精品解析：湖南永州市冲刺新高考2026届高三上学期1月高考仿真模拟卷数学试题（一）

冲刺新高考·2026届高考仿真模拟卷 数学试题（一） 考试用时：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数模的运算性质计算出，然后利用共轭复数的性质求解即可. 【详解】，． . 故选：A. 2. 设集合，且，则实数 的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用列举法表示集合，根据，求得实数 的取值集合. 【详解】由题意得． 当时，； 当 时，，由，可得或． 综上所述，实数 的取值集合为． 故选：D. 3. 已知函数若，则（ ） A. 3或1 B. 0或-2 C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数的单调性，列出关于 的不等式组，求解可得，代入可求得其值. 【详解】由的解析式易得在区间上单调递增，在区间 上单调递减. 由，得，所以解得. ． 故选：C. 4. 设向量绕点 顺时针旋转得到向量，且，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，若以所在射线为终边的一个角为 ，则以所在射线为终边的角为.由此可得的坐标，根据列出方程，求得 ，即可得到的坐标. 【详解】设， 若以所在射线为终边的一个角为 ，则以所在射线为终边的角为. 因为， 所以. 又，所以. 所以. 即，解得. 所以. 故选：B. 5. 在数列中，为的前项和，则（ ） A. 1514 B. 5 C. 1517 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据递推公式，列举数列的项，得出是以6为周期的数列.因为，所以． 【详解】 是以6为周期的数列，且． ． 故选：D. 6. 已知分别为双曲线：的左、右焦点，为右支上的一点，线段与轴交于点为坐标原点，过点作，垂足为为线段上的一点，满足，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得为的重心，为的中点．从而得，，进而得，在中，求得，在中，由余弦定理，得，即有解得， ，即可得答案. 【详解】如图，设， 为的中点，； 为的重心， 为的中点． 又． 由双曲线的定义可知， ． 在中，． 在中，由余弦定理，得， 化简得 或（舍去）， ． 故的渐近线方程为． 故选：A. 7. 若实数，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数利用其单调性结合条件等式得出结合基本不等式计算即可. 【详解】由题意实数，满足， ， 而函数在R上单调递增， 所以， 当且仅当时等号成立． 故选：B 8. 已知分别为内角的对边，若，，动点满足的大小与的大小相等，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据降幂公式结合余弦定理可得，根据面积可得，可知点在抛物线上，结合抛物线的性质分析求解. 【详解】因为， 整理可得，则，可知为等边三角形． 设点到直线的距离为，则，可得， 如图，过点作 ，垂足为，则， 过点作，垂足为，可知点在以为焦点，所在直线为准线的抛物线上， 可知当点为抛物线顶点（即为的中点）时，取得最小值，此时， 所以的最小值为． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量，且，则 B. 在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好 C. 对 两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，对两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则 与负相关，与正相关，其中与的相关性更强 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正态分布的三段区间概率及对称性计算可判定A，利用残差的意义可判定B，利用相关系数的意义可判定C，利用条件概率及全概率公式可判定D. 【详解】由题意得， 则， 故选项A正确； 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄， 表明数据越集中，模型的拟合效果越好，故选项B正确； ，且与负相关，与正相关， 且 与的相关性更强，故选项C错误； ． ． ． 又根据全概率公式得， ，故选项D正确． 故选：ABD 10. 已知为抛物线：（ ）的焦点，准线与轴交于点，为第一象限内抛物线上的点，且满足，过点作的垂线，垂足为，与 交于点，则为（ ） A. 直线 的斜率不是定值 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求得，，再求解直线 的斜率判断A；结合抛物线的定义在直角三角形中计算判断B；通过几何关系得 为的平分线，即可证明判断C；由，即可判断D. 【详解】设（），易知，由得. 由得，， 显然，故解得， 则，可得， ，， 为常数，故选项A错误； ，， ，故选项B正确； ，. 又，， 为的平分线，，故选项C正确. ，. 为平分线，. 又由前面分析知，，. ，，故选项D正确. 故选：BCD 11. 已知函数有三个极值点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对求导，令得，对 求导分析单调性，画出大致图像，由特殊情况进行分类讨论，即可得出选项. 【详解】对函数求导得， 由于，则令，即， 设，则， 当 时， ， 单调递减，趋于 时， 趋于 ，趋于 时， 趋于 ， 当时， ， 单调递增，趋于 时， 趋于 ， 当时， ， 单调递减，趋于 时， 趋于 ， 则， 由于，由 单调性以及图像可得， 若，则，不符合， 若，则，符合题意， 此时， 故ABD正确，C错误， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二倍角公式及诱导公式计算即可. 【详解】原式 ． 故答案为：. 13. 现有4名男生和2名女生排成一行照相，要求女生不相邻，男生甲因身高原因不能站在整个队伍的最左端，则一共有___________种不同的站法． 【答案】408 【解析】 【分析】利用排列知识结合正难则反思想计算即可. 【详解】当女生不相邻时共有种， 当男生甲站在左端且女生不相邻时，有， 故女生不相邻，男生甲不站在整个队伍的最左端，有种． 故答案为：408 14. 在等腰直角三角形中，斜边为斜边上的一点，沿直线将折起形成二面角．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理得出三棱锥的高最大为，再应用换元法计算求解得出线线垂直进而得出外接球半径，最后应用球的表面积求解. 【详解】如图，为直角三角形，且． 设，过点作，交直线于点，则． 在中，由正弦定理，得 ． 当平面平面 时，三棱锥的高最大，为． ． 设，则． ． 在区间上单调递增，． ，当时取等号，此时取得最大值，最大值为． 此时，且两两互相垂直． 三棱锥的外接球的直径为表面积为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）讨论的单调区间； （2）若，且当时， 恒成立，求 的取值范围． 【答案】（1）当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导后先分析 的取值范围，若易得单调递减，若，则令 ，求得极值点后即可根据导数的正负判断函数的单调性； （2）由题意得 ，分类讨论与1的位置关系，由此确定，进而可求得 的取值范围. 【小问1详解】 由题意得， ①当时，恒成立，即 恒成立，在 上单调递减； ②当时，令 ，， 故当时， ，单调递减， 当时， ，单调递增， 综上，当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 若 恒成立，则有 ， ①若，即时，则在 上单调递减，则， 由 得 ，此时前后矛盾，故舍； ②若，即，则在上单调递减，在上单调递增， 则， 由 得，解得， 综上所述， 的取值范围是. 16. 如图，四边形为直角梯形，且．点满足 平面． （1）若为 上靠近点的三等分点，请判断直线 与平面的位置关系并说明理由； （2）若 ，点满足，求直线与平面 所成角的余弦值． 【答案】（1）直线 与平面平行， 理由如下：如图，设与交于点 ，连接， ， 为上靠近点的三等分点， 为 上靠近点的三等分点，在 中，， 平面平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）设与交于点 ，由，线线平行判定线面平行； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，计算平面 的一个法向量，由线面角的正弦等于方向向量与法向量的余弦的绝对值计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 平面，则以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 从而， ， 点的坐标为， 设平面 的一个法向量为， 则，即， 则，令，可得， 平面 的一个法向量为， 设直线与平面 所成角为， 则，. 17. 已知数列的前项和为，且 （1）求的值，并求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1），（或，答案不唯一） （2） 【解析】 【分析】（1）直接求出，由求得.由，求得数列的通项公式； （2）根据裂项相消法求得数列的前项和． 【小问1详解】 由条件知. 当为偶数时，； 当为奇数且时，也符合. 数列的通项公式为，（或，答案不唯一） 【小问2详解】 由题意可知： 当为奇数时，，，则； 当为偶数时，，，则. 综上可得，. 所以， 所以. 18. 已知椭圆的长轴长为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知曲线 为该曲线上不同的三点，若直线 均与椭圆相切，请判断直线与椭圆是否相切并说明理由． 【答案】（1） （2）直线与椭圆相切，理由如下： 设 ， 则． 直线 的方程为 ， 即． 同理可得直线 的方程为， 直线的方程为， 与椭圆方程联立得， 化简得 ． 由 与椭圆相切可得 ，即 ，① 由 与椭圆相切同理可得 ，② 那么若证出 ③，则与椭圆相切． 下证与椭圆相切： 由①②可知，可以看作方程 的两个根， 由韦达定理得. 所以 ， 故③成立， 所以直线与椭圆相切. 【解析】 【分析】（1）由题意可得， ，即可求得 ，即可得答案； （2）设 ，由直线 均与椭圆相切，可得 ①， ②，将可以看作方程 的两个根，由韦达定理可得 ，即可得结论. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 又因为离心率为，所以，解得 ， 所以 ， 所以椭圆的标准方程为 ； 【小问2详解】 略 19. 甲同学通过掷骰子的方式在边长为1个单位长度的正方形的场地上玩游戏，从起点出发，沿着正方形四边的顺序行走．若第，次抛掷得到的点数，记作，则甲从当前位置按顺序走个单位长度，下一次继续按照以上规则行走．记数列的前项和为次游戏之后甲的位置记为，并规定：当甲在处时，甲在处时，甲在处时，甲在处时． （1）当 时，求的概率和 的概率； （2）当 时，求随机变量的概率分布列和期望； （3）若，设，试确定该展开式中各项系数与事件的联系，并求的概率． 【答案】（1），； （2） 0 1 2 3 期望为； （3）， 事件表示40个相乘后得到的组合方式的数量， 表示第40次抛掷骰子后，甲在C处，那么，其方法数为对应式子中 时所有的数量之和， 所以， 令，可得，令 得， 两式相加得①， 令， 则， 所以②， 所以①②可得， 即. 【解析】 【分析】（1）根据题意分类讨论计算即可； （2）分类讨论的各种取值时对应情形，列出分布列结合期望公式计算即可； （3）利用二项式定理结合题意得出事件与展开式联系，利用赋值法及复数的周期性计算概率即可. 【小问1详解】 易知，所以， 的情况有：，， 合计8种，所以； 【小问2详解】 易知可能取值为： ， 由上知， 的情形有： ，9种， 则； 的情形有： ，9种， 则； 的情形有： ，10种， 则； 的分布列如下表： 0 1 2 3 期望； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 冲刺新高考·2026届高考仿真模拟卷 数学试题（一） 考试用时：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，且，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数若，则（ ） A. 3或1 B. 0或-2 C. 0 D. 1 4. 设向量绕点 顺时针旋转得到向量，且，则向量（ ） A. B. C. D. 5. 在数列中，为的前项和，则（ ） A. 1514 B. 5 C. 1517 D. 4 6. 已知分别为双曲线：的左、右焦点，为右支上的一点，线段与轴交于点为坐标原点，过点作，垂足为为线段上的一点，满足，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若实数，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知分别为内角的对边，若，，动点满足的大小与的大小相等，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量，且，则 B. 在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好 C. 对 两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，对两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则与负相关，与正相关，其中与的相关性更强 D. 若，则 10. 已知 为抛物线：（ ）的焦点，准线与轴交于点，为第一象限内抛物线上的点，且满足，过点作的垂线，垂足为，与 交于点，则为（ ） A. 直线 的斜率不是定值 B. C. D. 11. 已知函数有三个极值点，若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ___________． 13. 现有4名男生和2名女生排成一行照相，要求女生不相邻，男生甲因身高原因不能站在整个队伍的最左端，则一共有___________种不同的站法． 14. 在等腰直角三角形中，斜边为斜边上的一点，沿直线将折起形成二面角．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）讨论的单调区间； （2）若，且当时， 恒成立，求的取值范围． 16. 如图，四边形为直角梯形，且．点满足 平面． （1）若 为 上靠近点的三等分点，请判断直线 与平面的位置关系并说明理由； （2）若 ，点 满足，求直线与平面 所成角的余弦值． 17. 已知数列的前项和为，且 （1）求的值，并求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 18. 已知椭圆的长轴长为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知曲线 为该曲线上不同的三点，若直线 均与椭圆相切，请判断直线与椭圆是否相切并说明理由． 19. 甲同学通过掷骰子的方式在边长为1个单位长度的正方形的场地上玩游戏，从起点出发，沿着正方形四边的顺序行走．若第，次抛掷得到的点数，记作，则甲从当前位置按顺序走个单位长度，下一次继续按照以上规则行走．记数列的前项和为次游戏之后甲的位置记为，并规定：当甲在处时，甲在处时，甲在处时，甲在处时． （1）当 时，求的概率和 的概率； （2）当 时，求随机变量的概率分布列和期望； （3）若，设，试确定该展开式中各项系数与事件的联系，并求的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $