精品解析：四川省成都市2025-2026学年高二上学期单招统招数学期中试题

成都市2025—2026学年度上期 2024级单统招《数学》学科期中考试试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一 、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】当，解得或，故推不出，故充分性不成立； 当时，成立，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求得方程的根，再根据充分条件和必要条件的定义分析求解即可. 【详解】对于，解得：或， 所以当时，能推出，故充分性成立； 但当时，不一定能推出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】若，则且， 所以成立，故充分性成立， 若，则或，则不一定有， 故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义求解即可. 【详解】设，“”无法推出“”. “”可以推出“”. 因此“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量夹角公式求解. 【详解】已知，，， 所以， 因为，所以， 故选：C. 6. 已知平面向量，，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】因为平面向量，，且， 所以，解得. 故选：B. 7. 在平行四边形中，，，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标表示及平面向量的相等列出方程组即可得解. 【详解】平行四边形中，，，， 设， 则， 则，解得， 所以， 故选：. 8. 与椭圆共焦点，且过点的椭圆方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出，设出椭圆方程将代入，利用换元法即可得解. 【详解】椭圆，焦点在轴上， 则，，所以， 因为所求椭圆与已知椭圆共焦点，则且焦点在轴上， ，则设所求椭圆方程为， 将点代入椭圆方程中得， 整理得， 令，则， 解得或（舍）， 所以， 则椭圆方程为， 故选：. 9. 已知，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量内积的运算以及向量平行求解即可. 【详解】因为，所以或. 当，所以. 当时，所以. 所以等于. 故选：C. 10. 设且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的条件列方程求出的值，再由向量线性运算的坐标表示运算即可. 【详解】已知， 由，得，解得， 即，所以 . 故选：B. 11. 椭圆的两个焦点为，点是椭圆上一点（非左、右顶点），则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆定义求出的值，进而可得答案. 【详解】对于椭圆方程，可得，， 可得，， 所以， 因为点是椭圆上一点，所以， 因此的周长. 故选：C. 12. 已知，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量模长公式以及向量内积的运算进行计算. 【详解】已知，且， 则， 因为， 所以. 故选：B. 13. 已知向量，若时，；若时，，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线以及向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量，且时，， 所以，解得. 因为时，，所以，解得. 则的值分别为. 故选：C. 14. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将方程化为椭圆的标准方程，结合焦点在轴上列出不等式即可得解. 【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆, 则且，解得， 则实数的取值范围是， 故选：. 15. 已知椭圆的焦点为，离心率为，过点作直线交椭圆于两点，则的周长为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件求出长半轴，利用椭圆的定义求出的周长. 【详解】已知椭圆的焦点为、，可知椭圆的焦点在轴上，且（为半焦距）， 已知离心率，则（为长半轴），解得． 由椭圆的定义可知：，， 的周长 ， 故选：B. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 16. 化简：____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的加法法则即可得解. 【详解】， 故答案为：. 17. 已知，，则____________． 【答案】13 【解析】 【分析】根据向量内积的坐标运算公式计算. 【详解】已知，，则. 故答案为：13. 18. 设平面向量，若点的坐标为，则点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设出点的坐标，利用平面向量的坐标表示即可得解. 【详解】设， 平面向量，若点的坐标为， 则，即，解得， 所以， 故答案为：. 19. 椭圆的长轴长是____________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程以及长轴长的定义求解即可. 【详解】椭圆中，解得， 所以长轴长为. 故答案为：12. 20. 若椭圆（）的焦距为，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆方程找到椭圆的，利用即可得解. 【详解】椭圆（）， 则，，则， 所以，因为，所以， 故答案为：. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出推理、演算步骤． 21. 计算以下问题： （1）已知，，，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量内积的定义求值即可. （2）根据向量内积的坐标表示求值即可. 【小问1详解】 已知，，， 则. 【小问2详解】 已知，， . 22. 解决下列问题： （1）已知一椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，且过点，求椭圆的标准方程； （2）已知一椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，长轴长为6，短轴长为4，求椭圆的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率、焦点以及椭圆过点，求解即可. （2）根据椭圆的焦点、长轴长以及短轴长的定义求解即可. 【小问1详解】 因为椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上， 所以设椭圆的标准方程为. 因为离心率为，所以. 由，得. 由于椭圆过点，所以，解得. 因此. 【小问2详解】 因为椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上， 所以设椭圆的标准方程为. 因为长轴长为6，短轴长为4， 所以，解得. 因此. 23. 已知． （1）若与共线，求实数的值； （2）若与垂直，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标运算以及向量共线定理求解即可. （2）根据向量线性运算的坐标运算以及向量垂直的坐标表示求解即可. 【小问1详解】 因为，所以. 因为与共线，所以， 解得. 【小问2详解】 因为，所以. 因为与垂直，所以， 解得. 24. 已知，与的夹角为，．求： （1）当为何值时，与垂直？ （2）当为何值时，与共线？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算、向量垂直以及向量内积求解即可. （2）根据向量线性运算以及向量共线定理、向量内积求解即可. 【小问1详解】 因为与垂直，所以. 即， 解得. 【小问2详解】 因为与共线，所以存在实数，使得. 即，整理得， 所以，解得. 因此. 25. 已知椭圆的两焦点为，为椭圆上一点，且． （1）求此椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于两点，求弦长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义以及之间的关系求解即可. （2）根据椭圆中的弦长公式求解即可. 【小问1详解】 因为椭圆的两焦点为， 所以设，且， 因为为椭圆上一点，且， 所以，即， 进而，因此椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 联立直线与椭圆方程可得， 可得，因为， 所以由韦达定理，由弦长公式得 . 26. 如图，在中，为线段上一点，且． （1）若，求，的值； （2）若，，，且与的夹角为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量加法的几何意义求解即可. （2）首先用表示，再根据向量的内积运算求解即可. 【小问1详解】 若，则， 故． 【小问2详解】 若， 则， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市2025—2026学年度上期 2024级单统招《数学》学科期中考试试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一 、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量，，且，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 在平行四边形中，，，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 与椭圆共焦点，且过点的椭圆方程是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，且，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 设且，则（ ） A. B. C. D. 11. 椭圆的两个焦点为，点是椭圆上一点（非左、右顶点），则的周长为（ ） A. B. C. D. 12. 已知，且，则等于（ ） A. B. C. D. 13. 已知向量，若时，；若时，，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 14. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 已知椭圆的焦点为，离心率为，过点作直线交椭圆于两点，则的周长为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 16. 化简：____________． 17. 已知，，则____________． 18. 设平面向量，若点的坐标为，则点的坐标为____________． 19. 椭圆的长轴长是____________． 20. 若椭圆（）的焦距为，则____________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出推理、演算步骤． 21. 计算以下问题： （1）已知，，，求的值； （2）已知，，求的值． 22. 解决下列问题： （1）已知一椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，且过点，求椭圆的标准方程； （2）已知一椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，长轴长为6，短轴长为4，求椭圆的标准方程． 23. 已知． （1）若与共线，求实数的值； （2）若与垂直，求实数的值． 24. 已知，与的夹角为，．求： （1）当为何值时，与垂直？ （2）当为何值时，与共线？ 25. 已知椭圆的两焦点为，为椭圆上一点，且． （1）求此椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于两点，求弦长． 26. 如图，在中，为线段上一点，且． （1）若，求，的值； （2）若，，，且与的夹角为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $