精品解析：湖南省跨地区中等专业学校“百校联考”2025—2026学年高二上学期期末数学试题

湖南省2025-2026年跨地区中等专业学校“百校联考” 科目：数学（高二） （试题卷） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷的封面上，并认真核对答题卡条形码上的姓名、准考证号和科目. 2.选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效.考生在答题卡上按如下要求答题： （1）选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； （2）非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； （3）请勿折叠答题卡.保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁. 3.本试题卷共4页.如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负. 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页.时量120分钟，满分120分. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 已知向量，，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 5. 在平行四边形中，若与交于点，设向量，，则向量（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的长轴在轴上，且焦距为，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线，若双曲线和双曲线有相同的渐近线，且双曲线经过点，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知复数在复平面内对应的点在第四象限，虚部为，模为2，则复数为（ ） A. B. 或 C. D. 9. 设m，n表示两条直线，，，表示三个平面，则下列四个命题正确的是（ ） ①；②；③；④． A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④ 10. 已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，若线段的长是6，的中点到轴的距离是2，则此抛物线方程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 化简：_____. 12. 若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为_____（用区间表示）. 13. 如图所示，在三棱锥中，已知平面，，，则平面与平面所成的二面角的大小是_____（用弧度表示）. 14. 已知是实系数一元二次方程的一个根，则_____. 15. 已知复数满足，则复数_____. 三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知平面向量，的夹角为，且，.求： （1）的值； （2）的值. 17. 已知双曲线的中心在原点，一个焦点坐标为，且过点.求： （1）双曲线的标准方程； （2）双曲线的虚轴长、离心率和渐近线方程. 18. 如图所示，已知正方体的棱长为. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 19. 如图所示，在三棱锥中，已知平面，，且，是的中点. （1）求证：； （2）求三棱锥的体积. 20. 已知抛物线的准线为，过点的直线与抛物线交于，两点. （1）求抛物线的标准方程； （2）设为坐标原点，判断直线与是否垂直，并说明理由. 21. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为6，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆交于两点，且点为线段的中点，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省2025-2026年跨地区中等专业学校“百校联考” 科目：数学（高二） （试题卷） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷的封面上，并认真核对答题卡条形码上的姓名、准考证号和科目. 2.选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效.考生在答题卡上按如下要求答题： （1）选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； （2）非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； （3）请勿折叠答题卡.保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁. 3.本试题卷共4页.如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负. 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页.时量120分钟，满分120分. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】解方程得， 当时，，故充分性成立； 当时，，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】首先由含绝对值不等式的解法求出的解，再根据充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】由得， 若，则不一定有，充分性不成立， 若，则一定有，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示求解. 【详解】∵向量，，， ∴，解得. 故选：A. 4. 已知向量，，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的坐标，再根据向量模的计算公式求解. 【详解】由题意， . 故选：C. 5. 在平行四边形中，若与交于点，设向量，，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则化简即可. 【详解】平行四边形中， . 故选：B. 6. 已知椭圆的长轴在轴上，且焦距为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的性质即可得解． 【详解】因为椭圆的长轴在轴上，所以， 解得，又焦距为，所以，解得. 故选：A． 7. 已知双曲线，若双曲线和双曲线有相同的渐近线，且双曲线经过点，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两双曲线渐近线相同设出双曲线的方程，再将已知点代入方程求解. 【详解】∵双曲线和双曲线有相同的渐近线， ∴设双曲线， ∵双曲线经过点，∴， ∴双曲线的方程为，即. 故选：C. 8. 已知复数在复平面内对应的点在第四象限，虚部为，模为2，则复数为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设复数的实部为，根据条件列方程求出即可. 【详解】设复数的实部为， 因为复数的模为2，虚部为，所以，解得， 又复数在复平面内对应的点在第四象限， ，则， . 故选：D. 9. 设m，n表示两条直线，，，表示三个平面，则下列四个命题正确的是（ ） ①；②；③；④． A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间线面平行垂直的判定定理即可判断对错. 【详解】①中平行于同一平面的两平面平行是正确的； ②中m和可能平行，相交或直线在平面内； ③中由面面垂直的判定定理可知结论正确； ④中m和可能线面平行或线在平面内. 故①③正确， 故选;C 10. 已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，若线段的长是6，的中点到轴的距离是2，则此抛物线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义以及已知条件建立关于的方程求解即可. 【详解】对于抛物线，其焦点坐标为，准线方程为， 设，，其中， 则，， 所以， 由的中点到轴的距离是2，可得中点的横坐标为，那么， 因为，即，解得， 故抛物线方程是． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 化简：_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量线性运算的法则化简. 【详解】. 故答案为：. 12. 若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为_____（用区间表示）. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程列不等式求解即可. 【详解】已知方程表示焦点在轴上的双曲线， 可得，解得， 则的取值范围为. 故答案为：. 13. 如图所示，在三棱锥中，已知平面，，，则平面与平面所成的二面角的大小是_____（用弧度表示）. 【答案】 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质、判定定理以及二面角的定义求解即可. 【详解】平面，，又，平面， 平面，. 又，为二面角的平面角. 又，，. ∴二面角的平面角为. 故答案为：. 14. 已知是实系数一元二次方程的一个根，则_____. 【答案】4 【解析】 【分析】根据实系数一元二次方程解的特征及根与系数的关系分析求解即可. 【详解】因为是实系数一元二次方程的一个根， 所以方程的另一个根为， 因为，所以. 故答案为：4. 15. 已知复数满足，则复数_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则得出复数，写出其共轭复即可. 【详解】， ， ． 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知平面向量，的夹角为，且，.求： （1）的值； （2）的值. 【答案】（1）2 （2）4 【解析】 【分析】（1）根据向量内积的运算律列方程求解即可. （2）根据向量内积的运算律计算即可. 【小问1详解】 已知平面向量，的夹角为， ，， ，且， ，解得. 【小问2详解】 . 17. 已知双曲线的中心在原点，一个焦点坐标为，且过点.求： （1）双曲线的标准方程； （2）双曲线的虚轴长、离心率和渐近线方程. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的焦点坐标得到和焦点位置，再利用顶点坐求得，进而得到，从而得解； （2）利用双曲线的标准方程，依次求得其虚轴长、离心率和渐近线方程，从而得解. 【小问1详解】 由焦点得，且焦点在轴上， 又双曲线过点，， ， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）得， 所以双曲线的虚轴长为， 离心率为， 渐近线方程为. 18. 如图所示，已知正方体的棱长为. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，再由线面平行的判定定理证明即可. （2）根据正方体的几何性质得出为与平面所成的角，再由直角三角形中余弦的定义求值即可. 【小问1详解】 证明：连接，在正方体中， 且， 四边形为平行四边形， . 又平面，平面， 平面. 【小问2详解】 在正方体中， 平面， 为在平面的射影， 为与平面所成的角， 由已知得， ， ， ， 即所求角的余弦值为. 19. 如图所示，在三棱锥中，已知平面，，且，是的中点. （1）求证：； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理和性质证明即可； （2）根据三棱锥的体积公式求解即可. 【小问1详解】 连接，平面，，， 又，是的中点，. 又，且，平面，平面. 平面，. 【小问2详解】 平面， . 20. 已知抛物线的准线为，过点的直线与抛物线交于，两点. （1）求抛物线的标准方程； （2）设为坐标原点，判断直线与是否垂直，并说明理由. 【答案】（1） （2）直线与垂直，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由抛物线的准线方程求得，即可得出抛物线的标准方程； （2）联立直线的方程与抛物线的方程，通过计算向量与的内积是否为来判断直线与是否垂直. 【小问1详解】 由准线方程，得，． 抛物线C的标准方程为． 【小问2详解】 直线与垂直，理由如下： 设，，则，， 当直线的斜率存在时，设直线，即， 由，消元得. ，，， 由题意，异号，即，. ，故直线与垂直. 当直线的斜率不存在时，直线，此时两个交点分别为，， ， ，故直线与垂直. 综上所述，直线与垂直. 21. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为6，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆交于两点，且点为线段的中点，求直线的方程. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据椭圆的性质及离心率公式求出的值即可得解. （）设出点的坐标，利用中点坐标公式得出，，将分别代入椭圆方程中得出直线斜率，结合直线的点斜式方程即可得解. 【小问1详解】 由已知得，，， ，， ，焦点在轴上， 椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设，，点为线段的中点， 则，， 将，分别代入椭圆方程中得， 相减得：， ，. 故直线的方程为，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $