16.2 整式的乘法 寒假巩固2025-2026学年人教版数学八年级上册

人教版（2024）八年级上册 16.2 整式的乘法 寒假巩固 【题型1】单项式乘单项式 【典型例题】计算的结果是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】下列运算正确的是（　　） A.2a2b•3ab2＝5a3b2 B.（﹣2m3n）2＝4m5n2 C.3ab2c·ab＝3bc D.2m3n·m3n＝2m6n2 【举一反三2】计算：      ． 【举一反三3】(教材改编)计算： （1）；（2）；（3）；（4）. 【题型2】用单项式乘单项式求字母或代数式的值 若(mx4)·(4xk)＝－12x12，则适合条件的m，k的值分别是(　　) A.m＝－3，k＝8    B.m＝3，k＝8 C.m＝8，k＝3    D.m＝－3，k＝3 【举一反三1】已知M•4x2y3＝8x4y6，则整式M＝（　　） A.4x2y2 B.2x2y2 C.4x2y3 D.2x2y3 【举一反三2】如果单项式﹣22x2my3与23x4yn+1的差是一个单项式，则这两个单项式的积是 　    　． 【举一反三3】若(mx4)•(4xk)=12x12，则m=            ，k=            ． 【举一反三4】(1)先化简，再求值：2x2y·(-2xy2)3+(2xy)3·(-xy2)2，其中x=4，y=； (2)已知·=x4y9，求m，n的值. 【题型3】单项式乘单项式的实际应用 【典型例题】如图，将一张长方形的铁皮剪去一个小长方形，余下的阴影部分面积是（    ）    A. B. C. D. 【举一反三1】如图，王老师把家里的密码设置成了数学问题．吴同学来王老师家做客，看到图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地密码连接到了王老师家里的网络，那么她输入的密码是（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】若一个长方体的长为5.4×102 mm，宽为100 mm，高为2×102 mm，则此长方体的体积为(　　) A.1.08×105 mm3 B.1.08×106 mm3 C.1.08×107 mm3 D.1.08×108 mm3 【举一反三3】长方形的宽是a×103 cm，长是宽的2倍，则长方形的面积为　　　　cm2. 【举一反三4】福厦高铁车速为千米/时，高铁行驶 3b小时的路程为             千米． 【举一反三5】有一块长为x2ym(x＞0，y＞0)，宽为xy3m的长方形空地，现在要在这块空地中规划一块长为x2y m，宽为xy3m的长方形空地用于绿化，求绿化后剩余部分的面积． 【题型4】单项式乘多项式 计算a(a＋b－c)的结果是(　　) A.a2＋ab＋ac    B.a2＋ab－ac C.a＋ab＋ac    D.a＋b－ac 【举一反三1】课后小明拿出数学笔记本复习，发现一道题被墨水污染了：，则“”处应填写的式子是(    ) A. B. C. D. 计算的结果是     ． 计算：(1)(－3x2)2·(－x2＋2x－1)； (2)(－2ab)2·. 【题型5】用单项式乘多项式求字母或代数式的值 【典型例题】已知：(x4-n+ym+3)•xn=x4+x2y7，则m+n的值是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 【举一反三1】定义运算：．下面给出了关于这种运算的几种结论： ①； ②； ③； ④若，则或． 其中结论正确的序号是（   ） A.①④ B.①③ C.②③④ D.①②④ 【举一反三2】要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A. B.0 C.2 D.3 【举一反三3】若对于m、n定义一种新运算：，例：，则      ． 【举一反三4】已知x（x﹣m）+n（x+m）＝x2+5x﹣6对任意数都成立，求m（n﹣1）+n（m+1）的值． 【题型6】单项式乘多项式的化简与求值 【典型例题】当a＝﹣2时，代数式3a(2a2﹣4a+3)﹣2a2(3a+4)的值是(　　) A.﹣98   B.﹣62   C.﹣2   D.98 【举一反三1】当时，代数式的值是（　　） A. B. C. D.98 【举一反三2】若，则的值为（ ） A.16 B.12 C.8 D.0 【举一反三3】已知时，则代数式的值为       ． 如果a2－2a－1＝0，那么代数式2a(a－2)＋3的值为　　　　. 【举一反三5】先化简，再求值：，其中． 【题型7】单项式乘多项式的实际应用 【典型例题】若一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x﹣4，则长方体的体积为（　　） A.3x3﹣4x2 B.6x2﹣8x C.6x3﹣8x2 D.6x3﹣8x 【举一反三1】李老师做了个长方形教具，其中一边长为2a+b，另一边长为a，则该长方形的面积为（　　） A.3a+b B.2a2+b C.2a+ab D.2a2+ab 【举一反三2】一长方体的长、宽、高分别是3x-4，2x，x，它的体积等于　　　　.(写最简结果) 【举一反三3】如图所示，四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式：　             　． 【举一反三4】一家住房的平面结构如图所示，这家房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上瓷砖，至少需要多少平方米的瓷砖？ 【举一反三5】如图，请计算阴影部分的面积． 【题型8】多项式乘多项式 【典型例题】计算（x﹣y+3）（x+y﹣3）时，下列各变形中正确的是（　　） A.[（x﹣y）+3][（x+y）﹣3] B.[（x+3）﹣y][（x﹣3）+y] C.[x﹣（y+3）][x+（y﹣3）] D.[x﹣（y﹣3）][x+（y﹣3）] 【举一反三1】计算（2x+1）（x﹣5）的结果是（　　） A.2x2﹣9x﹣5 B.2x2﹣9x+5 C.2x2﹣11x﹣5 D.2x2﹣11x+5 【举一反三2】计算：(2x+1)(3x-1)=            ． 【举一反三3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 计算： (1)(2x＋1)(x＋3)； (2)(m＋2n)(3n－m)； (3)(a－1)2； (4)(2x2－1)(x－4). 【题型9】用多项式乘多项式求字母或代数式的值 【典型例题】已知，…，均为正数，且满足，则之间的关系是（    ） A. B. C. D.不确定 【举一反三1】若(x﹣15)(x+20)＝x2+mx+n，则m，n的值分别为(　　) A.﹣5，﹣300   B.35，﹣300 C.35，300    D.5，﹣300 【举一反三2】如(x+m)与(x-4)的乘积中一次项是5x，则常数项为(　　) A.9 B.-9 C.36 D.-36 【举一反三3】设，则      ． 【举一反三4】若，则     ． 【举一反三5】小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【题型10】形如(x+p)(x+q)型多项式的乘法 【典型例题】若，则（　　） A. B.1 C. D.12 【举一反三1】计算（a+3）（﹣a+1）的结果是（　　） A.﹣a2﹣2a+3 B.﹣a2+4a+3 C.﹣a2+4a﹣3 D.a2﹣2a﹣3 【举一反三2】两整式相乘的结果为a2﹣a﹣12 的是（　　） A.（a+3）（a﹣4） B.（a﹣3）（a+4） C.（a+6）（a﹣2） D.（a﹣6）（a+2） 【举一反三3】若，则        ． 【举一反三4】计算下列各式，然后回答问题： _______；_______； _______；_______． (1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为 ________； (2)运用上面的规律，直接写出下式的结果： ①_______； ②_______； (3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______． 【举一反三5】先观察下列各式，再解答后面问题： ； ； ； ． (1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？ (2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来； (3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果． ①_____________； ②_____________． 【题型11】多项式乘多项式的化简与求值 【典型例题】已知，则（    ） A.3 B. C. D.2 【举一反三1】若，则的值为（    ） A. B.9 C. D.不确定 【举一反三2】已知，则的值为(        ) A. B. C. D. 【举一反三3】若，则代数式的值为      ． 【举一反三4】先化简，再求值：，其中． 【举一反三5】先化简，再求值：，其中． 【题型12】多项式乘多项式与图形面积问题 如图，在数学兴趣活动中，小吴将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为S1，S2，则S1－S2的值是(　　) A.16m    B.16m＋27 C.27   D.3 【举一反三1】如图1，将一张长方形纸板的四角各剪去一个边长为a的小正方形（阴影部分），制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为，则图2中纸盒底部长方形的周长为（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在一块长方形草坪中间，有一条处处为宽的弯曲小路，则这块草地的面积为      ． 【举一反三3】图中阴影部分的面积用整式表示为            ． 如图，某中学校园内有一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，学校计划在中间留一块边长为(a＋b)米的正方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化. (1)求绿化的面积；(用含a，b的代数式表示) (2)当a＝1，b＝2时，求绿化的面积. 【举一反三5】在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化． 请你利用上述方法解决下列问题： (1)请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式． (2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示． (3)提出问题：，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？ 几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以为例： ①画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面． ②分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，的矩形面积或的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即，用文字表述的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果． 请你参照上述几何建模步骤，计算，要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）． (4)归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）： ，证明上述速算方法的正确性． 【题型13】已知整式乘积中不含某项，求字母的值 【典型例题】已知A＝x2+3x﹣a，B＝﹣x，C＝x3+3x2+5，若A•B+C的值与x的取值无关，当x＝﹣4时，A的值为(　　) A.0   B.4   C.﹣4   D.2 【举一反三1】已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，则的值为（    ） A. B.1 C.0 D.4 【举一反三2】若关于x的多项式展开后不含有x一次项，则实数k的值为        ． 已知在(x2＋ax＋b)(x－1)的积中，含x2项的系数为2，不含x项，则a＋b的值为　　　　. 【举一反三4】若关于x的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为20，求a，b的值． 【举一反三5】已知代数式化简后，不含项和常数项，求的值． 【题型14】整式乘法中看错或抄错或遮盖某项求字母的值 【典型例题】小刚同学计算一道整式乘法：，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“+”写成“-”，得到的结果为．则（    ） A.7 B.9 C.13 D.15 【举一反三1】在一次数学课上，学习了单项式乘多项式．小明回家后拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：－3x(－2x2＋3x－1)＝6x3＋□＋3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写(　　) A.9x2 B.－9x2 C.9x D.－9x 【举一反三2】甲、乙两人共同计算一道整式：(x+a)(2x+b)，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．则(﹣2a+b)(a+b)的值为 　　． 【举一反三3】在计算(2x+a)(x+b)时，甲错把b看成了6，得到的结果是2x2+8x﹣24，乙错把a看成了﹣a，得到的结果是2x2+14x+20． (1)求a，b的值； (2)将a，b的值代入(2x+a)(x+b)并化简，求出正确的结果． 【题型15】整式乘法与新定义型和规律型问题 【典型例题】观察下列多项式的乘法计算： (1)(x+3)(x+4)=x2+7x+12； (2)(x+3)(x-4)=x2-x-12； (3)(x-3)(x+4)=x2+x-12； (4)(x-3)(x-4)=x2-7x+12 根据你发现的规律，若(x+p)(x+q)=x2-8x+15，则p+q的值为(　　) A.-8 B.-2 C.2 D.8 【举一反三1】定义运算：．下面给出了关于这种运算的几种结论： ①； ②； ③； ④若，则或． 其中结论正确的序号是（   ） A.①④ B.①③ C.②③④ D.①②④ 【举一反三2】，则       ． 【举一反三3】（1）填空： （x﹣y）（x+y）＝　     　； （x﹣y）（x2+xy+y2）＝　       ； （x﹣y）（x3+x2y+xy2+y3）＝　      　． （2）猜想：（x﹣y）（xn﹣1+﹣xn﹣2y+…+xyn﹣2+yn﹣1）＝　     　． 【举一反三4】【知识背景】在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”，此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： 【题型16】整式乘法的混合运算 【典型例题】计算：（﹣x）2﹣x（x﹣1）＝（　　） A.2x2 B.﹣2x2 C.﹣x D.x 【举一反三1】下列多项式的运算中,结果正确的是    (          ) A. B. C. D. 【举一反三2】下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【举一反三3】计算：（x﹣1）（x+3）﹣x（x﹣2）＝　     　． 【举一反三4】化简（x﹣3）（x﹣2）﹣（x+9）（x﹣1）＝ 　 　． 【举一反三5】计算： （1）﹣3xy2z•（x2y）2； （2）（﹣3xy2）2•2xy•（﹣2xy）3； （3）（﹣6x2）2+（﹣3x）3•x； （4）2x•（﹣3x2）+x2•（﹣2x）； （5）（3a）2•（﹣2a）﹣（﹣9a）•（﹣a2）+4a•（﹣a2）． 【举一反三6】求式子10a•（﹣ab）﹣4a2•（﹣b）+8ab•（﹣a）的值，其中a=-3，b=． 【题型17】同底数幂的除法 【典型例题】计算的结果是（   ） A. B. C. D.1 【举一反三1】计算的结果为（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】下列运算正确的是（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】计算： ①      ；②        ；③         ． 【举一反三4】计算：(1)x8÷x2；(2)(ab)5÷(ab)2. 