精品解析：湖南永州市冲刺新高考2026届高三上学期1月高考仿真模拟卷数学试题（一）

冲刺新高考·2026届高考仿真模拟卷 数学试题（一） 考试用时：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，且，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数若，则（ ） A. 3或1 B. 0或-2 C. 0 D. 1 4. 设向量绕点顺时针旋转得到向量，且，则向量（ ） A. B. C. D. 5. 在数列中，为的前项和，则（ ） A. 1514 B. 5 C. 1517 D. 4 6. 已知分别为双曲线：的左、右焦点，为右支上的一点，线段与轴交于点为坐标原点，过点作，垂足为为线段上的一点，满足，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若实数，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知分别为内角的对边，若，，动点满足的大小与的大小相等，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量，且，则 B. 在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好 C. 对两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，对两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则与负相关，与正相关，其中与的相关性更强 D. 若，则 10. 已知为抛物线：（）的焦点，准线与轴交于点，为第一象限内抛物线上的点，且满足，过点作的垂线，垂足为，与交于点，则为（ ） A. 直线的斜率不是定值 B. C. D. 11. 已知函数有三个极值点，若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ___________． 13. 现有4名男生和2名女生排成一行照相，要求女生不相邻，男生甲因身高原因不能站在整个队伍的最左端，则一共有___________种不同的站法． 14. 在等腰直角三角形中，斜边为斜边上的一点，沿直线将折起形成二面角．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）讨论的单调区间； （2）若，且当时，恒成立，求的取值范围． 16. 如图，四边形为直角梯形，且．点满足平面． （1）若为上靠近点的三等分点，请判断直线与平面的位置关系并说明理由； （2）若，点满足，求直线与平面所成角的余弦值． 17. 已知数列的前项和为，且 （1）求的值，并求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 18. 已知椭圆的长轴长为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知曲线为该曲线上不同的三点，若直线均与椭圆相切，请判断直线与椭圆是否相切并说明理由． 19. 甲同学通过掷骰子的方式在边长为1个单位长度的正方形的场地上玩游戏，从起点出发，沿着正方形四边的顺序行走．若第，次抛掷得到的点数，记作，则甲从当前位置按顺序走个单位长度，下一次继续按照以上规则行走．记数列的前项和为次游戏之后甲的位置记为，并规定：当甲在处时，甲在处时，甲在处时，甲在处时． （1）当时，求的概率和的概率； （2）当时，求随机变量的概率分布列和期望； （3）若，设，试确定该展开式中各项系数与事件的联系，并求的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 冲刺新高考·2026届高考仿真模拟卷 数学试题（一） 考试用时：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数模的运算性质计算出，然后利用共轭复数的性质求解即可. 【详解】，． . 故选：A. 2. 设集合，且，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用列举法表示集合，根据，求得实数的取值集合. 【详解】由题意得． 当时，； 当时，，由，可得或． 综上所述，实数的取值集合为． 故选：D. 3. 已知函数若，则（ ） A. 3或1 B. 0或-2 C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数的单调性，列出关于的不等式组，求解可得，代入可求得其值. 【详解】由的解析式易得在区间上单调递增，在区间上单调递减. 由，得，所以解得. ． 故选：C. 4. 设向量绕点顺时针旋转得到向量，且，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，若以所在射线为终边的一个角为，则以所在射线为终边的角为.由此可得的坐标，根据列出方程，求得，即可得到的坐标. 【详解】设， 若以所在射线为终边的一个角为，则以所在射线为终边的角为. 因为， 所以. 又，所以. 所以. 即，解得. 所以. 故选：B. 5. 在数列中，为的前项和，则（ ） A. 1514 B. 5 C. 1517 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据递推公式，列举数列的项，得出是以6为周期的数列.因为，所以． 【详解】 是以6为周期的数列，且． ． 故选：D. 6. 已知分别为双曲线：的左、右焦点，为右支上的一点，线段与轴交于点为坐标原点，过点作，垂足为为线段上的一点，满足，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得为的重心，为的中点．从而得，，进而得，在中，求得，在中，由余弦定理，得，即有解得，，即可得答案. 【详解】如图，设， 为的中点，； 为的重心，为的中点． 又． 由双曲线的定义可知， ． 在中，． 在中，由余弦定理，得， 化简得 或（舍去）， ． 故的渐近线方程为． 故选：A. 7. 若实数，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数利用其单调性结合条件等式得出结合基本不等式计算即可. 【详解】由题意实数，满足， ， 而函数在R上单调递增， 所以， 当且仅当时等号成立． 故选：B 8. 已知分别为内角的对边，若，，动点满足的大小与的大小相等，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据降幂公式结合余弦定理可得，根据面积可得，可知点在抛物线上，结合抛物线的性质分析求解. 【详解】因为， 整理可得，则，可知为等边三角形． 设点到直线的距离为，则，可得， 如图，过点作，垂足为，则， 过点作，垂足为，可知点在以为焦点，所在直线为准线的抛物线上， 可知当点为抛物线顶点（即为的中点）时，取得最小值，此时， 所以的最小值为． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量，且，则 B. 在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好 C. 对两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，对两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则与负相关，与正相关，其中与的相关性更强 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正态分布的三段区间概率及对称性计算可判定A，利用残差的意义可判定B，利用相关系数的意义可判定C，利用条件概率及全概率公式可判定D. 【详解】由题意得， 则， 故选项A正确； 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄， 表明数据越集中，模型的拟合效果越好，故选项B正确； ，且与负相关，与正相关， 且与的相关性更强，故选项C错误； ． ． ． 又根据全概率公式得， ，故选项D正确． 故选：ABD 10. 已知为抛物线：（）的焦点，准线与轴交于点，为第一象限内抛物线上的点，且满足，过点作的垂线，垂足为，与交于点，则为（ ） A. 直线的斜率不是定值 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求得，，再求解直线的斜率判断A；结合抛物线的定义在直角三角形中计算判断B；通过几何关系得为的平分线，即可证明判断C；由，即可判断D. 【详解】设（），易知，由得. 由得，， 显然，故解得， 则，可得， ，， 为常数，故选项A错误； ，， ，故选项B正确； ，. 又，， 为的平分线，，故选项C正确. ，. 为平分线，. 又由前面分析知，，. ，，故选项D正确. 故选：BCD 11. 已知函数有三个极值点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对求导，令得，对求导分析单调性，画出大致图像，由特殊情况进行分类讨论，即可得出选项. 【详解】对函数求导得， 由于，则令，即， 设，则， 当时，，单调递减，趋于时，趋于，趋于时，趋于， 当时，，单调递增，趋于时，趋于， 当时，，单调递减，趋于时，趋于， 则， 由于，由单调性以及图像可得， 若，则，不符合， 若，则，符合题意， 此时， 故ABD正确，C错误， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二倍角公式及诱导公式计算即可. 【详解】原式 ． 故答案为：. 13. 现有4名男生和2名女生排成一行照相，要求女生不相邻，男生甲因身高原因不能站在整个队伍的最左端，则一共有___________种不同的站法． 【答案】408 【解析】 【分析】利用排列知识结合正难则反思想计算即可. 【详解】当女生不相邻时共有种， 当男生甲站在左端且女生不相邻时，有， 故女生不相邻，男生甲不站在整个队伍的最左端，有种． 故答案为：408 14. 在等腰直角三角形中，斜边为斜边上的一点，沿直线将折起形成二面角．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理得出三棱锥的高最大为，再应用换元法计算求解得出线线垂直进而得出外接球半径，最后应用球的表面积求解. 【详解】如图，为直角三角形，且． 设，过点作，交直线于点，则． 在中，由正弦定理，得 ． 当平面平面时，三棱锥的高最大，为． ． 设，则． ． 在区间上单调递增，． ，当时取等号，此时取得最大值，最大值为． 此时，且两两互相垂直． 三棱锥的外接球的直径为表面积为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）讨论的单调区间； （2）若，且当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导后先分析的取值范围，若易得单调递减，若，则令，求得极值点后即可根据导数的正负判断函数的单调性； （2）由题意得，分类讨论与1的位置关系，由此确定，进而可求得的取值范围. 【小问1详解】 由题意得， ①当时，恒成立，即恒成立，在上单调递减； ②当时，令，， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上，当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 若恒成立，则有， ①若，即时，则在上单调递减，则， 由得，此时前后矛盾，故舍； ②若，即，则在上单调递减，在上单调递增， 则， 由得，解得， 综上所述，的取值范围是. 16. 如图，四边形为直角梯形，且．点满足平面． （1）若为上靠近点的三等分点，请判断直线与平面的位置关系并说明理由； （2）若，点满足，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）直线与平面平行， 理由如下：如图，设与交于点，连接， ， 为上靠近点的三等分点， 为上靠近点的三等分点，在中，， 平面平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）设与交于点，由，线线平行判定线面平行； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，计算平面的一个法向量，由线面角的正弦等于方向向量与法向量的余弦的绝对值计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 平面，则以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 从而， ， 点的坐标为， 设平面的一个法向量为， 则，即， 则，令，可得， 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则，. 17. 已知数列的前项和为，且 （1）求的值，并求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1），（或，答案不唯一） （2） 【解析】 【分析】（1）直接求出，由求得.由，求得数列的通项公式； （2）根据裂项相消法求得数列的前项和． 【小问1详解】 由条件知. 当为偶数时，； 当为奇数且时，也符合. 数列的通项公式为，（或，答案不唯一） 【小问2详解】 由题意可知： 当为奇数时，，，则； 当为偶数时，，，则. 综上可得，. 所以， 所以. 18. 已知椭圆的长轴长为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知曲线为该曲线上不同的三点，若直线均与椭圆相切，请判断直线与椭圆是否相切并说明理由． 【答案】（1） （2）直线与椭圆相切，理由如下： 设， 则． 直线 的方程为， 即． 同理可得直线 的方程为， 直线的方程为， 与椭圆方程联立得， 化简得． 由 与椭圆相切可得 ，即，① 由 与椭圆相切同理可得，② 那么若证出③，则与椭圆相切． 下证与椭圆相切： 由①②可知，可以看作方程的两个根， 由韦达定理得. 所以 ， 故③成立， 所以直线与椭圆相切. 【解析】 【分析】（1）由题意可得， ，即可求得，即可得答案； （2）设，由直线 均与椭圆相切，可得①，②，将可以看作方程的两个根，由韦达定理可得，即可得结论. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 又因为离心率为，所以，解得 ， 所以， 所以椭圆的标准方程为 ； 【小问2详解】 略 19. 甲同学通过掷骰子的方式在边长为1个单位长度的正方形的场地上玩游戏，从起点出发，沿着正方形四边的顺序行走．若第，次抛掷得到的点数，记作，则甲从当前位置按顺序走个单位长度，下一次继续按照以上规则行走．记数列的前项和为次游戏之后甲的位置记为，并规定：当甲在处时，甲在处时，甲在处时，甲在处时． （1）当时，求的概率和的概率； （2）当时，求随机变量的概率分布列和期望； （3）若，设，试确定该展开式中各项系数与事件的联系，并求的概率． 【答案】（1），； （2） 0 1 2 3 期望为； （3）， 事件表示40个相乘后得到的组合方式的数量， 表示第40次抛掷骰子后，甲在C处，那么，其方法数为对应式子中 时所有的数量之和， 所以， 令，可得，令得， 两式相加得①， 令， 则， 所以②， 所以①②可得， 即. 【解析】 【分析】（1）根据题意分类讨论计算即可； （2）分类讨论的各种取值时对应情形，列出分布列结合期望公式计算即可； （3）利用二项式定理结合题意得出事件与展开式联系，利用赋值法及复数的周期性计算概率即可. 【小问1详解】 易知，所以， 的情况有：，， 合计8种，所以； 【小问2详解】 易知可能取值为：， 由上知， 的情形有： ，9种， 则； 的情形有： ，9种， 则； 的情形有： ，10种， 则； 的分布列如下表： 0 1 2 3 期望； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $