精品解析：广东省顺德区华侨中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试卷

2025-2026 学年高一年级1月月考 高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集是，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解分式不等式化简集合，从而利用集合的交集运算即可得解. 【详解】由得，解得，所以， 又，所以. 故选：B. 2. 设，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】由且可得； 若，可取，则且不成立. 所以且是的充分不必要条件. 故选：A 3. 若角的终边过点P（8m，），且，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数定义直接计算可得. 【详解】∵，∴， 故选：A. 4. 当时， 的最小值为10，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】应用基本不等式求解最小值,再根据最小值求参即可. 【详解】当时 , 即，故. 故选:A. 5. 若，当时，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由幂函数，指数函数，对数函数单调性可判断选项正误. 【详解】当时， 由于是一个减函数，故有， 由于是一个递增的幂函数，故， 由于是递减的对数函数，故， 综上. 故选：B. 6. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性进行判断即可. 【详解】由题，所以是奇函数，所以，故A，B错误， 又因为，且，即，解得， 根据单调性的结论可知为上的单调递增函数，所有当，，当，； 所以，C错误， ，D正确. 故选：D 7. 设函数是定义在上的函数，且，当，，则在区间内，关于x的方程解的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】求方程 解的个数，即求函数与图象的交点个数，结合两个函数的图象，即可得到本题答案. 【详解】解：∵函数是定义在上的函数，，∴的对称轴为， 又当时，，∴，， 当时，，当时，. 故函数与在区间内的图象如图所示： 根据图象可得函数与在区间上有3个不同的交点，故在区间内，关于x的方程解的个数为3． 故选：C 8. 若函数的图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由隐对称点的定义可知函数的图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义可将问题转化为方程的零点问题，再结合基本不等式即可求解. 【详解】设的图象与函数的图象关于原点对称， 令，则，所以， 所以， 因为，又， 所以函数的图象上存在关于原点对称的点等价于与在上有交点， 即方程有零点，则， 又， 当且仅当，即等号成立，所以. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知幂函数在上是严格减函数，则 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 已知函数，则 D. 函数在区间上单调递增，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据幂函数的定义与性质求解即可判断A；根据抽象函数定义域与具体函数定义域列不等式即可判断B；根据函数解析式的凑项法即可得已知函数解析式从而判断C；根据对数复合函数单调性即可判断D. 【详解】对于A，幂函数在上是严格减函数， 所以，解得，故A正确； 对于B，函数的定义域为，则， 所以函数的定义域为， 则函数需满足：，解得， 即函数的定义域为，故B不正确； 对于C，已知函数， 又， 所以，故C正确； 对于D，函数在区间上单调递增， 由对数函数性质知或， 令，则是由和构成的复合函数， 由一次函数性质得在R上单调递减， 要使函数在区间上单调递增， 则，解得，故，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C. 若角的终边上有一点，则 D. 若角为锐角，则角为钝角 【答案】AC 【解析】 【分析】利用象限角的定义可判断A选项；利用扇形的面积公式可判断B选项；利用三角函数的定义四可判断C选项；取可判断D选项. 【详解】A：是第三象限角，故A正确； B：若圆心角为的扇形的弧长为，则半径，则该扇形的面积为，故B错误； C：若角的终边上有一点，则，故C正确； D：若角为锐角，设，则角，为直角，故D错误； 故选：AC 11. 已知函数在上单调，且对任意，满足，．则（ ） A. B. 函数在上单调递减 C. 函数是奇函数 D. 若对任意，成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：赋值，令即可得结果；对于B：先求得，再结合题意即可判断；对于C：根据奇函数的定义分析判断即可；对于D：根据奇偶性和单调性可得，结合恒成立问题分析求解. 【详解】因为对任意，满足， 对于选项A：令，可得，即，故A正确； 对于选项B：因为，且， 可得，即， 又因为函数在上单调，所以函数在上单调递增，故B错误； 对于选项C：设， 令，可得， 即，可得， 所以函数是奇函数，故C正确； 对于选项D：因为，即， 可得， 又因为函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 可得，且，整理可得， 因为在内单调递增，则在内单调递减， 可得，则， 所以实数的取值范围是，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则、对数的运算法则对各项进行化简，然后进行计算. 【详解】 . 故答案为：2 13. 已知，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将的两边同时平方可得，结合角的范围即可求得，即可计算出. 【详解】由题意，两边同时平方可得， 即， 所以， 又因为，所以，， 所以， 可得． 故答案为： 14. 已知函数，若对任意的，总存在，使得恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出的值域，再求出的最小值，依题意，即可得到不等式，解得即可. 【详解】解：因为，， 所以在上单调递减，在上单调递增，又，，， 所以， 又，所以在上单调递减， 所以， 因为对任意的，总存在，使得恒成立， 所以，即，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）化简； （2）若，求的值； （3）若，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）结合诱导公式即可对已知式子进行化简； （2）把已知角代入，结合诱导公式即可化简求解； （3）由已知结合同角基本关系即可求解． 【详解】解：（1）； （2）若，则； （3）由，可得， 因为，，所以， 所以. 16. 已知全集为．集合，常数，． （1）当时，求； （2）若是的必要非充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分式不等式化简集合A，根据复合指数函数的单调性解不等式即可得集合B，再由集合的交并补运算即可； （2）根据是的必要非充分条件得是的真子集，列不等式得实数的取值范围即可. 【小问1详解】 当时，，即，解得，故， 对于集合B，，因单调递减，故， 即，解得，故， 则， 因此； 【小问2详解】 由（1）知， 对于，，即，， 因是的必要非充分条件，故是的真子集， 则，且等号不同时成立，解得．实数的取值范围是． 17. 猴痘是由猴痘病毒所致的一种人畜共患病，既往猴痘疫情主要在非洲地区流行，2022年后逐渐扩散至全球大多数国家和地区，2022年1月至2024年7月31日，全球已经有121个国家报告了猴痘病例103048例，其中死亡229例.2024年8月，世卫组织宣布猴痘疫情构成“国际关注的突发公共卫生事件”.猴痘病毒经过变异之后传染性极强，假设猴痘病毒在特定环境下具有下表传染规律：每隔单位时间数进行一次记录，用表示经过的单位时间数，用表示猴痘感染人数. 2 4 6 8 8 64 511 4097 （1）请从与且两个函数模型中选择更适合猴痘病毒感染规律的函数模型，并求出该函数模型的解析式； （2）求至少经过多少个单位时间数该病毒的感染人数会超过10万人.（参考数据：） 【答案】（1）， （2）12个单位时间 【解析】 【分析】（1）利用已知的四对数据代入函数模型进行验证得出结果； （2）根据指对互化以及对数运算求得结果. 【小问1详解】 若选， 将和代入得，解得， 得，代入得，这与题干时差异很大， 所以该函数模型不适合： 若选， 将和代入得， 解得，得， 代入得得，与表中数据接近， 适合作为拟合猴痘病毒感染规律的函数模型； 【小问2详解】 设至少需要个单位时间数，则， 两边同时取底数为10的对数得， 即， ， 又， ， 的最小值为12， 即至少经过12个单位时间数该病毒的感染人数会超过10万人. 18. 已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． （1）求a，b的值； （2）求不等式的解集； （3）设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接待定系数法求解即可； （2）结合（1）得，进而得，再解指数不等式即可得； （3）根据题意，转化为函数在上的值域为函数在上的值域的子集，进而根据集合关系求解即可. 【小问1详解】 由题意知，，即，解得： 所以， 【小问2详解】 由（1）知，， 所以，即， 所以，令， 则， 解得；解得， 所以，的解集为，即，解得， 所以不等式的解集为 【小问3详解】 由得函数， 当时，， 故， 当时， 因为对任意，存在，使得成立， 所以是的子集， 所以，即， 所以实数的取值范围为 19. 已知函数的定义域为，若，满足成立，则称函数是“任意漂移函数”；若，满足成立，则称函数是“存在漂移函数”. （1）若函数是定义在的“存在漂移函数”，求出的值； （2）若函数是定义在的“任意漂移函数”，且，，解关于的不等式； （3）若函数是定义在的“存在漂移函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由漂移函数的定义列出方程求解即可； （2）先确定在是单调递增函数，再通过赋值令，，得到，由单调性即可求解； （3）由新定义得到，化简得在有解，再构造函数，通过，，讨论即可； 【小问1详解】 函数是“存在漂移函数”， 则在有解， 即，化简得， 令，则，即，解得 【小问2详解】 ，设，则，得 ， 即， 所以在是单调递增函数 令，得，解得 不等式可转化为， 从而 解得或， 所以不等式的解是 【小问3详解】 由函数为“存在漂移函数” 则满足， 即 化简得，整理得 即在有解 令 ①当时，在无解，不合题意； ②当时，对称轴，与轴的交点为在轴的上半轴， 因此在无解，不合题意； ③当时，对称轴，需， 解得，又，则 综上所述：实数的取值范围是 【点睛】关键点点睛：第三问由函数为“存在漂移函数”得到在有解，构造函数，转换成二次函数的零点存在问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026 学年高一年级1月月考 高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集是，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若角的终边过点P（8m，），且，则m的值为（ ） A. B. C. D. 4. 当时， 的最小值为10，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 5. 若，当时，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 设函数是定义在上的函数，且，当，，则在区间内，关于x的方程解的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 若函数的图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知幂函数在上是严格减函数，则 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 已知函数，则 D. 函数在区间上单调递增，则 10. 下列结论正确的是（ ） A. 是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C. 若角的终边上有一点，则 D. 若角为锐角，则角为钝角 11. 已知函数在上单调，且对任意，满足，．则（ ） A. B. 函数在上单调递减 C. 函数是奇函数 D. 若对任意，成立，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：________． 13. 已知，，则的值为________． 14. 已知函数，若对任意的，总存在，使得恒成立，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）化简； （2）若，求的值； （3）若，求的值. 16. 已知全集为．集合，常数，． （1）当时，求； （2）若是的必要非充分条件，求实数的取值范围． 17. 猴痘是由猴痘病毒所致的一种人畜共患病，既往猴痘疫情主要在非洲地区流行，2022年后逐渐扩散至全球大多数国家和地区，2022年1月至2024年7月31日，全球已经有121个国家报告了猴痘病例103048例，其中死亡229例.2024年8月，世卫组织宣布猴痘疫情构成“国际关注的突发公共卫生事件”.猴痘病毒经过变异之后传染性极强，假设猴痘病毒在特定环境下具有下表传染规律：每隔单位时间数进行一次记录，用表示经过的单位时间数，用表示猴痘感染人数. 2 4 6 8 8 64 511 4097 （1）请从与且两个函数模型中选择更适合猴痘病毒感染规律的函数模型，并求出该函数模型的解析式； （2）求至少经过多少个单位时间数该病毒的感染人数会超过10万人.（参考数据：） 18. 已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． （1）求a，b的值； （2）求不等式的解集； （3）设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 19. 已知函数的定义域为，若，满足成立，则称函数是“任意漂移函数”；若，满足成立，则称函数是“存在漂移函数”. （1）若函数是定义在的“存在漂移函数”，求出的值； （2）若函数是定义在的“任意漂移函数”，且，，解关于的不等式； （3）若函数是定义在的“存在漂移函数”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $