2.4.1-2.4.2 导数的加法与减法法则 导数的乘法与除法法则-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“导数的四则运算法则”核心知识点，承接上节课基本初等函数求导公式，通过情境引入自然过渡，系统梳理加减法则（和差导数等于导数和差）、乘除法则（乘积导数公式、商的导数公式及常数因子法则），构建从公式理解到综合应用的学习支架。 该资料以课程标准为指引，通过预习自测夯实基础，例题与变式训练分层递进，如切线方程求解培养数学运算与逻辑推理素养。课中助力教师高效授课，课后通过基础达标、能力提升等练习，帮助学生查漏补缺，强化知识应用与核心素养发展。

§4　导数的四则运算法则 4．1　导数的加法与减法法则 4．2　导数的乘法与除法法则 课程标准 素养解读 1.能利用导数的四则运算法则，求简单函数的导数． 2．进一步理解导数的运算与几何意义的综合应用. 1.通过运用导数四则运算法则求解简单的导数问题，培养数学运算的核心素养． 2．通过导数的综合应用，达成逻辑推理和数学运算的核心素养. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [情境引入] 上节课学习了基本初等函数求导公式和它们的应用．那么导数可以进行四则运算吗？这是我们这节课要研究的问题． [知识梳理] [知识点一]　导数的加法与减法法则　 两个函数和(或差)的导数等于　这两个函数导数　的和(或差)，即[f(x)＋g(x)]′＝　f′(x)＋g′(x)　，[f(x)－g(x)]′＝　f′(x)－g′(x)　. [知识点二]　导数的乘法与除法法则　 一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，′＝(g(x)≠0)． 特别地，当g(x)＝k时，有[kf(x)]′＝　kf′(x)　. [预习自测] 1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)和的导数就是导数的和，差的导数就是导数的差．(　　) (2)积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商．(　　) (3)(x2cos x)′＝－2xsin x．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．函数y＝x3·2x的导函数是(　　) A．y′＝3x2·2x B．y′＝2x3·2x C．y′＝3x2·2x＋2xln 2 D．y′＝3x2·2x＋2x·x3ln 2 解析：D　[y′＝(x3·2x)′＝(x3)′·2x＋x3·(2x)′＝3x2·2x＋2x·x3ln 2.] 3．某人拉着一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，这个函数可以表示为W＝W(t)＝t3－6t2＋16t，则W′(1)，W′(2)分别为　________　 J/s，　________　 J/s. 解析：W′(t)＝3t2－12t＋16，W′(1)＝7(J/s)，W′(2)＝4(J/s)． 答案：7　4 4．(1)′＝　________　；(2)(xex)′＝　________　. 解析：(1)′＝＝； (2)(xex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex. 答案：(1)　(2)(1＋x)ex 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 导数四则运算法则的应用 [例1]　求下列函数的导数： (1)y＝x5－x3＋3x＋；(2)y＝(3x5－4x3)·(4x5＋3x3)；(3)y＝3＋4. [解]　(1)y′＝′＝′－′＋(3x)′＋()′ ＝x4－4x2＋3. (2)法一∶y′＝(3x5－4x3)′(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(4x5＋3x3)′＝(15x4－12x2)(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(20x4＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5＝120x9－56x7－72x5. 法二：∵y＝12x10－7x8－12x6，∴y′＝120x9－56x7－72x5. (3)y′＝(3＋4)′＝(3x)′＋(4x)′＝4x＋6x＝4＋6. 1．多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便． 2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导． [变式训练] 1．求下列函数的导数． (1)y＝x－2＋x2；(2)y＝3xex－2x＋e； (3)y＝；(4)y＝x2－sin cos. 解：(1)y′＝2x－2x－3. (2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2. (3)y′＝. (4)∵y＝x2－sincos＝x2－sin x，∴y′＝2x－cos x. 利用导数求曲线的切线方程 [例2]　(1)函数y＝3sin x在x＝处的切线斜率为　________　. (2)已知函数f(x)＝ax2＋ln x的导数为f′(x)． ①求f(1)＋f′(1)； ②若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围． [解析]　(1)由函数y＝3sin x，得y′＝3cos x， 所以函数在x＝处的切线斜率为3×cos＝. [答案]　 (2)解：①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝ax2＋ln x, 得f′(x)＝2ax＋，所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1. ②因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋存在零点，即f′(x)＝0，所以2ax＋＝0有正实数解，即2ax2＝－1有正实数解，故有a＜0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)． 求切线的注意点 1．求曲线的切线方程一定要分清是求曲线在点P处的切线方程，还是求过点P与曲线相切的直线方程． 2．本题中点(1，－1)虽然在曲线上，但经过该点的切线不一定只有一条，即该点可能是切点，也可能是切线与曲线的交点． [变式训练] 2．