23.4 三角形的中位线与重心（题型专练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

23.4三角形的中位线与重心 题型一 重心的概念 1．（24-25八年级下·上海金山）一个三角形中的三条中线（   ） A．都在这个三角形内 B．都在这个三角形外 C．可能在这个三角形内，也可能在这个三角形外 D．可能和这个三角形的一边重合 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线，熟记概念是解题的关键． 根据三角形的中线的概念即可解答． 【详解】解：三角形的三条中线都在三角形的内部， 故答案为：A． 2．（八年级上·上海·月考）三角形的重心正确的叙述是（　　） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条中垂线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 【答案】C 【分析】根据三角形重心定义判断即可得解． 【详解】三角形的重心是三角形三条中线的交点， 故选：C． 【点睛】此题考查了三角形重心，熟记三角形重心的定义是解题的关键． 3．（七年级下·上海静安·期中）下列判断错误的是（    ） A．三角形的三条高的交点在三角形内 B．三角形的三条中线交于三角形内一点 C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点 D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点 【答案】A 【分析】根据三角形的高线、角平分线、中线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解．A．三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高的交点不一定在三角形内，说法错误，符合题意； B．三角形的三条中线交于三角形内一点，说法正确，不符合题意； C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点，说法正确，不符合题意； D．三角形的三条角平分线交于一点，是三角形的内心，说法正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了三角形的角平分线、中线和高，解题的关键是掌握各性质定义． 4．（八年级上·上海·期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的格点上，则的重心是点 ； 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形重心的判断，掌握三角形的重心的定义是解题的关键．根据三角形重心是三角形三条中线的交点，结合网格可得出结论． 【详解】解：如下图， 则有， 由网格可知， ∴，分别是，的中点， ∴、均为的中线， ∴点D是的重心． 故答案为：D． 5．（七年级下·上海·期中）如图，，，分别为，，的中点，点为的重心．已知的面积为1，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形重心的定义，三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线是解题关键．根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：∵的面积为1，D，E，F分别为的中点， ∴，，， ∴， ∴， 同理 ∴的面积为， 故答案为：． 题型二 与三角形中位线有关的求解问题 1．（24-25七年级下·上海·期中）在中，已知，是边上的中点．连结，将的周长分为和两部分，边的长度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握有关等腰三角形边的分类讨论及三边关系的确定是解决本题的关键．先根据题意画出示意图，然后再利用三角形的中线定义及三角形周长和三角形的三边关系求得三角形三边的长即可． 【详解】解：如图， 设， ∵是中线， ∴， ∵将的周长分为和两部分， 若，则， 即， 解得：， 此时，， ，能构成三角形，符合题意； 若 即， 解得：，， 此时，， ，能构成三角形，符合题意； 综上所述，或． 故答案为：或． 2．（24-25八年级下·上海长宁·期末）在等腰梯形中，E、F、G、H依次分别为各边中点，已知对角线长40，则四边形的周长为 ． 【答案】80 【分析】本题考查的是等腰梯形的性质，三角形中位线定理．连接，根据等腰梯形的性质得到，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：连接， ∵四边形为等腰梯形， ∴， ∵E、F、G、H分别为各边中点， ∴，，，， ∴四边形的周长， 故答案为：80． 3．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）如图，正方形和正方形的边长分别为和，点，分别在边，上，为的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理解三角形等知识点，牢记性质和定理内容，并结合图形灵活应用是解题关键． 连接，根据正方形的性质可得A、E、C三点共线，连接交于点M，由正方形的性质求和勾股定理可求得和，的长度，从而求得，因为的中点，可得和，再由正方形的性质可得和 ，在中，求解即可． 【详解】解：如下图，连接，连接与交于点M ∵四边形和四边形是正方形，且点、G分别在边上 ∴A、E、C三点共线，，，， ， 在中，，， 由勾股定理得： 在中，， 由勾股定理得： ∴ 又∵P是的中点，M是的中点 ∴ 又∵ 在中，由勾股定理得： 即：= 故答案为： 4．（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，在中，分别是边的中点，连接．如果，那么的长为 ．    【答案】6 【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，熟练掌握中位线定理是解题的关键； 由三角形中位线定理得，，得出，得出． 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 5．（24-25八年级下·上海崇明·期末）如果一个四边形的两条对角线的长都是，那么顺次联结这个四边形的各边中点所得的四边形的周长等于 ． 【答案】8 【分析】此题主要是三角形中位线定理的运用．根据三角形的中位线定理即可求得所得四边形的各边长度都是原四边形的对角线的一半，从而求解． 【详解】解：如图所示，分别是四边的中点，， ∴分别是的中位线， ∴， ∴顺次连接这个四边形各边的中点所得四边形的周长等于． 故答案为：8． 题型三 与三角形中位线有关的证明 1．（24-25八年级下·上海·期中）顺次联结一个四边形的四条边的中点得到一个菱形，那么原四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形和矩形的性质．根据三角形中位线定理以及菱形的性质，可得原四边形的对角线相等，即可求解． 【详解】解：如图，四边形的四边中点分别为，且四边形为菱形，连接四边形对角线， ∵中点分别为， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， 即原四边形的对角线相等， 故符合题意的是矩形． 故选：C 2．（上海松江·二模）顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．正方形 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定．如图，根据三角形的中位线得出，，进而得证平行四边形． 【详解】解：如图，四边形中，、、、分别是、、、的中点， ，， 同理，， ，， 四边形是平行四边形， 故选：C． 3．（八年级上·上海黄浦·期末）若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查中垂线的定义和三角形的中位线定理．如图，垂直平分，则，为的中点，再根据为的中点，得到为的中位线，得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】解：如图，垂直平分，交于，交于点， 则：，为的中点， 由题意，得：为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴为直角三角形； 故选C． 4．（上海青浦·二模）如果点D、E分别是△ABC的AB、AC边的中点，那么△ADE与△ABC的周长之比是 ． 【答案】1：2 【分析】根据中位线的定理即可求出答案． 【详解】解：∵点D、E分别是△ABC的AB、AC边的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴， ∴＝＝ 故答案为：1：2． 【点睛】本题考查中位线，解题的关键是熟练运用中位线的性质定理，本题属于基础题型． 5．（24-25八年级下·上海金山·期末）如果是的角平分线，、分别是，的中点，连接、，那么再加一个条件 （只要写一种情况），就可得到四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用中位线定理，角的平分线，菱形的判定，平行四边形的判定解答即可． 【详解】证明：添加条件为：． 如图：、分别是，的中点，， 则， 故四边形是平行四边形； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了中位线定理，角的平分线，菱形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 题型一 重心的有关性质 1．（八年级上·上海·月考）如图，内部有一点D，且、、的面积分别为10、8、6．若的重心为G，则下列叙述正确的是（    ） A．与的面积相同，且与平行 B．与的面积相同，且与不平行 C．与的面积相同，且与平行 D．与的面积相同，且与不平行 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线、重心，三角形面积，由题意可得，利用三角形重心性质可得，进而可得，即可判断结论A正确． 【详解】解：内部有一点D，且、、的面积分别为10、8、6， ， 的重心为G， ， ， 点D、G到的距离相等，且位于的同侧， ，故结论A正确；结论B错误； 又，， ∴，故选项C、D错误， 故选：A． 2．（八年级上·上海黄浦·期中）已知是的重心，如果，，那么底边的长是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的重心．也考查了等腰三角形的性质以及勾股定理．连接并延长交于点D，由等腰三角形的性质可得出，，由三角形重心的性质即可得出的长，再根据勾股定理求出的长，据此求解即可． 【详解】解：如图所示：连接并延长交于点D， ∵G是的重心，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 3．（23-24八年级上·上海·月考）如图，已知：G是的重心，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形重心的性质，三角形的中线的性质，根据G是的重心，得出是的中线，可得，根据重心的性质可得，即可得出． 【详解】解：∵G是的重心， ∴是的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（八年级上·上海·期中）如图，点G是的重心，连接并延长交于点D，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了重心的应用，与中线有关的面积，熟练掌握重心的性质是解题的关键．先根据点G是的重心，得，则，，故，即可作答． 【详解】解：∵点G是的重心， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（八年级下·上海·单元测试）如图，G为的重心．    (1)当时，求的面积； (2)当时，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）延长到，与相交于D，使，即可证明，则有，结合重心得性质得，，利用勾股定理逆定理即可判定是直角三角形，可求得，结合即可求得答案． （2）延长，，分别交，，于点D，E，F，由重心的性质可知，点D，E，F是中点，且，，，结合题意有，化简得，同理：，利用勾股定理得，结合可得，即可证． 【详解】（1）解：延长到，与相交于D，使，如图，    则，， ∴， ∴， ∵G为的重心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． （2）延长，，分别交，，于点D，E，F，如图，    由重心的性质可知，点D，E，F分别是，，的中点，且，，， ∵， ∴，则，化简得， 同理：， ∵， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， ∴，化简得， ∴． 【点睛】本题主要考查重心的性质，涉及全等三角形的判定和性质、勾股定理逆定理和勾股定理，解题的关键是熟悉重心的性质和勾股定理的逆定理． 题型二 三角形中位线的实际应用 1．（24-25八年级下·上海·期中）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（    ） A．10米 B．12米 C．16米 D．18米 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形中位线定理，掌握由三角形中位线等于底边的一半成为解题的关键． 由三角形中位线定理得到，再结合米即可解答． 【详解】解：∵和的中点D、E， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴米， ∴A、B两点间的距离为12米． 故选B． 2．（八年级下·上海·一模）如图，为了测量池塘边两地之间的距离，在的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得，，若测得，则间的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：，， 分别是的中点， 是的中位线， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 3．（八年级下·上海静安·期末）如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F分别是AB、BC边的中点,连接EF,若EF=,BD=4,则菱形ABCD的边长为 . 【答案】 【分析】先根据三角形中位线定理求AC的长，再由菱形的性质求出OA，OB的长，根据勾股定理求出AB的长即可． 【详解】∵E、F分别是AB、BC边的中点， ∴EF是△ABC的中位线 ∵EF=， ∴AC=2. ∵四边形ABCD是菱形，BD=4， ∴AC⊥BD,OA=AC=,OB=BD=2， ∴. 故答案为. 【点睛】此题考查菱形的性质、三角形中位线定理，解题关键在于熟练运用利用菱形的性质. 4．（八年级下·上海长宁·期末）如图，梯形中，，点分别是的中点. 已知两底之差是6，两腰之和是12，则的周长是 . 【答案】9. 【分析】延长EF交BC于点H，可知EF，FH，FG、EG分别为△BDC、△ABC、△BDC和△ACD的中位线，由三角形中位线定理结合条件可求得EF+FG+EG，可求得答案． 【详解】连接AE，并延长交CD于K， ∵AB∥CD， ∴∠BAE=∠DKE，∠ABD=∠EDK， ∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点． ∴BE=DE， 在△AEB和△KED中， ， ∴△AEB≌△KED（AAS）， ∴DK=AB，AE=EK，EF为△ACK的中位线， ∴EF=CK=（DC-DK）=（DC-AB）， ∵EG为△BCD的中位线，∴EG=BC， 又FG为△ACD的中位线，∴FG=AD， ∴EG+GF=（AD+BC）， ∵两腰和是12，即AD+BC=12，两底差是6，即DC-AB=6， ∴EG+GF=6，FE=3， ∴△EFG的周长是6+3=9． 故答案为9． 【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 5．（22-23八年级下·上海·月考）已知：如图，在四边形中，与不平行，E，F，G，H分别是，，，的中点．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，四边形是怎样的四边形？证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)菱形，证明见解析 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定 （1）利用三角形中位线定理，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可． （2）根据，证明，结合判定定理证明即可． 【详解】（1）证明：∵E，G分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理，， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）菱形．理由： ∵F，G分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． 1．（24-25八年级下·上海·月考）如图1，在梯形中，，，，，，点F是线段的中点，点G是线段上的一个动点（不与点F重合），连接并延长，交线段的延长线于点P． (1)如果，求PD的长． (2)如图2，点E是的中点． ①如果设，，求y与x的函数关系式并写出定义域． ②连接和，如果，求的长． 【答案】(1)2 (2)①；②的长为或4． 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形中位线、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由已知条件可得，在中，利用勾股定理构建方程求解即可； （2）①如图2，连接并延长交于点H．只要证明线段是的中位线即可解答；②分四边形是平行四边形时和四边形是等腰梯形时，分别构建方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为2． （2）解：①如图2，连接并延长交于点H． ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵F是线段的中点， ∴， ∴． ②∵，． a．当四边形是平行四边形时， ∴， ∴，解得：， ∴的长为； b．当四边形是等腰梯形时， ∵， ∴， ∵E、F是的中点， ∴， 如图：过点D作于M． ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中， ， 在中，， ∴，解得和舍弃)， 经检验是原方程的解且符合题意， ∴的长为4． 综上所述， 的长为或4． 2．（海虹口·三模）已知：如图1，四边形中，． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)如图2，点E、F 分别在、上，连接交于点K，，，，求：的值 (3)如图 3，在（2）的条件下，点P是下方一点，连接，，，G为中点，连接KG，若， ，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)8 【分析】（1）连接，证明即可得证； （2）过作，证明，在中，利用勾股定理可得，进而可得的值； （3）延长、交于，证出，再过作，取的中点，连接、、、，从而可证出，再证，，即可求出． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 在和中 ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）证明：过作，交于， ∵四边形 是平行四边形，， ∴，，，则， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中 ，， ， ， ∴． （3）解：延长、交于， ， ∵， ∴, ，， 由（2）得：， ， 即：， 是等边三角形， 设， ，， ， 在中 ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，过作，取的中点，连接、、、， ， ，， 是的中点， ，， ， ，，， ， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了考查了平行四边的判定与性质，等边三角形的判定及性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，中位线等，掌握相关判定定理及性质，根据题意作出辅助线，构建直角三角形是解题的关键． 3．（八年级上·上海·月考）已知点是的平分线上一点，连接，． （1）如图1，若，证明： （2）如图2，若，，，证明： （3）如图，若，点是的中点，当的最小时值为______． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）要求证，根据全等三角形的判定证明即可； （2）根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质可得出，可得：，要证，继续做辅助线求证三角形全等，即可求解； （3）根据可知是等边三角形，由题意的最小时，即BE为直线时，根据正三角形重心的性质求解． 【详解】（1）证明：∵平分 ∴ ∴在和中 ∴（SAS） ∴ （2）令， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴ 即 ∴， 在 作于 连 ∵有等腰 ∴平分 ∴， ∵∴ ∴在中， 中， ∴ ∴平分 作延长线于，∴ ∴在中， ∵ ∴ 在中 ∴在和中 ∴ ∴ 成立得证． （3）∵， ∴是等边三角形， ∵AP是的平分线， ∴延长AP交BC于点D，则AD是BC垂直平分线， ∴， ∴最小即为最小， ∴BE为一条线段时最小， ∵BE、AD是的中线交于点P， ∴P为的重心， ∴，即． ． 【点睛】本题主要考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定，三角形重心的性质以及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质，三角形重心以及等边三角形的性质是解决本题的关键． 4．（25-26八年级上·上海·周测）取一块质地均匀的三角形纸板ABC，如果用一条细线从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态．探究图①中的值是多少．吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下两个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 任务1：若的面积为，求的面积； 任务2：在任务1的条件下，求的值． 【拓展应用】如图②，在中，点O是的重心．连接并延长，分别交于点．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】任务1：；任务2：2；【拓展应用】： 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算，掌握三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算是解题的关键． 任务1：根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； 任务2：结合任务1可知，再根据与同高即可求解； 【拓展应用】点是△的重心，类比任务1，任务2可知，，求得，，，，再根据，，，即可求解． 【详解】解：任务1：点为△的重心， ，，分别是，，边上的中点， ，， ， ； 任务2：由题意可知，， ， ， 与同高， ， 即； 【拓展应用】点是△的重心，类比任务1，任务2可知： ， ，， ，，，， ， ， ， 则， ． 5．（八年级下·上海奉贤·期末）如图，矩形中的边，，点是边上一点，线段的垂直平分线交边、于点、，连接并延长交的延长线于点．    (1)证明：； (2)当时，求的面积； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出，，根据三线合一可得，进而根据矩形的性质得出，即可得出，等量代换得出，根据等边对等角即可得证； （2）根据已知条件，得出，根据含度角的直角三角形的性质，在中，设，则，勾股定理求得，根据等边三角形的性质，可得，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）在中，，勾股定理求得，延长，使得，则是是中位线，，，根据全等三角形的性质与判定，以及中位线的性质求得，进而求得，，过点作，则四边形是矩形，在中，勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵， ∴， 又 ∴， ∵ ∴， ∴， 由（1）可得 则是等边三角形， 在中，设，则， ∵， ∴， ∴， 解得，则，， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴的面积为 （3）∵，， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：，则， 如图所示，延长，使得，则是是中位线，，， ∴，    在中，，， ∴ ∴ ∴，， 则， ∴， 如图所示，过点作，则四边形是矩形，    ∴，， 在中，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.4三角形的中位线与重心 题型一 重心的概念 1．（24-25八年级下·上海金山）一个三角形中的三条中线（   ） A．都在这个三角形内 B．都在这个三角形外 C．可能在这个三角形内，也可能在这个三角形外 D．可能和这个三角形的一边重合 2．（八年级上·上海·月考）三角形的重心正确的叙述是（　　） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条中垂线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 3．（七年级下·上海静安·期中）下列判断错误的是（    ） A．三角形的三条高的交点在三角形内 B．三角形的三条中线交于三角形内一点 C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点 D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点 4．（八年级上·上海·期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的格点上，则的重心是点 ； 5．（七年级下·上海·期中）如图，，，分别为，，的中点，点为的重心．已知的面积为1，则的面积为 ． 题型二 与三角形中位线有关的求解问题 1．（24-25七年级下·上海·期中）在中，已知，是边上的中点．连结，将的周长分为和两部分，边的长度为 ． 2．（24-25八年级下·上海长宁·期末）在等腰梯形中，E、F、G、H依次分别为各边中点，已知对角线长40，则四边形的周长为 ． 3．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）如图，正方形和正方形的边长分别为和，点，分别在边，上，为的中点，连接，则的长为 ． 4．（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，在中，分别是边的中点，连接．如果，那么的长为 ．    5．（24-25八年级下·上海崇明·期末）如果一个四边形的两条对角线的长都是，那么顺次联结这个四边形的各边中点所得的四边形的周长等于 ． 题型三 与三角形中位线有关的证明 1．（24-25八年级下·上海·期中）顺次联结一个四边形的四条边的中点得到一个菱形，那么原四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 2．（上海松江·二模）顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．正方形 3．（八年级上·上海黄浦·期末）若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 4．（上海青浦·二模）如果点D、E分别是△ABC的AB、AC边的中点，那么△ADE与△ABC的周长之比是 ． 5．（24-25八年级下·上海金山·期末）如果是的角平分线，、分别是，的中点，连接、，那么再加一个条件 （只要写一种情况），就可得到四边形是菱形． 题型一 重心的有关性质 1．（八年级上·上海·月考）如图，内部有一点D，且、、的面积分别为10、8、6．若的重心为G，则下列叙述正确的是（    ） A．与的面积相同，且与平行 B．与的面积相同，且与不平行 C．与的面积相同，且与平行 D．与的面积相同，且与不平行 2．（八年级上·上海黄浦·期中）已知是的重心，如果，，那么底边的长是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（23-24八年级上·上海·月考）如图，已知：G是的重心，，那么 ． 4．（八年级上·上海·期中）如图，点G是的重心，连接并延长交于点D，连接，则 ． 5．（八年级下·上海·单元测试）如图，G为的重心．    (1)当时，求的面积； (2)当时，求证：． 题型二 三角形中位线的实际应用 1．（24-25八年级下·上海·期中）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（    ） A．10米 B．12米 C．16米 D．18米 2．（八年级下·上海·一模）如图，为了测量池塘边两地之间的距离，在的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得，，若测得，则间的距离是（    ）    A． B． C． D． 3．（八年级下·上海静安·期末）如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F分别是AB、BC边的中点,连接EF,若EF=,BD=4,则菱形ABCD的边长为 . 4．（八年级下·上海长宁·期末）如图，梯形中，，点分别是的中点. 已知两底之差是6，两腰之和是12，则的周长是 . 5．（22-23八年级下·上海·月考）已知：如图，在四边形中，与不平行，E，F，G，H分别是，，，的中点．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，四边形是怎样的四边形？证明你的结论． 1．（24-25八年级下·上海·月考）如图1，在梯形中，，，，，，点F是线段的中点，点G是线段上的一个动点（不与点F重合），连接并延长，交线段的延长线于点P． (1)如果，求PD的长． (2)如图2，点E是的中点． ①如果设，，求y与x的函数关系式并写出定义域． ②连接和，如果，求的长． 2．（海虹口·三模）已知：如图1，四边形中，． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)如图2，点E、F 分别在、上，连接交于点K，，，，求：的值 (3)如图 3，在（2）的条件下，点P是下方一点，连接，，，G为中点，连接KG，若， ，求的值． 3．（八年级上·上海·月考）已知点是的平分线上一点，连接，． （1）如图1，若，证明： （2）如图2，若，，，证明： （3）如图，若，点是的中点，当的最小时值为______． 4．（25-26八年级上·上海·周测）取一块质地均匀的三角形纸板ABC，如果用一条细线从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态．探究图①中的值是多少．吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下两个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 任务1：若的面积为，求的面积； 任务2：在任务1的条件下，求的值． 【拓展应用】如图②，在中，点O是的重心．连接并延长，分别交于点．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 5．（八年级下·上海奉贤·期末）如图，矩形中的边，，点是边上一点，线段的垂直平分线交边、于点、，连接并延长交的延长线于点．    (1)证明：； (2)当时，求的面积； (3)当时，求的长． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $