第3讲 平行的性质与证明 寒假 讲义 2025-2026学年人教版数学七年级下册

第3讲 平行的性质与证明原卷版 目录 课时1 平行线的性质...................................................................................................2 课时1 平行线的性质加油练习题...............................................................................4 课时2 平行线性质判定综合（一次判定） 5 课时2 平行线性质判定综合（一次判定）加油练习题 7 课时3 利用平行线的性质进行角度计算 8 课时3 利用平行线的性质进行角度计算加油练习题 9 课时4 命题与证明 11 课时4 命题与证明加油练习题.................................................................................12 课时1 平行线的性质  例题1 1 .如图，，且，则           如图，，且，则           如图，，且，则           知识讲解 平行线的性质与判定   例题2 1 .如图，直线，，那么的度数是（   ）． A. B. C. D. 例题3 1 .如图，，且是的倍 ，那么等于（   ）． A. B. C. D. 例题4 1 .如图，，点在的延长线上，若，则的度数为（   ）． A. B. C. D. 例题5 1 .如图，直线，，交于一点，直线，若，，则的度数为（    ）． A. B. C. D. 课时1 平行线的性质加油练习题 1 .如图，直线，被直线所截，，若，则的度数是（      ） A. B. C. D. 2 .如图，直线，被直线所截，，，则的度数为（        ） A. B. C. D. 3 .如图，，是的倍，则等于（   ）． A. B. C. D. 4 .如图，已知，，，则的度数是（   ）． A. B. C. D. 课时2 平行线性质判定综合（一次判定） 知识讲解 1、平行线的判定 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行． 2、 平行线的性质 两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补． 例题1 1 .直线、、、的位置如图所示，如果，，，那么等于（   ）． A. B. C. D. 例题2 1 .如图，，，．将求的过程填写完整． ​ 因为， 所以          （   ）， 又因为， 所以（   ）， 所以          （   ）， 所以          （   ）， 因为， 所以          ． 例题3 1 .如图，已知，，则=             课时2 平行线性质判定综合（一次判定）加油练习题 1 .如图，在同一平面内，，，则          ． 2 .如图，若，，，则（   ）． A. B. C. D. 3 .如图，已知，，则          ． 4 .填空： 已知：如图，，、相交于点，． 求证：． 证明：（已知），           ． （已知），                     ．           ． 课时3 利用平行线的性质进行角度计算 知识讲解 两直线平行， 同位角相等   ．（） 两直线平行，内错角相等．（） 两直线平行， 同旁内角互补 ．（） 例题1 如图，直线，若，则（   ）． A. B. C. D. 例题2 如图，已知，，，求的度数． 例题3 一个人驱车前进时，两次拐弯后，按原来的相反方向前进，这两次拐弯可能是（   ）． A.先向右拐，再向右拐 B.先向右拐，再向左拐 C.先向右拐，再向右拐 D.先向右拐，再向左拐 例题4 如图，的一边为平面镜，，在上有一点，从点射出一束光线经上一点反射，反射光线恰好与平行，则的度数是（   ）． A. B. C. D. 课时3 利用平行线的性质进行角度计算加油练习题 1 .如图，直线，被直线所截，且，若，则的度数是（   ）． A. B. C. D. 2 .如图，直线，被直线所截，，，则的度数是（   ）． A. B. C. D. 3 .一个人骑自行车前行时，两次拐弯后，仍按原方向前进，这两次拐弯的角度是（   ）． A.向右拐，再向右拐 B.向右拐，再向左拐 C.向右拐，再向左拐 D.向右拐，再向右拐 4 .如图，，与平行，，则的度数是（   ）． A. B. C. D. 5 .如图，已知，，，求的度数．（请写出过程依据） 课时4 命题与证明 例题1 1 .下列语句是命题的有（   ）． ①两点之间线段最短；②不许大声讲话；③连接、两点；④花儿必在春天开放；⑤不相交的两条直线叫做平行线； A.①③⑤ B.②④⑤ C.②③④ D.①④⑤ 【引导】 ① 命题必须是一个 完整的句子       ，通常是 陈述句      （不能是疑问或命令动作）； ② 必须对某件事情做出 肯定     或 否定    的判断（不考虑真假）． 例题2 1 .下列语句属于命题的是（   ）． A.作直线的平行线 B.同旁内角相等 C.与互余吗 D.在线段上取点 例题3 1 .下列命题中是真命题的是（   ）． A.相等的两个角是对顶角 B.两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C.在同一平面内，若，，则 D.在同一平面内，若，，则 知识讲解　 、命题： 判断      一件事情的语句，叫做命题． 命题由 题设     和 结论    两部分组成． 题设是已知事项，结论是由 已知事项推出的事项． 如果题设成立，那么结论 一定成立 ，这样的命题叫做真命题． 题设成立时， 不能       保证结论一定成立， 这样的命题叫做假命题． 例如：“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补”是真命题． “如果两个角相等，那么它们是 对顶角”是假命题． 注： ① 命题必须是一个完整的句子，通常是陈述句（不能是疑问或命令动作） 　　 ② 必须对某件事情作出肯定或否定的判断（不考虑真假） 、定理：有些命题是基本事实，有些命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理． 定 理也可以作为继续推理的依据． 例如：“两点确定一条直线”“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”． 、证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明． 注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学 过的定义、基本事实、定理等． 课时4 命题与证明加油练习题 1 .下列语言叙述是命题的是（   ）． A.画两条相等的线 B.等于同一个角的两个角相等吗? C.延长线段到，使 D.两直线平行，内错角相等 2 .下列命题是真命题的是（   ）． A.内错角相等 B.对顶角相等 C.互补的角是邻补角 D.同旁内角互补 3 .下列命题中是假命题的是（   ）． A.两直线平行，同位角互补 B.对顶角相等 C.直角三角形两锐角互余 D.平行于同一直线的两条直线平行 4 .能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是（   ）． A. B. C. D. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 平行的性质与证明解析版 目录 课时1 平行线的性质...................................................................................................2 课时1 平行线的性质加油练习题...............................................................................5 课时2 平行线性质判定综合（一次判定） 7 课时2 平行线性质判定综合（一次判定）加油练习题 10 课时3 利用平行线的性质进行角度计算 13 课时3 利用平行线的性质进行角度计算加油练习题 15 课时4 命题与证明 19 课时4 命题与证明加油练习题.................................................................................21 课时1 平行线的性质  例题1 1 .如图，，且，则           如图，，且，则           如图，，且，则           【答案】 【解析】 无解析 知识讲解 平行线的性质与判定   例题2 1 .如图，直线，，那么的度数是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选． 例题3 1 .如图，，且是的倍 ，那么等于（   ）． A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】与是两平行线间的同旁内角，即，又是的倍， 故． 例题4 1 .如图，，点在的延长线上，若，则的度数为（   ）． A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 依题意得， ∵， ∴． 例题5 1 .如图，直线，，交于一点，直线，若，，则的度数为（    ）． A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 如图，∵直线； ∴， ， ∴（两直线平行，同旁内角互补）； ∴ ． 课时1 平行线的性质加油练习题 1 .如图，直线，被直线所截，，若，则的度数是（      ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】， ， ， ． 故选：． 2 .如图，直线，被直线所截，，，则的度数为（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：． 3 .如图，，是的倍，则等于（   ）． A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】​ 如图，∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：． 4 .如图，已知，，，则的度数是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 ∵，， ∴， ∵， ∴. 故选：. 课时2 平行线性质判定综合（一次判定） 知识讲解 1、平行线的判定 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行． 2、 平行线的性质 两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补． 例题1 1 .直线、、、的位置如图所示，如果，，，那么等于（   ）． A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故选． 例题2 1 .如图，，，．将求的过程填写完整． ​ 因为， 所以          （   ）， 又因为， 所以（   ）， 所以          （   ）， 所以          （   ）， 因为， 所以          ． 【答案】 证明见解析． 【解析】 因为， 所以（两直线平行，同位角相等）， 又因为， 所以（等量代换）， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，同旁内角互补）， 因为， 所以． 例题3 1 .如图，已知，，则=            【答案】 【解析】 【分析】 本题考查了平行线的判定与性质，邻补角．熟练掌握平行线的判定与性质，邻补角是解题的关键． 如图，由，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】 解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：．  课时2 平行线性质判定综合（一次判定）加油练习题 1 .如图，在同一平面内，，，则          ． 【答案】 【解析】 如图 ​ ， ， ， ． 故答案为：． 2 .如图，若，，，则（   ）． A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴， ， ∴． 故选：． 3 .如图，已知，，则          ． 【答案】 【解析】 解：如下图所示： ， ， ， ， ， 故答案为：． 4 .填空： 已知：如图，，、相交于点，． 求证：． 证明：（已知），           ． （已知），                     ．           ． 【答案】 见解析 【解析】 证明：（已知）， （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． 课时3 利用平行线的性质进行角度计算 知识讲解 两直线平行， 同位角相等   ．（） 两直线平行，内错角相等．（） 两直线平行， 同旁内角互补 ．（） 例题1 如图，直线，若，则（   ）． A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】． 例题2 如图，已知，，，求的度数． 【答案】 见解析 【解析】 解：， ， 即得， 解得． ． 例题3 一个人驱车前进时，两次拐弯后，按原来的相反方向前进，这两次拐弯可能是（   ）． A.先向右拐，再向右拐 B.先向右拐，再向左拐 C.先向右拐，再向右拐 D.先向右拐，再向左拐 【答案】 A 【解析】 已知两次拐弯后，按原来的相反方向前进，所以两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角且互补，故答案选． 例题4 如图，的一边为平面镜，，在上有一点，从点射出一束光线经上一点反射，反射光线恰好与平行，则的度数是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得到，再由平角的定义得到，则由平行线的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选． 课时3 利用平行线的性质进行角度计算加油练习题 1 .如图，直线，被直线所截，且，若，则的度数是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：． 2 .如图，直线，被直线所截，，，则的度数是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 解：∵，， ∴， ∵， ∴ ． 故选：． 3 .一个人骑自行车前行时，两次拐弯后，仍按原方向前进，这两次拐弯的角度是（   ）． A.向右拐，再向右拐 B.向右拐，再向左拐 C.向右拐，再向左拐 D.向右拐，再向右拐 【答案】 B 【解析】 解：如图，第一次拐的角是，第二次拐的角是，由于平行前进，也可以得到. 故选：. 4 .如图，，与平行，，则的度数是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 则 . 故选：. 5 .如图，已知，，，求的度数．（请写出过程依据） 【答案】，过程见解析． 【解析】 解：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （对顶角相等）， （等量代换）， 即， 解得， ． 课时4 命题与证明 例题1 1 .下列语句是命题的有（   ）． ①两点之间线段最短；②不许大声讲话；③连接、两点；④花儿必在春天开放；⑤不相交的两条直线叫做平行线； A.①③⑤ B.②④⑤ C.②③④ D.①④⑤ 【答案】 D 【解析】 判断语句是不是命题需抓住两点：（1）命题必须是一个完整的句子，通常是陈述句（包括肯定句和否定句），而疑问句和命令性语句都不是命题；（2）必须对某件事情做出肯定或否定的判断．故①④⑤是命题，②③⑥不是命题． 【引导】 ① 命题必须是一个 完整的句子       ，通常是 陈述句      （不能是疑问或命令动作）； ② 必须对某件事情做出 肯定     或 否定    的判断（不考虑真假）． 例题2 1 .下列语句属于命题的是（   ）． A.作直线的平行线 B.同旁内角相等 C.与互余吗 D.在线段上取点 【答案】 B 【解析】 判断一件事情的语句，叫做命题．选项可以理解为“如果两个角为同旁内角，那么这两个角相等”，是判断一件事情的语句，所以是命题．（注意此处满足命题的定义即可，不需要是真命题．） 例题3 1 .下列命题中是真命题的是（   ）． A.相等的两个角是对顶角 B.两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C.在同一平面内，若，，则 D.在同一平面内，若，，则 【答案】 C 【解析】选项：相等的两个角不一定是对顶角，是假命题，故错误； 选项：两条直线被第三条直线所截，只有当这两条直线平行时，同位角才会相等，是假命题，故错误； 选项：在同一平面内，如，，则，是真命题，故正确； 选项：在同一平面内，若，，则与是垂直关系而非平行关系，是假命题，故错误． 故选。 知识讲解　 、命题： 判断      一件事情的语句，叫做命题． 命题由 题设     和 结论    两部分组成． 题设是已知事项，结论是由 已知事项推出的事项． 如果题设成立，那么结论 一定成立 ，这样的命题叫做真命题． 题设成立时， 不能       保证结论一定成立， 这样的命题叫做假命题． 例如：“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补”是真命题． “如果两个角相等，那么它们是 对顶角”是假命题． 注： ① 命题必须是一个完整的句子，通常是陈述句（不能是疑问或命令动作） 　　 ② 必须对某件事情作出肯定或否定的判断（不考虑真假） 、定理：有些命题是基本事实，有些命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理． 定 理也可以作为继续推理的依据． 例如：“两点确定一条直线”“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”． 、证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明． 注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学 过的定义、基本事实、定理等． 课时4 命题与证明加油练习题 1 .下列语言叙述是命题的是（   ）． A.画两条相等的线 B.等于同一个角的两个角相等吗? C.延长线段到，使 D.两直线平行，内错角相等 【答案】 D 【解析】 A. 画两条相等的线，没有进行判断，不是命题； B. 等于同一个角的两个角相等吗?没有进行判断，不是命题； C. 延长线段到，使，没有进行判断，不是命题； D. 两直线平行，内错角相等，进行了判断，是命题. 故选：. 2 .下列命题是真命题的是（   ）． A.内错角相等 B.对顶角相等 C.互补的角是邻补角 D.同旁内角互补 【答案】 B 【解析】. 两直线平行，内错角相等，故本选项说法错误，是假命题，不符合题意； . 对顶角相等，是真命题，符合题意； . 互补的角不一定是邻补角，故本选项错误，是假命题，不符合题意； . 两直线平行，同旁内角互补，故本选项说法错误，是假命题，不符合题意. 故选：. 3 .下列命题中是假命题的是（   ）． A.两直线平行，同位角互补 B.对顶角相等 C.直角三角形两锐角互余 D.平行于同一直线的两条直线平行 【答案】 A 【解析】 解：选项：两直线平行，同位角相等，故本选项说法错误，是假命题； 选项：对顶角相等，本选项说法正确，是真命题； 选项：直角三角形两锐角互余，本选项说法正确，是真命题； 选项：平行于同一直线的两条直线平行，本选项说法正确，是真命题. 故选：. 4 .能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】. 两个角都是，这两个角相等，满足题设，但这两个角不是对顶角，不满足结论，可以说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项符合题意； . 两个角都是，这两个角相等，满足题设，同时这两个角是对顶角，满足结论，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意； . 两个角不相等，不满足题设，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意； . 两个角不相等，不满足题设，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意. 故选：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $