15.1多边形（第2课时多边形的内角和）（教学课件）数学新教材北京版八年级下册

一、多边形 15.1多边形 第二课时 多边形的内角和 第十五章 四边形 学 习 目 标 1 2 掌握多边形内角和公式 (n−2)⋅180∘ 与外角和为 360∘ 的结论，并能熟练应用。 理解四边形的不稳定性，掌握梯形的定义。 3 能运用内角和与外角和公式解决多边形边数、角度的计算问题。 复习回顾 1 问题1：三角形的内角和是多少度？ 三角形的内角和为180∘ 问题2：从n边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？将 n边形分成几个三角形？ 可以画出 (n−3)条对角线，将n边形分成(n−2)个三角形。 新知导入 2 A B C D 连接四边形的一条对角线把四边形分割成为两个三角形 把四边形分割成为三角形，你还有其他 办法吗？ 新知探究 3 问题一： 设计一个实验 ( 如剪纸、拼图 )，说明四边形的内角和是 360°. A B C D 2×180 º =360 º 4×180 º－360º =360 º 3×180 º－180º =360 º A B C D A B C D E P 由上可得：四边形的内角和是360° 探究1 多边形内角和公式推导 新知探究 3 四边形的内角可能都是锐角吗？ 可能都是直角吗？ 最多有几个钝角？ 思 考 设四边形的四个内角分别为a、b、c、d a+b+c+d<360° 所以不可能都是锐角 a=b=c=d=90° 所以可能都是直角 最多两个钝角 探究1 多边形内角和公式推导 新知探究 3 问题二： 连接多变形的对角线，完成下表： 多边形 的边数 图 形 从一个顶点引出的对角线条数 分割出的三角形的个数 多边形的 内角和 3 4 5 6 …… …… …… …… …… n (n－2)×180º 4× 180º 2× 180º 3× 180º 1× 180º 0 1 1 2 2 3 3 4 n－3 n－2 探究1 多边形内角和公式推导 新知探究 3 一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n － 3) 条对角线，它们将n边形分为（n － 2)个三角形，n边形 的内角和等于180°×(n － 2). 多边形的内角和 多边形的内角和 Q 可以看做是这个多边形的边数 n 的函数吗？ 思 考 Q随着n的变化而变化，所以Q是n的函数 探究1 多边形内角和公式推导 新知探究 3 如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和． 问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？ 问题2：四个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？ 互补 4×180°=720° 探究2 多边形外角和公式推导 新知探究 3 四边形外角和 =360 ° =4个平角 －4边形内角和 =4×180° －(4－2) × 180° 结论：四边形的外角和等于360°. 问题3：在 四 边 形 ABCD 中， ∠1，∠2，∠3，∠4 是四个外角，怎样求出它们的和呢？ 探究2 多边形外角和公式推导 新知探究 3 n边形外角和 n边形的外角和等于360°. －(n－2) × 180° =360 ° =n个平角-n边形内角和 = n×180 ° An A2 A3 A4 1 2 3 4 n A1 思考：n边形的外角和又是多少呢？ 与边数无关 探究2 多边形外角和公式推导 新知探究 3 问题4：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？ 每个内角的度数是 每个外角的度数是 探究2 多边形外角和公式推导 新知探究 3 问题4：用四根木条做一个四边形，使两根木条的连接处可以转动，做好之后，用手轻轻推拉，你发现了什么？ 探究3 四边形的不稳定性 发现：四边形边长固定时，形状可以改变，说明四边形具有不稳定性。 新知探究 3 你能举例生活中的四边形不稳定性的应用吗？ 探究3 四边形的不稳定性 四边形的不稳定性在生活中有广泛的应用，如电动伸缩门是由许许多多个小四边形组成的，它就是利用了四边形的不稳定性。 新知探究 3 定义：只有一组对边平行的四边形叫作梯形。 探究4 梯形的定义 在四边形 ABCD 中，若 AD∥BC 且 AB 不平行于 DC，则 ABCD 是梯形。 A B C D 上底 下底 腰 腰 典例解析 4 例：如果一个多边形的每个内角都相等，它的一个外角等于一个内角的三分之二，这个多边形是几边形？ 解：设这个多边形的边数为 n. 由多边形的内角和与外角和公式，得出这个多边形的 一个内角的度数是 一个外角的度数是 由已知得： = 解得：n=5 答：这个多边形是5边形 新知进阶 5 1.如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形． 证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴∠CDF+∠EBF=90°， ∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD， ∴∠CDF+∠CFD=90°， 故△DCF为直角三角形． 新知进阶 5 2.一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？ 2.已知正多边形的每个内角都是156°，求这个多边形的边数． 解： 设这个多边形的边数为n，则(n－2)×180°＝n×120°， 解得n＝6.所以它是六边形． 解： 设这个多边形的边数为n，由题意得(n－2)×180°＝156°×n，解得n＝15，即这个多边形的边数为15. 新知进阶 5 3.正三角形、正四边形 ( 正方形 )、正五边形、正六边形、正八边形的每个内角和外角分别是多少度？ 图形 每个内角 每个外角 正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 正八边形 每个内角的度数是 每个外角的度数是 60° 120° 90° 90° 108° 72° 120° 60° 135° 45° 课堂练习 6 1.十二边形的内角和为( ) A. B. C. D. B 2.内角和为 的多边形是( ) A. B. C. D. C 课堂练习 6 3.若一个多边形的每个内角均为 ，则这个多边形是 ( ) C A. 七边形 B. 六边形 C. 五边形 D. 四边形 4.求图中 的值. 解：根据题意，得 . 解得 . 课堂练习 6 5.如图，在四边形中，，分别是和 的 补角，且 ，则 ______. 课堂练习 6 6.已知一个多边形的内角和比外角和的3倍还多 ，求这个 多边形的边数和内角和. 解：设这个多边形的边数是 .根据题意，得 ， 解得 . 则内角和为 . 答：这个多边形的边数是9，内角和是 . 0 课堂总结 7 核心应用 多边形：由 n（n≥3）条线段首尾顺次相接组成的平面图形。 凸多边形：延长任意一边，其他各边都在该直线同一旁的多边形。 正多边形：各边相等、各角相等的多边形。 基本规律：n 边形的一个顶点出发，可画 (n−3) 条对角线，将多边形分成 (n−2) 个三角形。 思想方法：抽象概括思想（从生活实例到几何概念）、归纳推理思想（从特殊到一般总结规律）。 感谢聆听! $