【题型18】同底数幂除法的逆向应用 【典型例题】已知，则的值为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】已知均为正整数，且，则（    ） A.4 B.8 C.16 D.64 【举一反三2】已知，则的值是（　　） A.10 B.36 C.96 D.100 【举一反三3】若，m和n为正整数，则        ． 【举一反三4】已知. (1)当时，求a的值； (2)求的值． 【举一反三5】已知xm=3，xn=6，求xm-n，x3m-2n的值． 【题型19】同底数幂除法与幂的乘法运算及同类项的综合 【典型例题】下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】下列运算正确的是(　　) A.a6÷a2=a3 B.(a2)3=a5 C.a2•a3=a6 D.3a2-2a2=a2 【举一反三2】下列运算中正确的是（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】（幂的运算及逆用） （1）      ； （2）      ； （3）      ； （4）      ； （5）      ； （6）已知，则 值      ； 【举一反三4】若am=an(a>0且a≠1，m，n是正整数)，则m=n. 利用上面结论解决下面的问题： (1)如果2÷8x·16x=25，求x的值； (2)如果22x+4-22x+2=96，求x的值. 【举一反三5】(1)x•x5+(﹣2x2)3+x9÷x3； (2)3×(2a2)3+a5•a﹣a8÷a2． 【题型20】零指数幂 【典型例题】的值为（　　） A.﹣1 B. C.1 D.2 【举一反三1】在推导过程：对于非零实数a，∵am□am＝〇，∴a0＝1，要使推导过程成立，则□和〇中分别应填（　　） A.+，1 B.﹣，0 C.÷，0 D.÷，1 【举一反三2】计算：|﹣2|﹣20240＝　   　． 【举一反三3】若＞20240，则正整数a可以为 　     　． 【举一反三4】已知（x+1）x+3＝1，求x的值． 【题型21】单项式除以单项式 【典型例题】计算28x4y2÷7x3y的结果是（　　） A.4xy B.﹣4xy C.4x2y D.4xy2 【举一反三1】若，则括号里应填的单项式是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】计算：（﹣6m2n3）2÷9m3n3＝　    　． 【举一反三3】计算-4x5÷2x3的结果等于            ． 【举一反三4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【举一反三5】计算： （1）（﹣b）7÷（﹣b）2； （2）（a2b）3÷（a2b）； （3）（x﹣y）3÷（y﹣x）2； （4）y12÷（﹣y）4÷（﹣y）3； （5）（﹣9）11÷[﹣32×（﹣3）3]． 【题型22】单项式除以单项式的实际应用 【典型例题】一颗人造地球卫星的速度为2.88×107米/时，一架喷气式飞机的速度为1.8×106米/时，则这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的(　　) A.1600倍 B.160倍 C.16倍 D.1.6倍 长方形的面积为，宽为，则它的长为(　　) A.   B.18 C.   D. 一个三角形的面积是，它的一边长是，那么这条边上的高为(　　) A.   B. C.   D. 【举一反三3】地球质量大约为5.98×1021T，木星质量大约为1.9×1024T，则木星的质量是地球质量的            倍(结果精确到个位)． 【举一反三4】木星的质量约是1.9×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗？(结果保留整数) 【题型23】多项式除以单项式 【典型例题】计算(-8m4n+12m3n2-4m2n3)÷(-4m2n)的结果等于(　　) A.2m2n-3mn+n2 B.2n2-3mn2+n2 C.2m2-3mn+n2 D.2m2-3mn+n 【举一反三1】已知，则（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】计算（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】，则（    ）里的整式为           ． 【举一反三4】在中，多项式        ． 【举一反三5】观察下列各式： (x2-1)÷(x-1)= x +1； (x3-1)÷(x-1)=x2+x+1； (x4-1)÷(x-1)=x3+x2+x+1； 根据你发现的规律解答下列各题： (1)直接写出结果：               ； (2)根据你发现的规律，计算1+2+22+23+…+22020+22021的值． 【题型24】多项式除以单项式的实际应用 【典型例题】某小区为了便民购物，计划在小区外一块长方形空地上建一座大型超市，已知长方形空地的面积为，宽为，则这块空地的长为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】若长方形面积是2a2-2ab+6a，一边长为2a，则这个长方形的周长是(　　) A.6a-2b+6 B.2a-2b+6 C.6a-2b D.3a-b+3 某小区为了便民购物，计划在小区外一块长方形空地上建一座大型超市，已知长方形空地的面积为(6y2＋y)平方米，宽为y米，则这块空地的长为(　　) A.6xy米    B.(6y＋1)米 C.(6y＋y)米    D.(6xy3＋y2)米 【举一反三3】小黄去水果店买元/斤的凤梨，共花费元，则他买了      斤凤梨． 已知长方形的面积为2a2b－4a2＋6a，宽为2a，则长方形的长为　　　　. 【举一反三5】如图，一个柱体工件的体积为．其形状和部分尺寸如图所示，求工件的长．（用含的式子表示） 【题型25】多项式除以单项式与其它运算的综合 【典型例题】已知，则（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】阅读材料：多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算，可用竖式计算，如图： 所以除以，商式为，余式为0． 请根据阅读材料回答下列问题： 若能被整除，则      ． 计算：(1)(3a＋b)(a－2b)； (2)(7x2y3z－2xy)÷(xy). 【举一反三5】先化简，再求值：，其中． 人教版（2024）八年级上册 16.2 整式的乘法 寒假巩固（参考答案） 【题型1】单项式乘单项式 【典型例题】计算的结果是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：． 【举一反三1】下列运算正确的是（　　） A.2a2b•3ab2＝5a3b2 B.（﹣2m3n）2＝4m5n2 C.3ab2c·ab＝3bc D.2m3n·m3n＝2m6n2 【答案】D 【解析】解：A．2a2b•3ab2＝6a3b3，故此选项不合题意； B．（﹣2m3n）2＝4m6n2，故此选项不合题意； C．3ab2c·ab＝3a2b3c，故此选项不符合题意； D．2m3n·m3n＝2m6n2，故此选项不合题意． 故选：D． 【举一反三2】计算：      ． 【答案】 【解析】解：． 【举一反三3】(教材改编)计算： （1）；（2）；（3）；（4）. 【答案】解： （1） （2） （3）. （4）. 【题型2】用单项式乘单项式求字母或代数式的值 若(mx4)·(4xk)＝－12x12，则适合条件的m，k的值分别是(　　) A.m＝－3，k＝8    B.m＝3，k＝8 C.m＝8，k＝3    D.m＝－3，k＝3 【答案】A 【解析】 ∵(mx4)·(4xk)＝4mx4+k＝－12x12， ∴4m＝－12，4＋k＝12， ∴m＝－3，k＝8. 【举一反三1】已知M•4x2y3＝8x4y6，则整式M＝（　　） A.4x2y2 B.2x2y2 C.4x2y3 D.2x2y3 【答案】D 【解析】解：∵M•4x2y3＝8x4y6， ∴M＝2x2y3， 故选：D． 【举一反三2】如果单项式﹣22x2my3与23x4yn+1的差是一个单项式，则这两个单项式的积是 　    　． 【答案】﹣32x8y6． 【解析】解：∵单项式﹣22x2my3与23x4yn+1的差是一个单项式， ∴单项式﹣22x2my3与23x4yn+1是同类项， ∴2m＝4，n+1＝3， 解得：m＝2，n＝2， 则﹣22x4y3•23x4y3＝﹣32x8y6， 故答案为：﹣32x8y6． 【举一反三3】若(mx4)•(4xk)=12x12，则m=            ，k=            ． 【答案】3 8 【解析】∵(mx4)•(4xk)=12x12， ∴4mx4+k=12x12， ∴4m=12，4+k=12， 解得m=3，k=8． 故答案为3；8． 【举一反三4】(1)先化简，再求值：2x2y·(-2xy2)3+(2xy)3·(-xy2)2，其中x=4，y=； (2)已知·=x4y9，求m，n的值. 【答案】解　(1)原式=2x2y·(-8x3y6)+8x3y3·x2y4=-16x5y7+8x5y7=-8x5y7， 当x=4，y=时，原式=-8×45×=-. (2)因为(x2y3)m·=x2m+2y3m+2n+2=x4y9， 所以 解得 【题型3】单项式乘单项式的实际应用 【典型例题】如图，将一张长方形的铁皮剪去一个小长方形，余下的阴影部分面积是（    ）    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：余下的阴影部分面积为 ． 【举一反三1】如图，王老师把家里的密码设置成了数学问题．吴同学来王老师家做客，看到图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地密码连接到了王老师家里的网络，那么她输入的密码是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：根据前面两个等式， 王=， 安， 得出密码规律：由汉字的拼音与字母x、y、z的指数组成． ∴宁． 【举一反三2】若一个长方体的长为5.4×102 mm，宽为100 mm，高为2×102 mm，则此长方体的体积为(　　) A.1.08×105 mm3 B.1.08×106 mm3 C.1.08×107 mm3 D.1.08×108 mm3 【答案】C 【解析】解：这个水箱的容积是5.4×102×100×2×102=1.08×107mm3． 故选C. 【举一反三3】长方形的宽是a×103 cm，长是宽的2倍，则长方形的面积为　　　　cm2. 【答案】2a2 ×106 【解析】∵长方形的宽是a×103 cm，长是宽的2倍， ∴长方形的长为2a×103 cm， ∴长方形的面积为(2a×103)×(a×103)=2a2 ×106(cm2). 【举一反三4】福厦高铁车速为千米/时，高铁行驶 3b小时的路程为             千米． 【答案】/ 【解析】解：由题意得，(千米)． 【举一反三5】有一块长为x2ym(x＞0，y＞0)，宽为xy3m的长方形空地，现在要在这块空地中规划一块长为x2y m，宽为xy3m的长方形空地用于绿化，求绿化后剩余部分的面积． 【答案】解　由题意得x2y•xy3x2y•xy3＝x3y4x3y4x3y4(m2)． ∴绿化后剩余部分的面积为x3y4 m2． 【题型4】单项式乘多项式 计算a(a＋b－c)的结果是(　　) A.a2＋ab＋ac    B.a2＋ab－ac C.a＋ab＋ac    D.a＋b－ac 【答案】B 【举一反三1】课后小明拿出数学笔记本复习，发现一道题被墨水污染了：，则“”处应填写的式子是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵， ∴． 计算的结果是     ． 【答案】 【解析】 . 计算：(1)(－3x2)2·(－x2＋2x－1)； (2)(－2ab)2·. 【答案】 解　(1)(－3x2)2·(－x2＋2x－1) ＝9x4(－x2＋2x－1) ＝－9x6＋18x5－9x4. (2)(－2ab)2· ＝4a2b2·ab2－4a2b2·3ab＋4a2b2·a ＝3a3b4－12a3b3＋a3b2. 【题型5】用单项式乘多项式求字母或代数式的值 【典型例题】已知：(x4-n+ym+3)•xn=x4+x2y7，则m+n的值是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D 【解析】解：(x4-n+ym+3)•xn =x4+xnym+3=x4+x2y7， ∴n=2，m+3=7，即m=4，n=2， 则m+n=4+2=6．故选D. 【举一反三1】定义运算：．下面给出了关于这种运算的几种结论： ①； ②； ③； ④若，则或． 其中结论正确的序号是（   ） A.①④ B.①③ C.②③④ D.①②④ 【答案】A 【解析】解：根据题目中的新定义计算方法可得， ①，①正确； ②，故与不一定相等，②错误； ③，③错误； ④若，则或，④正确． 【举一反三2】要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A. B.0 C.2 D.3 【答案】C 【解析】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴， ∴． 【举一反三3】若对于m、n定义一种新运算：，例：，则      ． 【答案】 【解析】解：由题意得. 【举一反三4】已知x（x﹣m）+n（x+m）＝x2+5x﹣6对任意数都成立，求m（n﹣1）+n（m+1）的值． 【答案】解：x（x﹣m）+n（x+m） ＝x2﹣mx+nx+mn ＝x2+（n﹣m）x+mn， ∴ 则m（n﹣1）+n（m+1）＝n﹣m+2mn＝5﹣12＝﹣7． 【题型6】单项式乘多项式的化简与求值 【典型例题】当a＝﹣2时，代数式3a(2a2﹣4a+3)﹣2a2(3a+4)的值是(　　) A.﹣98   B.﹣62   C.﹣2   D.98 【答案】A 【解析】3a(2a2﹣4a+3)﹣2a2(3a+4) ＝3a×2a2﹣3a×4a+3×3a﹣2a2×3a﹣4×(2a2) ＝6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2 ＝﹣20a2+9a， 当a＝﹣2时， 原式＝﹣20×4+9×(﹣2)＝﹣98． 【举一反三1】当时，代数式的值是（　　） A. B. C. D.98 【答案】A 【解析】 当时， 原式． 【举一反三2】若，则的值为（ ） A.16 B.12 C.8 D.0 【答案】A 【解析】解：原式， 当时，， 原式． 【举一反三3】已知时，则代数式的值为       ． 【答案】 【解析】解：∵ . 当时，原式. 如果a2－2a－1＝0，那么代数式2a(a－2)＋3的值为　　　　. 【答案】 5 【解析】 原式＝2a2－4a＋3＝2(a2－2a)＋3， 由条件可知a2－2a＝1， 所以原式＝2×1＋3＝5. 【举一反三5】先化简，再求值：，其中． 【答案】解： ∵ ∴原式． 【题型7】单项式乘多项式的实际应用 【典型例题】若一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x﹣4，则长方体的体积为（　　） A.3x3﹣4x2 B.6x2﹣8x C.6x3﹣8x2 D.6x3﹣8x 【答案】C 【解析】解：由题意知，V长方体＝（3x﹣4）•2x•x＝6x3﹣8x2． 故选：C． 【举一反三1】李老师做了个长方形教具，其中一边长为2a+b，另一边长为a，则该长方形的面积为（　　） A.3a+b B.2a2+b C.2a+ab D.2a2+ab 【答案】D 【解析】解：长方形的面积为＝a（2a+b）＝2a2+ab， 故选：D． 【举一反三2】一长方体的长、宽、高分别是3x-4，2x，x，它的体积等于　　　　.(写最简结果) 【答案】6x3-8x2 【解析】·2x·x=2x2·=6x3-8x2. 【举一反三3】如图所示，四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式：　             　． 【答案】m（m+a）＝m2+ma（答案不唯一）． 【解析】解：由题意得：m（m+a）＝m2+ma， 故答案为：m（m+a）＝m2+ma（答案不唯一）． 【举一反三4】一家住房的平面结构如图所示，这家房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上瓷砖，至少需要多少平方米的瓷砖？ 【答案】解：由题意得y(4x－x－2x)＋x(4y－2y)＋2x×4y ＝xy＋2xy＋8xy ＝11xy(平方米)， 故至少需要11xy平方米的瓷砖． 【举一反三5】如图，请计算阴影部分的面积． 【答案】解：b（2b﹣a）﹣a（2a﹣b） ＝2b2﹣ab﹣2a2+ab ＝2b2﹣2a2． 【题型8】多项式乘多项式 【典型例题】计算（x﹣y+3）（x+y﹣3）时，下列各变形中正确的是（　　） A.[（x﹣y）+3][（x+y）﹣3] B.[（x+3）﹣y][（x﹣3）+y] C.[x﹣（y+3）][x+（y﹣3）] D.[x﹣（y﹣3）][x+（y﹣3）] 【答案】D 【解析】解：（x﹣y+3）（x+y﹣3）＝[x﹣（y﹣3）][x+（y﹣3）]， 故选：D． 【举一反三1】计算（2x+1）（x﹣5）的结果是（　　） A.2x2﹣9x﹣5 B.2x2﹣9x+5 C.2x2﹣11x﹣5 D.2x2﹣11x+5 【答案】A 【解析】解：（2x+1）（x﹣5） ＝2x2﹣10x+x﹣5 ＝2x2﹣9x﹣5， 故选：A． 【举一反三2】计算：(2x+1)(3x-1)=            ． 【答案】6x2+x-1 【解析】解：原式=6x2-2x+3x-1=6x2+x-1，故答案为6x2+x-1. 【举一反三3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】解：（1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 计算： (1)(2x＋1)(x＋3)； (2)(m＋2n)(3n－m)； (3)(a－1)2； (4)(2x2－1)(x－4). 【答案】 解　(1)原式＝2x2＋6x＋x＋3＝2x2＋7x＋3. (2)原式＝3mn－m2＋6n2－2mn＝mn－m2＋6n2. (3)原式＝(a－1)(a－1)＝a2－a－a＋1＝a2－2a＋1. (4)原式＝2x3－8x2－x＋4. 【题型9】用多项式乘多项式求字母或代数式的值 【典型例题】已知，…，均为正数，且满足，则之间的关系是（    ） A. B. C. D.不确定 【答案】B 【解析】解：设， 则， ， ∴ ， ∵，…，均为正数， ∴， ∴，故B正确． 【举一反三1】若(x﹣15)(x+20)＝x2+mx+n，则m，n的值分别为(　　) A.﹣5，﹣300   B.35，﹣300 C.35，300    D.5，﹣300 【答案】D 【解析】(x﹣15)(x+20)＝x2+5x﹣300， 由原式可得，x2+mx+n＝x2+5x﹣300， m＝5，n＝﹣300. 【举一反三2】如(x+m)与(x-4)的乘积中一次项是5x，则常数项为(　　) A.9 B.-9 C.36 D.-36 【答案】D 【解析】解：根据题意得：(x+m)(x-4)=x2+(m-4)x-4m，由一次项为5x，得到m-4=5，即m=9，则常数项为-36，故选D. 【举一反三3】设，则      ． 【答案】 【解析】解：令，则①； 令，则②； ， ∴． 【举一反三4】若，则     ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∴． 【举一反三5】小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【答案】解：（1） . （2）设被遮住的一次项系数为， 即 ， ∵这个题目的正确答案不含一次项的， ∴， 解得， ∴被遮住的一次项系数为． 【题型10】形如(x+p)(x+q)型多项式的乘法 【典型例题】若，则（　　） A. B.1 C. D.12 【答案】D 【解析】解：∵， ∴． ∴． 【举一反三1】计算（a+3）（﹣a+1）的结果是（　　） A.﹣a2﹣2a+3 B.﹣a2+4a+3 C.﹣a2+4a﹣3 D.a2﹣2a﹣3 【答案】A 【解析】解：（a+3）（﹣a+1） ＝﹣a2﹣3a+a+3 ＝﹣a2﹣2a+3． 故选：A． 【举一反三2】两整式相乘的结果为a2﹣a﹣12 的是（　　） A.（a+3）（a﹣4） B.（a﹣3）（a+4） C.（a+6）（a﹣2） D.（a﹣6）（a+2） 【答案】A 【解析】解：A、（a+3）（a﹣4）＝a2﹣a﹣12，正确； B、（a﹣3）（a+4）＝a2+a﹣12，故本选项错误； C、（a+6）（a﹣2）＝a2+4a﹣12，故本选项错误； D、（a﹣6）（a+2）＝a2﹣4a﹣12，故本选项错误． 故选：A． 【举一反三3】若，则        ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， 解得， ∴． 【举一反三4】计算下列各式，然后回答问题： _______；_______； _______；_______． (1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为 ________； (2)运用上面的规律，直接写出下式的结果： ①_______； ②_______； (3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______． 【答案】解：（1）；； ；； ∴. （2）①. ②. （3）∵， ∴， ∵均为整数， ∴当或时，； 当或时，； 当或时，； 当或时，； 当或时，； 当或时，； 综上所述，满足条件的k的值可以是19，11，9，． 【举一反三5】先观察下列各式，再解答后面问题： ； ； ； ． (1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？ (2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来； (3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果． ①_____________； ②_____________． 【答案】解：（1）乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系为：两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项. （2）公式为. （3）① . ② ． 【题型11】多项式乘多项式的化简与求值 【典型例题】已知，则（    ） A.3 B. C. D.2 【答案】C 【解析】解： ． 当时， 原式 ． 【举一反三1】若，则的值为（    ） A. B.9 C. D.不确定 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∴ . 【举一反三2】已知，则的值为(        ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：∵， ∴． 【举一反三3】若，则代数式的值为      ． 【答案】3 【解析】解：∵， ∴ ． 【举一反三4】先化简，再求值：，其中． 【答案】解： ， 当时，原式． 【举一反三5】先化简，再求值：，其中． 【答案】解： ， 当时，原式. 【题型12】多项式乘多项式与图形面积问题 如图，在数学兴趣活动中，小吴将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为S1，S2，则S1－S2的值是(　　) A.16m    B.16m＋27 C.27   D.3 【答案】D 【解析】 由题意，得铁丝的长度为2(m＋3＋m＋5)＝2(2m＋8)＝4m＋16， S1＝(m＋3)(m＋5) ＝m2＋5m＋3m＋15 ＝m2＋8m＋15， 图乙中长方形的长为[(4m＋16)－2(m＋2)]× ＝(4m＋16－2m－4)× ＝(2m＋12)× ＝m＋6， ∴S2＝(m＋6)(m＋2) ＝m2＋2m＋6m＋12 ＝m2＋8m＋12， ∴S1－S2 ＝(m2＋8m＋15)－(m2＋8m＋12) ＝m2＋8m＋15－m2－8m－12 ＝3. 【举一反三1】如图1，将一张长方形纸板的四角各剪去一个边长为a的小正方形（阴影部分），制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为，则图2中纸盒底部长方形的周长为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：设纸盒底部长方形的宽为x， 依题意得 ∴， 故纸盒底部长方形的周长为． 【举一反三2】如图，在一块长方形草坪中间，有一条处处为宽的弯曲小路，则这块草地的面积为      ． 【答案】 【解析】解：根据题意得，阴影面积等于长为，宽为的长方形的面积， 即这块草地的面积为． 【举一反三3】图中阴影部分的面积用整式表示为            ． 【答案】 【解析】解：阴影部分的面积大长方形的面积空白部分长方形的面积 ． 如图，某中学校园内有一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，学校计划在中间留一块边长为(a＋b)米的正方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化. (1)求绿化的面积；(用含a，b的代数式表示) (2)当a＝1，b＝2时，求绿化的面积. 【答案】 解　(1)依题意得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2 ＝(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)(a＋b) ＝6a2＋3ab＋2ab＋b2－a2－2ab－b2 ＝(5a2＋3ab)平方米. 即绿化面积是(5a2＋3ab)平方米. (2)当a＝1，b＝2时， 5a2＋3ab＝5×12＋3×1×2＝5＋6＝11(平方米). 即绿化面积是11平方米. 【举一反三5】在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化． 请你利用上述方法解决下列问题： (1)请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式． (2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示． (3)提出问题：，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？ 几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以为例： ①画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面． ②分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，的矩形面积或的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即，用文字表述的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果． 请你参照上述几何建模步骤，计算，要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）． (4)归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）： ，证明上述速算方法的正确性． 【答案】解：（1）根据题意，图（1）所表示的代数恒等式：， 图（2）所表示的代数恒等式： 图（3）所表示的代数恒等式：； （2）根据题意，几何图形如图所示. （3）示意图如图. 用文字表述的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果，即. （4）十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果； 故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果． 证明：设两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数的十位数为a，个位数分别是b和 则这两个数为分别为， ∴这两个数的乘积为； 即十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积， 故速算方法正确． 【题型13】已知整式乘积中不含某项，求字母的值 【典型例题】已知A＝x2+3x﹣a，B＝﹣x，C＝x3+3x2+5，若A•B+C的值与x的取值无关，当x＝﹣4时，A的值为(　　) A.0   B.4   C.﹣4   D.2 【答案】B 【解析】∵A＝x2+3x﹣a，B＝﹣x，C＝x3+3x2+5， ∴A•B+C ＝(x2+3x﹣a)(﹣x)+(x3+3x2+5) ＝﹣x3﹣3x2+ax+x3+3x2+5 ＝ax+5， ∵A•B+C的值与x的取值无关， ∴a＝0， ∴A＝x2+3x﹣a＝x2+3x， 当x＝﹣4时，A＝(﹣4)2+3×(﹣4)＝4. 【举一反三1】已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，则的值为（    ） A. B.1 C.0 D.4 【答案】A 【解析】解：∵， 又∵展开式中不含x的一次项，且常数项为， ∴， 解得， ∴． 【举一反三2】若关于x的多项式展开后不含有x一次项，则实数k的值为        ． 【答案】2 【解析】解： ， ∵关于x的多项式展开后不含有x一次项， ∴， ∴． 已知在(x2＋ax＋b)(x－1)的积中，含x2项的系数为2，不含x项，则a＋b的值为　　　　. 【答案】 6 【解析】 (x2＋ax＋b)(x－1)＝x3－x2＋ax2－ax＋bx－b＝x3＋(a－1)x2＋(b－a)x－b， ∵含x2项的系数为2，不含x项， ∴ 解得 ∴a＋b＝6. 【举一反三4】若关于x的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为20，求a，b的值． 【答案】解：∵ , ∴由题意得， ∴， 把代入得，， 解得， ∴a，b的值分别为． 【举一反三5】已知代数式化简后，不含项和常数项，求的值． 【答案】解： ， ∵化简后不含项和常数项， ∴， 解得． 【题型14】整式乘法中看错或抄错或遮盖某项求字母的值 【典型例题】小刚同学计算一道整式乘法：，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“+”写成“-”，得到的结果为．则（    ） A.7 B.9 C.13 D.15 【答案】A 【解析】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【举一反三1】在一次数学课上，学习了单项式乘多项式．小明回家后拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：－3x(－2x2＋3x－1)＝6x3＋□＋3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写(　　) A.9x2 B.－9x2 C.9x D.－9x 【答案】B 【举一反三2】甲、乙两人共同计算一道整式：(x+a)(2x+b)，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．则(﹣2a+b)(a+b)的值为 　　． 【答案】﹣14 【解析】由题意得(x﹣a)(2x+b)＝2x2﹣7x+3且(x+a)(x+b)＝x2+2x﹣3， ∴ ∴(﹣2a+b)(a+b)＝﹣7×2＝﹣14. 【举一反三3】在计算(2x+a)(x+b)时，甲错把b看成了6，得到的结果是2x2+8x﹣24，乙错把a看成了﹣a，得到的结果是2x2+14x+20． (1)求a，b的值； (2)将a，b的值代入(2x+a)(x+b)并化简，求出正确的结果． 【答案】解　(1)(2x+a)(x+6) ＝2x2+12x+ax+6a ＝2x2+(12+a)x+6a， ∵计算(2x+a)(x+b)时，甲错把b看成了6，得到的结果是2x2+8x﹣24， ∴6a＝﹣24， ∴a＝﹣4， (2x+4)(x+b) ＝2x2+2bx+4x+4b ＝2x2+(2b+4)x+4b， 由条件可知4b＝20， ∴b＝5． (2)(2x﹣4)(x+5) ＝2x2+10x﹣4x﹣20 ＝2x2+6x﹣20． 【题型15】整式乘法与新定义型和规律型问题 【典型例题】观察下列多项式的乘法计算： (1)(x+3)(x+4)=x2+7x+12； (2)(x+3)(x-4)=x2-x-12； (3)(x-3)(x+4)=x2+x-12； (4)(x-3)(x-4)=x2-7x+12 根据你发现的规律，若(x+p)(x+q)=x2-8x+15，则p+q的值为(　　) A.-8 B.-2 C.2 D.8 【答案】A 【解析】解:(x+p)(x+q)=x2-8x+15，p+q=-8，故选A． 【举一反三1】定义运算：．下面给出了关于这种运算的几种结论： ①； ②； ③； ④若，则或． 其中结论正确的序号是（   ） A.①④ B.①③ C.②③④ D.①②④ 【答案】A 【解析】解：根据题目中的新定义计算方法可得， ①，①正确； ②，故与不一定相等，②错误； ③，③错误； ④若，则或，④正确． 【举一反三2】，则       ． 【答案】 【解析】解：∵ ， ∴， ∴． 【举一反三3】（1）填空： （x﹣y）（x+y）＝　     　； （x﹣y）（x2+xy+y2）＝　       ； （x﹣y）（x3+x2y+xy2+y3）＝　      　． （2）猜想：（x﹣y）（xn﹣1+﹣xn﹣2y+…+xyn﹣2+yn﹣1）＝　     　． 【答案】（1）x2﹣y2；x3﹣y3；x4﹣y4． （2）xn﹣yn． 【解析】解：（1）（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2；（x﹣y）（x2+xy+y2）＝x3﹣y3；（x﹣y）（x3+x2y+xy2+y3）＝x4﹣y4． 故答案为：x2﹣y2；x3﹣y3；x4﹣y4． （2）猜想（x﹣y）（xn﹣1+xn﹣2y+…+xyn﹣2+yn﹣1）＝xn﹣yn． 故答案为：xn﹣yn． 【举一反三4】【知识背景】在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”，此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： 【答案】解：（1）根据题意，得 故． （2）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图， 当时，有2项；所有项的系数和为； 当时，有项；所有项的系数和为； 当时，有项；所有项的系数和为； ， 故找到规律为共项，所有项系数的和为， 故的展开式中共有8项，所有项的系数和为． （3）今天是星期五，过了天后是星期六．理由如下： ∵根据题意，得 ， 且都能被7整除， ， ∴除以7余1， ∴如果今天是星期五，过了天后是星期六． 【题型16】整式乘法的混合运算 【典型例题】计算：（﹣x）2﹣x（x﹣1）＝（　　） A.2x2 B.﹣2x2 C.﹣x D.x 【答案】D 【解析】解：（﹣x）2﹣x（x﹣1） ＝x2﹣x2+x ＝x， 故选：D． 【举一反三1】下列多项式的运算中,结果正确的是    (          ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：A. ，故选项A计算错误，不符合题意； B.，故选项B计算错误，不符合题意； C.，故选项C计算错误，不符合题意； D. ，计算正确，符合题意. 【举一反三2】下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：A，根据单项式乘单项式法则，系数相乘，同底数幂相乘，，该选项正确； B，根据积的乘方法则，，则，该选项错误； C，根据单项式乘多项式法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，，该选项错误； D，根据多项式乘多项式法则，用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，，该选项错误． 【举一反三3】计算：（x﹣1）（x+3）﹣x（x﹣2）＝　     　． 【答案】4x﹣3． 【解析】解：（x﹣1）（x+3）﹣x（x﹣2）＝x2+3x﹣x﹣3﹣x2+2x＝4x﹣3 故答案为：4x﹣3． 【举一反三4】化简（x﹣3）（x﹣2）﹣（x+9）（x﹣1）＝ 　 　． 【答案】﹣13x+15． 【解析】解：（x﹣3）（x﹣2）﹣（x+9）（x﹣1） =x2﹣5x+6﹣（x2+8x﹣9） =﹣13x+15 故答案为：﹣13x+15． 【举一反三5】计算： （1）﹣3xy2z•（x2y）2； （2）（﹣3xy2）2•2xy•（﹣2xy）3； （3）（﹣6x2）2+（﹣3x）3•x； （4）2x•（﹣3x2）+x2•（﹣2x）； （5）（3a）2•（﹣2a）﹣（﹣9a）•（﹣a2）+4a•（﹣a2）． 【答案】（1）原式＝﹣3x5y4z． （2）原式＝9x2y4×2xy×（﹣8x3y3） ＝18x3y5×（﹣8x3y3） ＝﹣144x6y8． （3）原式＝36x4+（﹣27x4） ＝9x4． （4）原式＝﹣6x3+（﹣2x3） ＝﹣8x3． （5）原式＝﹣18a3﹣4a3+（﹣4a3） ＝﹣22a3+（﹣4a3） ＝﹣26a3． 【举一反三6】求式子10a•（﹣ab）﹣4a2•（﹣b）+8ab•（﹣a）的值，其中a=-3，b=． 【答案】解：原式＝﹣6a2b+2a2b﹣6a2b＝﹣10a2B． 当a=-3，b=时，原式=-10×（-3）2×=-150. 【题型17】同底数幂的除法 【典型例题】计算的结果是（   ） A. B. C. D.1 【答案】A 【解析】解：． 【举一反三1】计算的结果为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解： ． 【举一反三2】下列运算正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：A，，故此选项不符合题意； B，，故此选项符合题意； C，，故此选项不符合题意； D，，故此选项不符合题意． 【举一反三3】计算： ①      ；②        ；③         ． 【答案】；； 【解析】解：①； ②； ③． 【举一反三4】计算：(1)x8÷x2；(2)(ab)5÷(ab)2. 【答案】解：(1)x8÷x2＝x8－2＝x6. (2)(ab)5÷(ab)2＝(ab)5－2＝(ab)3＝a3b3. 【题型18】同底数幂除法的逆向应用 【典型例题】已知，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵， ∴. 【举一反三1】已知均为正整数，且，则（    ） A.4 B.8 C.16 D.64 【答案】D 【解析】解：∵， ∴． 【举一反三2】已知，则的值是（　　） A.10 B.36 C.96 D.100 【答案】D 【解析】解：∵， ∴，即， ∵， ∴． 【举一反三3】若，m和n为正整数，则        ． 【答案】2 【解析】解：由题意得， ∵ ， ∴， ∴=4， ∵n为正整数， ∴为正整数， ∴(负值舍去)． 【举一反三4】已知. (1)当时，求a的值； (2)求的值． 【答案】解：（1）∵， ∴， 又∵， ∴. （2）∵， ∴， ∴ ． 【举一反三5】已知xm=3，xn=6，求xm-n，x3m-2n的值． 【答案】解：∵xm=3，xn=6，∴xm-n=xm÷xn =12； x3m-2n=x3m÷x2n=(xm)3÷(xn)2=27÷36=． 【题型19】同底数幂除法与幂的乘法运算及同类项的综合 【典型例题】下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：A，，故本选项不合题意； B，，故本选项不合题意； C，，故本选项不合题意； D，，故本选项符合题意． 【举一反三1】下列运算正确的是(　　) A.a6÷a2=a3 B.(a2)3=a5 C.a2•a3=a6 D.3a2-2a2=a2 【答案】D 【解析】解：A中，a6÷a2=a4，故A错误； B中，(a2)3=a6，故B错误； C中，a2•a3=a5，故C错误； D中，3a2-2a2=a2，故D正确． 故选D． 【举一反三2】下列运算中正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：A．，原式计算错误，故该选项不符合题意； B． ，原式计算错误，故该选项不符合题意； C．，原式计算错误，故该选项不符合题意； D．，原式计算正确，故该选项符合题意． 【举一反三3】（幂的运算及逆用） （1）      ； （2）      ； （3）      ； （4）      ； （5）      ； （6）已知，则 值      ； 【答案】；； ；；；432 【解析】解：（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）∵， ∴． 【举一反三4】若am=an(a>0且a≠1，m，n是正整数)，则m=n. 利用上面结论解决下面的问题： (1)如果2÷8x·16x=25，求x的值； (2)如果22x+4-22x+2=96，求x的值. 【答案】解　(1)∵2÷8x·16x=25， ∴2÷·=25， ∴2÷23x·24x=25， ∴21-3x+4x=25， ∴21+x=25， ∴1+x=5， ∴x=4. (2)∵22x+4-22x+2=96， ∴22x·24-22x·22=96， ∴22x×16-22x×4=96， ∴22x×12=96， ∴22x=8=23， ∴2x=3， ∴x=. 【举一反三5】(1)x•x5+(﹣2x2)3+x9÷x3； (2)3×(2a2)3+a5•a﹣a8÷a2． 【答案】解　(1)﹣6x6.　(2)24a6. 【题型20】零指数幂 【典型例题】的值为（　　） A.﹣1 B. C.1 D.2 【答案】C 【解析】解：＝1， 故选：C． 【举一反三1】在推导过程：对于非零实数a，∵am□am＝〇，∴a0＝1，要使推导过程成立，则□和〇中分别应填（　　） A.+，1 B.﹣，0 C.÷，0 D.÷，1 【答案】D 【解析】解：∵am÷am＝1， ∴a0＝1， ∴□和〇中分别应填÷和1， 故选：D． 【举一反三2】计算：|﹣2|﹣20240＝　   　． 【答案】1． 【解析】解：|﹣2|﹣20240＝2﹣1＝1． 故答案为：1． 【举一反三3】若＞20240，则正整数a可以为 　     　． 【答案】2 （答案不唯一，大于1的整数即可）． 【解析】解：∵， ∴， ∴正整数a可以为2， 故答案为：2 （答案不唯一，大于1的整数即可）． 【举一反三4】已知（x+1）x+3＝1，求x的值． 【答案】解：∵（x+1）x+3＝1， 当x+1＝1时，解得：x＝0，此时（x+1）x+3＝1， 当x+1＝﹣1时，解得：x＝﹣2，则x+3＝1，此时（x+1）x+3＝﹣1， 当x+3＝0时，即x＝﹣3时，（x+1）x+3＝1． ∴x的值为：0或﹣3． 【题型21】单项式除以单项式 【典型例题】计算28x4y2÷7x3y的结果是（　　） A.4xy B.﹣4xy C.4x2y D.4xy2 【答案】A 【解析】解：原式＝4xy， 故选：A． 【举一反三1】若，则括号里应填的单项式是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵， ∴括号内应填的单项式为． 【举一反三2】计算：（﹣6m2n3）2÷9m3n3＝　    　． 【答案】4mn3． 【解析】解：原式＝36m4n6÷9m3n3 ＝（36÷9）m4﹣3n6﹣3 ＝4mn3， 故答案为：4mn3． 【举一反三3】计算-4x5÷2x3的结果等于            ． 【答案】-2x2 【解析】解：-4x5÷2x3=-2x2．故答案为-2x2． 【举一反三4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】解：（1） . （2）． （3） ， ． （4） . 【举一反三5】计算： （1）（﹣b）7÷（﹣b）2； （2）（a2b）3÷（a2b）； （3）（x﹣y）3÷（y﹣x）2； （4）y12÷（﹣y）4÷（﹣y）3； （5）（﹣9）11÷[﹣32×（﹣3）3]． 【答案】解：（1）（﹣b）7÷（﹣b）2 ＝（﹣b）5 ＝﹣b5； （2）（a2b）3÷（a2b） ＝a6b3÷a2b ＝a4b2； （3）（x﹣y）3÷（y﹣x）2 ＝（x﹣y）3÷（x﹣y）2 ＝x﹣y； （4）y12÷（﹣y）4÷（﹣y）3 ＝y12÷y4÷（﹣y）3 ＝﹣y5； （5）（﹣9）11÷[﹣32×（﹣3）3] ＝﹣322÷35 ＝﹣317． 【题型22】单项式除以单项式的实际应用 【典型例题】一颗人造地球卫星的速度为2.88×107米/时，一架喷气式飞机的速度为1.8×106米/时，则这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的(　　) A.1600倍 B.160倍 C.16倍 D.1.6倍 【答案】C 【解析】解：(2.88×107)÷(1.8×106) =(2.88÷1.8)×(107÷106) =1.6×10，=16， 则这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的16倍． 故选C． 长方形的面积为，宽为，则它的长为(　　) A.   B.18 C.   D. 【答案】D 【解析】 长方形的面积为，宽为， 它的长为. 一个三角形的面积是，它的一边长是，那么这条边上的高为(　　) A.   B. C.   D. 【答案】B 【解析】 由题意，三角形的面积边高，高面积边．又一个三角形的面积是，它的一边长是， 这条边上的高为． 【举一反三3】地球质量大约为5.98×1021T，木星质量大约为1.9×1024T，则木星的质量是地球质量的            倍(结果精确到个位)． 【答案】318 【解析】解：(1.9×1024)÷(5.98×1021)=(1.9÷5.98)×(1024÷1021)≈0.318×103=318．故答案为318． 【举一反三4】木星的质量约是1.9×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗？(结果保留整数) 【答案】解：(1.90×1024)÷(5.98×1021)=0.318×103=318(倍)． 答：木星的质量约为地球质量的318倍. 【题型23】多项式除以单项式 【典型例题】计算(-8m4n+12m3n2-4m2n3)÷(-4m2n)的结果等于(　　) A.2m2n-3mn+n2 B.2n2-3mn2+n2 C.2m2-3mn+n2 D.2m2-3mn+n 【答案】C 【解析】解：(-8m4n+12m3n2-4m2n3)÷(-4m2n) =-8m4n÷(-4m2n)+12m3n2÷(-4m2n)-4m2n3÷(-4m2n) =2m2-3mn+n2．故选C． 【举一反三1】已知，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：， ． 【举一反三2】计算（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解： ． 【举一反三3】，则（    ）里的整式为           ． 【答案】 【解析】解：由题意可得， ． 【举一反三4】在中，多项式        ． 【答案】 【解析】解：由题意可知． 【举一反三5】观察下列各式： (x2-1)÷(x-1)= x +1； (x3-1)÷(x-1)=x2+x+1； (x4-1)÷(x-1)=x3+x2+x+1； 根据你发现的规律解答下列各题： (1)直接写出结果：               ； (2)根据你发现的规律，计算1+2+22+23+…+22020+22021的值． 【答案】解　(1). (2)1+2+22+23+…+22020+22021 ． 【题型24】多项式除以单项式的实际应用 【典型例题】某小区为了便民购物，计划在小区外一块长方形空地上建一座大型超市，已知长方形空地的面积为，宽为，则这块空地的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵长方形空地的面积为，宽为， ∴长为． 【举一反三1】若长方形面积是2a2-2ab+6a，一边长为2a，则这个长方形的周长是(　　) A.6a-2b+6 B.2a-2b+6 C.6a-2b D.3a-b+3 【答案】A 【解析】根据题意得：(2a2-2ab+6a)÷(2a)=a-b+3，则这个长方形的周长为2(2a+a-b+3)=6a-2b+6，故选A. 某小区为了便民购物，计划在小区外一块长方形空地上建一座大型超市，已知长方形空地的面积为(6y2＋y)平方米，宽为y米，则这块空地的长为(　　) A.6xy米    B.(6y＋1)米 C.(6y＋y)米    D.(6xy3＋y2)米 【答案】B 【举一反三3】小黄去水果店买元/斤的凤梨，共花费元，则他买了      斤凤梨． 【答案】 【解析】解：依题意，斤， 则他买了斤凤梨． 已知长方形的面积为2a2b－4a2＋6a，宽为2a，则长方形的长为　　　　. 【答案】 ab－2a＋3 【解析】 ∵长方形的面积为2a2b－4a2＋6a，宽为2a， ∴长方形的长为(2a2b－4a2＋6a)÷(2a)＝ab－2a＋3. 【举一反三5】如图，一个柱体工件的体积为．其形状和部分尺寸如图所示，求工件的长．（用含的式子表示） 【答案】解：根据题意得，工件的长 ． 【题型25】多项式除以单项式与其它运算的综合 【典型例题】已知，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：， ． 【举一反三1】下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：A，，原式计算错误，不符合题意； B，，原式计算错误，不符合题意； C，，原式计算正确，符合题意； D，，原式计算错误，不符合题意． 【举一反三2】下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：∵，原选项错误， 故A不合题意； ∵，原选项错误， ∴B不合题意； ∵，原选项错误， ∴C不合题意； ∵， ∴D合题意． 【举一反三3】阅读材料：多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算，可用竖式计算，如图： 所以除以，商式为，余式为0． 请根据阅读材料回答下列问题： 若能被整除，则      ． 【答案】2 【解析】解：设商式为， 则有, , , , , ． 计算：(1)(3a＋b)(a－2b)； (2)(7x2y3z－2xy)÷(xy). 【答案】 解　(1)(3a＋b)(a－2b) ＝3a2－6ab＋ab－2b2 ＝3a2－5ab－2b2. (2)(7x2y3z－2xy)÷(xy) ＝7xy2z－2. 【举一反三5】先化简，再求值：，其中． 【答案】解： ． 当时， 原式． 学科网（北京）股份有限公司 $