10.3实际问题与二元一次方程组同步练习2025-2026学年人教版数学七年级下册

10.3实际问题与二元一次方程组 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．某学校为了打造“书香校园”，丰富师生的业余文化生活，计划采购A，B两种图书，已知采购5本A种图书和2本B种图书共需元，采购2本A种图书和5本B种图书共需元，则A种图书的单价为元，B种图书的为元，则依据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 2．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．综合实践课上，同学们在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数、式子和图案（其中每个式子或图案都表示一个数），若处于每一横行、每一竖列、两条斜对角线上的3个数之和都相等，则x+y的值为（    ） A．6 B．10 C．12 D．−6 4．作业本中有这样一道题：“小明去郊游上午8时30分从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走，登山每小时走，下山每小时走，求小明家到山顶的路程．”李老师查看解答时发现答案中的方程组中有污损：则答案中另一个方程应为（   ） A． B． C． D． 5．某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元；按定价的8.5折销售该商品8件与将定价降低35元销售该商品12件所获利润相等．该商品的进价、定价分别是（    ） A．95元，180元 B．155元，200元 C．100元，120元 D．150元，125元 6．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（   ） A．54 B．50 C．43 D．34 7．春节小红去花店购买鲜花，若买支玫瑰和支百合，则她所带的钱还剩下元；若买支玫瑰和支百合，则她所带的钱还缺元，若只买支玫瑰，则她所带的钱还剩下（   ） A．30元 B．25元 C．31元 D．28元 8．甲、乙两人购买了蛇年纪念币共100枚，若甲给了乙10枚纪念币，则乙的纪念币的数量是甲的3倍，问甲、乙原来各有多少枚纪念币？设甲原有x枚纪念币，乙原有y枚纪念币，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 9．现用190张铁皮做盒子，每张铁皮可做8个盒身，或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个盒子．设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底正好配套，则可列方程组为(   ) A． B． C． D． 10．小明去文具店购买了笔和本子共5件，已知两种文具的单价均为正整数且本子的单价比笔的单价贵．在付账时，小明问是不是27元，但收银员却说一共48元，小明仔细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了．小明实际的购买情况是（    ） A．1支笔，4本本子 B．2支笔，3本本子 C．3支笔，2本本子 D．4支笔，1本本子 二、填空题 11．在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则 ． 12．对于一个三位数，若其十位上的数字是5、各个数位上的数字互不相等且都不为0，则称这样的三位数为“博远数”；如357就是一个“博远数”．将“博远数”m任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数，将这6个两位数的和记为． （1）的值是 ； （2）规定：与11的商记为，即．若“博远数”n满足（且x，y均为整数），且，则n的最大值为 13．在大长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中空白部分的面积之和为 ． 14．有大、小两种型号的货车，辆大货车与辆小货车一次可以运货，辆大货车与辆小货车一次可以运货，则辆大货车与辆小货车一次可以运货 t． 15．如图是由7个形状、大小都相同的小长方形和阴影部分无缝隙拼合而成的一个大长方形，则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题 16．清明节期间，小美跟随父母回家扫墓祭祖．出发前，他们在花店欲购买一些菊花来代替传统的烧纸等习俗进行祭扫．花店现有甲、乙两个品种的菊花出售，已知购买枝甲种菊花和购买枝乙种菊花的费用相同，且每枝甲种菊花的售价比每枝乙种菊花的售价多元．求每枝甲种菊花和每枝乙种菊花的售价． 17．古人曰：“读万卷书，行万里路”，经历是最好的学习，研学是最美的相遇．某中学组织七年级420名师生开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是林老师和小辰同学有关租车问题的对话： 林老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元．” 小辰：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计5100元．” 根据以上师生两人对话，解答下列问题： (1)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问共有几种租车方案？ 18．某加工厂接到一批制作课桌椅的订单．已知该工厂有名工人，每人每天平均可以加工张课桌或把椅子，一套课桌有张课桌和把椅子，为了使每天加工的课桌和椅子刚好配套，求加工课桌和椅子的工人数量． 19．一艘船在某河道上航行，已知顺水航行需要，逆水航行需要．那么，该船在静水中的速度与该河的水流速度分别是多少？ 20．7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话： 妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁． 哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄． 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 21．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄． 22．为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为，缴纳水费51.4元． （1）问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？ （2）某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？ 《10.3实际问题与二元一次方程组》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B D B A C A A A 1．C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意建立二元一次方程组，分别表示对应两次购书的总费用是解题的关键．根据题意，采购5本A种图书和2本B种图书共需元和采购2本A种图书和5本B种图书共需元，即可列出方程组． 【详解】解：根据题意，采购5本A种图书和2本B种图书共需元，可列方程：； 采购2本A种图书和5本B种图书共需元，可列方程：； 正确的方程组为：． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 所列方程组为：． 故选：C． 3．B 【分析】根据题意列出方程求出，的值，代入代数式求值即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的加法，体现了方程思想，根据题意列出方程是解题的关键． 4．D 【分析】本题考查了列二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．设小明上山时间为小时，下山时间为小时，根据路程相等得，即；总时间方面，去程平路时间加上上山时间共3.5小时，返程平路时间加下山时间共2小时，两者相减可得另一方程． 【详解】解：上山路程为，下山路程为，平路的路程为，因原路返回，路程相等， 故，即； 去程总时间为至，共3.5小时， 即平路时间加上上山时间，得， 返程总时间为至，共2小时， 即平路时间加上下山时间，得， ∴减去，得， 即， 故选：D． 5．B 【分析】设每件商品标价x元，进价y元，则根据题意表示出销售8件和销售12件的利润，进而得出等式，求出方程组的解即可． 【详解】解：设每件商品标价x元，进价y元则根据题意得： ， 解得：， 答：该商品每件进价155元，标价每件200元． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找出正确等量关系是解题关键． 6．A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题． 设小长方形的长、宽分别为，根据图示可以列出方程组 ，然后解这个方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为， 依题意得， 解得， ∴小长方形的长、宽分别为， ． 7．C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设每支玫瑰元，每支百合元，根据总价单价数量结合小慧带的钱数不变，可得出关于，的二元一次方程，整理后可得出，再将其代入中即可求出结论． 【详解】设每支玫瑰元，每支百合元， 依题意，得：， ， ． 故选：C． 8．A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找出等量关系，正确列出方程组是解题的关键． 设甲原有x枚纪念币，乙原有y枚纪念币，根据甲、乙两人购买了蛇年纪念币共100枚，得，根据若甲给了乙10枚纪念币，则乙的纪念币的数量是甲的3倍，得，组成方程组即可． 【详解】解：设甲原有x枚纪念币，乙原有y枚纪念币，根据题意得 ， 故选：A． 9．A 【分析】根据铁皮数的和是190，制作盒身数为8x，盒底数为22y，根据盒身：盒底=1:2，得到8x：22y=1：2即2×8x=22y，列出方程组即可． 【详解】∵ 铁皮数的和是190，制作盒身数为8x，盒底数为22y，根据盒身：盒底=1:2，得到8x：22y=1：2即2×8x=22y， ∴列方程组，得， 故选A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，特别是一个盒身与两个盒底配成一个盒子的意义是解题的关键． 10．A 【分析】设购买了笔x件，购买了本子(5-x)件，本子的单价为a元，笔的单价为b元，分类讨论解方程即可． 【详解】解：设购买了笔x件，购买了本子(5-x)件，本子的单价为a元，笔的单价为b元，列方程组得 ， 当x=1时，原方程组为，解得，符合题意； 当x=2时，原方程组为，解得，不符合题意，舍去； 当x=3时，原方程组为，解得，不符合题意，舍去； 当x=4时，原方程组为，解得，不符合题意，舍去； 故选：A． 【点睛】本题考查了含参数的二元一次方程组的应用，解题关键是理解题意，找出等量关系，列出方程组，分类讨论解方程组． 11．13 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“幻方”的定义，可得出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ． 故答案为：13． 12． 352 451 【分析】本题主要考查了新定义，二元一次方程的应用，关键是正确理解新定义和求解不定方程． （1）根据运算的定义进行计算便可； （2）根据（且x，y均为整数），求得，再根据，求得，再根据，列出x、y的二元一次方程，进而求得符合题意的x、y的整数解便可得出答案． 【详解】解：（1）依题意，， ∴的值是352； 故答案为：352； （2）∵（且x，y均为整数）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵，且x，y均为整数，， ∴或或或， ∵n要取最大值， ∴百位的数最大，即最大， 即， ∴则n的最大值为， 故答案为： 451． 13． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据图中各边之间的关系，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， 即小长方形的长为，宽为， 空白部分的面积和为． 故答案为：171． 14． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，首先根据辆大货车与辆小货车一次可以运货，辆大货车与辆小货车一次可以运货，列出二元一次方程组，解方程组求出一辆大货车和一辆小货车一次分别可以运货多少吨，然后再求出辆大货车与辆小货车一次可以运货多少吨． 【详解】解：设一辆大货车一次可以运货，一辆小货车一次可以运货， 根据题意可得：， 解得：， 辆大货车与辆小货车一次可以运货． 故答案为： ． 15． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为x，宽为y，根据题意可知长加上宽的两倍等于15，长为宽的三倍，据此列出方程组求解即可． 【详解】解；设小长方形的长为x，宽为y， 由题意得，， 解得， ∴阴影部分的正方形边长为， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为． 16．每枝甲种菊花的售价为10元，每枝乙种菊花的售价为7元 【分析】本题主要考查二元一次方程组，理解数量关系，正确列出方程组求解是关键． 设每枝甲种菊花的售价为元，每枝乙种菊花的售价为元，由此列二元一次方程组即可． 【详解】解：设每枝甲种菊花的售价为元，每枝乙种菊花的售价为元， 根据题意得， 解得， 答：每枝甲种菊花的售价为10元，每枝乙种菊花的售价为7元． 17．(1)客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元 (2)共有3种租车方案 【分析】本题主要考查列方程或方程组解决实际问题，以及最优方案的问题，解题的关键是列方程需要找到等量关系式． （1）设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，根据“60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元，租用4辆60座和2辆45座的客车，一天的租金共计5100元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用60座客车m辆，45座客车n辆，根据“租用的客车要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满”，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为自然数，可得出各租车方案，再求出各租车方案所需租车费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元； （2）解：设租用60座客车m辆，45座客车n辆， 根据题意得：， ． 又m，n均为自然数， 或或， 共有3种租车方案，方案1：租用60座客车7辆；方案2：租用60座客车4辆，45座客车4辆；方案3：租用60座客车1辆，45座客车8辆． 18．人加工课桌，人加工椅子 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意正确找出等量关系．设人加工课桌，人加工椅子，根据题意列出二元一次方程组即可求解． 【详解】解：设人加工课桌，人加工椅子， 由题意得， 解得：， 答：人加工课桌，人加工椅子． 19．船在静水中的速度为，水流速度为 【分析】本题考查了二元一次方程组和流水行船问题中的基本公式运用，解题的关键是根据顺水速度和逆水速度与路程、时间的关系建立方程组，易错点是混淆顺水速度、静水速度和水流速度之间的关系；设船在静水中的速度为，水流速度为​。根据公式：顺水速度​，逆水速度，结合题目中给出的顺水航行和逆水航行的路程与时间列出方程组，求解即可． 【详解】解：设船在静水中的速度为，水流速度为． 由题意可得： 顺水航行： 逆水航行： 化简方程组： 解得 答：船在静水中的速度为，水流速度为． 20．现在哥哥10岁，妹妹6岁． 【分析】设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据两孩子的对话，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得                         解得                                       答：现在哥哥10岁，妹妹6岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是利用题目信息，将实际问题转化为数学方程解决． 21．妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁． 【分析】设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据“今年妹妹和哥哥的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍和哥哥的年龄相加等于爸爸的年龄”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁， 依题意，得： ， 解得： ． 答：妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 22．（1）一级水费的单价为3.2元/，二级水费的单价为6.5元/；（2） 【分析】（1）设该市一级水费的单价为元/，二级水费的单价为元/，根据题意，列出二元一次方程组，即可求解； （2）先判断水量超过，设用水量为，列出方程，即可求解. 【详解】（1）设该市一级水费的单价为元/，二级水费的单价为元/， 依题意得，解得， 答：该市一级水费的单价为3.2元/，二级水费的单价为6.5元/． （2）当水费为64.4元，则用水量超过， 设用水量为，得，， 解得：． 答：当缴纳水费为64.4元时，用水量为． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组以及一元一次方程的实际应用，找准等量关系，列出方程（组），是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $