第24章圆寒假作业-2025-2026学年人教版数学九年级上册

（寒假作业）第24章圆-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．用反证法证明命题“三角形的内角中最多有一个内角是钝角”时应先假设（    ） A．没有一个内角是钝角 B．至少有一个内角是钝角 C．至少有两个内角是锐角 D．至少有两个内角是钝角 2．如图，内接于圆，是上一点，连接．下列角中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，点分别是的内心和外心，则的长为（    ） A．3 B．2.5 C． D． 4．如图，在圆内接四边形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交、于C、D两点，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点D，交劣弧于点C，测出，则圆形工件的半径为（　） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以点A为圆心，为半径画圆，则直线（k为常数）与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 8．如图，，分别与相切于，两点，连接，若，，则的周长为（    ） A．18 B．12 C． D． 9．圆在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，求该门洞的半径（   ）． A． B． C． D． 10．如图，中，，．是内一点，将绕点逆时针旋转得到，延长线交于点，延长线交于点，连接．下列结论：①是等腰直角三角形；②；③平分；④，其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．如图，与相切于点，连接并延长，交于点，连接．若，则的度数为 ． 12．如图，四边形内接于圆，为直径，延长到，连接．设，，则与的数量关系是 ． 13．如图，是的直径，点，依次在上，连接．若，则图中与相等的弧是 ． 14．如图，是的外接圆，是的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．若，则的长为 ． 15．“南昌之星”摩天轮是目前世界上第二高的摩天轮．它设有个太空舱，每舱可容游客人，舱内有液晶电视冷暖空调，每小时将可容纳近千人“空中”旋转看南昌，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心到的距离约为，摩天轮匀速旋转一圈大约用时．某轿厢从点出发，后到达点，此过程中，该轿厢所经过的路径（即 长度为 ．（结果保留） 16．苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2所示，点O为正六边形的中心．若，则正六边形的面积为 ． 三、解答题 17．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，均为格点（网格线的交点），，，． (1)将向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到，请画出； (2)将绕点顺时针旋转得到，请画出； (3)在（2）的旋转过程中，点经过的路径长为______． 18．如图，在中，直径与弦相交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 19．如图，平行四边形的顶点A，B都在上，延长交于点E，若，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，作与边相等的弦； (2)在图2中，作线段，使（F为（1）中弦的端点）． 20．如图，是的切线，切点为A，点B在上，不与点A重合，． (1)求证：是的切线； (2)点C是优弧上一点，连接，，设． ①求的大小（用表示）； ②已知，若四边形为菱形，试求图中阴影部分的面积． 21．如图，是的外角的平分线，与的外接圆交于点D，． (1)求的度数； (2)连接，，求证：； (3)探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 22．在平面直角坐标系中，对于线段，直线m和图形M给出如下定义：线段关于直线m的对称线段为（分别是P，Q的对应点）．若与均与图形M（包括内部和边界）有公共点，则称线段为图形M关于直线m的“像—关联线段”． (1)如图1，已知的半径是3，点A，B，C，D，E，F的横、纵坐标都是整数．在线段，，中，关于直线的“像—关联线段”的是______； (2)如图2，已知点，A，B，，若线段是关于直线的“像—关联线段”，求k的取值范围； (3)已知的半径为r，点，线段的长度为1．若对于任意过点的直线m，都存在线段为关于直线m的“像—关联线段”，直接写出r的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（寒假作业）第24章圆-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C B A C D A C D 1．D 【分析】本题考查反证法；反证法需假设原命题的否定成立，原命题“最多有一个内角是钝角”的否定是“至少有两个内角是钝角”. 【详解】解：∵原命题“三角形的内角中最多有一个内角是钝角”的否定是“至少有两个内角是钝角”， ∴反证法时应先假设“至少有两个内角是钝角”. 故选：D. 2．A 【分析】此题考查了圆周角定理．根据同弧所对的圆周角相等即可得到答案． 【详解】解：∵与都是所对的圆周角， ∴， 故选：A 3．C 【分析】本题考查三角形的内心和外心，连接，，，过向三边作垂线，垂足分别为、、，由内心和外心，可得平分，平分，平分，是的中点，则， ，，得到四边形是正方形， ，则，，根据列方程解得，即可得到， ，最后根据计算即可． 【详解】解：连接，，，过向三边作垂线，垂足分别为、、， ∵在中，， ∴， ∵点分别是的内心和外心， ∴平分，平分，平分，是的中点， ∴，， ∵过向三边作垂线，垂足分别为、、， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则，， ∵，，， ∴， ∴， 同理可证， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了圆内接四边形． 根据圆内接四边形对角互补作答即可． 【详解】解：∵在圆内接四边形中，， ∴． 故选：B． 5．A 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，理解题意是解决本题的关键． 先由三角形内角和定理得到，再由等边对等角即可得到的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：A． 6．C 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接，先判断出圆心一定在直线上，再根据垂径定理可得，然后设圆形工件的半径为，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接， 是弦的垂直平分线， ∴圆心在直线上，． 是弦的垂直平分线，， ，， 设圆形工件的半径为， 则． ， ． 在中，由勾股定理得， 代入得， 解得：， 故选：C． 7．D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系是解题的关键．要判断直线与的位置关系，只需求得直线和y轴的交点与圆心的距离，再根据点到直线的所有线段中，垂线段最短，进行分析． 通过计算圆心到直线的距离与半径比较，判断位置关系． 【详解】解：∵直线与y轴的交点是， ∴， ∴定点B在上， ∴圆心到直线的距离一定不大于， ∴直线（k为常数）与的位置关系为相切或相交． 故选：D． 8．A 【分析】本题考查切线长定理，等边三角形的判定和性质等知识，先运用切线长得到，从而判定是等边三角形，从而得解． 【详解】解：∵，分别与相切于，两点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为：， 故选：A． 9．C 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，作垂线构造直角三角形是解题关键． 过点作的垂线，垂足为，交圆于点，连接，根据垂径定理可得，，在直角中，使用勾股定理计算出圆的半径． 【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足为，交圆于点，连接，设圆的半径为， 由题意可知，， ∴， ∵， ∴，， 在直角中，， ∴， 解得，． 故选：C． 10．D 【分析】由旋转的性质可得，，，则是等腰直角三角形，即可判断①正确；求出，即，即可判断②正确；证明点、、、四点共圆，再结合圆周角定理得出，即可判断③；证明点、、、四点共圆，得出，再结合，即可判定④，从而得出结果． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴是等腰直角三角形，故①正确； ∵中，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故②正确； ∴， ∵， ∴点、、、四点共圆， ∵， ∴， ∴平分，故③正确； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点、、、四点共圆， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共个， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 11． 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，连接，由切线的性质得到，由直角三角形两锐角互余得到的度数，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】此题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是关键．根据直径所对的圆周角是直角和圆内接四边形对角互补分别得到，，再证明，即可得到结论． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∴， ∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故答案为： 13． 【分析】此题考查等边对等角，三角形外角的性质、弧和圆心角之间的关系等知识．证明，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴与相等的弧是， 故答案为： 14． 【分析】本题考查圆周角定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，掌握圆周角定理及三角形全等的判定技巧是解题关键，首先，根据是的直径，得出，然后，根据已知条件易证，得，接着，由平分，得，易证，得，进而根据已知条件可得出的长． 【详解】如答图，延长，相交于点． 是的直径， ， ． 又， ， ． 平分， ． 又， ， ， ∵， ． 故答案为． 15． 【分析】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得和圆的半径，代入弧长公式即可． 【详解】解：由题意得， 圆的半径为 ， 该轿厢所经过的路径（即长度为， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，理解正多边形的边，圆心角的数量的特点是解题的关键． 根据正多边形的性质可得，，是等边三角形，正六边形的面积为，再运用勾股定理算出，最后把数值代入进行计算，即可求解． 【详解】解：∵是正六边形，点为中心， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，正六边形的面积为， 过点作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查三角形的平移以及旋转作图，弧长公式，掌握作图方法是解题的关键． （1）先画出三角形各顶点平移后的位置，再用线段依次连接各顶点，得到平移后的三角形； （2）先画出三角形各顶点绕着点顺时针旋转后的位置，再用线段依次连接各顶点，得到旋转后的三角形； （3）根据弧长计算公式进行计算，求得旋转过程中点所经过的路径长． 【详解】（1）解：如图所示，为所求； （2）解：如图所示，为所求； （3）解：旋转过程中，点所经过的路径长为以为半径，为圆心角的弧长， ， 故答案为：． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的性质、垂径定理及勾股定理的综合应用，熟练运用相关定理构建直角三角形是解答本题的关键． （1）利用直径所对的圆周角为直角，结合已知角相等的条件，推导直角，从而证明垂直关系； （2）根据垂径定理求出弦长的一半，设出圆的半径，利用勾股定理建立方程求解半径． 【详解】（1）证明：为直径， ， ， ， ， 在中，， ． （2）解：连接， ，且为直径， ，， 设半径长为，则，， 在中，， ， 解得， 半径为． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰梯形的判定与性质、圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）延长交于点，连接，则弦即为所作； （2）连接、，连接、交于点，则线段即为所作． 【详解】（1）解：如图，延长交于点，连接，则弦即为所作， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为等腰梯形， ∴， ∴， ∴弦即为所作； （2）解：如图：连接、，连接、交于点，则线段即为所作， ， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由（1）可得：四边形为等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∴线段即为所作． 20．(1)见解析 (2)①；②． 【分析】（1）连接，根据切线的性质定理得到，根据证明，得到，即可证明是的切线； （2）①先求出，再根据圆周角定理作答即可； ②根据菱形的性质得到，，即可求出，，根据全等三角形的性质得到，设，则，根据勾股定理得到，根据计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线，切点为A， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：①∵，， ∴ ， ∴； ②如图，连接，， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：（负值舍去） ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，扇形的面积公式，度角直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 21．(1) (2)证明见解析 (3)；证明见解析 【分析】（1）连接，，根据补角得到，再结合圆周角定理求解，即可解题； （2）根据角平分线性质得到，结合圆周角定理得到，，进而证明是等边三角形，再结合等边三角形性质即可证明； （3）延长至点F，使，连接，根据内接四边形性质得到，证明，利用全等三角形性质证明是等边三角形，再利用线段等量代换求解，即可解题． 【详解】（1）解：如图，连接，． ， ， ， 即的度数为． （2）证明：是的外角的平分线， ， ， 结合（1）知， 是等边三角形， ． （3）解：，证明如下： 如图，延长至点F，使，连接， ∵四边形是的内接四边形， ． ， ． 由（2）知是等边三角形， ， ， ，， ， 是等边三角形， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键． 22．(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查轴对称的性质，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系； （1）根据“像—关联线段”的定义，线段本身和关于直线的对称线段都要与的圆周或圆的内部有公共点，据此通过画图判断即可； （2）分类讨论：①当直线平分时，线段关于直线的对称线段会刚好落在边上，求出；②当直线平分时，线段关于直线的对称线段会刚好落在边上，求出；所以当或时，线段是关于直线的“像—关联线段”； （3）圆与圆关于直线m对称，连接，，若对于任意的直线m，都存在线段为关于直线m的“像—关联线段”，即对于任意的直线m，圆与要存在公共点，即圆与相切或相交，当圆与外切求出，所以即为所求． 【详解】（1）解：借助网格图分别画出线段，，关于直线对称的线段，分别为、、，如图所示： ∵和都在内部，符合“像—关联线段”的定义， ∴是关于直线的“像—关联线段”， 同理：是关于直线的“像—关联线段”， ∵关于直线对称的线段为， 又∵在外部， ∴与及内部没有公共点， ∴不是关于直线的“像—关联线段”， 综上：，是关于直线的“像—关联线段”． 故答案为：，． （2）解：∵A，B，， ∴，， ∴， ∴， 同理：， ∵直线， 令，则， ∴直线经过定点，即点C，如图所示： ①当直线平分，即时，此时线段关于直线的对称线段会刚好落在边上， ∵， ∴点，代入直线， 得：，解得：， 当时，线段关于直线的对称线段与有公共点， ②当直线平分，即时，此时线段关于直线的对称线段会刚好落在边上， ∵， ∴点，代入直线， 得：，解得：， 当时，线段关于直线的对称线段与有公共点， 综上：当或时，线段是关于直线的“像—关联线段”． （3）解：∵点，， ∴点Q在以为圆心，以1为半径的圆上， 圆与圆关于直线m对称，连接，，如图所示： ∵，， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴点在以为圆心，以为半径的圆上， ∴线段关于直线m的对称线段就是圆的半径， 若对于任意的直线m，都存在线段为关于直线m的“像—关联线段”， 即对于任意的直线m，圆与要存在公共点， 当在y轴上，圆与相切时，此为极限状态， 此时， ∴， ∴， ∴若对于任意的直线m，都存在线段为关于直线m的“像—关联线段”则． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $