精品解析：四川省广元市苍溪县职业高级中学2024—2025学年高二名匠班下学期期中测试数学试卷

四川省苍溪县职业高级中学 2025年春季学期2023级名匠班期中测试 数学 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（共60分） 注意事项： 1.必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2.第Ⅰ卷共1大题，15小题，每小题4分，共60分. 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知，，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则且 6. 双曲线的渐近线方程是（    ） A. B. C. D. 7. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（ ）． A. B. C. D. 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，正三棱柱的底边长为2，高为1，则二面角的大小是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 11. 将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图像的解析式是（ ） A. ） B. C. D. 12. 函数 的图象是（ ） A. B. C. D. 13. 若，，表示三条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 14. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的解集为（ ） A. B. C. D. 15. 已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，有，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 第Ⅱ卷（共90分） 注意事项： 1.必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效. 2.第Ⅱ卷共2大题，11小题，共90分. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 16. 计算：________. 17. 函数的图象恒过点_______________. 18. 已知函数其中，是常数，若，则__________. 19. 如图所示是函数的部分图像，则该函数的解析式是____________． 20. 若函数是定义在上的偶函数，满足对任意的，都有，且，则不等式的解集为____________________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用，某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有人参加笔试，他们的笔试成绩在内，将笔试成绩按照，，…，分组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值. （2）求笔试成绩的中位数，众数，平均成绩. 22. 已知函数. （1）求函数的最小正周期与单调递增区间； （2）若，求的值域 23. 在中，，，分别是角，，所对的边，且. （1）求角的大小 （2）若，，求的值. 24. 如图所示，在直三棱柱中，，是的中点，求证： （1）平面 （2）平面平面 25. 已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点． （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线交于，两点，双曲线的右焦点为，求的面积． 26. 定义在上的奇函数对任意都有，当时，则 （1）证明：函数在上单调递增； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省苍溪县职业高级中学 2025年春季学期2023级名匠班期中测试 数学 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（共60分） 注意事项： 1.必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2.第Ⅰ卷共1大题，15小题，每小题4分，共60分. 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用列举法表示集合，结合交集的定义即可得解. 【详解】，， 则， 故选：. 2. 已知平面向量，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量内积的坐标表示运算即可. 【详解】已知平面向量，， 则，， 故选：B. 3. 已知，，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】因为，， 当时，不一定能推出且， 例如，满足，但不符合且，故充分性不成立； 当且时，成立，故必要性成立， 所以“”是“且”的必要不充分条件， 故选：. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分母不为零和对数函数真数大于零可求. 【详解】要使函数有意义，需满足， 解得且，即； 故选：D. 5. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则且 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质求解即可. 【详解】解：因为当时，，所以A错误； 因为，所以，即B正确； 因为，所以，即C错误； 因为，所以或，即D错误. 故选：B. 6. 双曲线的渐近线方程是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的性质即可得出渐近线方程. 【详解】因为双曲线方程为， 所以半实轴长半虚轴长，焦点在轴上， 根据双曲线的渐近线方程得 双曲线的渐近线方程为. 故选：A 7. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性与对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】已知，因为在上为增函数， 由，得，即， 已知，因为在上为减函数， 由，得，即， 已知，因为在上为减函数， 由，得，即， 所以， 故选：A. 8. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数、一次函数、正比例函数、余弦函数的奇偶性和单调性，结合题意，即可判断求解. 【详解】二次函数是偶函数，且在区间上单调递减，在区间上单调递增，故选项A不符合题意； 一次函数是非奇非偶函数，且在实数集R上单调递增，故选项B不符合题意； 正比例函数是奇函数，且在实数集R上是减函数，故选项C符合题意； 余弦函数是偶函数，且在区间单调递减，在区间单调递增，故选项D不符合题意； 故选：C . 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系及二倍角公式求出，再根据诱导公式化简求解即可. 【详解】由可得： ，解得， 则. 故选：D. 10. 如图所示，正三棱柱的底边长为2，高为1，则二面角的大小是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】A 【解析】 【分析】取中点,连接，可证明为二面角的平面角，再根据正三棱柱的性质求出即可. 【详解】 如图所示:取中点,连接. 因为为正三棱柱. 所以. 所以. 所以为二面角的平面角. 因为为中点,. 所以. 又因为平面. 平面. 所以. 所以且. 所以. 故选:. 11. 将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图像的解析式是（ ） A. ） B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据左加右减进行左右平移，然后根据横坐标伸长到原来的2倍时变为原来的倍进行横向变换. 【详解】函数的图像上所有的点向右平行移动个单位得到， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到， 故选：C 12. 函数 的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊取值法和绝对值的范围排除选项易得答案. 【详解】因为，故排除D； 当时，，故排除BC； 结合对数函数的性质可知A正确． 故选：A． 13. 若，，表示三条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系求解即可. 【详解】选项A，若，，则与可能平行、相交或异面，无法确定平行关系，故错误.， 选项B，若，，则与可能平行、相交或异面，无法确定平行关系，故错误， 选项C，若，，，则与均垂直于同一直线，根据面面平行的判定，，故正确， 选项D，若，，则与的关系不确定，可能平行、相交或在平面内，故错误. 故选：C. 14. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用奇偶函数的定义域性质求得，进而得到的单调性，从而利用的奇偶与单调性解抽象不等式即可得解. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 则，解得， 所以函数在上单调递增，则在上单调递减， 故由得，即，解得 故选：A. 15. 已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，有，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的定义确定函数的周期，得出求值即可. 【详解】已知是定义在上的奇函数， 由，得， 因为为周期为6的函数， 所以， 因为当时，有， 所以， 所以， 故选：A. 第Ⅱ卷（共90分） 注意事项： 1.必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效. 2.第Ⅱ卷共2大题，11小题，共90分. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 16. 计算：________. 【答案】 【解析】 【分析】由对数和指数的运算性质，计算即可. 【详解】 ， 故答案为：. 17. 函数的图象恒过点_______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数的性质求解. 【详解】对于函数， 令，即，此时， 因此，函数的图象恒过点. 故答案为：. 18. 已知函数其中，是常数，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求值即可. 【详解】已知函数， 令， 则， 由的定义域为， 且可得， 为奇函数， 因为，所以， 则，所以， 故答案为：. 19. 如图所示是函数的部分图像，则该函数的解析式是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图像可知最值和周期由此确定的值，再将点代入解析式确定的值即可. 【详解】由图可知，函数的最大值为，最小值为，所以， 因为，所以，即，解得， 则函数解析式为， 又由图可知，点在图像上， 所以，即， 所以，即， 因为，所以， 即函数解析式为， 故答案为：. 20. 若函数是定义在上的偶函数，满足对任意的，都有，且，则不等式的解集为____________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件确定函数的单调性，结合偶函数的性质解不等式. 【详解】已知对任意的，都有， 不妨设，则，得，即在上单调递减. 因为是定义在上的偶函数，所以， 可知的图象关于轴对称，所以在上单调递增， 已知，由偶函数的性质可得， 所以，当时，；当时，；当时，, 不等式等价于或， 所以或，解得或， 则不等式的解集为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用，某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有人参加笔试，他们的笔试成绩在内，将笔试成绩按照，，…，分组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值. （2）求笔试成绩的中位数，众数，平均成绩. 【答案】（1） （2）中位数为，众数为，平均成绩为 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1构造含方程求得的值即可. （2）根据频率直方图中众数，中位数和平均数的计算方法求值即可. 【小问1详解】 如图可知，组距为， 则， 即，解得. 【小问2详解】 由图可知，最高矩形的范围为， 所以众数为， 的频率为， 的频率为，累积， 的频率为，累积， 的频率为，累积， 所以中位数在内，设中位数为， 则，则. 的频率为， 的频率为， 平均成绩为 22. 已知函数. （1）求函数的最小正周期与单调递增区间； （2）若，求的值域 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式以及诱导公式进行化简，再根据正弦函数的性质求解即可. （2）根据正弦函数的值域求解即可. 【小问1详解】 化简得. 所以函数的最小正周期为. 令， 解得. 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，所以. 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值1， 当时，函数取得最大值. 因此函数的值域为. 23. 在中，，，分别是角，，所对的边，且. （1）求角的大小 （2）若，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理化简求值即可. （2）根据三角形面积公式和余弦定理列式求值即可. 【小问1详解】 已知， 由余弦定理得， 即，整理得， 由， 因为，所以. 【小问2详解】 已知， 则，即， 解得， 由，得， 所以，则， 因为，所以. 24. 如图所示，在直三棱柱中，，是的中点，求证： （1）平面 （2）平面平面 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，证出为的中位线，得，利用线面平行的判定定理，即可证出平面； （2）利用等腰三角形“三线合一”证出，根据平面证出，从而证出平面，结合是平面内的直线，利用面面垂直得判定定理，可得平面平面. 【小问1详解】 如图： 连接交于点，连接， 因为四边形为平行四边形， 所以为中点，又因为是的中点， 所以为的中位线，所以， 又因为平面，平面, 所以平面. 【小问2详解】 因为中，，， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又因为是平面内相交线， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面. 25. 已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点． （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线交于，两点，双曲线的右焦点为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可设双曲线的方程为，将点代入，求得即可； （2）解法一：将直线代入双曲线的方程，由韦达定理和弦长公式求得，再求出点到直线的距离，由求得结果； 解法二：将直线代入双曲线的方程，设，，由韦达定理求得，设与轴交于点，由求得结果． 【小问1详解】 根据题意可设双曲线的方程为，， 将点代入中，得，解得， 所以双曲线的方程为，即． 【小问2详解】 解法一：由（1）知，双曲线的方程为， 将直线代入中，整理得． 设，，由韦达定理可得，， 所以， 因为双曲线的标准方程为，所以双曲线的右焦点为， 又因为点到直线的距离， 所以． 解法二：因为双曲线的标准方程为，所以双曲线的右焦点为， 由（1）知，双曲线的方程为， 将直线代入中，整理得． 设，，由韦达定理可得，， 所以． 设与轴交于点，因为点在上，所以， 则． 26. 定义在上的奇函数对任意都有，当时，则 （1）证明：函数在上单调递增； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据单调性的定义证明； （2）先利用函数的奇偶性和单调性对不等式进行化简，然后通过换元法将问题转化为关于新变量的不等式恒成立问题，最后根据二次函数的性质求解实数的取值范围. 【小问1详解】 设，且，则， 因为当时，，所以， 又因为， 令，，则， 所以，即， 所以函数在上单调递增. 【小问2详解】 因为是奇函数，所以， 已知，则， 又因为在上单调递增，所以， 令，则不等式可化为对任意恒成立， 令，其对称轴为， 当，即时，，此时在上恒大于，符合题意； 当，即时，在上的最小值为， 要使对任意恒成立，则需满足，解得， 综上，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $