第22章二次函数寒假作业-2025-2026学年人教版数学九年级上册

（寒假作业）第22章二次函数-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．已知抛物线有最低点，那么a的取值范围是（） A． B． C． D． 3．对于二次函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，有最小值为7 B．图象的对称轴是直线 C．函数图象的顶点坐标是 D．当时，随的增大而增大 4．若抛物线经过点，则b的值是（   ） A． B． C．3 D．2 5．若小球飞行的高度与水平距离、飞行时间的函数关系式分别为，，则v的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，二次函数的图象与轴相交于和两点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 7．将抛物线平移，得到抛物线，则平移方式是（） A．向右平移2个单位长度 B．向左平移2个单位长度 C．向上平移2个单位长度 D．向下平移2个单位长度 8．已知二次函数的图象的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④⑤ D．②③④ 二、填空题 9．在下列给定的关于的函数中：①，②，③，④，一定是二次函数的是 ．（填写序号） 10．写出一个顶点坐标为的二次函数解析式： ． 11．如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取，，，四点，且线段，都与地面平行，抛物线最高点到的距离为，，，则点到的距离为 ． 12．已知点和在二次函数的图象上，则与的大小关系为 ． 13．二次函数的图象如图所示，则的面积为 ． 14．已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系，如果水面上升3米，那么水面宽度减少 米． 15．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴上有一点P，使的和最小，则点P坐标为 ． 16．如图，抛物线与都经过轴负半轴上的点和轴上的点．点都在第二象限，且分别在上，轴，则的最大值为 ． 三、解答题 17．在二次函数中，x与y的几组对应值如表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式，并直接写出图象的顶点坐标； (2)在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． 18．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，对称轴为直线． (1)t的值为_____； (2)当时，y的最大值为9，求抛物线对应的函数表达式； (3)当时，，求的最大值． 19．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若点，抛物线与线段有两个交点，求的取值范围； (3)是抛物线上两点，若，直接写出的取值范围． 20．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与轴交于点C．抛物线的对称轴是直线，D是抛物线的顶点． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，请求出y的取值范围； (3)连接，线段上有一点E，点E关于直线的对称点恰好在线段上，求点E的坐标． 21．某城门的截面由一段抛物线和一个正方形（为正方形）的三条边围成，已知城门宽度为4米，最高处距地面6米，如图1所示，现以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系． (1)求上半部分抛物线的函数表达式； (2)有一辆宽3米，高米的消防车需要通过该城门，请问该消防车能否正常进入？ (3)为营造节日气氛，需要临时搭建一个“装饰门”，该“装饰门”关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中，，为三根承重钢支架，、在抛物线上，，在地面上，已知钢支架每米70元，问搭建这样一个矩形“装饰门”，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（寒假作业）第22章二次函数-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B D D D A B 1．B 【分析】本题考查了二次函数对称轴，根据二次函数的顶点式形式，抛物线的对称轴是直线作答即可． 【详解】解：是顶点式， ∴对称轴为直线． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查二次函数的图象及性质．抛物线有最低点需开口向上，即二次项系数大于零，据此得到，求解即可． 【详解】解：∵抛物线有最低点， ∴抛物线开口向上， ∴， 解得． 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的解析式结合二次函数的性质逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数，， ∴当时，有最大值为7，故A说法错误，不符合题意； 图象的对称轴是直线，故B说法正确，符合题意； 图象顶点坐标是，故C说法错误，不符合题意； 当时，y随x的增大而减小，故D说法错误，不符合题意； 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将点代入抛物线方程，解关于b的方程即可． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， 即， 解得． 故选：D． 5．D 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，通过两个函数关系式描述同一运动，顶点处的最大高度相等，建立方程求解． 【详解】解：∵ 两个函数关系式描述同一小球的运动， ∴ 最大高度相等， 从得最大高度， 从得最大高度， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6．D 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，通过二次函数的图象判断不等式的解集，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据二次函数的图象判断不等式的解集即可． 【详解】解：根据抛物线的图象可知，当时， 或， 故选：D． 7．A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律以及通过顶点坐标变化判断平移方向是解题的关键．通过对比原抛物线与平移后抛物线的顶点坐标变化，确定平移的方向和距离． 【详解】解：∵抛物线的顶点为， ∵抛物线的顶点为， ∴顶点从移动到，即向右平移了2个单位长度， ∴抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线， 故选：A． 8．B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：由图象可知：，对称轴为直线， ∴，即，故②正确； ∴，故①错误； 由图象可知：当时，则有，故③正确； 若m为任意值，当时，则， 当时，y有最小值，最小值为， ∴， ∴， ∴，故④错误； 方程的两根可看作是直线与二次函数的交点的横坐标，如图， ∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴二次函数也过点， ∴方程的两个根分别为， ∴；故⑤正确； 综上所述：正确的有②③⑤； 故选：B． 9． ① 【分析】本题考查二次函数的判断，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，需满足整式且的最高次数为2，据此解答即可． 【详解】解：①，其中，是二次函数； ②，可能为0，不一定是二次函数； ③，为一次函数，不是二次函数； ④，是分式函数，不是二次函数． 故答案为：①． 10．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数的顶点式为 的顶点坐标为是解题的关键， 利用二次函数的顶点式写出解析式即可． 【详解】解：由二次函数的顶点式为，其中 为顶点坐标． ∵抛物线的顶点坐标为 ， ∴二次函数的解析式可以为． 故答案为 （答案不唯一）． 11． 【分析】本题考查了二次函数的实际问题，建立恰当坐标系得出抛物线解析式是解决问题的关键；建立平面直角坐标系，求出解析式，然后代入的横坐标即可． 【详解】解：如图建立坐标系： ∵抛物线最高点到的距离为，，， ∴，， 设，将代入得，， 解得，即， 当时，， 即点到的距离为， 故答案为：． 12．/ 【分析】本题主要考查了二次函数的函数值大小比较，解题的关键是通过点的坐标求出函数值． 通过直接计算两点对应的函数值进行比较． 【详解】解：将代入得， ； 将代入得， ； ∵， ∴， 故答案为：． 13．1 【分析】本题考查求二次函数图象与坐标轴的交点．分别令，，求出点A，B的坐标，从而得到，的长，根据三角形的面积即可求解． 【详解】解：对于二次函数， 令，则，解得， ∴， ∴． 令，则， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 14．4 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意求得函数表达式是解题的关键． 依题意，设该抛物线表达式为，代入，从而得到抛物线的表达式，根据水面上升3米，则，求得此时对应的横坐标，从而得到此时的水面宽度，进而求得答案． 【详解】解：依题意得，抛物线的顶点坐标为， ∴设该抛物线表达式为， 代入得， 解得， ∴， 如果水面上升3米，则， 此时， 解得，， ∴此时水面宽度为（米）， ∴水面宽度减少（米）． 故答案为：4． 15． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、轴对称的性质、待定系数法求一次函数解析式，熟练运用轴对称的性质是解题的关键． 根据抛物线的对称性可知，所以当点P在线段上时，的值最小，以此为依据求解即可． 【详解】解：如图，连接，交对称轴于点P，连接， ∵点和点关于抛物线的对称轴对称， ∴， 要使的值最小，则应使的值最小， ∴与对称轴的交点P，使得的值最小， 令，则， 解得，， ∴，， 抛物线的对称轴为， ∴点P的横坐标为1， 当时，， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， ，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点P坐标为． 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式及线段最值问题，熟练掌握利用坐标差表示平行于轴的线段长度，以及二次函数的最值求法是解题的关键．先通过抛物线求出点的坐标，再代入求出的值；设点、的横坐标为（），分别写出两点的纵坐标，从而得到的长度表达式，最后利用二次函数的性质求出其最大值． 【详解】解：中，令，则， 解得或， ， 过点， ， ， ， ， 轴，设， ， ∴当时，的最大值为， 故答案为：． 17．(1)，顶点坐标为 (2)图见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、画二次函数的图象等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解函数表达式，然后利用配方法把表达式变形为顶点式，即可确定顶点坐标， （2）利用表格数据描点、连线可画出函数图象． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为． ∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为； （2）解：由（1）得，抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， 画出函数图象如图： 18．(1)1 (2)抛物线的表达式为 (3)的最大值是4 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）将点代入抛物线解析式得出，再根据抛物线对称轴公式计算即可得出结果； （2）由题意得出当时，函数值在处取得最大值9，将，代入，计算即可得出结果； （3）由二次函数的性质可得二次函数的最小值为，再结合题意可得关于x的取值范围一定包含，当时，，解得或，若，则，若，则，由此即可得解． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴，即， ∴抛物线的对称轴是直线； （2）解：， 抛物线开口向上， 抛物线的对称轴为直线，且， 当时，函数值在处取得最大值9， 将，代入，得， ， 抛物线的表达式为； （3）解：由（1）可得：，对称轴为直线， ∴二次函数的解析式为， ∵，且当时，， ∴二次函数的最小值为， ∵当时，， 关于x的取值范围一定包含， 当时，，解得：或， 若，则，若，则， 综上所述的最大值是． 19．(1)对称轴为 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，对于抛物线，其对称轴为直线，进而得解； （2）令，即，解得，，又抛物线与线段有两个交点，从而可得或，进而计算可以得解； （3）依据题意，将代入抛物线，则；又将 代入抛物线，则，故，又，则，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，对于抛物线， ∴对称轴为直线； （2）解： 令，即， 解得，， 又∵抛物线与线段有两个交点，， ∴或， 解得或， ∴b的取值范围是或； （3）解：由题意，将代入抛物线， ∴， 又将代入抛物线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴． 20．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据抛物线对称轴为直线求出，即可求出二次函数的表达式； （2）求出当、、时y的值，进而作答即可； （3）求出A、D的坐标，进而求出直线的解析式，设，则，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线， ∴， 即， 则二次函数解析式为； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴； （3）解：当时，， ∴顶点D的坐标是， 令，得到：， 解得：． ∵点A在点B的左侧， ∴点A坐标为． 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 即直线的解析式为． 设，则， 代入中得：， 解得：， 则点E坐标为． 21．(1)抛物线的表达式为 (2)消防车能正常进入 (3)仅钢支架一项，最多需要花费910元‌ 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．正确地求得函数解析式是解题的关键． （1）根据所建坐标系知顶点和与y轴交点E的坐标，可设解析式为顶点式，进行求解，由城门宽度为4米知x的取值范围是； （2）根据对称性当车宽3米时，x＝，求此时对应的纵坐标的值，与车高米进行比较得出结论； （3）求三段和的最大值须先列式表示三段的和，再运用性质求最大值，可设点B的坐标，表示三段的长度从而得出表达式． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点， 设抛物线的表达式为， 抛物线过点， ， ， 抛物线的表达式为， 即； （2）解：由题意知，当消防车走最中间时，进入的可能性最大， 即当时，， 消防车能正常进入； （3）解：设B点的横坐标为m，的长度为l， 由题意知， 即，， ， 当时，l最大，且， 费用为（元）， 答：仅钢支架一项，最多需要花费910元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 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