(1)(2021·全国甲卷)曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为　________　. (2)求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程． 解：(1)由题可知，当x＝－1时，y＝－3，故点在曲线上．求导得： y′＝＝，所以当x＝－1时得切线斜率k＝5.故切线方程为5x－y＋2＝0. 答案：5x－y＋2＝0 (2)解：设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为k＝ f′(x)＝3x－2， 故切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)．　① ∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x－2x0.　② 又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)． 解得x0＝1或x0＝－.∴k＝1或k＝－. 故所求的切线方程为y＋1＝x－1 或y＋1＝－(x－1)，即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0. 导数运算法则的综合应用 [例3]　若点P是曲线y＝x2－ln x－1上任意一点，则点P到直线y＝x－3的最小距离为(　　) A．1　　　　　　　　　 B. C. D．2 [解析]　因为点P是曲线y＝x2－ln x－1上任意一点，所以当点P处的切线和直线y＝x－3平行时，点P到直线y＝x－3的距离最小，因为直线y＝x－3的斜率等于1，曲线y＝x2－ln x－1的导数y′＝2x－，令y′＝1，可得x＝1或x＝－(舍去)，所以在曲线y＝x2－ln x－1与直线y＝x－3平行的切线经过的切点坐标为(1,0)，所以点P到直线y＝x－3的最小距离为d＝＝. [答案]　C 解决与切线有关的问题时，要充分运用切点的坐标．特别是切点的横坐标，因为切点的横坐标与导数有着直接的联系． [变式训练] 3. (2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是　________　.解析：∵y＝(x＋a)ex，∴y′＝(x＋1＋a)ex， 设切点为(x0，y0)，则y0＝(x0＋a)ex0，切线斜率k＝(x0＋1＋a)ex0， 切线方程为：y－(x0＋a)ex0＝(x0＋1＋a)ex0(x－x0)， ∵切线过原点，∴－(x0＋a)ex0＝(x0＋1＋a)ex0(－x0)， 整理得：x＋ax0－a＝0， ∵切线有两条，∴Δ＝a2＋4a＞0，解得a<－4或a>0， ∴a取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞) [当堂达标] 1．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为(　　) A．y＝3x－4　　　　 B．y＝－3x＋2 C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5 解析：B　[∵点(1，－1)在曲线y＝x3－3x2＋1上，该点处切线的斜率为k＝y′|x＝1＝(3x2－6x)|x＝1＝3－6＝－3，∴切线方程为y＋1＝－3(x－1)，即y＝－3x＋2.] 2．已知f(x)＝x2＋2f′(1)x，则f′(0)等于(　　) A．2 B．－2 C．－4 D．0 解析：C　[∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，解得f′(1)＝－2. ∴f′(x)＝2x－4.∴f′(0)＝－4.] 3．若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝　________　. 解析：因为y′＝α·xα－1，所以在点(1,2)处的切线斜率k＝α，切线方程为y－2＝α(x－1)．又切线过原点，故0－2＝α(0－1)，解得α＝2. 答案：2 4．求下列函数的导数 (1)y＝x3ex；(2)y＝. 解：(1)y′＝(x3ex)′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex. (2)y′＝′＝＝＝. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．函数f(x)＝(x＋1)2的导函数为(　　) A．f′(x)＝x＋1　　　 B．f′(x)＝2x＋1 C．f′(x)＝x＋2 D．f′(x)＝2x＋2 解析：D　[∵f(x)＝(x＋1)2＝x2＋2x＋1， ∴f′(x)＝2x＋2，故选：D.] 2．已知t为实数，f(x)＝(x2－4)(x－t)且f′(－1)＝0，则t等于(　　) A．0 B．－1 C. D．2 解析：C　[依题意得f′(x)＝2x(x－t)＋(x2－4)＝3x2－2tx－4，所以f′(－1)＝3＋2t－4＝0，即t＝.] 3．已知函数f(x)＝ln x－3x＋f′(1)x2，则f(1)＝(　　) A．2 B．1 C．0 D．－1 解析：D　[因为f(x)＝ln x－3x＋f′(1)x2，则f′(x)＝－3＋2f′(1)x，所以f′(1)＝1－3＋2f′(1)，则f′(1)＝2，所以f(x)＝ln x－3x＋2x2，所以f(1)＝ln 1－3＋2＝－1.] 4．(多选)下列结论中正确的有(　　) A．若y＝sin ，则y′＝0 B．若f(x)＝3x2－f′(1)x，则f′(1)＝3 C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1 D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x ＋sin x 解析：ABC　[选项A中，若y＝sin ＝，则y′＝0，故A正确；选项B中，若f(x)＝3x2－f′(1)　·x，则f′(x)＝6x－f′(1)，令x＝1，则f′(1)＝6－f′(1)，解得f′(1)＝3，故B正确；选项C中，若y＝－＋x，则y′＝－＋1，故C正确；选项D中，若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x－sin x，故D错误．] 5．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为(　　) A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1,0) 解析：C　[∵f(x)＝x2－2x－4ln x，∴f′(x)＝2x－2－＞0. 整理得＞0，解得－1＜x＜0或x＞2. 又∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴x＞2.∴f′(x)>0的解集为(2，＋∞)．] 6．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝2x－ln x，则f′(1)＝　______　. 解析：因为f(ln x)＝2x－ln x，令t＝ln x，则x＝et，所以f(t)＝2et－t，即f(x)＝2ex－x，所以f′(x)＝2ex－1，因此f(1)＝2e－1. 答案：2e－1 7．若函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2－1，且f(1)＝1，则f′(1)＋g′(1)＝　________　. 解析：因为函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2－1，且f(1)＝1， 所以f(1)＋g(1)＝12－1＝0，则g(1)＝－1，对f(x)＋xg(x)＝x2－1两边求导， 可得f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x，所以f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2，因此f′(1)＋g′(1)＝3. 答案：3 8．求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝log2x2－log2x; (3)y＝； (4)y＝－2sin . 解：(1)y′＝()′＝′＝x－1＝x－＝. (2)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝. (3)y′＝′＝′cos x＋ (cos x)′＝′cos x－sin x＝ －x－cos x－sin x＝－－sin x＝ －－sin x＝－. (4)∵y＝－2sin ＝ 2sin ＝2sin cos ＝sin x， ∴y′＝(sin x)′＝cos x. [能力提升练] 9．已知函数f(x)＝＋x3，其导函数为f′(x)，则f(2 022)＋f(－2 022)＋f′(2 023)－f′(－2 023)的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：C　[f′(x)＝＋3x2，f′(－x)＝＋3(－x)2＝＋3x2，所以f′(x)为偶函数，所以f′(2 023)－f′(－2 023)＝0， 因为f(x)＋f(－x)＝＋x3＋－x3＝＋＝3， 所以f(2 022)＋f(－2 022)＝3， 所以f(2 022)＋f(－2 022)＋f′(2 023)－f′(－2 023)＝3.] 10．(多选)下列函数在点x＝0处有切线的是(　　) A．f(x)＝3x2＋cos x B．g(x)＝x·sin x C．h(x)＝＋2x D．w(x)＝ 解析：ABD　[f′(x)＝6x－sin x，f′(x)＝0，此时切线的斜率为0，故在点x＝0处有切线；g′(x)＝sin x＋x cos x，g′(0)＝0，此时切线的斜率为0，故在点x＝0处有切线；h′(x)＝－＋2，在x＝0处不可导，则在x＝0处没有切线；w′(x)＝，w′(0)＝0，此时切线的斜率为0，故在点x＝0处有切线．] 11．已知函数f(x)＝ex－mx＋1的图像为曲线C，若曲线C存在与直线y＝ x垂直的切线，则实数m的取值范围是　________　. 解析：∵f(x)＝ex－mx＋1，∴f ′(x)＝ex－m. ∵曲线C存在与直线y＝ x垂直的切线， ∴f′(x)＝ex－m＝－2有解． ∴m＝2＋ex>2.∴实数m的取值范围是(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞) 12．记f′(x)、g′(x)分别为函数f(x)、g(x)的导函数．把同时满足f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)的x0叫做f(x)与g(x)的“Q点”． (1)求f(x)＝2x与g(x)＝x2－2x＋4的“Q点”； (2)若f(x)＝ax2＋与g(x)＝ln x存在“Q点”，求实数a的值． 解：(1)因为f′(x)＝2，g′(x)＝2x－2，设x0为函数f(x)与g(x)的一个“Q”点． 由f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，得，解得x0＝2. 所以函数f(x)与g(x)的“Q”点是2. (2)因为f′(x)＝2ax，g′(x)＝， 设x0为函数f(x)与g(x)的一个“Q”点． 由f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，得 ， 由②得a＝，代入①得ln x0＝1，所以x0＝e. 所以a＝＝. [素养培优练] 13．(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是(　　) A．f(x)＝sin x＋cos x B．f(x)＝ln x－2x C．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝xex 解析：ABC　[A中，f′(x)＝cos x－sin x， f″(x)＝－sin x－cos x＝ －sin＜0在区间上恒成立；B中，f′(x)＝－2(x＞0)，f″(x)＝－＜0在区间上恒成立；C中，f′(x)＝－3x2＋2， f″(x)＝－6x在区间上恒小于0；D中， f′(x)＝ex＋xex，f″(x)＝2ex＋xex＝ex(x＋2)＞0在区间上恒成立，故D中函数不是凸函数．故ABC为凸函数．] 14．设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2，求fn′(2)． 解：由题设fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1， 所以fn′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n－2＋n2n－1，① 2fn′(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n2n.② ①－②得－fn′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n2n＝ －n2n＝(1－n)2n－1， 所以fn′(2)＝(n－1)2n＋1. 学科网（北京）股份有限公司 $