20.2勾股定理的逆定理及其应用寒假预习讲义（2知识点+6题型+过关检测）2025-2026学年人教版八年级数学下册寒假预习

20.2勾股定理的逆定理及其应用寒假预习讲义 （2知识点+6题型+过关检测） 【知识点1 勾股定理的逆定理】 1 【知识点2 勾股数】 2 【题型1 判断三边能否构成直角三角形】 2 【题型2 在网格中判断直角三角形】 4 【题型3 利用勾股定理逆定理求解】 7 【题型4 勾股定理逆定理的实际应用】 11 【题型5 勾股定理逆定理的拓展问题】 16 模块二 知识点梳理 【知识点1 勾股定理的逆定理】 1.定义 如果三角形的三边长a，b，c满足 那么这个三角形是直角三角形，我们称它为勾股定理的逆定理. 2.运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤 (1)确定三角形的最长边； (2)分别计算出最长边的平方与另两边的平方和； (3)通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等； (4)作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形. 注意：(1)若用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形，则其中最长边所对的角是直角.不能机械地认为c边所对的角必是直角，例如：若 则a边所对的角是直角. (2)勾股定理的逆定理在叙述时不能说成“当斜边长的平方等于两条直角边长的平方和时，这个三角形是直角三角形”.在未判定三角形为直角三角形前，不能称最长边为“斜边”、较短的两边为“直角边”. 3.勾股定理与其逆定理的区别 定理 区别 勾股定理 (1)以“一个三角形是直角三角形”为题设，以“这个直角三角形三边的关系、即 (c为斜边)”为结论； (2)是在直角三角形中探求边的关系，体现了由“形”到“数”的转化 匈股定理的逆定理 (1)是以“一个三角形的三边满足 (c为最长边)”为题设，以“这个三角形为直角三角形”为结论； (2)是由三角形的三边关系探求三角形的形状，体现了由“数”到“形”的转化 拓展 三角形的三边长分别是a，b，c(a是最长边)： ①若 则这个三角形是直角三角形； ②若 ，则这个三角形是钝角三角形； ③若 ，则这个三角形是锐角三角形. 【知识点2 勾股数】 1.勾股数的概念 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即 中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数. 2.常见的勾股数 ①3,4,5;②6,8,10;③8,15,17;④7,24,25;⑤5,12,13;⑥9,12,15.常见的勾股数需牢记，平时在解决问题时常用，有利于打开思路. 3.勾股数的求法 (1)如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有 b+c，那么a，b，c为一组勾股数.如3为大于1的奇数，4，5为两个连续自然数,且3²=4+5,则3,4,5为一组勾股数,还有5,12,13;7,24,25;9,40,41;11,60,61;…, (2)如果a,b,c为一组勾股数,则 na,nb,nc也是一组勾股数,其中n(n≥1)为自然数.例如3，4，5是一组勾股数，那么6，8，10也是一组勾股数,9,12,15也是一组勾股数. 注意 一组数是勾股数必须同时满足两个条件：(1)这三个数都是正整数；(2)两个较小数的平方和等于数大数的平方.这两个条件缺一不可. 模块三 题型汇总 【题型1 判断三边能否构成直角三角形】 【典例1】．．下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据两条较短边的平方和是否等于最长边的平方来判断是否能组成直角三角形． 【详解】解：A．，故不能组成直角三角形． B．，故能组成直角三角形． C．，故不能组成直角三角形． D．，故不能组成直角三角形． 故选：B． 变式1-1．以下列每组数为三角形的边长，能作出直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．通过勾股定理判断每组数是否满足两边的平方和等于第三边的平方． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、，满足勾股定理，能作出直角三角形，故此选项符合题意； D、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 变式1-2．下列选项中的三条线段的长度不能组成直角三角形的是（　） A．3，4，5 B．6，8，10 C．，2， D．5，12，13 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解： A、，，，能组成直角三角形； B、，，，能组成直角三角形； C、，，，不能组成直角三角形； D、，，，能组成直角三角形， 故选：C． 变式1-3．由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理．通过验证各选项是否满足勾股定理或角度是否为90度来判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，∴以a为斜边的三角形是直角三角形； B、∵，∴三角形是直角三角形； C、∵，∴以c为斜边的三角形是直角三角形． D、设，则，∴，∴，∴三角形不是直角三角形． 故选：D． 【题型2 在网格中判断直角三角形】 【典例2】．如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则 ． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理求出各边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，进而求出的度数． 【详解】解：连接，如图． 由题意得，，， ，． 是等腰直角三角形． ． 【点睛】本题考查了勾股定理及等腰直角三角形的判定，解题关键是通过勾股定理求出三角形三边长度，结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，进而得出角的度数． 变式2-1．已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作 个． 【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全面是解题的关键． 分别以中A，B，C三个点为直角三角形的直角顶点，分三种情况分别讨论即可． 【详解】解：如下图， 当为斜边即点C为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且A点为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且B点为直角顶点，则第三个点C所在位置有：，，三个． ∴能作7个为边的直角三角形． 故答案为：7． 变式2-2．如图所示的边长为1的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点B到边的距离等于 ． 【答案】 【分析】本题以网格背景考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理判断直角三角形，是解题的关键． 先用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，，即得点B到的距离为边． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴点B到的距离为． 故答案为：． 变式2-3．如图是由16个边长为1的小正方形拼成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，请在下列三个网格中，以格点为顶点分别按下列要求，将图形画在对应网格中，并注明各边的长度． (1)使三边的长度都是有理数的直角三角形． (2)使三边的长度都是无理数的直角三角形． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用， 对于（1），以3,4,5为边作出直角三角形即可； 对于（2），以为边长画出直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图所示，，则即为所求作； （2）解：如图所示，，，，可知， 所以是直角三角形． 【题型3 利用勾股定理逆定理求解】 【典例3】．如图，在中，，若将沿折叠，使得点与上的点重合，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，掌握三角形高相等，面积之比等于底之比是解题的关键． 先用勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，根据边长求出的面积，再由折叠可知和有一条高相等，则面积之比等于底之比，即可求解． 【详解】解：， ， 是直角三角形， ， 由折叠可知， ， ． 故选：B． 变式3-1．如图，已知在中，为边的中线，，，．求的面积． 【答案】的面积为6 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，掌握相应知识的运用是解题的关键． 延长至点，使，连接，可证，则，，则，根据勾股定理逆定理可得，计算出的面积即可求解． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接， ∵为边的中线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴． 变式3-2．已知一个三角形的三边长分别为，，3，则其最短边上中线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的中线，先由勾股定理逆定理得出该三角形为直角三角形，得出最短边为，从而可得最短边的一半为，再由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴该三角形为直角三角形， ∵， ∴， ∴最短边为， ∴最短边的一半为， 故由勾股定理可得：其最短边上中线的长为， 故答案为：． 变式3-3．如图，在中，平分，，，且的面积为4，则的面积为 ． 变式：若，则 ， ． 【答案】 7 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，角平分线的性质定理等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，运用勾股定理以及角平分线的性质求解． 过点分别作的垂线，垂足分别为，根据角平分线性质定理得到，由面积法得到，即可求解，即可求解的面积；过点作于点，由面积法得到，则，即可求解，然后通过勾股定理逆定理证明，则，可得为等腰直角三角形，，通过等面积得到，，最后再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵的面积为4， ∴ ∴的面积为； 过点作于点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7，，． 【题型4 勾股定理逆定理的实际应用】 【典例4】．如图，一块四边形的空地米，米，米，米． (1)连接，试判断的形状； (2)为了绿化环境，计划在该空地上铺设草坪，若每铺设1平方米的草坪需要花费50元，则此块空地全部铺设草坪共需花费多少元？ 【答案】(1)直角三角形 (2)11700元． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理． （1）在中，根据勾股定理得的长，在中，勾股定理逆定理可得是直角三角形； （2）根据求出四边形的面积，即可算出费用． 【详解】（1）解：在中，，由勾股定理得：， ， ， （舍负）， ， ， ， 是直角三角形，即， （2）解： （平方米）． 费用：（元） 答：此块空地全部铺设草坪共需花费11700元． 变式4-1．如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口，，其中，．由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、垂线段最短的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用，以及利用垂线段最短判断最短距离是解题的关键． （1）先利用勾股定理的逆定理，验证三边是否满足，以此判断是否为直角三角形，进而得到与公路垂直，再根据“垂线段最短”确定是否为距离最近的路． （2）先设的长度为未知数，结合表示出的长度，再在中利用勾股定理列方程，求解出的长度，最后计算与的差值． 【详解】（1）解：，，， ，， ． 是直角三角形，且， ∴， 是村庄到公路距离最短的路； （2）解：， ． 由（1）可知， ， ， ，解得， ， 答：新修的小路比原来的路短． 变式4-2．如图，某社区有一块四边形空地．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)连接，试判断的形状，并写出证明过程； (2)求这块空地的面积． 【答案】(1)是直角三角形；见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，线段垂直平分线的性质，掌握直角三角形的判定方法是关键． （1）根据题意，运用勾股定理逆定理判定直角三角形，即可求解； （2）由面积公式得到，由勾股定理得到，则，，由此即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 由题意得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴这块空地的面积为． 变式4-3．第十五届全运会由广州、深圳等广东15个地市及香港、澳门共19个城市联合承办，在区域融合、制度实践、民生发展等多个维度都影响深远．运动场馆的选择和修缮首先要考虑噪音对周边居民的影响．如图，全运会前夕、施工队正在对场馆的一边进行修缮，居民楼在场馆的一边附近的点C处，点C距离点A、B分别为和，，施工作业周围的以内为受噪声影响区域． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)居民楼会受噪声影响吗？为什么？ 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)居民楼不会受噪声影响，理由见解析 【分析】该题考查了勾股定理的应用． （1）根据勾股定理逆定理即可解答； （2）如图，过点C作于点D，根据等面积法即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形． 理由如下：∵，，， ∴． ∴是直角三角形，且． （2）解：居民楼不会受噪声影响． 理由如下：如图，过点C作于点D． 则． ∴． ∴． ∵施工作业周围的以内为受噪声影响区域，， ∴居民楼不会受噪声影响． 【题型5 勾股定理逆定理的拓展问题】 【典例5】．在中，，则（    ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形边角关系，由已知条件入手，把进行变形，变形为，再利用三角形边角关系得,把其代入可得关系式，再利用完全平方公式得，可得，可得一定是锐角． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是三角形的三边， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴一定是锐角． 故选：A． 变式5-1．已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)60 (3)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据题意可得，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可； （2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且是斜边，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，再由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】（1）解：， 当时， ； 故答案为：； （2）解：，，， 当时，，，， ， 这个三角形是直角三角形，且是斜边， 这个三角形的面积是， 故答案为：； （3）解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 变式5-2．定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用． （1）根据完美勾股数的定义可得答案； （3）利用完全平方公式证明即可； （3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可． 【详解】（1）解：， 数10是“完美勾股数”， 故答案为：是； （2）证明： ， ， 是“完美勾股数”； （3）解：由题意得：， ， ， ， ， ， 又， ，即， ， 有一个因式为， ， ∴另一个因式为． 变式5-3．若正整数a，b，c满足方程，则称这一组正整数为“商高数”．下面列举5组“商高数”：，，，，，注意这5组“商高数”的结构有如下规律： 根据以上规律，回答以下问题： (1)写出各数都大于30的两组“商高数”； (2)用两个正整数表示一组“商高数”，并证明你的结论． 【答案】(1)两组数为：   (2)“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，证明见解析 【分析】（1）根据“商高数”的规律，设正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，取适当的值代入即可； （2）由（1）总结的“商高数”规律，直接证明即可. 【详解】（1）解：根据“商高数”的规律，设正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，通过选择合适的使用均大于； 第一组：取，即. 第二组：取，即. （2）解：用两个正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组， 设， 证明：， ， ， . . 即：“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组”． 【点睛】本题考查了新定义问题中的规律问题，实质上是勾股数的规律问题，找出数列规律是解题的关键. 1．下列三条线段能组成直角三角形的是（   ）模块四 过关检测 A．1，2，3 B．1，2， C．2，3，4 D．，2， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形三边关系，实数的混合运算， 根据三角形三边关系和勾股定理的逆定理，若三角形三边满足（为最长边），则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项是否满足条件即可． 【详解】解：A：，不满足三角形三边关系，无法构成三角形； B：，能组成直角三角形； C：，不能组成直角三角形； D：，不能组成直角三角形． 故选：B． 2．下列命题中是假命题的是（   ） A．算术平方根等于本身的数是0和1 B．同旁内角相等，两直线平行 C．位于第三象限内的点，横纵坐标都是负数 D．若三角形的三边长a，b，c满足，则这个三角形是直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了真假命题的判断，算术平方根、平行线的判定、勾股定理的逆定理及各象限内点的坐标特征等知识，掌握这些知识是关键；根据相关知识逐一判断各命题的真假，选项B中同旁内角相等不一定推出两直线平行，故为假命题. 【详解】解：∵ 选项A：算术平方根非负，仅0和1的算术平方根等于自身，正确； ∵ 选项B：同旁内角相等时，两直线不一定平行（如两条相交直线被截时同旁内角可能相等），错误； ∵ 选项C：第三象限内点横纵坐标均负，正确； ∵ 选项D：满足的三角形为直角三角形（勾股定理逆定理），正确； ∴ 假命题是B． 故选：B． 3．如图，在中，，于点，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积．根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，进而根据等面积法求得，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴是直角三角形，且 ∵， ∴是边上的高， ∵ ∴， 在中， 故选：A． 4．满足下列条件时，不是直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，通过计算或推导判断三角形是否为直角三角形． 分别用勾股定理逆定理和三角形内角和定理，对每个选项判断是否为直角三角形． 【详解】解：A、，，，是直角三角形，不符合题意； B、，设，，，无角，不是直角三角形，符合题意； C、，设，，，，是直角三角形，不符合题意； D、，即，，是直角三角形，不符合题意； 综上， 只有选项B不是直角三角形． 故选：B． 5．已知是的三边．有下列两种说法：①若，则是直角三角形；②若，则是直角三角形．下列判断正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都正确 D．①，②都错误 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和，勾股定理的逆定理，说法①通过三角形内角和计算角度，无；说法②通过勾股定理的逆定理验证满足直角三角形条件． 【详解】解：①：∵，设， 则， ∴，，无，故不是直角三角形，①错误. 对于说法②：∵，设，则，满足勾股定理的逆定理，故是直角三角形，②正确. 故选：B． 6．如图，在平面直角坐标系中，，．若点A的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，作轴，轴，根据题意证得，再根据全等三角形的性质可得，，又已知点的坐标，即可得点的坐标，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作轴，轴，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 故选：． 7．已知的三边长分别是1，3，，则最长的边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，等面积法，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答． 先根据勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再利用面积法求斜边上的高． 【详解】解：∵ ， ∴ △ABC是直角三角形，直角边长为和，斜边长为． 设斜边上的高为， 则三角形面积为， 解得． 故答案为：． 8．若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足，则这个三角形按形状分类是 三角形． 【答案】直角 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，绝对值和算术平方根的非负性，解题的关键是掌握以上知识点． 利用非负数的性质求出三角形的三边长，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】解：∵，且，，， ∴，，， 解得，，， ∵，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，边为斜边． 故答案为：直角． 9．如图，在的正方形网格中， ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理. 求出，可知． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∴. 故答案为：． 10．中，是两内角平分线的交点，；到的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质及勾股定理的逆定理，正确得出，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．过点作于，于，于，连接，根据角平分线的性质得出，根据勾股定理的逆定理得出，利用等积法求出的值即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，于，于，连接， ∵是两内角平分线的交点， ∴平分， ∴， ∵，， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴到的距离是． 故答案为： 11．如图，中，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上一个动点，当周长最小时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换、勾股定理及逆定理，轴对称的性质，掌握其性质是解决此题关键，根据翻折的性质及勾股定理的逆定理可得为直角三角形，设，则，然后再由勾股定理可得答案． 【详解】解：由题意可知，两点关于射线对称， ∴， ∵为定值， 要使周长最小，即最小， ∴由两点之间线段最短知，与射线的交点，即为使周长最小的点，如图所示， ∵ ，且， ∴ ， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， ∴， ∴， 故答案为： ． 12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的三边长，再利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）根据（1）可得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 由勾股定理和网格的特点可得，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）可得， ∴． 13．如图，四边形中，，，，，． (1)求四边形的面积． (2)建立适当的平面直角坐标系，写出四边形各个顶点的坐标． 【答案】(1)144 (2)建立平面直角坐标系见解析，，，， 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，坐标与平面． （1）连接，先由勾股定理逆定理证明，再由求解即可； （2）以为原点，分别以，所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系．此时点的坐标是，过点作轴于点，由面积法得到，求出，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， ，，， ， 在中，， 是直角三角形，， ； （2）解：如图2，以为原点，分别以，所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系．此时点的坐标是． 由，，可得点的坐标是，点的坐标是． 过点作轴于点， ， 点的坐标是 14．我们把有一个内角等于的直角三角形叫做“型直角三角形”， (1)如图，已知，在中，，，，求证：是“型直角三角形”； (2)请你用三个不全等的“型直角三角形”拼成一个“型直角三角形”， 并画出这个拼图． 画图要求： ①只要给出一种画法．三个“型直角三角形”不能重叠、不能有缝隙． ②在图中标出每个“型直角三角形”的每个锐角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用勾股定理的逆定理可证明是直角三角形，延长至，使，连接，则，由已知可得，所以，因为，可得，所以，则为等边三角形，故，则可得，即可证明是“型直角三角形”； （2）由“型直角三角形”的定义知，其为直角三角形，且两锐角分别为，根据定义画图即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， ∴， ∴为直角三角形． 延长至，使，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴是“型直角三角形”； （2）解：如图，三个“型直角三角形”拼成“型直角三角形”． 15．阅读下列内容，设a，b，c是一个三角形的三条边长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三边长之间的关系来判断这个三角形的形状： ①若，则该三角形是直角三角形； ②若，则该三角形是钝角三角形； ③若，则该三角形是锐角三角形． 例如：一个三角形的三边长分别是4，5，6，最长边是6，由于，故由③可知，该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： (1)若一个三角形的三条边长分别是2，3，4，则该三角形是 三角形； (2)若一个三角形的三条边长分别是7，24，x，且这个三角形是直角三角形，则x的值为 ； (3)若一个三角形的三条边长分别是，，，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程． 【答案】(1)钝角 (2)或 (3)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，并能计算推理论证是解决问题的关键． （1）根据题意，由，即可得出结论； （2）由勾股定理可得或，求解即可； （3）先得到为最长边，求出，即可做答． 【详解】（1）解：∵， ∴该三角形是钝角三角形， 故答案为：钝角； （2）解：∵这个三角形的三条边的长分别是7，24，x，且这个三角形是直角三角形， ∴或， 解得或（负值均舍去）， ∴x的值为或； 故答案为：或； （3）解：这个三角形是直角三角形．过程如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴取为最长边， ∵ ， ∴， ∴这个三角形是直角三角形． 16．【项目式学习】 【项目主题】合理规划，绿色家园 【项目背景】某小区有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口．为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动． 任务一：实地测绘 小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道与交于点，．小组成员又借助电子角度仪测得，平分 道路 长度（米） 80 60 60 36 64 50 任务二：数学计算 根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算： (1)求道路和的长； (2)任务三：方案设计 根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），并画出需要增设的小路． 【答案】(1)道路的长为50米；的长为米； (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和已知条件得出，进而根据等角对等边，可求解；利用勾股定理的逆定理证明，勾股定理求得，证明，，进而根据等面积法即可求解； （2）由（1）可得垂直平分，根据两点之间线段最短可得的交点到的距离之和最小，又，则到4栋距离最小的点即为点． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故道路的长为50米； ∵，，，， ∴，， ∴， 又∵， 在中， ∴， ∴，， ∵ ∴ 故的长为米； （2）解：由（1）可得垂直平分，根据两点之间线段最短可得的交点到的距离之和最小，又，则到4栋距离最小的点即为点，如图所示： ． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂直平分线的性质与判定，两点之间线段最短，等腰三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.2勾股定理的逆定理及其应用寒假预习讲义 （2知识点+6题型+过关检测） 【知识点1 勾股定理的逆定理】 1 【知识点2 勾股数】 2 【题型1 判断三边能否构成直角三角形】 2 【题型2 在网格中判断直角三角形】 3 【题型3 利用勾股定理逆定理求解】 3 【题型4 勾股定理逆定理的实际应用】 4 【题型5 勾股定理逆定理的拓展问题】 5 模块二 知识点梳理 【知识点1 勾股定理的逆定理】 1.定义 如果三角形的三边长a，b，c满足 那么这个三角形是直角三角形，我们称它为勾股定理的逆定理. 2.运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤 (1)确定三角形的最长边； (2)分别计算出最长边的平方与另两边的平方和； (3)通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等； (4)作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形. 注意：(1)若用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形，则其中最长边所对的角是直角.不能机械地认为c边所对的角必是直角，例如：若 则a边所对的角是直角. (2)勾股定理的逆定理在叙述时不能说成“当斜边长的平方等于两条直角边长的平方和时，这个三角形是直角三角形”.在未判定三角形为直角三角形前，不能称最长边为“斜边”、较短的两边为“直角边”. 3.勾股定理与其逆定理的区别 定理 区别 勾股定理 (1)以“一个三角形是直角三角形”为题设，以“这个直角三角形三边的关系、即 (c为斜边)”为结论； (2)是在直角三角形中探求边的关系，体现了由“形”到“数”的转化 匈股定理的逆定理 (1)是以“一个三角形的三边满足 (c为最长边)”为题设，以“这个三角形为直角三角形”为结论； (2)是由三角形的三边关系探求三角形的形状，体现了由“数”到“形”的转化 拓展 三角形的三边长分别是a，b，c(a是最长边)： ①若 则这个三角形是直角三角形； ②若 ，则这个三角形是钝角三角形； ③若 ，则这个三角形是锐角三角形. 【知识点2 勾股数】 1.勾股数的概念 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即 中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数. 2.常见的勾股数 ①3,4,5;②6,8,10;③8,15,17;④7,24,25;⑤5,12,13;⑥9,12,15.常见的勾股数需牢记，平时在解决问题时常用，有利于打开思路. 3.勾股数的求法 (1)如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有 b+c，那么a，b，c为一组勾股数.如3为大于1的奇数，4，5为两个连续自然数,且3²=4+5,则3,4,5为一组勾股数,还有5,12,13;7,24,25;9,40,41;11,60,61;…, (2)如果a,b,c为一组勾股数,则 na,nb,nc也是一组勾股数,其中n(n≥1)为自然数.例如3，4，5是一组勾股数，那么6，8，10也是一组勾股数,9,12,15也是一组勾股数. 注意 一组数是勾股数必须同时满足两个条件：(1)这三个数都是正整数；(2)两个较小数的平方和等于数大数的平方.这两个条件缺一不可. 模块三 直线的相交 【题型1 判断三边能否构成直角三角形】 【典例1】．．下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7 变式1-1．以下列每组数为三角形的边长，能作出直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 变式1-2．下列选项中的三条线段的长度不能组成直角三角形的是（　） A．3，4，5 B．6，8，10 C．，2， D．5，12，13 变式1-3．由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 在网格中判断直角三角形】 【典例2】．如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则 ． 变式2-1．已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作 个． 变式2-2．如图所示的边长为1的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点B到边的距离等于 ． 变式2-3．如图是由16个边长为1的小正方形拼成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，请在下列三个网格中，以格点为顶点分别按下列要求，将图形画在对应网格中，并注明各边的长度． (1)使三边的长度都是有理数的直角三角形． (2)使三边的长度都是无理数的直角三角形． 【题型3 利用勾股定理逆定理求解】 【典例3】．如图，在中，，若将沿折叠，使得点与上的点重合，则的面积为（   ） A． B． C． D． 变式3-1．如图，已知在中，为边的中线，，，．求的面积． 变式3-2．已知一个三角形的三边长分别为，，3，则其最短边上中线的长为 ． 变式3-3．如图，在中，平分，，，且的面积为4，则的面积为 ． 变式：若，则 ， ． 【题型4 勾股定理逆定理的实际应用】 【典例4】．如图，一块四边形的空地米，米，米，米． (1)连接，试判断的形状； (2)为了绿化环境，计划在该空地上铺设草坪，若每铺设1平方米的草坪需要花费50元，则此块空地全部铺设草坪共需花费多少元？ 变式4-1．如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口，，其中，．由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少． 变式4-2．如图，某社区有一块四边形空地．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)连接，试判断的形状，并写出证明过程； (2)求这块空地的面积． 变式4-3．第十五届全运会由广州、深圳等广东15个地市及香港、澳门共19个城市联合承办，在区域融合、制度实践、民生发展等多个维度都影响深远．运动场馆的选择和修缮首先要考虑噪音对周边居民的影响．如图，全运会前夕、施工队正在对场馆的一边进行修缮，居民楼在场馆的一边附近的点C处，点C距离点A、B分别为和，，施工作业周围的以内为受噪声影响区域． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)居民楼会受噪声影响吗？为什么？ 【题型5 勾股定理逆定理的拓展问题】 【典例5】．在中，，则（    ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能 变式5-1．已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 变式5-2．定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 变式5-3．若正整数a，b，c满足方程，则称这一组正整数为“商高数”．下面列举5组“商高数”：，，，，，注意这5组“商高数”的结构有如下规律： 根据以上规律，回答以下问题： (1)写出各数都大于30的两组“商高数”； (2)用两个正整数表示一组“商高数”，并证明你的结论． 1．下列三条线段能组成直角三角形的是（   ）模块四 过关检测 A．1，2，3 B．1，2， C．2，3，4 D．，2， 2．下列命题中是假命题的是（   ） A．算术平方根等于本身的数是0和1 B．同旁内角相等，两直线平行 C．位于第三象限内的点，横纵坐标都是负数 D．若三角形的三边长a，b，c满足，则这个三角形是直角三角形 3．如图，在中，，于点，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 4．满足下列条件时，不是直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 5．已知是的三边．有下列两种说法：①若，则是直角三角形；②若，则是直角三角形．下列判断正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都正确 D．①，②都错误 6．如图，在平面直角坐标系中，，．若点A的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．已知的三边长分别是1，3，，则最长的边上的高为 ． 8．若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足，则这个三角形按形状分类是 三角形． 9．如图，在的正方形网格中， ． 10．中，是两内角平分线的交点，；到的距离是 ． 11．如图，中，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上一个动点，当周长最小时，的长为 ． 12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 13．如图，四边形中，，，，，． (1)求四边形的面积． (2)建立适当的平面直角坐标系，写出四边形各个顶点的坐标． 14．我们把有一个内角等于的直角三角形叫做“型直角三角形”， (1)如图，已知，在中，，，，求证：是“型直角三角形”； (2)请你用三个不全等的“型直角三角形”拼成一个“型直角三角形”， 并画出这个拼图． 画图要求： ①只要给出一种画法．三个“型直角三角形”不能重叠、不能有缝隙． ②在图中标出每个“型直角三角形”的每个锐角的度数． 15．阅读下列内容，设a，b，c是一个三角形的三条边长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三边长之间的关系来判断这个三角形的形状： ①若，则该三角形是直角三角形； ②若，则该三角形是钝角三角形； ③若，则该三角形是锐角三角形． 例如：一个三角形的三边长分别是4，5，6，最长边是6，由于，故由③可知，该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： (1)若一个三角形的三条边长分别是2，3，4，则该三角形是 三角形； (2)若一个三角形的三条边长分别是7，24，x，且这个三角形是直角三角形，则x的值为 ； (3)若一个三角形的三条边长分别是，，，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程． 16．【项目式学习】 【项目主题】合理规划，绿色家园 【项目背景】某小区有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口．为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动． 任务一：实地测绘 小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道与交于点，．小组成员又借助电子角度仪测得，平分 道路 长度（米） 80 60 60 36 64 50 任务二：数学计算 根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算： (1)求道路和的长； (2)任务三：方案设计 根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），并画出需要增设的小路． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $