函数概念及性质篇01寒假作业-2026年高一数学人教A版必修第一册

高中数学人教A版必修一寒假作业01——函数概念及性质篇 01测试范围：函数的概念及其表示 知识梳理 1、函数的概念 函数的定义 一般地，设A，B是 ，如果对于集合A中的 ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 和它对应，那么就称 为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 定义域 x叫做 ，x的 叫做函数的定义域 函数值 与 相对应的y值 值域 函数值的集合 叫做函数的值域，显然值域是集合B的子集 2．函数的表示法 (1)解析法：就是用 表示两个变量之间的对应关系 (2)图象法：就是用 表示两个变量之间的对应关系 (3)列表法：就是列出 来表示两个变量之间的对应关系 3．（1）分段函数的定义：若函数，对于自变量在中不同的 ，有着不同的 则称这样的函数为分段函数. （2）分段函数的要点：分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解.对于含有多层“”的问题，要按照“ ”的顺序，逐层处理.已知函数值，求自变量的值时，要先将“”脱掉，转化为 求解. 4．如果用“”表示“正无穷大”，用“”表示“负无穷大”，则 集合表示 区间表示 数轴表示 实数集R可以表示为 . 01 函数的概念及其表示的寒假作业 一、单选题 1．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 4．已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图所示，则（   ） 1 2 3 4     3 1 4 2    A．4 B．3 C．1 D． 5．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 6．下列哪一组中的函数与是同一函数（   ） A．， B．， C．， D．， 7．已知函数若，则（   ） A．或1 B．或0 C．或0 D．或 8．已知，且，则（ ） A．8 B．9 C． D． 二、多选题 9．下列命题中，正确的有（    ） A．函数与函数表示同一个函数 B．函数的值域为 C．函数的图象与直线最多有一个交点 D．已知，对应关系可以构成关于的函数 10．若函数的解析式与值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，如函数，与，为“同族函数”．下列函数中不能用来构造为“同族函数”的是（   ） A． B． C． D． 11．以数学家约翰⋅卡尔⋅弗里德里希⋅高斯的名字命名的“高斯函数”为，在数学中有着广泛应用.其中表示不超过的最大整数，例如，，则（    ） A．， B．函数的值域为 C．不等式的解集为 D．方程的解集为 三、填空题 12．函数的值域为 13．已知是二次函数，且，，，则的解析式为 ． 14．若函数的定义域为，则实数的取值范围 . 四、解答题 15．求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 16．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）公里以内（含公里），票价元； （2）公里以上，每增加公里，票价增加元（不足公里的按公里计算）. 如果某条线路的总里程为公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式，并画出函数的图象. 17．已知全集，函数的定义域为集合A，集合． (1)当时，求； (2)当时，求p的取值范围． 18．二次函数（）满足，且． (1)求的解析式； (2)若在区间上，函数的图像总是在的图像上方，求实数m的取值范围． 19．已知函数 (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修一寒假作业01——函数概念及性质篇 01测试范围：函数的概念及其表示 知识梳理 1、函数的概念 函数的定义 一般地，设A，B是 ，如果对于集合A中的 ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 和它对应，那么就称 为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 定义域 x叫做 ，x的 叫做函数的定义域 函数值 与 相对应的y值 值域 函数值的集合 叫做函数的值域，显然值域是集合B的子集 【答案】非空的实数集 任意一个数x 唯一确定的数y 自变量 取值范围 的值 2．函数的表示法 (1)解析法：就是用 表示两个变量之间的对应关系 (2)图象法：就是用 表示两个变量之间的对应关系 (3)列表法：就是列出 来表示两个变量之间的对应关系 【答案】 数学表达式 图象 表格 3．（1）分段函数的定义：若函数，对于自变量在中不同的 ，有着不同的 则称这样的函数为分段函数. 【答案】 取值范围 对应关系 （2）分段函数的要点：分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解.对于含有多层“”的问题，要按照“ ”的顺序，逐层处理.已知函数值，求自变量的值时，要先将“”脱掉，转化为 求解. 【答案】 由内到外 关于自变量的方程 4．如果用“”表示“正无穷大”，用“”表示“负无穷大”，则 集合表示 区间表示 数轴表示 实数集R可以表示为 . 【答案】 01 函数的概念及其表示的寒假作业 一、单选题 1．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的解析式可求得的值. 【详解】因为，所以. 故选：C. 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用配凑法得到含有的解析式，即可得. 【详解】因为函数，所以函数.故选：A 3．下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】A，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合；B，当时，对于，任意，都有唯一的与之相对应，所以是的函数，符合；C，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合；D，令，由，得，不符合函数的定义，所以不是的函数，不符合. 故选：B 4．已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图所示，则（   ） 1 2 3 4     3 1 4 2    A．4 B．3 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义求值即可． 【详解】因为，所以．故选：C． 5．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助根式、分式及零次幂有意义的条件计算即可得. 【详解】由题意可得，即得，故或或， 故的定义域为. 6．下列哪一组中的函数与是同一函数（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】分别求每个选项的两个函数的定义域和对应关系即可得正确选项. 【详解】对于A：的定义域为 ，定义域为 ，定义域不同，所以不是同一函数，故选项A不正确；对于B：的定义域为，的定义域为， 对应关系不同，所以不是同一函数，故选项B错误；对于C：的定义域为，的定义域为，定义域和对应关系都相同，所以是同一函数，故选项C正确；对于D：的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数，故选项D错误；故选：C. 7．已知函数若，则（   ） A．或1 B．或0 C．或0 D．或 【答案】D 【分析】令，可得或，结合的取值范围分析求解. 【详解】令，则，若，则，解得，若，则，解得， 故或，当时，，与或矛盾， 故，所以，所以或，解得或. 故选：D. 8．已知，且，则（ ） A．8 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】根据的表达式求出，从而得到，根据的表达式及的值求出. 【详解】，，，，，， . 二、多选题 9．下列命题中，正确的有（    ） A．函数与函数表示同一个函数 B．函数的值域为 C．函数的图象与直线最多有一个交点 D．已知，对应关系可以构成关于的函数 【答案】BCD 【分析】根据函数的定义和同一函数的定义逐一分析可得到正确答案。 【详解】对于选项A，因为函数的定义域是，函数的定义域是，所以两函数的定义域不同，不是同一函数，故选项A错误;对于选项B，因为函数,所以,则,故选项B正确;对于选项C，根据函数的定义，对于定义域内的一个值，有且只有一个值与之对应，此时函数图象与直线最多有一个交点，因此若在定义域内，则有唯一的值与之对应，此时函数图象与直线有唯一交点；若不在定义域内，则没有交点，因此函数的图象与直线最多有一个交点，故选项C正确;对于选项D，因为任意，所以，满足，且每个对应唯一的，符合函数的定义，因此可以构成关于的函数，故选项D正确; 故选:BCD 10．若函数的解析式与值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，如函数，与，为“同族函数”．下列函数中不能用来构造为“同族函数”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于AC，举例说明，对于BD，利用函数单调性说明. 【详解】对于A：，与，的值域都为，故它们为“同族函数”，故A不正确；对于C：，与，的值域都为，故它们为“同族函数”，故C不正确；对于BD：与为上的单调递增函数，如果值域相同，则定义域一定相同，故不能用来构造为“同族函数”，故BD正确.故选：BD 11．以数学家约翰⋅卡尔⋅弗里德里希⋅高斯的名字命名的“高斯函数”为，在数学中有着广泛应用.其中表示不超过的最大整数，例如，，则（    ） A．， B．函数的值域为 C．不等式的解集为 D．方程的解集为 【答案】ACD 【分析】对于A选项，根据的定义运算分析证明；对于B选项，表示的小数部分，再求解即可；对于C选项，根据题意，结合一元二次不等式运算求解即可；对于D选项，根据题意，解得或，进而求解即可. 【详解】对于A选项，设的整数部分为，小数部分为，则，，得，故A正确；对于B选项，表示的小数部分，所以值域为，故B错误；对于C选项，令，所以，解得，即，所以，故C正确；对于D选项，由知，为整数且，解得，可知，即，因为，即，由，解得，可得，由，解得或（舍），，即或，所以当时，，解得，当时，，解得，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．函数的值域为 【答案】 【分析】利用分离常数法求解即可. 【详解】因为，则，所以函数的值域为． 13．已知是二次函数，且，，，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】设，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式. 【详解】设，根据题意得，解得， 所以 ． 14．若函数的定义域为，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】将函数定义域问题转化为不等式问题，对分情况讨论，结合一元二次不等式恒成立条件即可求解. 【详解】由题意可知，对任意恒成立.当时，不等式可化为，恒成立，符合条件；当时，需满足二次函数的图象开口向上，且与轴无交点， 即，也即，解得.综上，实数的取值范围为. 四、解答题 15．求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 【答案】(1) (2) 或 (3) 【分析】（1）由配凑法求解即可； （2）由待定系数法求解即可； （3）通过构造方程组求解即可. 【详解】（1）因为，因为，所以； （2）设，则， 所以，解得或，所以或； （3）因为定义在上的函数满足①，所以②， 由①②，得，所以. 16．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）公里以内（含公里），票价元； （2）公里以上，每增加公里，票价增加元（不足公里的按公里计算）. 如果某条线路的总里程为公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式，并画出函数的图象. 【答案】，作图见解析. 【分析】分、、、四种情况讨论，可得出函数的解析式，并由此作出该函数的图象. 【详解】当时，；当时，； 当时，；当时，； 综上：函数解析式为.按照分段函数画出图象，如下图： 17．已知全集，函数的定义域为集合A，集合． (1)当时，求； (2)当时，求p的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先求出集合，再由交集和补集的定义求解即可. （2）当时，由子集的定义可得，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）函数的定义域为：， 即，可得：，故， 由可得：，所以， 当时，，或，所以 （2）当时，可得：，解得：.所以p的取值范围为：． 18．二次函数（）满足，且． (1)求的解析式； (2)若在区间上，函数的图像总是在的图像上方，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）将解析式代入，解方程. （2）不等式恒成立问题，将m转化到不等式的一边，即m小于在上的最小值. 【详解】（1）由，，则， 又，则 整理可得，即，解得，所以 （2）依题意得：当时，不等式恒成立， 即在上恒成立，设，对称轴，开口朝上， 所以在上单调递减，所以，所以． 19．已知函数 (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）． 【答案】(1)， (2)或4 (3)作图见解析，值域为 【分析】（1）根据自变量的范围代入对应的解析式即可求解； （2）分类讨论的范围即可； （3）画出分段函数的图象，数形结合即可求出值域． 【详解】（1）因为函数， 所以，，所以； （2）①当时，，解得，不满足，故舍去； ②当时，，解得，又因为，所以， ③当时，，解得， 综上所述，的值为或4； （3）函数的图象，如下图所示： 由图象可知，函数的值域为． 学科网（北京）股份有限公司 $