． (1)当 时，直接填空：___________，____________； (2)点运动过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的比值； (3)当，时，求的度数． 18．如图，，为平行线之间一点，连接，，为上方一点，连接，，为延长线上一点．若，分别平分，，则与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 19．如图，已知，，与相等吗？试说明理由． 20．填空：如图，已知，则可推得：，理由如下： ∵（已知）， ∴ ．（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知）， ∴，（ ） ∴．（ ） 题型五、根据平行线的性质，求角的度数 21．如图，点E，F分别在长方形纸片的边，上，分别沿，将，折叠得到，，其中，点恰好落在边上．若，则（    ） A． B． C． D． 22．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一条边上，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 23．如图，直线，点在直线上，且，，则的度数是 ． 24．如图，直线，若，于点，则为（   ） A． B． C． D． 25．若两个角的两边互相平行，其中一个角为，则另一个角的度数为 ． 题型六、平行线的性质在生活中的应用 26．光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以光线在水中是平行的，在空气中也是平行的．如图，一个透明的玻璃杯放在水平桌面上，玻璃杯上方的虚线与水面平行．若，则 ． 27．一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，在与原来相反的方向上行驶，那么两个拐弯的角（    ） A．先向左转，再向左转 B．先向左转，再向右转 C．先向左转，再向右转 D．先向左转，再向左转 28．如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为 ． 29．如图，街道与平行，拐角，则拐角的大小是 ． 30．如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 题型七、根据平行线的判定与性质求角 31．如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 32．如图，点，分别是，上的点，点在，之间，连接并延长至点．点是下方一点，连接，，若平分，平分，，则 ． 33．如图，已知直线，，，的角平分线与的角平分线交于点，则 ． 34．转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 35．如下图，平分，，． (1)若，求的度数； (2)试说明：． 题型八、根据平行线的判定与性质证明 36．完成下面推理过程： 如图，四边形中，为线段、上的点，当，时，可推得的理由如下： ∵（已知） ∴（① ） ∴② （③ ） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（④ ）． 37．如图，已知． （1）试说明； （2）若平分，于点E，，求的度数． 解：（1）证明： ∵（已知） ∴_______（________________________） ∴（________________________） ∵（已知） ∴（________________________） ∴（________________________） （2）∵平分（已知） ∴（________________________） ∵（已知） （已知） ∴_______ 又∵（已证） ∴_______ 又∵（已知） ∴（垂直的定义） 由（1）知 ∴（________________________） ∵ ∴ _______． 38．如图，已知，垂足为点，，垂足为点，，求证．阅读并完成下列推理过程，在括号内填写理由． ∵，， ∴，， ∴， ∴（_________________________）， ∴， ∵， ∴（_________________________）， ∴_____， ∴． 39．把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，点分别在线段上，连接，若，，是的角平分线．试说明：． 解：∵是的角平分线， ∴________（角平分线的定义）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴________（内错角相等，两直线平行）， ∴（________）， 又∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴________． 40．已知：如图，，求证：． 下面是小明同学的解答过程：请将小明的解答过程补充完整． 证明：∵（邻补角的定义）， （已知）， ∴____________（______________________） ∴（______________________）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（______________________）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $