周周练03 6.4.1-6.4.2 平面几何中的向量法、向量在物理中的应用举例（数学人教A版必修第二册）

2025-2026学年高一下学期数学周周练03 6.4.1-6.4.2 平面几何中的向量法、向量在物理中的应用举例 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知两个力的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与的夹角为60°，那么的大小为 A． N B．5 N C．10 N D． N 【答案】A 【详解】由题意可知：对应向量如图，由于α=60°，∴的大小为|F合|•sin60°=10×．故选A．    2．设表示“向东走”，表示“向南走”，则所表示的意义为（    ） A．向东南走 B．向东南走 C．向西南走 D．向西南走 【答案】C 【分析】根据向量表示的几何意义画出图形，利用向量加法的交换律和向量减法的几何意义，可得，根据方向角和模长即可判断选项. 【详解】 如图，分别作出， 则利用向量加法的交换律可得，故. 易知为等腰直角三角形，故,且, 于是所表示的意义为向西南走. 故选：C. 3．在中，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】由，可得，分析即得解 【详解】由题意， ，又 为钝角 则的形状是钝角三角形 故选：B 4．已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】利用向量数量积的坐标表示即可求得，由模长公式计算可得，即可得出结论. 【详解】易知， 可得，即，且， 所以可得的形状是直角三角形. 故选：B 5．已知点，，，则下列结论正确的是（    ） A．三点共线 B． C．是锐角三角形的顶点 D．是钝角三角形的顶点 【答案】D 【解析】由题意，求得，得到是钝角，即可得到答案. 【详解】由题意，点，，， 可得，则，所以是钝角. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的计算及应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于据基础题. 6．已知中，点为所在平面内一点，则“”是“点为重心”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据重心的向量表示即可求得点为重心；利用点为重心，即可得，可得结论. 【详解】依题意， 则是重心，即充分性成立； 若是重心时，， 可得 所以，必要性成立， 故选：C. 7．点为所在的平面内，给出下列关系式： ①； ②； ③. 则点依次为的（    ） A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．重心、内心、外心 D．外心、垂心、重心 【答案】C 【解析】逐条判断。第一条是关于重心的性质；第二条取单位长度的向量和，从而得出点在的平分线上，这就涉及三角形的内心；第三条可以推导出和垂直，从而和三角形的外心相关。 【详解】①由于，其中为的中点，可知为边上中线的三等分点（靠近线段），故为的重心； ②向量，，分别表示在边和上取单位向量和，它们的差是向量，当，即时，则点在的平分线上，同理由，知点在的平分线上，故为的内心； ③是以，为边的平行四边形的一条对角线的长，而是该平行四边形的另一条对角线的长，表示这个平行四边形是菱形，即，同理有，故为的外心. 故选：C 【点睛】本题考查利用向量的方法去研究三角形的内心，外心，重心的性质，属于有一定难度的综合题。 8．一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少. （    ） A．km/h B．km/h C．km/h D．km/h 【答案】B 【分析】根据平面向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】如图所示：   ，， ， 设合速度为，小货船航行速度为，水流的速度为， 则有所以有 ， 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．如图所示，小船被绳子拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中（    ） A．船受到的拉力不断增大 B．船受到的拉力不断变小 C．船受到的浮力不断变小 D．船受到的浮力保持不变 【答案】AC 【分析】设水的阻力为，船受到的拉力为 ，与水平方向的夹角为,得到 ，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】设水的阻力为，船受到的拉力为 ，与水平方向的夹角为, 则 ，故 ，因为不断增大，所以不断减小，故 不断增大，因为 不断增大，所以船受到的浮力不断减小. 故选：AC. 10．点P是所在平面内一点,满足,则的形状不可能是 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】AD 【解析】由条件可得，再两边平方即可得答案. 【详解】∵P是所在平面内一点，且， ∴， 即， ∴， 两边平方并化简得， ∴， ∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形， 故不可能是钝角三角形，等边三角形， 故选：AD. 【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题. 11．设点M是所在平面内一点，下列说法正确的是（    ） A．若，则的形状为等边三角形 B．若，则点M是边BC的中点 C．过M任作一条直线，再分别过顶点A，B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，F，若恒成立，则点M是的垂心 D．若，则点M在边BC的延长线上 【答案】AB 【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算，以及数量积运算，一一判断即可. 【详解】对于选线A，如图作的中点，连接， 由，得， 即，结合三角形性质易知，， 同理，，故的形状为等边三角形，故A正确； 对于选项B，由，得，即， 因此点M是边BC的中点，故B正确； 对于选项C，如图当过点时，， 由，得，则直线经过的中点， 同理直线经过的中点，直线经过的中点，因此点M是的重心，故C错误； 对于选项D，由，得，即，因此点M在边的延长线上，故D错. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在四边形中，，则四边形的形状是 . 【答案】矩形 【分析】根据向量数量积可得垂直，根据向量相等可证平行. 【详解】由可知,进而， 由可得且，所以四边形为矩形， 故答案为：矩形 13．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为 .（注：重力加速度取，精确到0.01N）    【答案】N 【分析】根据降落伞匀速下落可知根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小，则绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量与礼物的重力是一对相反向量，由此可构造方程求得结果. 【详解】    如图，设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为， 因为，所以在上的投影向量为， 所以8根绳子拉力的合力为， 又因为降落伞匀速下落，所以，必有， 所以，，所以 故答案为：N 14．如图所示，两根绳子把质量为1kg的物体吊在水平杆AB上（绳子的质量忽略不计，g=10m/s2），绳子在A，B处与铅垂方向的夹角分别为，，则绳子AC和BC的拉力的大小分别为 ， . 【答案】 5N 【解析】因为C点处合力为零，即力的矢量和为零。那么所受合力可以根据三角形法则进行计算，甚至可以将向量平移而形成闭合多边形（因为终点和起点重合，所以合力为零）。 【详解】设绳子AC和BC的拉力分别为，，物体的重力用表示，则，.如图，以C为起点，分别作，，，则，，∴，， ∴绳子AC的拉力大小为，绳子BC的拉力大小为5 N. 故答案为：，5N 【点睛】本题其实是向量在物理中的应用，可利用平移向量使之成为闭合多边形。本题属于跨学科知识迁移问题。 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分) 平面上三个力、、作用于一点且处于平衡状态，，，与的夹角为，求： (1)的大小； (2)与夹角的大小． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）三个力平衡则三个力的和为；移项，利用向量模的平方等于向量的平方求出向量的大小． （2）利用三角函数的余弦定理求出两个向量的夹角大小． 【详解】（1）解：三个力平衡，， ， （2）解：与的夹角可由余弦定理求得， ， 与的夹角为 则与的夹角为． 16．(本小题满分15分) 如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，利用向量线性运算得，然后利用数量积模的运算律求解即可. （2）利用向量的夹角运算公式求解即可. 【详解】（1）设，， 则. ， ． （2）设，则向量与的夹角为． ， ，即． 17．(本小题满分15分) 已知两恒力，作用于同一质点，使之由点移动到点. （1）求力、分别对质点所做的功； （2）求力、的合力对质点所做的功. 【答案】（1）力对质点所做的功为，力对质点所做的功为；（2）. 【解析】（1）计算出向量的坐标，然后分别计算出和，即可得出结果； （2）将和相加即可得出力、的合力对质点所做的功. 【详解】（1）， 力对质点所做的功， 力对质点所做的功， 所以，力、对质点所做的功分别为和. （2）. 【点睛】本题考查平面向量数量积在物理中的应用，考查平面向量数量积的坐标运算，属于基础题. 18．(本小题满分16分) 帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向． 【答案】帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为km/h 【详解】建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20（km/h），水流的方向为正东，速度为|v2|＝20（km/h），设帆船行驶的速度为v，则v＝v1＋v2. 由题意，可得向量v1＝（20cos 60°，20sin 60°）＝（10,10），向量v2＝（20,0）， 则帆船的行驶速度v＝v1＋v2＝（10,10）＋（20,0）＝（30,10）， 所以|v|＝＝20（km/h）． 因为tan α＝ （α为v和v2的夹角，α为锐角），所以α＝30°. 所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20km/h. 考点：向量在速度、位移的合成中的应用. 19．(本小题满分17分) 在四边形中，. (1)求与的关系式； (2)若，求的值以及四边形的面积. 【答案】(1) (2)或， 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示，列式，化简，即可得答案； （2）表示出的坐标，根据向量垂直的坐标表示列式，结合（1）的结果，可求得的值，继而求得四边形的面积. 【详解】（1）如图所示. 因为，所以. 又因为，所以，即. （2）. 因为，所以，即， 又，所以，所以或. 当时，，于是. 所以， 所以； 当时，，于是， 所以，所以， 综上可知或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期数学周周练03 6.4.1-6.4.2 平面几何中的向量法、向量在物理中的应用举例 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C B B D C C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC AD AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．矩形 13．N 14． ； 5N 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分14分） (1) (2). 【分析】（1）三个力平衡则三个力的和为；移项，利用向量模的平方等于向量的平方求出向量的大小． （2）利用三角函数的余弦定理求出两个向量的夹角大小． 【详解】（1）解：三个力平衡，， ， （2）解：与的夹角可由余弦定理求得， ， 与的夹角为 则与的夹角为． 16．（本小题满分15分） (1) (2) 【分析】（1）设，，利用向量线性运算得，然后利用数量积模的运算律求解即可. （2）利用向量的夹角运算公式求解即可. 【详解】（1）设，， 则. ， ． （2）设，则向量与的夹角为． ， ，即． 17．（本小题满分15分） （1）力对质点所做的功为，力对质点所做的功为；（2）. 【解析】（1）计算出向量的坐标，然后分别计算出和，即可得出结果； （2）将和相加即可得出力、的合力对质点所做的功. 【详解】（1）， 力对质点所做的功， 力对质点所做的功， 所以，力、对质点所做的功分别为和. （2）. 【点睛】本题考查平面向量数量积在物理中的应用，考查平面向量数量积的坐标运算，属于基础题. 18．（本小题满分16分） 帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为km/h 【详解】建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20（km/h），水流的方向为正东，速度为|v2|＝20（km/h），设帆船行驶的速度为v，则v＝v1＋v2. 由题意，可得向量v1＝（20cos 60°，20sin 60°）＝（10,10），向量v2＝（20,0）， 则帆船的行驶速度v＝v1＋v2＝（10,10）＋（20,0）＝（30,10）， 所以|v|＝＝20（km/h）． 因为tan α＝ （α为v和v2的夹角，α为锐角），所以α＝30°. 所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20km/h. 考点：向量在速度、位移的合成中的应用. 19．（本小题满分17分） (1) (2)或， 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示，列式，化简，即可得答案； （2）表示出的坐标，根据向量垂直的坐标表示列式，结合（1）的结果，可求得的值，继而求得四边形的面积. 【详解】（1）如图所示. 因为，所以. 又因为，所以，即. （2）. 因为，所以，即， 又，所以，所以或. 当时，，于是. 所以， 所以； 当时，，于是， 所以，所以， 综上可知或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期数学周周练03 6.4.1-6.4.2 平面几何中的向量法、向量在物理中的应用举例 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知两个力的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与的夹角为60°，那么的大小为 A． N B．5 N C．10 N D． N 2．设表示“向东走”，表示“向南走”，则所表示的意义为（    ） A．向东南走 B．向东南走 C．向西南走 D．向西南走 3．在中，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 4．已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 5．已知点，，，则下列结论正确的是（    ） A．三点共线 B． C．是锐角三角形的顶点 D．是钝角三角形的顶点 6．已知中，点为所在平面内一点，则“”是“点为重心”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．点为所在的平面内，给出下列关系式： ①； ②； ③. 则点依次为的（    ） A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．重心、内心、外心 D．外心、垂心、重心 8．一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少. （    ） A．km/h B．km/h C．km/h D．km/h 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．如图所示，小船被绳子拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中（    ） A．船受到的拉力不断增大 B．船受到的拉力不断变小 C．船受到的浮力不断变小 D．船受到的浮力保持不变 10．点P是所在平面内一点,满足,则的形状不可能是 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 11．设点M是所在平面内一点，下列说法正确的是（    ） A．若，则的形状为等边三角形 B．若，则点M是边BC的中点 C．过M任作一条直线，再分别过顶点A，B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，F，若恒成立，则点M是的垂心 D．若，则点M在边BC的延长线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在四边形中，，则四边形的形状是 . 13．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为 .（注：重力加速度取，精确到0.01N）    14．如图所示，两根绳子把质量为1kg的物体吊在水平杆AB上（绳子的质量忽略不计，g=10m/s2），绳子在A，B处与铅垂方向的夹角分别为，，则绳子AC和BC的拉力的大小分别为 ， . 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．平面上三个力、、作用于一点且处于平衡状态，，，与的夹角为，求： (1)的大小； (2)与夹角的大小． 16．如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 17．已知两恒力，作用于同一质点，使之由点移动到点. （1）求力、分别对质点所做的功； （2）求力、的合力对质点所做的功. 18．帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向． 19．在四边形中，. (1)求与的关系式； (2)若，求的值以及四边形的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $