培优08 指数函数、对数函数、三角函数的切线放缩3种重难题型（专项训练）数学人教A版2019选择性必修第二册

培优08 指数函数、对数函数、三角函数的切线放缩 题型1 指数函数的切线放缩 指数函数是下凸函数，其图象始终在任意点切线的上方，常见切线放缩不等式如下： 基础不等式1： 推导：取切点，，切线斜率，切线方程为.因函数下凸，故，等号成立条件：. 常见变形：①替换，得（等号：）； ②替换，得（即，等号：）. 基础不等式2： 推导：取切点，切线斜率，切线方程为.因函数下凸，故，等号成立条件：. 常见变形：替换（），得（即，可与对数类不等式呼应）. 1．已知直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设切点为, 因为,所以, 所以,所以, 又切点在直线上, 所以, 所以, 所以, 所以, 令, 则, 令,得, 令,得, 所以在上递减,在上递增, 所以时,取得最小值. 即的最小值为. 故选:B 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线的斜率,考查了利用导数研究函数的单调性,根据单调性求函数的最值,属于中档题. 2．已知函数在上有两个零点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：函数在上有两个零点，等价于与有两个不同的交点，恒过点，设与相切时切点为，因为，所以切线斜率为，则切线方程为，当切线经过点时，解得或（舍），此时切线斜率为，由函数图像特征可知：函数在上有两个零点，则实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】本题考查导数的综合应用，由函数零点求参数的取值范围，难度中等. 3．已知实数满足（e为自然对数的底数），则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，即（当时取等）； 可知， 当且仅当时取等； 又因为， 所以当时，即. 所以，， 解得，当且仅当时，取等号. 故选：D. 4．若函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在上恒成立， 即恒成立，设， 所以， 当，当， 当时，取得极大值，也是最大值为， . 故选:C. 【点睛】本题考查应用导数求单调区间，考查恒成立问题，分离参数是解题的关键，属于中档题. 5．设函数. （1）讨论的单调性； （2）若对恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）. 【解析】（1）分别在和两种情况下，根据的正负可确定的单调性； （2）根据（1）的结论可确定不合题意；当时，根据指数函数值域可知满足题意；当时，令，由此构造不等式求得结果. 【详解】（1）由题意得：， 当时，，在上单调递增； 当时，令得：. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）可知：当时，在上单调递增， 当时，，，此时，不合题意； 当时，恒成立，满足题意. 当时，在处取最小值，且， 令，解得：，此时恒成立. 综上所述：的取值范围为. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能够通过分类讨论，将问题转化为函数最小值大于零的问题，由此构造不等式求得结果. 6．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的单调性并求其最值； (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；最小值是0，没有最大值 (3) 【分析】 【详解】（1）因为，，所以． 因为，， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）由（1）知，． 当时，，所以函数在区间上单调递减； 当时，，所以函数在区间上单调递增． 所以当时，函数取得极小值，也是最小值． 因为，所以函数的最小值是0，没有最大值． （3）设， 则，． 当时，在上恒成立，当且仅当时，等号成立， 所以函数在上单调递增，所以，满足题意． 当时，设函数，则，． 解得，解得． 当，即时，在上恒成立， 函数在上单调递增，所以， 即在上恒成立，所以函数在上单调递增， 所以，满足题意． 当，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在区间上单调递减． 因为，所以在区间上恒成立，与已知矛盾，不合题意． 综上，实数的取值范围是． 7．已知，当时，若关于的方程有两个实数根，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】当时，，所以. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以. 因为方程有两个不相等的实根，所以. 且，（，）. 作函数在处的切线： ，，所以切线方程为，即. 设， 则，由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增，且. 所以恒成立. 所以恒成立，所以. 再设. 则，由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以恒成立，即恒成立， 所以. 所以. 题型2 对数函数的切线放缩 对数函数是上凸函数，其图象始终在任意点切线的下方，常见切线放缩不等式如下： 基础不等式1： 推导：取切点，，切线斜率，切线方程为.因函数上凸，故，等号成立条件：. 常见变形：①替换（），得（即，等号：）； ②替换（），得（等号：）； ③替换（），得（即，等号：）. 基础不等式2：推导：取切点，切线斜率，切线方程为.因函数上凸，故，等号成立条件：. 8．已知函数恰有两个零点，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得， 令， 则， 设， 则， 由得；由得， 所以在上单调递减，在上单调递增； 因此， 所以在上恒成立； 所以，由得；由得； 因此，在上单调递减，在上单调递增； 所以； 又当时，，， 作出函数图像如下： 因为函数恰有两个零点， 所以与有两不同交点， 由图像可得：实数的取值范围是. 故选A 【点睛】本题主要考查函数零点以及导数应用，通常需要将函数零点转化为两函数交点来处理，通过对函数求导，利用导数的方法研究函数单调性、最值等，根据数形结合的思想求解，属于常考题型. 9．若存在，满足，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，，则它们函数图象的一个公共点为，函数在点处的切线斜率为，所以在处的切线方程为，所以要存在满足，则，所以取值范围是，选A. 【点睛】本题考查了不等式恒成立求参数取值范围的问题，本题的难点是合理分离两个函数和，并且观察其交于点，根据数形结合比较切线的斜率和的斜率. 10．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程有两个实数根，且，求证：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）函数，则， ， 故函数在处的切线斜率为，切点坐标为， 所以切线方程为，即. （2）依题意，恒成立， 则恒成立. 令， 则， 所以，当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以， 所以. （3）函数，定义域为， ，解得，解得. 函数在上递减，在上递增， 故. 所要证的不等式左边是割线放缩，这两条割线为函数的最低点与及的连线，即与. 设两割线与直线交点的横坐标分别为. 解方程可得，， 当时，，； 当时，， 令，， 解得，解得， 在上单调递减，在上单调递增， 而，所以，． ， 根据单调性，可得， 所以，不等式左侧证明完毕. 不等式右侧是切线放缩，这两条切线分别是和时的两条切线， 由（1）可知，曲线在处的切线方程为， 时，， 曲线在处的切线斜率为1，切点坐标为，切线方程为， 切线和与的交点分别为． 同理可得， 综上可知，． 11．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若关于x的不等式恒成立，求a的值； (3)证明：对一切的，都有． 【答案】(1)答案见解析 (2)1 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意可得的定义域为，且． 当时，在上恒成立，则在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）当时，由（1）知在上单调递增，又，所以当时，，则不符合题意． 当时，由（1）知在上单调递增，在上单调递减， 则． 又，且，所以，解得， 经检验，当时，恒成立． 综上，a的值为1． （3）证明：由（2）可知当时，，即， 则，所以，所以． 当时，， 则， 故要证，只需证， 即证． 设，则． 由（2）可知，则，即， 所以，所以在上单调递增，所以， 故对一切的，都有． 12．已知函数. （Ⅰ）设是的极值点，求的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，在定义域内恒成立，求的取值范围； （Ⅲ）当时，证明：. 【答案】(Ⅰ)1(Ⅱ)2（Ⅲ）详见解析 【分析】（Ⅰ）对函数求导，由题意知，可求出的值，经检验m=1符合题意；（Ⅱ）求出函数的单调性，进而求出最小值，令即可得到答案；（Ⅲ）由题意，当m≤2，x∈（-m，+∞）时，，故只需证明当m=2时，，进而分析函数单调性，求得，即可． 【详解】解：（Ⅰ）∵，x=0是f（x）的极值点，∴，解得m=1． 经检验m=1符合题意. （Ⅱ）由（ Ι）可知，函数f（x）=ex-ln（x+1）+1，其定义域为（-1，+∞）． ∵       设g（x）=ex（x+1）-1，则g′（x）=ex（x+1）+ex＞0，所以g（x）在（-1，+∞）上为增函数， 又∵g（0）=0，所以当x＞0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当-1＜x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0． 所以f（x）在（-1，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数；因此，的最小值为 ∵在定义域内恒成立,即              （Ⅲ）证明：要证，即. 设,即证 当m≤2，x∈（-m，+∞）时，，故只需证明当m=2时，. 当m=2时，函数在（－2，+∞）上为增函数，且． 故在（－2，+∞）上有唯一实数根，且∈（－1，0）． 当时，，当时，, 从而当时，取得最小值．     由，得，即，故． 综上，当m≤2时， 即＞m． 【点睛】本题考查了函数的求导，及函数的单调性的运用，属于难题． 13．已知函数，函数（）. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，. （3）证明：当时，. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】（1）求出的定义域，导函数，对参数、分类讨论得到答案. （2）设函数，求导说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得证. （3）由（1）可知，可得，即又即可得证. 【详解】（1）解：的定义域为，， 当，时，，则在上单调递增； 当，时，令，得，令，得，则在上单调递减，在上单调递增； 当，时，，则在上单调递减； 当，时，令，得，令，得，则在上单调递增，在上单调递减； （2）证明：设函数，则. 因为，所以，， 则，从而在上单调递减， 所以，即. （3）证明：当时，. 由（1）知，，所以， 即. 当时，，， 则， 即， 又， 所以， 即. 【点睛】本题考查利用导数研究含参函数的单调性，利用导数证明不等式，属于难题. 题型3 三角函数的切线放缩 三角函数的切线放缩主要适用于区间，常见不等式如下： 核心不等式1：（） 推导：函数在处切线为，因函数上凸，故，等号成立条件：. 核心不等式2：（） 推导：函数在处切线为，因函数下凸，故，等号成立条件：. 核心不等式3：（） 推导：函数在处切线为，利用三角函数二倍角公式验证，等号成立条件：. 14．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，令，， 则，， 故和在上单调递增， 故，， 且，． 即当时， 因为，所以，即，所以； 设，，所以在单调递增， 则，所以，所以，所以， 故选：B. 15．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以，，可得. 构造函数，则，所以在R上单调递减，当时，， 所以，可知，即， 又，，又，所以， 设函数，则， 当时，，在上单调递减， 则，可知，所以. 综上，. 故选：D． 【点睛】方法点睛：比较幂、对数、三角函数值等大小的方法： （1）直接利用指数函数、对数函数、三角函数的单调性比较； （2）借助中间值如0，1等等，利用函数的单调性比较； （3）构造函数，利用导数确定函数的单调性比较大小． 16．设则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 所以在上单调递增， 所以，即， 又，即，可得， ，所以， 综上. 故选：B. 17．已知函数. (1)已知直线是曲线的切线，求实数a的值； (2)求函数的单调区间； (3)求证：恒成立. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上单调递增 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）， ，解得切点为， . （2）， 当时，单调递减， 当时，， 单调递增，单调递递增. 综上所述，在上单调递减，在上单调递增. （3）恒成立， 恒成立恒成立. 令， 则， 令，则单调递增， 又，当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增； 恒成立. 【点睛】方法点睛：切点与切线的关系：在小问1中，利用导数求出曲线在给定直线为切线时的斜率，再通过求解切点的方法确定参数的值，这是典型的求切线与曲线关系的方法. 多次求导法：在小问2中，通过对函数进行多次求导，判断导数的符号变化来确定单调区间，是分析函数单调性的常用手段. 构造函数法求证不等式：在小问3中，通过将不等式转化为关于某变量的函数问题，利用构造函数并结合单调性分析来证明恒成立，是一种常用的不等式证明方法. 18．已知，. (1)证明：时，； (2)求函数的单调区间； (3)证明：时，. （注：） 【答案】(1)证明见解析 (2)单调递减区间为，单调递增区间为 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明：， 令，则， 因为，所以， 所以在单调递增，所以， 所以在单调递增，则. 所以当时，成立. （2）， 令， 则， 所以在上单调递增，又， 所以当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以，的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）证明：要证，即证. ①当时，，而，所以不等式成立； ②当时，，由（2）知：时，， 所以，即 所以只需证. 令（）， 则，所以在单调递减， 所以，即. 故只需证，即证：. 由（1）知，上述不等式成立. ③当时，不等式等号显然成立 综上，当时，. 【点睛】方法点睛： 利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 19．求证： 【答案】证明见解析 【详解】证明：由不等式可知，令，. 所以在上单调递增，故，即①. 令，则， 所以当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 所以，即②. 综合①②可得③. 令，则， 所以在上单调递减，故，即④. 又，所以⑤. 综合③⑤得，即. 20．已知函数，. (1)求证：； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）令，， 则， 令，， 则， 所以在上单调递增，则，即， 所以在上单调递增. 故，即. （2）方法1：由（1）知，所以当时， 先证明：当时，，因为，， 导函数，故为减函数，则， 即当时，. 又当时，取，满足， 所以 综上，的取值范围是. 方法2：若，则. 下设，当时，. 因为当时，，所以当时，有 设，.则.所以在上单调递减，.则当时，的取值范围是，故. 必要性已得，下面讨论充分性. 当时，， 令，则 今，，则 所以在上单调递增，则，故.因此， 综上，的取值范围是. 【点睛】方法点睛： （1）求导分析函数单调性时，可设导数中需要讨论正负的部分为新函数，再求导分析单调性与特殊值，从而确定正负区间，进而确定原函数的单调性； （2）第二问可注意使用前问的结论，遇到三角函数时，注意运用三角函数公式化简，同时注意三角函数的值域进行不等式放缩. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 培优08指数函数、对数函数、三角函数的切线放缩 划重点·冲 高分 题型1指数函数的切线放缩 题型2对数函数的切线放缩 切线放缩 题型3三角函数的切线放缩 题型1指数函数的切线放缩 指数函数y=是下凸函数，其图象始终在任意点切线的上方，常见切线放缩不等式如下： 基础不等式1：e≥x+1 推导：取切点(0,1)，y'=e,切线斜率k=e°=1，切线方程为y=x+1.因函数下凸，故e≥x+1,等 号成立条件：x=0 !常见变形：①替换x→x-1,得e-1≥x(等号：x=1); ②替换x→-x,得er≥-x+1(即≥1-x,等号：x=0) 基础不等式2：e≥ex 推导：取切点(L,e),切线斜率k=e=e,切线方程为y=e(x-I)+e=ex.因函数下凸，故e≥exr,等l |号成立条件：x=1 !常见变形：替换x→nx(x>0),得x≥enx(即lnx≤”，可与对数类不等式呼应). =x+ V-ex 1/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.已知直线y=a(x+1)与曲线f(x)=e+b相切，则ab的最小值为() A名 B.-2e 1 c.- e D.2 2.已知函数)=心-nm+受在Q+四)上有两个零点，则m的取催范国是(） A.(0,e B.(0,2e C.(e,+o) D.(2e,+oo) 3.已知实数a,b,c满足e*c+e2b-c≤a+2b+1(e为自然对数的底数)，则a2+b2的最小值是() A.2 c.4 D. 4.若函数∫(x=x3-ke在(0，+o)上单调递减，则k的取值范围为() A.[0,+o B.[+c.[+D.[+ 5.设函数f(x)=e2r-a(x+1 (1)讨论∫(x的单调性； (2)若f(x>0对xeR恒成立，求a的取值范围 6.已知函数f(x)=e-x-1. (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(O)处的切线方程： (②)判断函数f(x)的单调性并求其最值； (3)若不等式f(x)-x2≥0对x∈[0，+o)恒成立，求实数k的取值范围. 217 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 7.己知f(x)=e-ax,当a=2时，若关于f(x)=1的方程有两个实数根x<x2,求证：x2-x<3t-1. 题型2对数函数的切线放缩 解题大 1对数函数y=lx是上凸函数，其图象始终在任意点切线的下方，常见切线放缩不等式如下： 基础不等式l:lnx≤x-1 |推导：取切点1,0，y=1, 切线斜率k=1,切线方程为y=x-1.因函数上凸，故lnx≤x-1,等号 成立条件：x=1 常见变形：O替换x→（x>0),得In上s-1(即nx≥1-1，等号：x=1); xx ②替换x→x+1(x>-1),得ln(x+1)≤x(等号：x=0); ®潜换x→x2x>0)得2nx≤1C即nx≤2，等号：x=1) 基础不等式2：nx≤推导：取切点(e,l),切线斜率k=】,切线方程为y=(x-e)+1=X因函数上 凸，故nx≤，等号成立条件：x=e. e y=x-1 y= -x e y=Inx y=Inx 8.已知函数f(x)=anx+x2-(a+2)x恰有两个零点，则实数a的取值范围是() A.（-1,0 B.（-1,+00 C.-2,0 D.（-2,-1 3/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9.若存在5∈(0，，满足h6+>2a(,-1,则实数a的取值范围是 2 c. D.（ 10.已知函数fx=xlnx. (①)求函数f(x)在x=e2处的切线方程： (2)若f(x)≥-e2在(0，+o）上恒成立，求实数a的取值范围； (③)若方程()=6有两个实数根名，且写<，求证：be+1<,-5<e+2+36 2 11.已知函数fx)=lnx-ax+a. (1)讨论∫(x)的单调性： (2)若关于x的不等式f(x≤0恒成立，求a的值； (3)证明：对一切的x∈1，+o)，都有2 xe*Inx-x3-x2+2≥0. 12.己知函数f(x)=e-n(x+m)+m (I)设x=0是f(x)的极值点，求m的值： (Ⅱ)在(I)的条件下，∫(x)-k≥0在定义域内恒成立，求k的取值范围； (Ⅲ)当m≤2时，证明：∫(x)>m. 4/7 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 l3.已知函数f(x)=2ln(x+1)+sinx+1,函数gx=ax-1-blnx(a,b∈R,ab≠0)， (1)讨论gx的单调性； (2)证明：当x≥0时，f(x≤3x+1. (3)证明：当x>-1时，f(x)<x2+2x+2)enx 。 题型3三角函数的切线放缩 解题大招 |三角函数的切线放缩主要适用于x∈[0，)区间，常见不等式如下： 核心不等式l:sinx≤x(x≥0) |推导：函数y=sinx在(0，O)处切线为y=x,因函数上凸，故sinx≤x,等号成立条件：x=0 !核心不等式2：tanx≥x(0≤x<刀) !推导：函数y=tanx在(0,0)处切线为y=x,因函数下凸，故tanx之x，等号成立条件：x=0 |核心不等式3：1-cosx≤ ,(x∈R) 推导：函数y=1-c0sr在(0,0)处切线为y=亡，利用三角函数二倍角公式验证，等号成立条件： 2 |x=0 5/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y=tanx y=x y=sinx 31 1 1 14.己知a= 32 ,b=4sin,c=cos,,则() 4 4 A.c>b>a C.axb>c D.axcxb 15.a=sin(cos2),b=cos(cos2),c=In(cos1),() A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 16.股a=e6=n25c=名则（) A.a>b>c B.axc>b C.cxaxb D.c>b>a 17.已知函数fx)=e*+sinx-2x,gx)=2-cosx (I)已知直线x-y+a=0是曲线y=gx),x∈[0，π的切线，求实数a的值； (2)求函数∫(x的单调区间； (3)求证：f(x)≥g(x)恒成立 18.已知/闭=e---1,g)=eos2x+2x-1 (1)证明：x≥0时，f(x)≥0： (2)求函数g(x)的单调区间： (3)证明：x≥0时，xe+。sin2x≥2sinx+sin2x. (注：(cos2x)}'=-2sin2x,(sin2x)}'=2cos2x) 6/7 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 19.求证：e+lnx>cosr+sinx-l 20.已知函数f(x)=ax ,xe0到 cos2x’ (1)求证：2tanx+3sinx>5x; (2)若f(x<sin2x,求a的取值范围. 7/7