专题8.1 计数原理 讲义-2026届高三中职数学一轮复习

专题8.1 计数原理 【前言】 重点围绕真题核心考点进行编制，包含高频考点、例题精讲、变式练习、真题精选、技巧总结，适合于中职生学习和备考使用 【考纲要求】 1. 理解分类加法、分步乘法计数原理的概念. 2. 会使用计数原理解决有关的问题. 【考点预测】 1.【高频考点】分类计数原理、分步计数原理 【知识梳理】 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.  2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法. 3.分类加法计数原理和分布乘法计数原理推广 （1）完成一件事有类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法, ……,在第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）完成一件事需要个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,……,做第步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 【考点精讲】 考点一：分类加法计数原理 【例1】从甲地出发前往乙地，一天中有4趟汽车、3趟火车和1趟航班可供选择．某人某天要从甲地出发，去乙地旅游，则所有不同走法的种数是（    ） A．16 B．15 C．12 D．8 【答案】D 【解析】根据分类加法计数原理，可知共有4＋3＋1＝8种不同的走法， 故选：D. 【2019年真题】某职业技术学校电子专业共有两个班，一班有30人，二班有35人，现从这两个班中任选1人参加某一项技能比赛，则不同的选法有（ ） A.种 B.种 C.种 D.种 【答案】B 【解析】从两个班中选一个人参加比赛，只要选出一个人即可，符合分类加法计数原理，所以总共有种不同的选法， 故选：B． 【例2】解1道数学题，有三种方法，有3个人只会用第一种方法，有4个人只会用第二种方法，有3个人只会用第三种方法，从这10个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（       ） A．10种 B．21种 C．24种 D．36种 【答案】A 【解析】根据分类加法计数原理得：不同的选法共有（种）， 故选：A． 【变式】书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有（ ） A．3种 B．6种 C．9种 D．24种 【答案】C 【解析】根据题意可得从书架上任取1本书，有种不同的取法， 故选：C． 【例3】某班有男生13人，女生17人，从中选一名同学为数学课代表，则不同的选法的种数有（       ） A．121 B．13 C．30 D．17 【答案】C 【解析】由分类加法计数原理可知，共有13+17=30种选法， 故选：C. 【变式】书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有__________种. 【答案】9 【解析】由题意，若从第一层取书，则有4种不同的取法，若从第二层取书，则有3种不同的取法， 若从第三次取书，则有2种不同的取法，所以不同的取法有种， 故答案为：9. 【例4】某校高三有三个班，分别有学生50人、50人、52人.从中选一人担任学生会主席，共有 一种不同选法. 【答案】152 【解析】有三个班，分别有学生50人、50人、52人.从中任选一人有：50+50+52=152种方法， 故答案为：152. 【变式】从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是（     ） A．26 B．60 C．18 D．1080 【答案】A 【解析】由分类加法计数原理知有（种）不同走法， 故选：A. 【例5】某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ） A．40种 B．20种 C．15种 D．11种 【答案】D 【解析】根据分类加法计数原理，不同的选法共有种． 故选：D. 【变式】如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有_____________条不同的线路（每条线路仅含一条通路）． 【答案】 【解析】依题意按上、中、下三条线路可分为三类，上线路中有种，中线路中只有种，下线路中有（种．根据分类计数原理，共有（种, 故答案为：． 【技巧总结】 分类计数原理：适用于一步就能完成一件事情，比如从北京坐高铁直达上海，不需要中转，一步完成，适用于分类加法计数原理。 考点二：分步乘法计数原理 【例1】在本次大阅读活动中增设了“游园会”中的“学科素养展”（即学科知识竞答活动），某同学从高一年级11个学科素养展、高二年级的9个学科素养展中各选择一个学科参加，则不同的选法共有（       ） A．9种 B．11种 C．20种 D．99种 【答案】D 【解析】由题意得：先从高一年级11个学科素养展中任选1各科目， 然后再从高二年级的9个学科素养展中选择一个， 共有种选法， 故选：D. 【2021年真题】从甲地到乙地有3条路线，从乙地到到丙地有4条路线，则甲地经乙地到丙地的不同路线为 （ ） A.种 B.种 C.种 D.种 【答案】A 【解析】由题意得：甲地经乙地到丙地，需要分成两步，先从甲地到乙地，再从乙地到丙地，符合分步乘法计数原理。所以共有种选法， 故选：A. 【变式】从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，则不同的送法种数为（       ） A．20 B．15 C．25 D．32 【答案】A 【解析】从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物， 第一步选一件礼物给甲，有5种不同方法， 第二步选一件礼物给乙，有4种不同方法， 即不同的送法种数为， 故选：A． 【例2】体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（       ） A．14种 B．7种 C．24种 D．49种 【答案】D 【解析】学生进门有7种选择，同样出门也有7种选择， 由分步乘法计数原理，该学生的进出门方案有种， 故选：D. 【变式】王奶奶带着三个孙子买玩具，每个孙子从五种不同的玩具中任选一个，每种玩具至少有3个，则不同的选法有（       ） A．15种 B．125种 C．25种 D．150种 【答案】B 【解析】由题知，每个孙子都有5种选择， 根据分步乘法计数原理， 共有种不同的选法， 故选：B. 【例3】已知某中学教学楼共有五层，有西边与东边各两个楼梯，则从一层到五层不同的走法有________种． 【答案】16 【解析】从一层到五层共走四次楼梯， 每次都有2种选择，故共有种走法， 故答案为：16. 【变式】加工一个工艺品零件，分为三个步骤：第一个步骤有4道不同的工序，第二个步骤有5道不同的工序，第三个步骤有6道不同的工序，则加工这个工艺品零件共有 道不同的工序. 【答案】120 【解析】根据分步乘法计数原理可知， 加工这个工艺品零件共有4×5×6＝120道不同的工序， 故答案为：120. 【例4】如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种．(用数字作答) 【答案】750 【解析】首先给最左边的一个格子涂色，有6种选择， 左边第二个格子有5种选择， 第三个格子有5种选择， 第四个格子也有5种选择， 根据分步乘法计数原理得，共有6×5×5×5＝750(种)涂色方法， 故答案为：750. 【变式】某乒乓球队有男运动员5人，女运动员6人，从中选派2人参加男女混双比赛，共有 种不同的排法. 【答案】30 【解析】由题意知本题是一个分步计数问题， 首先选出男生和女生各自有5和6种选法， 再根据分别计数乘法得到共有6×5=30种结果， 故答案为：30. 【例5】用数字0，1，2，3组成没有重复数字的3位数，其中比200大的有（    ） A．24个 B．12个 C．18个 D．6个 【答案】B 【解析】由题意可知，百位上的数字为2或3， 十位上的数字可在剩余3个数字中选择1个数字， 个位上的数字再在剩下的2个数字中任选1个， 故比200大的3位数的个数为， 故选：B. 【变式】“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德．已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（    ） A．13种 B．22种 C．30种 D．60种 【答案】D 【解析】根据分步乘法计数原理，共有（种）不同的选取方法， 故选：D． 【技巧总结】 分步计数原理：适用于不能一步能完成一件事情，要分成多个步骤才能干完这件事，比如从北京坐飞机去新加坡，在从新加坡转机到巴厘岛，需要中转，不能一步完成，适用于分步乘法计数原理。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.1 计数原理 【前言】 重点围绕真题核心考点进行编制，包含高频考点、例题精讲、变式练习、真题精选、技巧总结，适合于中职生学习和备考使用 【考纲要求】 1. 理解分类加法、分步乘法计数原理的概念. 2. 会使用计数原理解决有关的问题. 【考点预测】 1.【高频考点】分类计数原理、分步计数原理 【知识梳理】 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.  2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法. 3.分类加法计数原理和分布乘法计数原理推广 （1）完成一件事有类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法, ……,在第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）完成一件事需要个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,……,做第步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 【考点精讲】 考点一：分类加法计数原理 【例1】从甲地出发前往乙地，一天中有4趟汽车、3趟火车和1趟航班可供选择．某人某天要从甲地出发，去乙地旅游，则所有不同走法的种数是（    ） A．16 B．15 C．12 D．8 【2019年广东职教高考真题】某职业技术学校电子专业共有两个班，一班有30人，二班有35人，现从这两个班中任选1人参加某一项技能比赛，则不同的选法有（ ） A.种 B.种 C.种 D.种 【例2】解1道数学题，有三种方法，有3个人只会用第一种方法，有4个人只会用第二种方法，有3个人只会用第三种方法，从这10个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（       ） A．10种 B．21种 C．24种 D．36种 【变式】书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有（ ） A．3种 B．6种 C．9种 D．24种 【例3】某班有男生13人，女生17人，从中选一名同学为数学课代表，则不同的选法的种数有（       ） A．121 B．13 C．30 D．17 【变式】书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有__________种. 【例4】某校高三有三个班，分别有学生50人、50人、52人.从中选一人担任学生会主席，共有 一种不同选法. 【变式】从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是（     ） A．26 B．60 C．18 D．1080 【例5】某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ） A．40种 B．20种 C．15种 D．11种 【变式】如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有_____________条不同的线路（每条线路仅含一条通路）． 【技巧总结】 分类计数原理：适用于一步就能完成一件事情，比如从北京坐高铁直达上海，不需要中转，一步完成，适用于分类加法计数原理。 考点二：分步乘法计数原理 【例1】在本次大阅读活动中增设了“游园会”中的“学科素养展”（即学科知识竞答活动），某同学从高一年级11个学科素养展、高二年级的9个学科素养展中各选择一个学科参加，则不同的选法共有（       ） A．9种 B．11种 C．20种 D．99种 【2021年广东职教高考真题】从甲地到乙地有3条路线，从乙地到到丙地有4条路线，则甲地经乙地到丙地的不同路线为 （ ） A.种 B.种 C.种 D.种 【变式】从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，则不同的送法种数为（       ） A．20 B．15 C．25 D．32 【例2】体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（       ） A．14种 B．7种 C．24种 D．49种 【变式】王奶奶带着三个孙子买玩具，每个孙子从五种不同的玩具中任选一个，每种玩具至少有3个，则不同的选法有（       ） A．15种 B．125种 C．25种 D．150种 【例3】已知某中学教学楼共有五层，有西边与东边各两个楼梯，则从一层到五层不同的走法有________种． 【变式】加工一个工艺品零件，分为三个步骤：第一个步骤有4道不同的工序，第二个步骤有5道不同的工序，第三个步骤有6道不同的工序，则加工这个工艺品零件共有 道不同的工序. 【例4】如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种．(用数字作答) 【变式】某乒乓球队有男运动员5人，女运动员6人，从中选派2人参加男女混双比赛，共有 种不同的排法. 【例5】用数字0，1，2，3组成没有重复数字的3位数，其中比200大的有（    ） A．24个 B．12个 C．18个 D．6个 【变式】“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德．已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（    ） A．13种 B．22种 C．30种 D．60种 【技巧总结】 分步计数原理：适用于不能一步能完成一件事情，要分成多个步骤才能干完这件事，比如从北京坐飞机去新加坡，在从新加坡转机到巴厘岛，需要中转，不能一步完成，适用于分步乘法计数原理。 学科网（北京）股份有限公司 $