专题04：三角形（解决问题讲义）数学人教版四年级下册

人教版四年级数学下册解决问题 专题04：三角形 （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 一、通用解题思路 1、审题定类型：圈出关键条件（如“线段长度”“角度数”“等腰/等边”“稳定性”等），判断属于哪个考点。 2、忆核心知识点：调取对应考点的概念、公式或规律（如内角和180°、三边关系、稳定性特征等）。 3、按步骤解题：结合图形特征或数量关系，选择计算、推理或验证的方法求解。 4、验证作答：检查结果是否符合三角形的基本性质（如内角和是否为180°、三边是否满足关系），规范写答语。 二、分考点解题技巧与方法 考点1：三角形的特性 1、核心技巧 （1）三角形的核心特性是稳定性，形状固定，不易变形；四边形具有易变性，形状可改变。 （2）应用场景：判断生活中的结构是否利用三角形稳定性（如自行车车架、篮球架），或设计稳定结构。 2、解题步骤 （1）分析题目中的物体结构，找出是否存在三角形或四边形部件； （2）结合特性判断：三角形结构→利用稳定性；四边形结构→利用易变性； （3）针对设计类问题，明确需构建三角形结构来保证稳定。 3、注意点：稳定性与三角形的边长无关，只要是三角形就具备该特性。 考点2：三角形的三边关系 1、核心技巧 （1）核心结论：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 （2）实用判断法：判断三条线段能否围成三角形，只需验证最短两条边的和是否大于第三边。 （3）计算公式：已知三角形两边长为a、b（a>b），则第三边c的取值范围：a-b<c<a＋b。 2、解题步骤 （1）判断能否围成三角形 ①找出三条线段的长度，确定最短的两条边； ②计算最短两边的和，与最长边比较； ③若和＞最长边→能围成；若和≤最长边→不能围成。 （2）求第三边的取值范围 ①计算已知两边的和与差； ②确定第三边的范围（大于差，小于和）。 考点3：三角形的分类 1、核心技巧 （1）按角分： 类型 核心特征 注意 锐角三角形 3个角都是锐角（小于90°） 三个角的度数都需满足锐角条件 直角三角形 有1个角是直角（等于90°） 另外2个角一定是锐角； 有1条高与直角边重合 钝角三角形 有1个角是钝角（大于90°） 另外2个角一定是锐角； 有2条高在三角形外 （2）按边分： 类型 核心特征 注意 不等边三角形 3条边的长度都不相等 无特殊角的要求 等腰三角形 有2条边相等（相等的边叫腰，第三条边叫底；两腰的夹角叫顶角，腰与底的夹角叫底角） 两个底角相等； 可能是锐角、直角或钝角三角形 等边三角形（正三角形） 3条边都相等 三个角都相等，且都是60°； 是特殊的等腰三角形； 一定是锐角三角形 2、解题步骤 （1）确定题目要求的分类标准（按角/按边）； （2）按角分类：计算或判断三角形的最大角，根据最大角类型确定三角形类型； （3）按边分类：测量或计算三条边的长度，根据边长关系确定三角形类型； 考点4：等腰三角形和等边三角形 1、核心技巧 （1）等腰三角形 ①特征：两腰相等，两底角相等； ②计算公式：底角=（180°－顶角）÷2；顶角=180°－底角×2。 （2）等边三角形 ①特征：三条边相等，三个角都是60；是特殊的等腰三角形； ②性质：一定是锐角三角形。 2、解题步骤 （1）等腰三角形角度计算 ①明确已知角是顶角还是底角； ②若已知顶角，用公式求底角；若已知底角，用公式求顶角； ③验证：顶角+底角×2=180°。 （2）等腰/等边三角形边长计算 ①等腰三角形： 已知腰长求周长→周长=腰长×2+底边长； 已知底边长求周长→周长=腰长×2+底边长； ②等边三角形：周长=边长×3；边长=周长÷3。 考点5：三角形的内角和 1、核心技巧 （1）核心结论：任意三角形的内角和都是180°，与形状、大小无关。 （2）特殊三角形角度关系：直角三角形的两个锐角之和是90°。 （3）计算公式：未知角=180°－已知两角之和 2、解题步骤 （1）确定三角形的已知角数量及度数； （2）若已知两个角，直接代入公式求第三个角； （3）若为直角三角形，已知一个锐角，用“90°－已知锐角”求另一个锐角； （4）验证：三个角的度数之和是否为180°。 考点6：多边形的内角和 1、核心技巧 （1）推导方法：将多边形从一个顶点出发，分成若干个三角形，多边形内角和=三角形个数×180°。 （2）计算公式：n边形内角和=（n－2）×180°（n＞3，n为边数）。 （3）常见多边形内角和： ①四边形内角和：（4－2）×180°=360°； ②五边形内角和：（5－2）×180°=540°。 2、解题步骤 （1）确定多边形的边数n； （2）代入公式（n－2)×180°计算； （3）若为“分割多边形求内角和”问题，先数分成的三角形个数，再用个数×180°计算。 考点1：三角形的特性 【典型例题】爷爷的木椅腿晃动了，请你钉一根木条（画图）在木椅上，让木椅变得稳定。 你运用的是哪个数学知识： 。 生活中还有哪里运用了这一知识，请列出两条： （1） 。 （2） 。 【答案】见详解 【分析】三角形是最简单、最基本的平面图形。三角形的三条边的长度一旦确定，这个三角形的形状和大小就不会改变即三角形不易变形，这就是三角形的稳定性即唯一性。三角形的稳定性知识在人们的生活和生产中有着广泛的应用。学生熟悉的自行车的三脚架是三角形的，是因为三角形具有稳定性。埃及金字塔、钢轨、三角形框架、起重机、三角形吊臂、屋顶、三角形钢架、钢架桥和埃菲尔铁塔都以三角形形状建造。根据题意在木椅的一条腿和面之间钉一根木条组成三角形；依此解答。 【详解】画图如下： 运用了三角形的稳定性。 生活中还有哪里运用了这一知识，列出两条： （1）自行车的三脚架是三角形。 （2）三角形钢架是三角形。 【练习1】爷爷给菜地设计篱笆，他想了以下几种方案，哪种方案设计的篱笆最牢固？为什么？ 【答案】②；理由见详解 【分析】三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，埃及金字塔、钢轨、三角形框架、起重机、三角形吊臂、屋顶、三角形钢架、钢架桥和埃菲尔铁塔都以三角形形状建造；四边形具有易变形的特性，即不稳定性，升降机、晾衣架等都利用了平行四边形的这种特性。据此解答。 【详解】答：方案②设计的篱笆最牢靠。方案①和方案③篱笆中间的形状是长方形或者平行四边形，它们都易变形。而方案②篱笆中间的形状是三角形，三角形具有稳定性，所以方案②设计的篱笆最牢靠。 【练习2】一位糊涂设计师设计了一张桌子，顾客使用后非常不满意，你能用“◯”圈出设计不合理的地方，并提出整改意见吗？ 整改意见： 【答案】图见详解 建议： 建议桌子腿与桌面垂直，然后根据三角形的稳定性，给桌面和桌子腿拉上斜撑。（合理即可） 【分析】根据三角形的稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点；据此解答即可。 【详解】不合理的地方： 整改如下： 建议：建议桌子腿与桌面垂直，然后根据三角形的稳定性，给桌面和桌子腿拉上斜撑。（合理即可） 考点2：三角形的三边关系 【典型例题】小猴子想做一个三角形框架，已经锯好了两根木条（如下图）。第三根木条的长度最长是多少分米？最短是多少分米？（木条长为整分米数） 【答案】 19dm；5dm 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两根木条的长度分别为12分米和8分米，先计算两边之和与两边之差，从而确定第三根木条长度的取值范围，再根据木条长为整分米数，得出最长和最短的长度。 【详解】（dm） （dm） 第三根木条的长度应大于4dm且小于20dm，因为木条长为整分米数，所以最长是19dm，最短是5dm。 答：第三根木条的长度最长是19分米，最短是5分米。 【练习1】非洲鸵鸟是原始的残存鸟类之一，也是现存最大的鸟类之一，飞行能力已完全退化，但奔跑能力极强。成鸟身高可达2.5米，体重约150千克，冲刺速度可达每小时70千米以上。请你从数学的角度做出判断，假如下面这只鸵鸟身高2.5米，腿长1.15米，那么它一步能走2.8米吗？用你喜欢的方式说明理由。 【答案】不能；理由见详解 【分析】已知鸵鸟的腿长1.15米，当鸵鸟行走时它的两条腿和地面形成一个三角形，根据三角形两条边之和大于第三条边来判断鸵鸟一步能否走2.8米。 【详解】1.15＋1.15＝2.3（米） 2.3＜2.8 答：它一步不能走2.8米。 【练习2】把一根长10厘米的铁丝剪成3段，再首尾相连围成三角形。 （1）奇奇第一刀剪在5厘米处，妙妙判断他一定不能围成一个三角形。妙妙的说法正确吗？请说明理由。 （2）点点从4厘米处剪了一刀，再在（     ）厘米处剪一刀得到的铁丝一定能围成三角形。 【答案】（1）正确；理由见详解 （2）6或7或8 【分析】（1）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。这根铁丝长10厘米，第一刀剪在5厘米处，那其中一条边长度必定是5厘米，10－5＝5（厘米），剩下的两条边长度之和与这条边相等，所以一定不能围成三角形。 （2）点点从4厘米处剪了一刀，则剩下的铁丝长度为6厘米，只需要保证剩下的铁丝剪的时候比1厘米长，即可组成三角形，所以可以在6厘米处、7厘米处、8厘米处剪，不能在9厘米处剪。据此解答。 【详解】（1）因为三角形任意两边之和大于第三边，而奇奇剩下的两边之和是10－5＝5（厘米），5＝5，不能围成三角形，所以妙妙的说法正确。 （2）10－4＝6（厘米） 要保证能组成三角形，剩下的6厘米铁丝不能剪出1厘米来，所以不能在这根铁丝标5厘米处和9厘米处剪，能够在6厘米处、7厘米处、8厘米处这三处剪，剩下铁丝都能围成三角形。 考点3：三角形的分类 【典型例题】一辆汽车行驶的轨迹与路灯B、路灯C所在直线互相平行。（如图） （1）汽车已行至A点处，依次连接ABC三点，所形成的图形是（     ）角三角形。 （2）汽车行驶到D点，与路灯B的距离最短。先标出D点的位置再依次连接DBC三点，所形成的图形是（     ）角三角形。 （3）汽车行驶到F点时，汽车与两座路灯形成锐角等腰三角形，画出三角形FBC，并画出以BC边为底的高。 【答案】（1）钝 （2）直 （3）见详解 【分析】（1）依次连接ABC三点，根据三角形按角分类的可知，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。三角形ABC是钝角三角形。 （2）两点之间线段最短，所以DB与CB垂直，三角形DBC的直角三角形。 （3）当汽车行驶到F点时，汽车与两座路灯形成锐角等腰三角形，则F点在CB的垂直平分线上，据此作图即可。 【详解】（1）汽车已行至A点处，依次连接ABC三点，所形成的图形是钝角三角形。如图： （2）汽车行驶到D点，与路灯B的距离最短。先标出D点的位置再依次连接DBC三点，所形成的图形是直角三角形。如图： （3）汽车行驶到F点时，汽车与两座路灯形成锐角等腰三角形。以BC边为底的高，如图： 【练习1】你认同哪位同学的说法？请具体说明你的想法。 【答案】见详解 【分析】三角形的内角和是180°，每个三角形都至少有两个锐角，但这两个锐角的和可能小于90°，也可能等于、大于90°，所以另一个角有可能是锐角、直角、钝角，此时无法判断三角形是钝角三角形、直角三角形或者锐角三角形。 【详解】根据分析可得：我认为欢欢说得对，因为：三角形的内角和是180°，仅知道其中两个角是锐角，无法判断第三个角是锐角、直角还是钝角，据此无法判断三角形的形状。 【练习2】做风车模型时，东东想用一根长24厘米的木棒，剪2刀，使剪出的三根木棒拼成三角形。 （1）想一想，第一刀能剪在12厘米处吗？请说明理由。 （2） 如果第一刀剪在点，第二刀剪在哪里一定能拼成等边三角形？请你在上图中用点标出第二刀的位置。这个等边三角形按角分属于（     ）三角形。 【答案】（1）不能；理由见详解（2）16厘米；图见详解；锐角 【分析】（1）先剪掉一个12厘米，木棒的总长度是24厘米，24减12的差是12，由此可知另外两根小棒的长度是12厘米，正好与第三根小棒的长度相等，根据三角形的任意两边之和大于第三边，那么此时三根小棒是不能摆成三角形的。 （2）等边三角形的三条边相等，这三根小棒的长度都是8厘米，8加8得16，即第二刀从16厘米处剪开，据此在图中标点，因为等边三角形的3个内角都是60°，是锐角，所以等边三角形按角分属于锐角三角形。 【详解】（1）24－12＝12（厘米） 12厘米＝12厘米 答：第一刀不能在12厘米处剪，因为此时另外两根小棒的长度与第三根小棒的长度相等，不满足三角形的任意两边之和大于第三边。 （2） 由图可知：这个等边三角形的一条边长为8厘米 8＋8＝16（厘米） 答：第二刀剪在16厘米处。 这个等边三角形的3个内角都是60°，按角分属于锐角三角形。 考点4：等腰三角形和等边三角形 【典型例题】为了保护正方形造型的花圃，园艺师沿着花圃边围了整一圈隔离带，隔离带长40米。过了一个月，花圃换成了等腰三角形的形状，这条隔离带恰好够围一圈。等腰三角形花圃的一条边长是8米，另两条边的长分别是多少米？ 【答案】16米 【分析】等腰三角形两腰相等，已知一条边长是8米，可分为腰长8米，底边长8米两种情况讨论，再根据三角形两边之和大于第三边验证是否满足三角形三边关系。 【详解】当腰长为8米时： 40－8×2 ＝40－16 ＝24（米） 8＋8＝16，16＜24，不满足三边关系，不符合题意。 当底边长为8米时： （40－8）÷2 ＝32÷2 ＝16（米） 16＋8＞16，16＋16＞8，满足三边关系，符合题意。 所以等腰三角形花圃的边长为8米、16米、16米。 答：另外两条边的长都是16米。 【练习1】一根铁丝可以围成一个腰长15分米、底边长24分米的等腰三角形。如果改围成一个等边三角形，那么等边三角形的每条边长多少分米？ 【答案】18分米 【分析】等腰三角形的两条腰长度相等。由题意得，一根铁丝可以围成一个腰长15分米、底边长24分米的等腰三角形，可以用腰的长度乘以2再加上底边的长度算出等腰三角形的周长，也就是这根铁丝的长度。如果改围成一个等边三角形，等边三角形的三条边长度相等，直接用前面的得数除以3即可算出等边三角形的每条边长多少分米。 【详解】15×2＋24 ＝30＋24 ＝54（分米） 54÷3＝18（分米） 答：等边三角形的每条边长18分米。 【练习2】放风筝是我国民间传统游戏之一。华华想做一个等腰三角形的风筝。 （1）如果等腰三角形风筝的顶角是40度，它的两个底角分别是多少度？ （2）如果这个等腰三角形风筝有两条边分别长45厘米和22厘米。那么它的周长是多少厘米？ 【答案】（1）70度；70度； （2）112厘米 【分析】（1）等腰三角形两个底角度数相等，三角形内角和等于180度，用（180－40）÷2，即可求出它的底角度数； （2）等腰三角形两条腰长相等，根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此先找出腰长是多少厘米，将三条边的长度相加即可求出周长是多少厘米。 【详解】（1）（180－40）÷2 ＝140÷2 ＝70（度） （2）当腰长是22厘米时：22＋22＝44（厘米），44＜45，两边之和小于第三边，不能围成三角形； 当腰长是45厘米时：45＋45＝90（厘米），90＞22，45－22＝23（厘米），23＜45，能围成三角形。 45＋45＋22＝112（厘米） 答：它的周长是112厘米。 考点5：三角形的内角和 【典型例题】王伯伯家有一块三角形菜地，三角形菜地的最大内角是120°，是另一个内角度数的4倍。这块三角形菜地的形状按边分是什么三角形？ 【答案】等腰三角形 【分析】三角形按边分，可以分为一般三角形、等腰三角形和等边三角形：有两条边相等的三角形，是等腰三角形，等腰三角形两个底角的大小相等；三条边相等的三角形，是等边三角形，等边三角形三个角大小都是60°。 根据题意，已知三角形的最大内角是120°，是另一个内角度数的4倍，用120°除以4即可求出另一个内角的度数；再根据三角形内角和为180°，用180°减去已知的两个角，即可求出第三个内角的度数；根据角的大小关系，再判断这个三角形按边分，是什么三角形，据此解答。 【详解】另一个内角： 第三个内角： 30°＝30°，两个角大小相等 答：这个三角形菜地的形状按边分是等腰三角形。 【练习1】钱叔叔做了一个等腰三角形的架子，它的顶角是40度，它的底角是多少度？ 【答案】70度 【分析】三角形的内角和是180°，等腰三角形的两个底角相等。用180°减去顶角的度数，求得两个底角的度数和，再用两个底角的度数和除以2，即可求得底角的度数。 【详解】180－40＝140（度） 140÷2＝70（度） 答：它的底角是70度。 【练习2】张爷爷家有一块三角形菜地（如图），请你算出未知角的度数。 【答案】57° 【分析】根据三角形的内角和等于180°，利用内角和减去其中已知的两个角即可解答。 【详解】180°－（30°＋93°） ＝180°－123° ＝57° 答：未知角的度数为57°。 考点6：多边形的内角和 【典型例题】（1）小红把△ABC的三个内角沿虚线剪下来（如图1），她将∠1和∠2拼在了一起（如图2），请你在图2中把∠3也拼画上去。 （2）△ABC剪去三个内角后，剩下的图形内角和是几度？请在图1中画出思考的示意图，并在最右边的虚线框内列式计算。 【答案】（1）画图见详解 （2）画图见详解；720度 【分析】（1）将∠3的顶点与∠2的顶点重合，并将∠3的一条边与∠2的外面一条边重合，则∠3的另一条边与∠1的一条边成一条直线，可知三角形的三个内角和是180°。据此画图。 （2）从图中可以看出，△ABC剪去三个内角后，剩下的图形是六边形；分别连接六边形的一个顶点与相对的顶点，则把六边形分成了4个三角形，六边形的内角和就是4个三角形内角的总和，每个三角形的内角和是180°，所以，六边形的内角和等于4个180°的和；据此画图并解答。 【详解】（1）根据分析，画图如下： （2）根据分析，画图如下： 180°×4＝720° 答：剩下的图形内角和是720度。 【练习1】八角窗作为我国古代建筑中极具特色的设计形式，其正八边形的轮廓不仅承载着象征八方来财的文化寓意，更蕴含了精妙的几何原理。研学小组来到渠家大院实地参观时，发现门楼上有一个正八边形的八角窗，奇奇联想到课堂上探究三角形、四边形内角和的场景。聪明的你能用喜欢的方法探究八边形的内角和是多少吗？（可以在图中画一画、算一算。） 【答案】图见详解； 1080°； 【分析】把八边形分成了8个三角形，8个三角形的内角和是180°×8＝1440°，通过观察图形可知，在分成8个三角形后，原来八边形的度数和就多了中间的一个周角即360°。所以八边形的内角和等于分成的8个三角形的内角和减去中间一个周角的度数。 【详解】 180°×8－360° ＝1440°－360° ＝1080° 答：八边形的内角和是1080°。 【练习2】请观察下表，完成以下题目。 图形 …… 内角和 180° （    ）° （    ）° … （1）请在表格中填写四边形和五边形的内角和。 （2）丽丽求六边形的内角和，她把六边形分为6个三角形（如下图），所以她认为六边形的内角和是，对吗？请你说明理由。 【答案】（1）360；540； （2）不对；因为丽丽计算六边形的内角和度数时，多算了中心6个角的度数，也就是多算了360°，即六边形的内角和应该是720°。 【分析】（1）根据图示可知，四边形可分成2个三角形，一个三角形的内角和是180°，因此四边形的内角和等于2个180°；五边形可分成3个三角形，因此五边形的内角和等于3个180°；依此解答。 （2）根据图示可知，丽丽计算六边形的内角和度数时，多算了中心6个角的度数，中间6个角的度数之和为360°，因此最后需要用1080°减360°，依此解答。 【详解】（1）180°×2＝360° 180°×3＝540° （2）不对；因为丽丽计算六边形的内角和度数时，多算了中心6个角的度数，也就是多算了360°，即六边形的内角和应该是720°。 正确的计算方法是： 180°×6－360° ＝1080°－360° ＝720° 由此可知，六边形的内角和应该是720°。 夯实基础 1．下面三根小棒，能围成一个三角形的是（     ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】根据题意，三角形任意两边之和大于第三边，据此判断选择即可。 【详解】A．下面两根小棒的加起来比上面的短，不能围成三角形。 B．，可以围成三角形。 C．下面两根小棒的加起来比上面的短，不能围成三角形。 故答案为：B 2．伊旗4号桥是典型的斜拉桥的设计，该设计是应用了（     ）。 A．三角形的稳定性 B．三角形内角和是180° C．三角形任意两边的和大于第三边 【答案】A 【分析】根据题意，明确三角形具有稳定性，不容易发生形变，生活中有许多三角形稳定性运用的场景，如自行车的三脚架、相机三脚架、太阳能热水器、起重机、屋顶、斜拉桥、古埃及金字塔等。以此判断即可。 【详解】由分析可知，伊旗4号桥是典型的斜拉桥的设计，该设计是应用了三角形的稳定性。 故答案为：A 3．如图，一根10厘米长的吸管，小军要剪成三段围成一个三角形，如果第一刀剪在6厘米处，第二刀应剪在（     ）处。 A．甲 B．乙 C．丙 【答案】A 【分析】由各选项第二刀剪的位置，得出剪成三段吸管的长度，再根据三角形的三边关系，判断这三段吸管能否围成三角形。 三角形的三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边。 【详解】A．若第二刀剪在甲处，则三角形三条边的长度分别为3厘米、3厘米和4厘米，3＋3＞4，满足三角形的三边关系，可以围成三角形； B．若第二刀剪在乙处，则三角形三条边的长度分别为5厘米、1厘米和4厘米，1＋4＝5，不满足三角形的三边关系，不能围成三角形； C．若第二刀剪在丙处，则三角形三条边的长度分别为6厘米、1厘米和3厘米，1＋3＜6，不满足三角形的三边关系，不能围成三角形。 所以，第二刀应剪在甲处。 故答案为：A 4．乐乐用如图的方法求四边形的内角和，下列算式中正确的是（     ）。 A．180°×4－360° B．180°×4＋360° C．180°×4－180° 【答案】A 【分析】根据题意可知，图中四边形分成了4个三角形，三角形的内角和是180°，用180°×4然后再减去中间的360°的周角即可。也就是180°×4－360°。 【详解】乐乐用如图的方法求四边形的内角和，下列算式中正确的是180°×4－360°。 故答案为：A 5．木匠师傅做了一个长方形框架（如图），发现容易变形，打算进行加固。最好的一种加固方案是（     ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】沿着长方形相对的两个顶点加一根木条，形成两个三角形，可利用三角形的稳定性加固长方形的框架，据此解答。 【详解】A．将长方形框架分成了两个长方形，长方形是四边形，四边形具有不稳定性，不符合题意； B．将长方形框架分成了两个长方形，长方形是四边形，四边形具有不稳定性，不符合题意； C．将长方形框架分成了两个三角形，三角形具有稳定性，符合题意。 故答案为：C 6．张叔叔家的太阳能热水器支架损坏了，需要更换钢条（如图），需要更换钢条的长度可能为（     ）。 A．2.7m B．3.2m C．0.2m 【答案】A 【分析】依据图，三角形两边之和大于三边，两边之差小于第三边，所以更换钢条的长度在大于1.7－1.5＝0.2（m），而小于1.7＋1.5＝3.2（m）之间，逐项判断。 【详解】1.7－1.5＝0.2（m） 1.7＋1.5＝3.2（m） A．0.2＜2.7＜3.2，符合； B．3.2＝3.2，不符合； C．0.2＝0.2，不符合； 故答案为：A 7．如图，一块三角形纸片被撕去了一个角，这个角是（ ）度，原来这块纸片的形状是（ ）三角形，也是（ ）三角形。 【答案】 67 等腰 锐角 【分析】根根据题意，三角形的内角和是180°，用180°减去67°减去46°就是撕去的那个角的度数； 三角形按角分类：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形； 三角形按边分类：有两条边相等的三角形叫等腰三角形，等腰三角形的两个底角也是相等的。三条边都相等的三角形叫等边三角形，据此判断。 【详解】180°－67°－46° ＝113°－46° ＝67° 一块三角形纸片被撕去了一个角，这个角是67度。 因为67°、67°、46°都是锐角，67°＝67°，所以原来这块纸片的形状是等腰三角形，也是锐角三角形。 8．如图，一张三角形纸片被剪去了一个角，剪去的这个角是（ ）°，剩下部分的内角和是（ ）。 【答案】 55 360 【分析】三角形内角和是180°，剪去这个角的度数＝三角形的内角和－其余两个内角的度数；可以将剩下的图形分成几个三角形，用三角形的个数乘180°即可求出剩下部分的内角和是多少度。 【详解】180°－65°－60° ＝115°－60° ＝55° 如图： 180°×2＝360° 即一张三角形纸片被剪去了一个角，剪去的这个角是55°，剩下部分的内角和是360°。 9．将一根长9厘米的小棒剪两次，剪成三段，围成一个三角形。第一次一定不能剪在（ ）厘米处。 【答案】4.5 【分析】根据三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。若第一次剪在4.5厘米处，会出现一段小棒长度等于另外两段小棒长度和，不满足任意两边之和大于第三边，无法围成三角形，故根据此关系判断不能剪在4.5厘米处。 【详解】（厘米） 所以第一次一定不能剪在4.5厘米处。 10．高压线杆的支架焊成三角形是因为三角形具有（ ）；请你再举出一个生活中应用三角形这种特性的例子（ ）。 【答案】 稳定性 塔吊的横梁（答案不唯一） 【分析】三角形具有稳定性，即在受到外力作用时，其形状不易改变。高压线杆的支架焊成三角形正是利用了这一特性，使得支架更加稳固。生活中应用三角形稳定性的例子有很多，如塔吊的横梁、屋顶的三角结构 【详解】根据三角形的特性，三角形具有稳定性，因此高压线杆的支架焊成三角形是为了利用这一特性，使结构更稳固。 生活中应用三角形稳定性的例子可以是塔吊的横梁。塔吊在作业时需要承受较大的重量，其利用了三角形结构，能够有效增强稳定性，防止变形。 高压线杆的支架焊成三角形是因为三角形具有稳定性；请你再举出一个生活中应用三角形这种特性的例子塔吊的横梁。（答案不唯一） 11．如图，一块三角形纸片被撕去了一个角，这个角是（ ）度，这块纸片原来的形状是（ ）三角形，也是（ ）三角形。 【答案】 67 锐角/等腰 等腰/锐角 【分析】根据题意，三角形的内角和是180°，用180°减去67°减去46°就是撕去的那个角的度数。，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。有两个角相等的三角形是等腰三角形。据此判断形状即可。 【详解】180°－67°－46° ＝113°－46° ＝67° 一块三角形纸片被撕去了一个角，这个角是67度。 因为67°、67°、46°都是锐角，67°＝67°所以这块纸片原来的形状是锐角（等腰）三角形，也是等腰（锐角）三角形。 12．如图，沿正方形一条边的中点折出一个三角形，该三角形底边上高是（ ）cm。已知∠1＝25°，那么∠2＝（ ）°。 【答案】 7 40 【分析】因为这个三角形是用正方形的一个角折成的，所以是直角三角形，该三角形底边上高就等于正方形的边长；正方形四个角都是直角，所以∠2＝直角－∠1×2。 【详解】该三角形底边上高是7厘米； 90°－25°×2 ＝90°－50° ＝40° 所以∠2＝40°。 13．少先队员佩戴的红领巾的形状是一个三角形，按角分属于（ ）三角形，按边分属于（ ）三角形。 【答案】 钝角 等腰 【分析】三角形按角分类，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；红领巾有一个角是钝角，所以它是钝角三角形； 三角形按边分类，三个边都相等的三角形是等边三角形，有两个边相等的三角形是等腰三角形；红领巾有两条相等的边，所以它是等腰三角形；据此判断。 【详解】根据分析可得：少先队员佩戴的红领巾的形状是一个三角形，按角分属于钝角三角形，按边分属于等腰三角形。 14．安安将一个等边三角形对折，再沿折痕将这个三角形剪开，得到两个相同的（ ）三角形，其中一个三角形中的两个锐角分别是（ ）°和（ ）°。 【答案】 直角 30 60 【分析】根据题意，等边三角形的每个角都是60°。沿高线对折后剪开，得到两个三角形。被剪开的角各变成两个三角形的一个角，是60°的一半，60°÷2＝30°，原等边三角形的两个60°的角变成两个三角形的一个角，根据三角形内角和180°，求出第三个角，180°－60°－30°＝90°，三角形的内角分别为30°、60°和90°，可以判断三角形是直角三角形，因此两个锐角分别是30°和60°。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 60°÷2＝60° 180°－60°－30°＝90° 安安将一个等边三角形对折，再沿折痕将这个三角形剪开，得到两个相同的直角三角形，其中一个三角形中的两个锐角分别是30°和60°。 15．一个等腰三角形的两条边长分别是12cm和6cm，这个等腰三角形的周长是（ ）cm；一个等边三角形的周长与它相等，那么这个等边三角形的边长是（ ）cm。 【答案】 30 10 【分析】等腰三角形是指至少有两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。而6＋6＝12cm，所以腰长不能为6cm，腰长是12cm，所以等腰三角形的周长是12×2＋6＝30cm。三条边都相等的三角形是等边三角形，即等边三角形的边长是30÷3＝10cm。据此解答即可。 【详解】12×2＋6 ＝24＋6 ＝30（cm） 30÷3＝10（cm） 一个等腰三角形的两条边长分别是12cm和6cm，这个等腰三角形的周长是30cm；一个等边三角形的周长与它相等，那么这个等边三角形的边长是10cm。 16．用两根长分别是8cm、15cm的小棒和另一个小棒围成一个三角形（三条边的长都是整厘米数），另一根小棒最长是（ ）cm，最短是（ ）cm。 【答案】 22 8 【分析】对于三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。这里有两根小棒长8cm和15cm，我们要找第三根小棒的长度范围。据此解答即可。 【详解】首先，第三根小棒长度要大于15－8＝7cm。因为如果等于7cm，8cm和7cm加起来等于15cm，不符合两边之和大于第三边，就不能构成三角形。 其次，第三根小棒长度要小于15＋8＝23cm。如果等于23cm，15cm和8cm这两条边的和等于23cm，不符合两边之和大于第三边，同样不能构成三角形。 因为三条边的长都是整厘米数，所以大于7cm的最小整数是8cm，小于23cm的最大整数是22cm。 因此，另一根小棒最长是22cm，最短是8cm。 17．如图，电线杆这样安装，是利用了三角形的（ ）性，如果∠1＝56.5°，那么∠2＝（ ）°。 【答案】 稳定 33.5 【分析】三角形具有稳定性；三角形稳定，因为它三条边首尾相接，形成了稳定结构。三角形的三个角固定了三条边的位置，使得整个结构在受力时，力的分布更加均匀，不易发生形变。其次，三角形的三条边相互支撑，一旦其中一条边受到拉力或压力，其他两条边会产生反作用力，相互抵消，从而保持整个结构的稳定。这种力的平衡状态使得三角形结构在受力时能够均匀分散压力，提高了结构的抗压能力和稳定性。 已知∠1＝56.5°，另一个内角是90°，求∠2的度数，根据三角形内角和等于180°，用180°－56.5°－90°，即可求出∠2的度数。 【详解】180°－56.5°－90° ＝123.5°－90° ＝33.5° 电线杆这样安装，是利用了三角形的稳定性，如果∠1＝56.5°，那么∠2＝33.5°。 18．甲乙丙三家的位置可以围成一个三角形。如果甲和乙相距100m，乙和丙相距60m，那么甲和丙的距离一定比（ ）m短，但一定比（ ）m长。 【答案】 160 40 【分析】三角形三边关系为：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。根据三角形三边关系可知，甲和丙的距离在甲乙距离和与甲乙距离差之间，据此解答。 【详解】100＋60＝160（m） 100－60＝40（m） 所以，甲和丙的距离一定比160m短，但一定比40m长。 19．一个等腰三角形的一条边是4cm，另一条边是10cm，围成这个等腰三角形至少需要（ ）cm长的绳子。 【答案】24 【分析】根据三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边，先确定这个等腰三角形的第三条边的长度，再将三条边相加即可求出围成这个等腰三角形所需的绳长。 【详解】因为是等腰三角形，所以第三条边可能长10cm，也可能长4cm，又因为4＋4＜10，所以4cm的边只能是底，则等腰三角形的两条腰长分别是10cm和10cm。 10＋10＋4 ＝20＋4 ＝24（cm） 因此，围成这个等腰三角形至少需要24cm长的绳子。 培优拔高 20．学校实践基地的一块指示牌歪了，请你设计一个加固的方案，画在图B中。 【答案】见详解 【分析】三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。由题意得，学校实践基地的一块指示牌歪了，要使这个指示牌变得稳固，可以斜着加一根木条使得指示牌、柱子和木条围成一个三角形。据此解答。 【详解】 21．一个等腰三角形的周长是137厘米，已知一条边的长度为27厘米，另外两条边的长度是多少厘米？ 【答案】55厘米；55厘米 【分析】根据等腰三角形的性质，已知边可能是底边或腰。若27厘米为腰，则底边为137－27×2厘米；若27厘米为底边，则腰长为（137−27）÷2厘米，再根据三角形任意两边之和大于第三边，验证两种情况，是否符合条件。 【详解】当27厘米为腰长时，底边长度为： （厘米） 因为（厘米），54厘米＜83厘米 所以不满足三角形三边关系。 当27厘米为底边长时，腰长为： （厘米） （厘米），110厘米＞27厘米 （厘米），82厘米＞55厘米 答：另外两条边的长度都是55厘米。 22．学校准备用篱笆围一块等腰三角形花圃。已知一条腰长8米，篱笆总长22米。这个花圃的底边长是多少米？ 【答案】6米 【分析】由题意可知：等腰三角形的两条腰相等，篱笆总长也就是等腰三角形的周长，用等腰三角形的周长－腰长×2，即可求出底边长是多少米。 【详解】22－8×2 ＝22－16 ＝6（米） 答：这个花圃的底边长是6米。 23．王奶奶家有一块等腰三角形的菜地，其中的两条边分别长26米和13米，要给这块菜地围一圈栅栏，栅栏长多少米？ 【答案】65米 【分析】题目给出两条边分别为26米和13米，需确定哪两条边为腰：若腰为13米，则底边为26米，此时米，不满足三角形两边之和大于第三边的条件，故不成立；因此腰只能是26米，底边为13米，此时三边满足三角形三边关系。根据等腰三角形的特点，两条腰相等，据此求出三角形周长即可。 【详解】根据分析可得：（米） 所以，三角形的腰是26米，底是13米。 因此三角形周长为： （米） 答：栅栏长65米。 24．五月是育才学校的劳动月，为增强师生热爱生活、热爱劳动的意识，学校举行了“劳动为本，奉献最美”劳动月系列活动。劳动小组为了修整菜园，计划开辟一块等腰三角形菜地，菜地的周长是30米，其中一条边的长是6米，另外两条边分别是多少米？ 【答案】12米、12米 【分析】等腰三角形有两条边长度相等，这两条相等的边叫做腰，另一条边叫做底边。 三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 若底为6米：（等腰三角形周长一底）÷2＝腰； 若腰为6米：等腰三角形周长一腰×2＝底，再根据三角形两边之和一定大于第三边，去掉不可能的情况，得出另外两条边分别是多少米。 【详解】若底为6米，则腰为： （30－6）÷ 2 ＝24÷2 ＝ 12（米） 若腰为6米，则底为： 30－6×2 ＝30－12 ＝ 18（米） 6＋6＝12＜18，根据三角形两边之和一定大于第三边可知，三角形的腰不可能是6米。 所以底为6米，其他两边长都是12米。 答：另外两条边分别是12米、12米。 25．从A城到C城间有两条公路，A城距B城有200千米，B城距C城有160千米，A城直达C城有350千米，李叔叔开车从A城出发经过B城到C城去办事，共用了6小时。办完事后李叔叔从C城回到A城，返回时他每小时多行10千米，至少要多长时间？现在计划新修一条公路，使B城与道路AC段要连通，怎么样设计路程最短？请在图中画出来，并说明为什么？ 【答案】5小时 从B城修垂直于公路AC的公路，这样设计最短 图见详解 因为直线外一点到直线的距离，垂线最短 【分析】（1）根据题意，从A城到B城再到C城，路程为200＋160＝360（千米），用路程除以时间即可算得去时的速度，然后因为回来时每小时比去多行10千米，那么就用去时的速度加上10，即为回来的速度，再用回来的路程除以回来的速度，即可算得回来至少需要用多少时间； （2）根据题意A、B、C三城围城了一个三角形，B城为三角形的一个顶点，AC城之间的距离为B城所对的一条底边，从B城修垂直于公路AC的公路，这样设计最短，因为直线外一点到直线的距离，垂线最短，图见详解； 【详解】根据分析可得： （1）200＋160＝360（千米） 360÷6＝60（千米小时） 60＋10＝70（千米小时） 350÷70＝5（小时） 答：返回时至少需要5小时。 （2）从B城修垂直于公路AC的公路，这样设计最短，见下图 因为直线外一点到直线的距离，垂线最短。 26．中国古代八角桌的“八角”形状代表着“五行八卦”，象征着阴阳相合、万物生长。趣味课上聪聪和同学们一起根据八角桌探究八边形的内角和。 （1）聪聪：我把八边形分成了8个三角形，所以它的内角和是。 乐乐：我把八边形分成了4个三角形和1个四边形，所以它的内角和是。 贝贝：我把八边形分成了3个四边形，所以它的内角和是。 你同意或不同意谁的观点，请写出理由：_____________________。 （2）你还有其他的方法来求八边形的内角和吗？在下面的八边形上画一画，并写出求内角和的算式。 算式：（                             ） 【答案】（1）我不同意聪聪的观点；理由见详解 （2） 算式：180°×6＝1080° 【分析】（1）求多边形的内角和时，可以将多边形分割成若干个三角形或四边形。然后根据三角形的内角和为180°、四边形的内角和为360°，来推算多边形的内角和即可。这个过程中，如果有新增的角，在计算多边形的内角和时，需要减去这部分角的度数。由题意得，聪聪把八边形分成了8个三角形，8个三角形的内角和是8×180°＝1440°。但这不是八边形的内角和，因为聪聪把中间的周角也算为了八边形的内角，所以聪聪的方法错误；乐乐把八边形分成了4个三角形和1个四边形，这个过程中没有新增的角，所以八边形的内角和就等于4个三角形的内角和加上1个四边形的内角。即乐乐的方法正确；贝贝把八边形分成了3个四边形，这个过程中没有新增的角，所以八边形的内角和就等于3个四边形的内角和。即乐乐的方法正确。 （2）把八边形添加5条辅助线，将八边形分割成6个三角形，每个三角形的内角和是180°，由此可知八边形的内角和等于180°×6＝1080°。 【详解】（1）我不同意聪聪的观点。因为他把八边形分成了八个三角形，每个三角形的内角和是180°，180°×8表示8个三角形内角的和，但不是八边形的内角和，从图中可以看出多了一个周角，所以这个八边形的内角和是1440°－360°＝1080°，所以聪聪的观点是错误的。 （2） 算式：180°×6＝1080° 思维拓展 27．下图是一张面积为400平方厘米的长方形纸折叠后的样子，那么这张长方形纸的宽是（ ）厘米。 【答案】10 【分析】根据题图可知这是一个顶角为60°的等腰三角形，根据三角形的内角和是180°，用180°减去60°再除以2可知两个底角的度数为60°，三个角相等的三角形是等边三角形。根据等边三角形三边相等，观察可以发现这张长方形纸的长是20厘米的2倍，用20乘2求出长方形纸的长，最后根据长方形的面积＝长×宽，用400除以长方形纸的长即可求出长方形纸的宽。 【详解】（180°－60°）÷2 ＝120°÷2 ＝60° 三角形的三个角相等，是等边三角形，等边三角形的三边相等，长方形纸的长是20厘米的2倍。 20×2＝40（厘米） 400÷40＝10（厘米） 这张长方形纸的宽是10厘米。 28．桌子上有一些三角形纸板，聪聪数了数共有25个锐角、3个钝角、2个直角，这些三角形纸板中有锐角三角形（ ）个。 【答案】5 【分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。根据题意，有3个钝角说明有3个钝角三角形，3个钝角三角形有3×2＝6个锐角；有2个直角说明有2个直角三角形，2个直角三角形有2×2＝4个锐角，所以还有25－6－4＝15个锐角，每个锐角三角形有3个锐角，那么锐角三角形的个数为15÷3＝5个，据此解答即可。 【详解】3×2＝6（个） 2×2＝4（个） 25－6－4 ＝19－4 ＝15（个） 15÷3＝5（个） 桌子上有一些三角形纸板，聪聪数了数共有25个锐角、3个钝角、2个直角，这些三角形纸板中有锐角三角形5个。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版四年级数学下册解决问题 专题04：三角形 （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 一、通用解题思路 1、审题定类型：圈出关键条件（如“线段长度”“角度数”“等腰/等边”“稳定性”等），判断属于哪个考点。 2、忆核心知识点：调取对应考点的概念、公式或规律（如内角和180°、三边关系、稳定性特征等）。 3、按步骤解题：结合图形特征或数量关系，选择计算、推理或验证的方法求解。 4、验证作答：检查结果是否符合三角形的基本性质（如内角和是否为180°、三边是否满足关系），规范写答语。 二、分考点解题技巧与方法 考点1：三角形的特性 1、核心技巧 （1）三角形的核心特性是稳定性，形状固定，不易变形；四边形具有易变性，形状可改变。 （2）应用场景：判断生活中的结构是否利用三角形稳定性（如自行车车架、篮球架），或设计稳定结构。 2、解题步骤 （1）分析题目中的物体结构，找出是否存在三角形或四边形部件； （2）结合特性判断：三角形结构→利用稳定性；四边形结构→利用易变性； （3）针对设计类问题，明确需构建三角形结构来保证稳定。 3、注意点：稳定性与三角形的边长无关，只要是三角形就具备该特性。 考点2：三角形的三边关系 1、核心技巧 （1）核心结论：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 （2）实用判断法：判断三条线段能否围成三角形，只需验证最短两条边的和是否大于第三边。 （3）计算公式：已知三角形两边长为a、b（a>b），则第三边c的取值范围：a-b<c<a＋b。 2、解题步骤 （1）判断能否围成三角形 ①找出三条线段的长度，确定最短的两条边； ②计算最短两边的和，与最长边比较； ③若和＞最长边→能围成；若和≤最长边→不能围成。 （2）求第三边的取值范围 ①计算已知两边的和与差； ②确定第三边的范围（大于差，小于和）。 考点3：三角形的分类 1、核心技巧 （1）按角分： 类型 核心特征 注意 锐角三角形 3个角都是锐角（小于90°） 三个角的度数都需满足锐角条件 直角三角形 有1个角是直角（等于90°） 另外2个角一定是锐角； 有1条高与直角边重合 钝角三角形 有1个角是钝角（大于90°） 另外2个角一定是锐角； 有2条高在三角形外 （2）按边分： 类型 核心特征 注意 不等边三角形 3条边的长度都不相等 无特殊角的要求 等腰三角形 有2条边相等（相等的边叫腰，第三条边叫底；两腰的夹角叫顶角，腰与底的夹角叫底角） 两个底角相等； 可能是锐角、直角或钝角三角形 等边三角形（正三角形） 3条边都相等 三个角都相等，且都是60°； 是特殊的等腰三角形； 一定是锐角三角形 2、解题步骤 （1）确定题目要求的分类标准（按角/按边）； （2）按角分类：计算或判断三角形的最大角，根据最大角类型确定三角形类型； （3）按边分类：测量或计算三条边的长度，根据边长关系确定三角形类型； 考点4：等腰三角形和等边三角形 1、核心技巧 （1）等腰三角形 ①特征：两腰相等，两底角相等； ②计算公式：底角=（180°－顶角）÷2；顶角=180°－底角×2。 （2）等边三角形 ①特征：三条边相等，三个角都是60；是特殊的等腰三角形； ②性质：一定是锐角三角形。 2、解题步骤 （1）等腰三角形角度计算 ①明确已知角是顶角还是底角； ②若已知顶角，用公式求底角；若已知底角，用公式求顶角； ③验证：顶角+底角×2=180°。 （2）等腰/等边三角形边长计算 ①等腰三角形： 已知腰长求周长→周长=腰长×2+底边长； 已知底边长求周长→周长=腰长×2+底边长； ②等边三角形：周长=边长×3；边长=周长÷3。 考点5：三角形的内角和 1、核心技巧 （1）核心结论：任意三角形的内角和都是180°，与形状、大小无关。 （2）特殊三角形角度关系：直角三角形的两个锐角之和是90°。 （3）计算公式：未知角=180°－已知两角之和 2、解题步骤 （1）确定三角形的已知角数量及度数； （2）若已知两个角，直接代入公式求第三个角； （3）若为直角三角形，已知一个锐角，用“90°－已知锐角”求另一个锐角； （4）验证：三个角的度数之和是否为180°。 考点6：多边形的内角和 1、核心技巧 （1）推导方法：将多边形从一个顶点出发，分成若干个三角形，多边形内角和=三角形个数×180°。 （2）计算公式：n边形内角和=（n－2）×180°（n＞3，n为边数）。 （3）常见多边形内角和： ①四边形内角和：（4－2）×180°=360°； ②五边形内角和：（5－2）×180°=540°。 2、解题步骤 （1）确定多边形的边数n； （2）代入公式（n－2)×180°计算； （3）若为“分割多边形求内角和”问题，先数分成的三角形个数，再用个数×180°计算。 考点1：三角形的特性 【典型例题】爷爷的木椅腿晃动了，请你钉一根木条（画图）在木椅上，让木椅变得稳定。 你运用的是哪个数学知识： 。 生活中还有哪里运用了这一知识，请列出两条： （1） 。 （2） 。 【练习1】爷爷给菜地设计篱笆，他想了以下几种方案，哪种方案设计的篱笆最牢固？为什么？ 【练习2】一位糊涂设计师设计了一张桌子，顾客使用后非常不满意，你能用“◯”圈出设计不合理的地方，并提出整改意见吗？ 整改意见： 考点2：三角形的三边关系 【典型例题】小猴子想做一个三角形框架，已经锯好了两根木条（如下图）。第三根木条的长度最长是多少分米？最短是多少分米？（木条长为整分米数） 【练习1】非洲鸵鸟是原始的残存鸟类之一，也是现存最大的鸟类之一，飞行能力已完全退化，但奔跑能力极强。成鸟身高可达2.5米，体重约150千克，冲刺速度可达每小时70千米以上。请你从数学的角度做出判断，假如下面这只鸵鸟身高2.5米，腿长1.15米，那么它一步能走2.8米吗？用你喜欢的方式说明理由。 【练习2】把一根长10厘米的铁丝剪成3段，再首尾相连围成三角形。 （1）奇奇第一刀剪在5厘米处，妙妙判断他一定不能围成一个三角形。妙妙的说法正确吗？请说明理由。 （2）点点从4厘米处剪了一刀，再在（     ）厘米处剪一刀得到的铁丝一定能围成三角形。 考点3：三角形的分类 【典型例题】一辆汽车行驶的轨迹与路灯B、路灯C所在直线互相平行。（如图） （1）汽车已行至A点处，依次连接ABC三点，所形成的图形是（     ）角三角形。 （2）汽车行驶到D点，与路灯B的距离最短。先标出D点的位置再依次连接DBC三点，所形成的图形是（     ）角三角形。 （3）汽车行驶到F点时，汽车与两座路灯形成锐角等腰三角形，画出三角形FBC，并画出以BC边为底的高。 【练习1】你认同哪位同学的说法？请具体说明你的想法。 【练习2】做风车模型时，东东想用一根长24厘米的木棒，剪2刀，使剪出的三根木棒拼成三角形。 （1）想一想，第一刀能剪在12厘米处吗？请说明理由。 （2） 如果第一刀剪在点，第二刀剪在哪里一定能拼成等边三角形？请你在上图中用点标出第二刀的位置。这个等边三角形按角分属于（     ）三角形。 考点4：等腰三角形和等边三角形 【典型例题】为了保护正方形造型的花圃，园艺师沿着花圃边围了整一圈隔离带，隔离带长40米。过了一个月，花圃换成了等腰三角形的形状，这条隔离带恰好够围一圈。等腰三角形花圃的一条边长是8米，另两条边的长分别是多少米？ 【练习1】一根铁丝可以围成一个腰长15分米、底边长24分米的等腰三角形。如果改围成一个等边三角形，那么等边三角形的每条边长多少分米？ 【练习2】放风筝是我国民间传统游戏之一。华华想做一个等腰三角形的风筝。 （1）如果等腰三角形风筝的顶角是40度，它的两个底角分别是多少度？ （2）如果这个等腰三角形风筝有两条边分别长45厘米和22厘米。那么它的周长是多少厘米？ 考点5：三角形的内角和 【典型例题】王伯伯家有一块三角形菜地，三角形菜地的最大内角是120°，是另一个内角度数的4倍。这块三角形菜地的形状按边分是什么三角形？ 【练习1】钱叔叔做了一个等腰三角形的架子，它的顶角是40度，它的底角是多少度？ 【练习2】张爷爷家有一块三角形菜地（如图），请你算出未知角的度数。 考点6：多边形的内角和 【典型例题】（1）小红把△ABC的三个内角沿虚线剪下来（如图1），她将∠1和∠2拼在了一起（如图2），请你在图2中把∠3也拼画上去。 （2）△ABC剪去三个内角后，剩下的图形内角和是几度？请在图1中画出思考的示意图，并在最右边的虚线框内列式计算。 【练习1】八角窗作为我国古代建筑中极具特色的设计形式，其正八边形的轮廓不仅承载着象征八方来财的文化寓意，更蕴含了精妙的几何原理。研学小组来到渠家大院实地参观时，发现门楼上有一个正八边形的八角窗，奇奇联想到课堂上探究三角形、四边形内角和的场景。聪明的你能用喜欢的方法探究八边形的内角和是多少吗？（可以在图中画一画、算一算。） 【练习2】请观察下表，完成以下题目。 图形 …… 内角和 180° （     ）° （     ）° … （1）请在表格中填写四边形和五边形的内角和。 （2）丽丽求六边形的内角和，她把六边形分为6个三角形（如下图），所以她认为六边形的内角和是，对吗？请你说明理由。 夯实基础 1．下面三根小棒，能围成一个三角形的是（     ）。 A． B． C． 2．伊旗4号桥是典型的斜拉桥的设计，该设计是应用了（     ）。 A．三角形的稳定性 B．三角形内角和是180° C．三角形任意两边的和大于第三边 3．如图，一根10厘米长的吸管，小军要剪成三段围成一个三角形，如果第一刀剪在6厘米处，第二刀应剪在（     ）处。 A．甲 B．乙 C．丙 4．乐乐用如图的方法求四边形的内角和，下列算式中正确的是（     ）。 A．180°×4－360° B．180°×4＋360° C．180°×4－180° 5．木匠师傅做了一个长方形框架（如图），发现容易变形，打算进行加固。最好的一种加固方案是（     ）。 A． B． C． 6．张叔叔家的太阳能热水器支架损坏了，需要更换钢条（如图），需要更换钢条的长度可能为（     ）。 A．2.7m B．3.2m C．0.2m 7．如图，一块三角形纸片被撕去了一个角，这个角是（ ）度，原来这块纸片的形状是（ ）三角形，也是（ ）三角形。 8．如图，一张三角形纸片被剪去了一个角，剪去的这个角是（ ）°，剩下部分的内角和是（ ）。 9．将一根长9厘米的小棒剪两次，剪成三段，围成一个三角形。第一次一定不能剪在（ ）厘米处。 10．高压线杆的支架焊成三角形是因为三角形具有（ ）；请你再举出一个生活中应用三角形这种特性的例子（ ）。 11．如图，一块三角形纸片被撕去了一个角，这个角是（ ）度，这块纸片原来的形状是（ ）三角形，也是（ ）三角形。 12．如图，沿正方形一条边的中点折出一个三角形，该三角形底边上高是（ ）cm。已知∠1＝25°，那么∠2＝（ ）°。 13．少先队员佩戴的红领巾的形状是一个三角形，按角分属于（ ）三角形，按边分属于（ ）三角形。 14．安安将一个等边三角形对折，再沿折痕将这个三角形剪开，得到两个相同的（ ）三角形，其中一个三角形中的两个锐角分别是（ ）°和（ ）°。 15．一个等腰三角形的两条边长分别是12cm和6cm，这个等腰三角形的周长是（ ）cm；一个等边三角形的周长与它相等，那么这个等边三角形的边长是（ ）cm。 16．用两根长分别是8cm、15cm的小棒和另一个小棒围成一个三角形（三条边的长都是整厘米数），另一根小棒最长是（ ）cm，最短是（ ）cm。 17．如图，电线杆这样安装，是利用了三角形的（ ）性，如果∠1＝56.5°，那么∠2＝（ ）°。 18．甲乙丙三家的位置可以围成一个三角形。如果甲和乙相距100m，乙和丙相距60m，那么甲和丙的距离一定比（ ）m短，但一定比（ ）m长。 19．一个等腰三角形的一条边是4cm，另一条边是10cm，围成这个等腰三角形至少需要（ ）cm长的绳子。 培优拔高 20．学校实践基地的一块指示牌歪了，请你设计一个加固的方案，画在图B中。 21．一个等腰三角形的周长是137厘米，已知一条边的长度为27厘米，另外两条边的长度是多少厘米？ 22．学校准备用篱笆围一块等腰三角形花圃。已知一条腰长8米，篱笆总长22米。这个花圃的底边长是多少米？ 23．王奶奶家有一块等腰三角形的菜地，其中的两条边分别长26米和13米，要给这块菜地围一圈栅栏，栅栏长多少米？ 24．五月是育才学校的劳动月，为增强师生热爱生活、热爱劳动的意识，学校举行了“劳动为本，奉献最美”劳动月系列活动。劳动小组为了修整菜园，计划开辟一块等腰三角形菜地，菜地的周长是30米，其中一条边的长是6米，另外两条边分别是多少米？ 25．从A城到C城间有两条公路，A城距B城有200千米，B城距C城有160千米，A城直达C城有350千米，李叔叔开车从A城出发经过B城到C城去办事，共用了6小时。办完事后李叔叔从C城回到A城，返回时他每小时多行10千米，至少要多长时间？现在计划新修一条公路，使B城与道路AC段要连通，怎么样设计路程最短？请在图中画出来，并说明为什么？ 26．中国古代八角桌的“八角”形状代表着“五行八卦”，象征着阴阳相合、万物生长。趣味课上聪聪和同学们一起根据八角桌探究八边形的内角和。 （1）聪聪：我把八边形分成了8个三角形，所以它的内角和是。 乐乐：我把八边形分成了4个三角形和1个四边形，所以它的内角和是。 贝贝：我把八边形分成了3个四边形，所以它的内角和是。 你同意或不同意谁的观点，请写出理由：_____________________。 （2）你还有其他的方法来求八边形的内角和吗？在下面的八边形上画一画，并写出求内角和的算式。 算式：（                             ） 思维拓展 27．下图是一张面积为400平方厘米的长方形纸折叠后的样子，那么这张长方形纸的宽是（ ）厘米。 28．桌子上有一些三角形纸板，聪聪数了数共有25个锐角、3个钝角、2个直角，这些三角形纸板中有锐角三角形（ ）个。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $