2025-2026学年高一精英寒假物理讲义：第2讲 万有引力定律及应用

第二讲 万有引力定律及应用 【知识提要】 1．开普勒三定律。 2．万有引力定律。 3．算天体质量和密度的方法。 【必备知识】 知识点一 开普勒行星运动定律 1．开普勒第一定律 内容：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是_______，太阳处在所有椭圆的一个_______上。 做一做： 用一条细绳和两个图钉画椭圆，把细绳两端用图钉固定，用铅笔紧贴着细绳滑动，使细绳始终保持张紧状态，铅笔在纸上画出的轨迹就是椭圆，图钉在纸上留下的痕迹叫做椭圆的焦点。保持绳长不变，当两焦点不断靠近时，椭圆形状如何变化？焦点重合时，半长轴转变为什么？ 2．开普勒第二定律 内容：对任意一个行星而言，太阳和行星的连线在_______的时间内扫过_______的面积。 思考与讨论：根据开普勒第二定律，你是否可以解释一下为什么在近日点行星运动的快，在远日点行星运动的慢？ 3．开普勒第三定律 （1）内容：所有行星的轨道的半长轴的__________跟公转周期的__________的比值都相等。 （2）公式： 观察与思考：通过对表格中的数据分析，你是否发现决定k值大小的关键性因素？ k是一个与行星无关的常量，只与中心天体的质量有关。 例1． 如图为北半球二十四个节气时地球在公转轨道上位置的示意图，其中冬至时地球离太阳最近。地球公转线速度最大的节气是（ ） A．春分 B．夏至 C．秋分 D．冬至 行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 例2． （2025·云南·高考真题）国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为，八大行星绕太阳的公转轨道半径如下表所示。忽略其它行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于（ ） A．金星与地球的公转轨道之间 B．地球与火星的公转轨道之间 C．火星与木星的公转轨道之间 D．天王星与海王星的公转轨道之间 例3． 下列有关天体运动的说法正确的是（ ） A．绕太阳运行的行星，轨道半长轴越长，其公转的周期就越大 B．在月球绕地球运动中，中的T表示地球自转的周期 C．对于任意一个行星，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积不一定相等 D．若地球绕太阳运动的轨道半长轴为，周期为，月球绕地球运动轨道的半长轴为，周期为，则根据开普勒第三定律有： 例4．牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中早已证明物体受到与距离平方成反比的力作用下会沿椭圆轨道运动。已知绕地运行的卫星最小周期约为86 min。假设从地球表面A点接近竖直方向向上发射一颗炮弹，经一段时间后落到地球表面的B点，如图。炮弹发射后只受地球对它的万有引力，不考虑空气阻力及其他天体对它的作用，炮弹能达到的最大高度距地球表面约为地球半径，则炮弹发射后大约经多长时间落回地面（ ） A．120 min B．86 min C．70 min D．43 min 知识点二 万有引力定律 思考与讨论：各行星都围绕太阳运行，说明太阳与行星之间引力是使行星如此运动的主要原因。引力的大小和方向能确定吗？ 一、行星与太阳的引力 二、万有引力定律 1．内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与____________________________成正比、与它们之间____________成反比。 2．表达式 F = G，G为引力常量，通常取G = 6.67×10-11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定。 3．适用条件 （1）公式适用于_______间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质。 思考与讨论：某同学认为两只小猫距离非常近时，根据公式F = G得出：r→0时，F→∞。你认为这位同学的想法正确吗？为什么？ （2）质量分布均匀的球体可视为质点，r是_________间的距离。 4．万有引力定律的特性 （1）普遍性： （2）相互性： （3）宏观性： （4）特殊性： 5．牛顿的遗憾 牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但却无法算出两个天体之间万有引力的大小，因为他不知道引力常量G的值。 三、引力常量 1．卡文迪许与引力常量G的测定：卡文迪许扭秤装置 2．引力常量的大小与意义 （1）引力常量单位与大小 ①单位： ②大小： （2）引力常量数值测定的意义：普适性成了万有引力定律_____性的有力证据。 例5． 火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为（ ） A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5 例6． 如图所示，两个质量均为m的星体的连线的垂直平分线为MN，O为两星体连线的中点，一物体从O沿OM方向运动，则它所受到的万有引力大小F随运动距离r变化的情况（不考虑其他星体的影响）大致正确的是图中的（ ） A． B． C． D． 例7． 有一质量为m、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m0的质点。现从m中挖去半径为0.5R的球体，如图所示，则剩余部分对m0的万有引力大小为（ ） A． B． C． D． 知识点三 天体质量和密度的计算 万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 （1）在赤道上： （2）在两极上： （3）在一般位置： 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 如果不知道地球表面的重力加速度，你还能用其他的方法估算出地球的质量吗？ 利用运行天体 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 例8． 某行星为质量分布均匀的球体，半径为R、质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为（ ） A． B． C． D． 例9． 1687年牛顿在总结了前人研究成果的基础上推理得出了万有引力定律，并通过“月－地检验”证明了地球对地面苹果的引力与地球对月球的引力具有相同的性质，遵循同样的规律。那么在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，要完成“月－地检验”，需要验证（ ） A．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的 B．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的 C．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的 D．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 例10． 宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R（不考虑月球自转的影响）。求： （1）月球表面的自由落体加速度大小g月； （2）月球的质量M； （3）月球的密度ρ。 例11． 登月舱在离月球表面112 km的高空圆轨道上，环绕月球做匀速圆周运动，运动周期为120.5 min，月球的半径约为1.7×103 km，只考虑月球对登月舱的作用力，引力常量G = 6.67×10-11 N·m2/kg2，则月球质量约为（ ） A．6.7×1022 kg B．6.7×1023 kg C．6.7×1024 kg D．6.7×1025 kg 例12． “嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是（ ） A．月球平均密度为 B．月球平均密度为 C．月球表面重力加速度大小为 D．月球表面重力加速度大小为 课时精练 【基础强化】 1．在万有引力定律的发现历程中，下列叙述符合史实的是（ ） A．开普勒通过分析第谷的天文观测数据，发现了万有引力定律 B．丹麦天文学家第谷经过多年的天文观测和记录，提出了“日心说”的观点 C．卡文迪什通过实验推算出来引力常量G的值，被誉为第一个能“称量地球质量”的人 D．伽利略利用“地—月系统”验证了万有引力定律的正确性，使得万有引力定律得到了推广和更广泛的应用 2．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知（ ） A．太阳位于木星运行轨道的中心 B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D．相等时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 3．（多选）宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R星:R地 = 1:4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度大小为g′，空气阻力不计，忽略地球和星球自转的影响。则（ ） A．g′:g = 1:5 B．g′:g = 5:2 C．M星:M地 = 1:20 D．M星:M地 = 1:80 4．国产科幻巨作《流浪地球》引起了人们对地球如何离开太阳系的热烈讨论。其中有一种思路是不断加速地球使其围绕太阳做半长轴逐渐增大的椭圆轨道运动，最终离开太阳系。假如其中某一过程地球刚好围绕太阳做椭圆轨道运动，地球到太阳的最近距离仍为R，最远距离为7R（R为加速前地球与太阳间的距离），则在该轨道上地球公转周期将变为（ ） A．8年 B．6年 C．4年 D．2年 【素养提升】 5．将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为mg0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出（ ） A．g0小于g B．地球的质量为 C．地球自转的角速度为ω = D．地球的平均密度为 6．“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原，中国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功。如果着陆前着陆器近火星绕行的周期为100 min。已知地球平均密度为5.5×103 kg/m3，地球近地卫星的周期为85 min。估算火星的平均密度约为（ ） A．3.8×103 kg/m3 B．4.0×103 kg/m3 C．4.2×103 kg/m3 D．4.5×103 kg/m3 【能力培优】 7．（2021·全国乙卷·18）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU（太阳到地球的距离为1 AU）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为（ ） A．4×104M B．4×106M C．4×108M D．4×1010M 8．（2025·湖南·高考真题）我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理得到 。下列选项正确的是（ ） A．a为为为 B．a为为为 C．a为为为 D．a为为为 知识回顾 一、开普勒定律 1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是______，太阳处在椭圆的一个______上。 2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的______相等。当行星离太阳较近的时候，运行速度______，而离太阳较远的时候速度______。 3．开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的________跟它的公转周期的________的比都相等。公式为： = k。比值k只与_________________。 二、万有引力定律 1．内容：自然界中任何两个物体都相互______，引力的方向在它们的______上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成______，与它们之间距离r的二次方成______。 2．表达式：F =________。比例系数G叫作引力常量，适用于任何两个物体。 三、引力常量 1．引力常量的测定 英国物理学家___________在实验室里通过___________，比较准确地得出了G值，通常取G =________×10-11 N·m2/kg2。 四、星体表面及上空的重力加速度（以地球为例） 六、“称量”地球的质量 思路1．利用天体表面重力加速度： 思路2．利用运行天体： 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第２讲　万有引力定律及应用 【知识提要】 1.开普勒三定律。 2.万有引力定律。 3.算天体质量和密度的方法。 【情景引入】不同行星都在各自的轨道上绕太阳运行，行星运行的轨道有怎样的特？行星绕太阳的周期与距离太远的远近是否存在某种关系？ 1.中国古代对行星运动的认识 沈括：五星行度 ，唯留逆之际最多差 。自内而进者，其退必向外 ；自外而进者，其退必由内。其迹如循柳叶，两末锐，中间往还之道相去甚远。故两末星行成度稍迟 ，以其斜行故也；中间行度稍速，以其径绝故也 。 2.西方对行星运动的认识 (1)西方历史上的地心说 托勒密：地球是世界的中心,并且静止不动,一切行星围绕地球做圆周运动。 (2)西方历史上的日心说 哥白尼：太阳是世界的中心,并且静止不动,一切行星都围绕太阳做匀速圆周运动。 (3)第谷对行星运动做了大量观察记录 第谷：在哥白尼之后，第谷连续20年对行星的位置进行了较仔细的测量，大大提高了测量的精确程度。第谷把这个天体位置的误差大约从10’减小到2’。为哥白尼的学说提供了关键性的支持。 (4)开普勒对行星运动的认识 开普勒：相信哥白尼的学说，按行星绕太阳做匀速圆周运动的观点，在对火星轨道的研究中，70余次尝试所得的结果与第谷的观察数据相差8 ’，他花了四年时间一遍一遍地进行数学计算，否定了几十种假设，最后终于通过计算他发现了行星运动三大定律，简称开普勒三大定律。 【必备知识】 知识点一　开普勒行星运动定律 1、开普勒第一定律 内容：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。 做一做： 用一条细绳和两个图钉画椭圆，把细绳两端用图钉固定，用铅笔紧贴着细绳滑动，使细绳始终保持张紧状态，铅笔在纸上画出的轨迹就是椭圆，图钉在纸上留下的痕迹叫做椭圆的焦点。保持绳长不变，当两焦点不断靠近时，椭圆形状如何变化？焦点重合时，半长轴转变为什么？ 2、开普勒第二定律 内容：对任意一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 思考与讨论：根据开普勒第二定律，你是否可以解释一下为什么在近日点行星运动的快，在远日点行星运动的慢？ 由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度大小之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小． 3、开普勒第三定律 1.内容：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。 2.公式： 观察与思考：通过对表格中的数据分析，你是否发现决定k值大小的关键性因素？ k是一个与行星无关的常量，只与中心天体的质量有关。 例1． 如图为北半球二十四个节气时地球在公转轨道上位置的示意图，其中冬至时地球离太阳最近。地球公转线速度最大的节气是（    ） A．春分 B．夏至 C．秋分 D．冬至 【答案】D 【详解】根据开普勒第二定律，地球在近日点运动速度最大，故地球公转线速度最大的节气是冬至。 故选D。 例2． （2025·云南·高考真题）国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为，八大行星绕太阳的公转轨道半径如下表所示。忽略其它行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于（　　） 行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 A．金星与地球的公转轨道之间 B．地球与火星的公转轨道之间 C．火星与木星的公转轨道之间 D．天王星与海王星的公转轨道之间 【答案】C 【详解】根据开普勒第三定律可知 其中，， 代入解得 故可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间。故选C。 例3． 下列有关天体运动的说法正确的是（　　） A．绕太阳运行的行星，轨道半长轴越长，其公转的周期就越大 B．在月球绕地球运动中，中的T表示地球自转的周期 C．对于任意一个行星，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积不一定相等 D．若地球绕太阳运动的轨道半长轴为，周期为，月球绕地球运动轨道的半长轴为，周期为，则根据开普勒第三定律有： 【答案】A 【详解】A．由开普勒第三定律可知，所有的行星公转轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，即所以a越大，公转周期T越大，故A正确； B．开普勒第三定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动，所以月球绕地球运动中的T表示月球的公转周期，故B错误； C．根据开普勒第二定律，对于任意一个行星，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。故C错误； D．地球绕太阳转动，而月球绕地球转动，二者不是同一中心天体，故对应的k不同，故D错误。 故选A。 知识点二　万有引力定律 思考与讨论：各行星都围绕太阳运行，说明太阳与行星之间引力是使行星如此运动的主要原因。引力的大小和方向能确定吗？ 一、行星与太阳的引力 1.模型建构 2.推导太阳对行星的引力 （1）若已知质量为m的某行星绕太阳做匀速圆周运动，轨道半径为r，线速度为v，求太阳对行星的向心力。 （2）天文观测可得到行星的公转周期T，线速度v与公转周期T的关系是怎样的？写出用公转周期T表示的向心力的表达式。 (3)不同行星的公转周期是不同的，引力跟太阳与行星间的距离关系的表达式中不应出现周期T， 如何消去周期T? 3.结论 （1）太阳对行星的引力跟行星的质量成正比，与行星、太阳之间的距离的二次方成反比. （2）行星对太阳的引力跟太阳的质量成正比，与行星、太阳之间的距离的二次方成反比. （3）太阳与行星间引力的大小与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比，方向：沿着太阳与行星间的连线。 二、月-地检验 思考与讨论： (1)为什么月球不会飞离地球呢？ (2)什么力使得苹果不能离开地球? (3)拉住月球使它绕地球运动的力，与拉着苹果使它下落的力，以及众行星与太阳之间的作用力是不是同一种力，遵循相同的规律? 1.检验目的与原理： (1)检验目的：地球和月球之间的吸引力是否与地球吸引苹果的力为同一种力． (2)检验原理：假设是同一性质的力。 ①根据牛顿第二定律，结合地球和月球之间的吸引力，推导月球绕地球做圆周运动的向心加速度是多少？ ②根据牛顿第二定律，结合地球和苹果之间的吸引力，推导苹果自由落体加速度是多少？ ③若r＝60R，则以上两个加速度之比是多少？ 2.数据计算验证 下列是当时可以测量的数据，地表重力加速度：g = 9.8m/s2；地球半径：R = 6400×103m；月亮周期： T = 27.3天≈2.36×106s；月亮轨道半径：r ≈ 60R=3 .84×108m，如何证明地球表面的物体受力满足“平方反比”的关系？ 结论归纳：数据表明，地面物体所受地球的引力，月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力，真的遵从相同的规律！ 三、万有引力定律 1．内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比． 2．表达式 F＝G，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定． 3．适用条件 (1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点． 思考与讨论：某同学认为两只小猫距离非常近时，根据公式F＝G得出：r→0时，F→∞。你认为这位同学的想法正确吗？为什么？ (2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离． 4.万有引力定律的特性 （1）普遍性：万有引力存在于宇宙中任何有质量的物体之间。 （2）相互性：两个物体间相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合力的相互作用。 （3）宏观性：天体间万有引力较大，它是支配天体运动的原因。地面物体间、微观粒子间的万有引力微小，不足以影响物体的运动，故常忽略不计。 （4）特殊性：两个物体间的万有引力只与它们本身的质量有关，与它们之间的距离有关，与所在空间的性质无关。 5.牛顿的遗憾 牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但却无法算出两个天体之间万有引力的大小，因为他不知道引力常量G的值。 四、引力常量 1.卡文迪许与引力常量G的测定：卡文迪许扭秤装置 2.引力常量的大小与意义 (1)引力常量单位与大小 ①单位： ②大小： (2)引力常量数值测定的意义：普适性成了万有引力定律正确性的有力证据。 例4． 火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　) A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5 答案　B 解析　万有引力表达式为F＝G，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为＝＝0.4，选项B正确. 例5． 如图所示，两个质量均为m的星体的连线的垂直平分线为MN，O为两星体连线的中点，一物体从O沿OM方向运动，则它所受到的万有引力大小F随运动距离r变化的情况（不考虑其他星体的影响）大致正确的是图中的（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】由可知物体在连线的中点时所受的两个万有引力的合力为零，当物体运动到很远很远时两个万有引力的合力也为零（因为距离无穷大时万有引力为零），而物体在其他位置时所受的两个万有引力的合力不是零，所以物体从O沿OM方向运动时所受的万有引力先增大后减小，且变化不均匀。 故选B。 例6． 有一质量为m、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m0的质点。现从m中挖去半径为0.5R的球体，如图所示，则剩余部分对m0的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，由万有引力公式可得，未挖去之前，球体和质点间的引力为 挖去部分球体和质点间的引力为由公式及可得则有则剩余部分对的万有引力为故选C。 听课记录：_______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 知识点三　天体质量和密度的计算 思考与讨论： 1.若考虑地球自转，试分析地球赤道万有引力和重力是何种关系？ 2.若考虑地球自转，试分析地球两极万有引力和重力是何种关系？ 3.若考虑地球自转，试分析任意纬度处万有引力和重力是何种关系？ 万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示． (1)在赤道上： G＝mg1＋mω2R. (2)在两极上：G＝mg0. (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和． 越靠近两极，向心力越小，g值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg. 4.静止在地面上的物体，若不考虑地球自转的影响，万有引力和重力是何种关系？我们是否可以怎样估算巨大的地球的质量呢?如果可以，你是否可以说一下你的称量地球质量的思想？ 静止在地面上的物体，万有引力近似等于重力，即＝mg. 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R. (1)由G＝mg，得天体质量M＝. (2)天体密度ρ＝＝＝. 5.如果不知道地球表面的重力加速度，你还能用其他的方法估算出地球的质量吗？ 利用运行天体 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T. (1)由G＝mr，得M＝. (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝. (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度． 例7． 某行星为质量分布均匀的球体，半径为R、质量为M.科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍．已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设赤道处的重力加速度大小为g，物体在两极时万有引力大小等于重力大小，即G＝1.1mg，在赤道时万有引力大小等于重力和自转所需的向心力的合力大小，即G＝mg＋mω2R，由以上两式解得该行星自转的角速度为ω＝，故选B. 例8． 1687年牛顿在总结了前人研究成果的基础上推理得出了万有引力定律，并通过“月-地检验”证明了地球对地面苹果的引力与地球对月球的引力具有相同的性质，遵循同样的规律。那么在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，要完成“月-地检验”，需要验证（　　） A．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的 B．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的 C．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的 D．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 【答案】D 【详解】“地月检验”是检验地球上的物体受到地球的引力与月球受到地球的引力是否时同一性质的力，在地球表面上在月球所在位置可得因此月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的。故选D。 例9． 宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面．已知引力常量为G，月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)．求： (1)月球表面的自由落体加速度大小g月； (2)月球的质量M； (3)月球的密度ρ. 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝g月t2 月球表面的自由落体加速度大小g月＝ (2)不考虑月球自转的影响，有G＝mg月，得月球的质量M＝ (3)月球的密度ρ＝＝＝. 例10． 登月舱在离月球表面112 km的高空圆轨道上，环绕月球做匀速圆周运动，运动周期为120.5 min，月球的半径约为1.7×103 km，只考虑月球对登月舱的作用力，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则月球质量约为(　　) A．6.7×1022 kg B．6.7×1023 kg C．6.7×1024 kg D．6.7×1025 kg 答案　A 解析　由题意可知，h＝112 km＝1.12×105 m，T＝120.5 min＝7 230 s，R＝1.7×103 km＝1.7×106 m，设月球的质量为M，登月舱的质量为m，由月球对登月舱的万有引力提供向心力，可得G＝m(R＋h)，可有M＝，代入数据解得M≈6.7×1022 kg，A正确，B、C、D错误． 例11． “嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v.已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响．下列选项正确的是(　　) A．月球平均密度为 B．月球平均密度为 C．月球表面重力加速度大小为 D．月球表面重力加速度大小为 答案　BD 解析　由万有引力提供向心力，可得G＝m，解得M＝，月球体积V＝πR3 ，所以月球平均密度为ρ＝＝ ，故A错误，B正确；在月球表面，有G＝mg，解得月球表面重力加速度大小为g＝＝，故C错误，D正确． 课时精练 【基础强化】 1．在万有引力定律的发现历程中，下列叙述符合史实的是(　　) A．开普勒通过分析第谷的天文观测数据，发现了万有引力定律 B．丹麦天文学家第谷经过多年的天文观测和记录，提出了“日心说”的观点 C．卡文迪什通过实验推算出来引力常量G的值，被誉为第一个能“称量地球质量”的人 D．伽利略利用“地—月系统”验证了万有引力定律的正确性，使得万有引力定律得到了推广和更广泛的应用 答案　C 解析　万有引力定律是由牛顿发现的，故A错误；日心说是哥白尼提出的，故B错误；卡文迪什通过扭称装置测出了引力常量，由黄金代换式可得地球质量，故C正确；牛顿利用“地—月系统”验证了万有引力定律的正确性，故D错误． 2．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　) A．太阳位于木星运行轨道的中心 B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D．相等时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 答案　C 解析　由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行椭圆轨道的一个焦点上，故A错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，故B错误；根据开普勒第三定律(周期定律)知，太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是同一个常数，故C正确；对于太阳系某一个行星来说，其与太阳连线在相等的时间内扫过的面积相等，不同行星在相等时间内扫过的面积不相等，故D错误． 3．(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处．若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度大小为g′，空气阻力不计，忽略地球和星球自转的影响．则(　　) A．g′∶g＝1∶5 B．g′∶g＝5∶2 C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶80 答案　AD 解析　设初速度为v0，由对称性可知竖直上抛的小球在空中运动的时间t＝，因此得＝＝，选项A正确，B错误；由G＝mg得M＝，则＝＝×2＝，选项C错误，D正确． 4．国产科幻巨作《流浪地球》引起了人们对地球如何离开太阳系的热烈讨论．其中有一种思路是不断加速地球使其围绕太阳做半长轴逐渐增大的椭圆轨道运动，最终离开太阳系．假如其中某一过程地球刚好围绕太阳做椭圆轨道运动，地球到太阳的最近距离仍为R，最远距离为7R(R为加速前地球与太阳间的距离)，则在该轨道上地球公转周期将变为(　　) A．8年 B．6年 C．4年 D．2年 答案　A 解析　由开普勒第三定律得＝，解得T′＝8年，选项A正确． 【素养提升】 5．将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为mg0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg.假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出(　　) A．g0小于g B．地球的质量为 C．地球自转的角速度为ω＝ D．地球的平均密度为 答案　C 解析　设地球的质量为M，物体在赤道处随地球自转做圆周运动的角速度等于地球自转的角速度，轨道半径等于地球半径，物体在赤道上受到的重力和物体随地球自转所需的向心力是万有引力的分力，有G－mg＝mω2R，物体在两极受到的重力等于万有引力，即G＝mg0，所以g0＞g，故A错误；在两极有mg0＝G，解得M＝，故B错误；由G－mg＝mω2R，mg0＝G，解得ω＝，故C正确；地球的平均密度ρ＝＝＝，故D错误． 6．“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原，中国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功．如果着陆前着陆器近火星绕行的周期为100 min.已知地球平均密度为5.5×103 kg/m3，地球近地卫星的周期为85 min.估算火星的平均密度约为(　　) A．3.8×103 kg/m3 B．4.0×103 kg/m3 C．4.2×103 kg/m3 D．4.5×103 kg/m3 答案　B 解析　卫星在行星表面绕行星做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力可得＝mR，设行星密度为ρ，则有M＝ρ·R3，联立可得ρ＝∝，则有＝，解得火星的平均密度约为ρ火＝ρ地＝×5.5×103 kg/m3≈4.0×103 kg/m3，B正确，A、C、D错误． 【能力培优】 7.(2021·全国乙卷·18)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示．科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞．这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖．若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为(　　) A．4×104M B．4×106M C．4×108M D．4×1010M 答案　B 8.（2025·湖南·高考真题）我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理得到。下列选项正确的是（　　） A．a为为为 B．a为为为 C．a为为为 D．a为为为 【答案】A 【详解】根据题意，卫星在同步轨道和表面附近轨道运行时轨道半径分别为 设小行星和卫星的质量分别为 由开普勒第三定律有，解得 卫星绕小行星表面附近做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有 解得 对应结果可得a为为为。故选A。 【知识回顾】 一、开普勒定律 1.开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 2.开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。当行星离太阳较近的时候，运行速度较大，而离太阳较远的时候速度较小。 3.开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。公式为：＝k。比值k只与中心天体的质量有关。 二、万有引力定律 1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。 2.表达式：F＝G。比例系数G叫作引力常量，适用于任何两个物体。 三、引力常量 1.引力常量的测定 英国物理学家卡文迪什在实验室里通过扭秤装置，比较准确地得出了G值，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。 五、星体表面及上空的重力加速度(以地球为例) (1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：有mg＝G，得g＝. (2)地球上空的重力加速度大小g′ 地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度大小为g′，则有mg′＝，得g′＝.所以＝. 六、“称量”地球的质量 思路1．利用天体表面重力加速度 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R. (1)由G＝mg，得天体质量M＝. (2)天体密度ρ＝＝＝. 思路2．利用运行天体 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T. (1)由G＝mr，得M＝. (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $