1.1.2 数列的函数特性-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂教师用书word（北师大版）

1．2　 数列的函数特性 课程标准 素养解读 1.了解递增数列、递减数列、常数列的概念． 2．掌握判断数列增减性的方法． 3．利用数列的增减性求最大值、最小值. 1.通过数列的函数性质的学习培养数学抽象的核心素养． 2．借助数列增减性的研究培养学生的逻辑推理的核心素养. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [情境引入] 古希腊的毕达哥拉斯学派将1,4, 9,16等数称为正方形数，因为这些数目的点可以摆成一个正方形，如图所示：依据这个规律我们很容易就能知道，下一个正方形数应该是25，再下一个是36，等等． 你知道吗？通过寻找数字出现的规律，可以产生新的发现． [知识梳理] [知识点一]　数列的函数特性　 数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有　列表法　、　图像法　和　解析法　. [知识点二]　数列的单调性定义　 1．一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1＞an，那么这个数列叫作递增数列． 2．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an＋1＜an，那么这个数列叫作递减数列． 3．如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列． 若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，那么数列an＝f(n)也单调递增吗，反之成立吗？ [提示]　若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数an＝f(n)也单调递增，但反之不成立，例如f(x)＝2，数列an＝f(n)单调递增，但f(x)＝2在[1，＋∞)上不是单调递增． [预习自测] 1．判断下列命题是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有数列可分为递增数列和递减数列两类．(　　) (2)由所有的自然数构成的数列均为递增数列．(　　) (3)数列的图像是一群孤立的点．(　　) (4) 有些数列可能不存在最大项．(　　) (5)若an＝f(n)表示递增数列，则y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数．(　　) 答案　(1)×　(2) ×　(3) √(4)√(5) × 2．在数列{an}中，an＝－n＋1，则{an}是(　　) A．递增数列　　　　 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 解析：B　[an＋1－an＝[－(n＋1)＋1]－(－n＋1)＝－1＜0，故an＋1＜an，所以{an}是递减数列．] 3．若数列{an}是递减数列，则其通项公式可能是(　　) A．an＝2n B．an＝n2 C．an＝n D．an＝log2n 解析：C　[由于函数f(x)＝x是减函数，故数列an＝n是递减数列，故选C.] 4．若数列{an}为递增数列，其通项公式为an＝kn－2，则实数k的取值范围是　________　. 解析：由题意知an＋1－an＝[k(n＋1)－2]－(kn－2)＝k＞0，即实数k的取值范围是(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 数列的图像 [例1]　已知数列{an}的通项公式为an＝ . (1)写出该数列的前4项； (2)画出该数列的图像，并判断增减性． [思路点拨]　(1)令n＝1,2,3,4，求前4项　(2)利用反比例函数图像画数列an的图像． 解：(1)an＝ ，令n＝1,2,3,4，可得该数列的前4项分别是a1＝－ ，a2＝－ ，a3＝－ ，a4＝－2. (2)该数列的图像如下图所示， 由图像可知，该数列在{1,2,3,4}上是递减的，在{5,6，…}上也是递减的． 画数列的图像的方法 数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，就可以得到数列的图像．因为它的定义域是正整数集N＋(或其子集)，所以其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的． [变式训练] 1．作出数列{an}：an＝－n2＋10n＋11的图像，判断数列的增减性，. 解：an＝－n2＋10n＋11＝－(n－5)2＋36. 图像如图所示 由数列的图像可知，当1≤n≤5时数列递增；当n≥5时数列递减． 数列的单调性 [例2]　判断数列的增减性． [思路点拨]　法一：作差法， 法二：作商法，法三：构造函数法． [解]　∵an＝，∴an＋1＝＝. 法一：(作差法)an＋1－an＝－ ＝＝， ∵n∈N＋，∴an＋1－an>0，即an＋1>an， ∴数列为递增数列． 法二：(作商法)∵n∈N＋，∴an>0. ∵＝＝＝＝1＋>1，∴an＋1>an，∴数列为递增数列． 法三：(构造函数法)令ƒ(x)＝(x≥1)， 则ƒ(x)＝＝， ∴函数ƒ(x)在[1，＋∞)上是增函数， ∴数列是递增数列． 判断一个数列的增减性，可以利用数列图像变化趋势进行判断，也可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行判断，即通过判断一个数列{an}的任意相邻两项之间的大小关系来确定数列的增减性． [变式训练] 2．在数列{an}中，已知an＝(c∈R)，则对于任意正整数n有(　　) A．an<an＋1 B．an与an＋1的大小关系和c有关 C．an>an＋1 D．an与an＋1的大小关系和n有关 解析：B　[因为an＝＝1＋，n＋1≥2，所以当c－1>0，即c>1时，ƒ(n)＝an单调递减，∴an＋1<an，当c－1＝0，即c＝1时，an＝1，an＋1＝an＝1，当c－1<0，即c<1时，ƒ(n)＝an单调递增，an＋1>an，所以an＋1与an的大小关系和c有关，和n无关，故选B.] 数列增减性的应用 [例3]　在数列{an}中，an＝(n＋1)n(n∈N＋)． (1)求证：数列{an}先递增后递减； (2)求数列{an}的最大项． [思路点拨]　利用数列的通项作差或作商判断增减性并求最值． 方法一　(1)证明　令＞1(n≥2)， 即＞1，整理得＞，解得n＜10. 令＞1，即＞1，整理得＞，解得n＞9. 所以数列{an}从第1项到第9项递增，从第10项起递减，即数列{an}先递增后递减． (2)解：由(1)知a9＝a10＝为最大项． 方法二　(1)证明　假设数列{an}中存在最大项． 因为an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n＝n·， 当n＜9时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an； 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n＞9时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an， 故a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…， 所以数列{an}从第1项到第9项递增，从第10项起递减，即数列{an}先递增后递减． (2)解：由(1)知a9＝a10＝为最大项． 数列中最大项与最小项的两种求法 (1)若求最大项an，则an应满足 若求最小项an，则an应满足 (2)将数列看作一个特殊的函数，通过函数的最值来解决数列的最值问题，但此时应注意n∈N＋这一条件． [变式训练] 3．已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)计算an＋1－an，并判断其符号； (2)求此数列的最小项，该数列是否存在最大项？ 解：(1)由题可知， an＋1－an＝－＝＝∵n∈N＋，∴n＋51＞0，n＋52＞0，即an＋1－an＞0. (2)由(1)可得数列{an}是递增数列，则最小项为首项，即a1＝＝，无最大项． [当堂达标] 1．若数列{an}满足an＝2n，则数列{an}是(　　) A．递增数列　　　　 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 解析：A　[an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列．] 2．已知数列{an}满足a1＞0，　2an＋1＝an，则数列{an}是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．以上都不对 解析：B　[∵a1＞0，an＋1＝an，∴an＞0，∴＝＜1，∴an＋1＜an.] 3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则数列{an}中第　________　项最小. 解析：因为an＝n2－8n＋15＝(n－4)2－1，所以第4项最小． 答案：4 4．已知数列{an}中，an＝ (n∈N＋)． (1)求a2＋a3； (2)证明{an}是递增数列． 解：(1)由已知得a2＋a3＝ ＋ ＝ . (2)证明：当n≥2时，an－an－1＝－＝>0，所以an>an－1.所以{an}是递增数列． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．已知an＝3n－2，n∈N＋，则数列{an}的图像是(　　) A．一条直线　　　 B．一条抛物线 C．一个圆 D．一群孤立的点 解析：D　[∵an＝3n－2，n∈N＋，∴数列{an}的图像是一群孤立的点．] 2．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是(　　) A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，0] 解析：C　[∵{an}是递减数列，∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.] 3．已知数列{an}的通项公式为an＝n－7＋2，则此数列中数值最小的项是(　　) A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第13项 解析：C　[因为an＝n－7＋2＝2－，所以易知当n＝12时，an取得最小值，即此数列中数值最小的项是第12项．] 4．一给定函数y＝f(x)的图像在下列图中，并且对任意a0∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1＞an，则该函数的图像是(　　) 解析：A　[由an＋1＝f(an)，an＋1＞an，得f(an)＞an，即f(x)＞x，结合图像可知A正确．] 5．(多选)对于数列{an}，若存在正整数k(k≥2)，使得ak＜ak－1，ak＜ak＋1，则称ak是数列{an}的“谷值，k是数列{an}的“谷值点”，在数列{an}中，若an＝，则数列{an}的“谷值点”为(　　) A．2 B．3 C．5 D．7 解析：AD　[因为an＝，所以a1＝2，a2＝，a3＝2，a4＝，a5＝，a6＝，a7＝，a8＝，当n≥7，n∈N，n＋－8＞0∴an＝＝n＋－8，此时数列单调递增，a2＜a1，a2＜a3，a7＜a6，a7＜a8，所以数列{an}的“谷值点”为2,7.故选：AD.] 6．已知数列{an}为递增数列，通项公式为an＝n＋，则λ的取值范围是　________　. 解析：因为数列{an}为递增数列，an＝n＋，所以an＋1－an＝－＝1－>0，即λ<n(n＋1)(n∈N＋)．所以λ<2. 答案：(－∞，2) 7．已知数列{an}的通项公式为an＝n－1－n－1，在下列说法中：①有最大项；②有最小项；③没有最大项；④没有最小项．正确的是　________　.(填序号) 解析：令t＝n－1，t∈(0,1]，t是关于n的减函数，则an＝t2－t＝2－.由复合函数的单调性知an既有最大项又有最小项，故①和②正确． 答案：①② 8．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－21n＋20. (1)－60是该数列中的项吗？若是，求出项数；该数列中有小于0的项吗？共有多少项？ (2)当n为何值时，an有最小值？并求出最小值． 解：(1)由n2－21n＋20＝－60，得n＝5或n＝16；所以该数列的第5项和第16项都为－60.由n2－21n＋20＜0，得1＜k＜20，所以该数列中有小于0项，共有18项． (2)因为an＝n2－21n＋20＝ 2－ ，可知对称轴为n＝ ＝10.5.又因为n∈N＋，所以当n＝10或n＝11时，an有最小值，其最小值为－90. [能力提升练] 9．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，且数列{an}从第n项起单调递减，则n的最小值为(　　) A．11 B．12 C．13 D．不存在 解析：A　[∵an＝，∴an＋1＝，∴an＋1－an＝－＝， 由数列{an}从第n项起单调递减，可得an＋1－an＜0， 即－n2－n＋130＜0，n∈N＋， 解得n＞或n＜(舍去)， ∵22＜＜23， ∴10.5＜＜11， ∴n≥11，∴a11＞a12＞a13＞...，即从第11项起，{an}单调递减， ∴n的最小值为11.故选：A.] 10．(多选) 已知数列{an}满足an＝nkn(n∈N＋，0＜k＜1)，下列命题正确的有(　　) A．当k＝时，数列{an}为递减数列 B．当k＝时，数列{an}一定有最大项 C．当0＜k＜时，数列{an}为递减数列 D．当为正整数时，数列{an}必有两项相等的最大项 解析：BCD　[当k＝时，a1＝a2＝，知A错误；当k＝时，＝·，当n＜4，＞1，n＞4，＜1， 所以可判断{an}一定有最大项，B正确；当0＜k＜时，＝k＜≤1，所以数列{an}为递减数列，C正确； 当为正整数时，1＞k≥，当k＝时，a1＝a2＞a3＞a4＞…，当1＞k＞时，令＝m∈N＋，解得k＝，则＝，当n＝m时，an＋1＝an，结合B，数列{an}必有两项相等的最大项，故D正确；故选：BCD.] 11．若数列{an}为单调递增数列，且an＝2n－1＋，则a3的取值范围为　__________　. 解析：当n≥2时，an－an－1＝2n－1＋－(2n－3＋)＝2－， 因为数列{an}为单调递增数列，所以2－＞0对n≥2(n∈N)恒成立， 即λ＜2n＋1对n≥2(n∈N)恒成立，所以λ＜8， 所以a3＝5＋＜6，故a3的取值范围为(－∞，6)． 答案：(－∞，6) 12．已知数列{an}的通项公式为an＝1＋ ，其中a∈R. (1)若a＝－9，求数列{an}的最小项和最大项； (2)若不等式an≤a8对任意的n∈N＋恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)若a＝－9，则an＝1＋ . 于是，结合函数f(x)＝1＋ 的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，且a5>a6>a7>…>1. 故数列{an}的最小项为a4＝1＋ ＝0，最大项为a5＝1＋ ＝2. (2)对an＝1＋ 进行变形，可得an＝1＋ . 因为不等式an≤a8对任意的n∈N＋恒成立，所以结合函数f(x)＝1＋ 的单调性，可知应满足7<－ <8，解得－16<a<－14.故实数a的取值范围是(－16，－14)． [素养培优练] 13．(2022·北京卷)设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n＞N0时，an＞0”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：C　[设等差数列{an}的公差为d，且d≠0，记[x]为不超过x的最大整数． 若{an}为单调递增数列，则d＞0， 若a1≥0，则当n≥2时，an＞a1≥0；若a1<0，则an＝a1＋(n－1)d， 由an＝a1＋(n－1)d>0，可得n>1－，取N0＝＋1，则当n>N0时，an>0， 所以“{an}是递增数列”⇒“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”； 若存在正整数N0，当n＞N0时，an＞0，取k∈N*且k>N0，ak＞0， 假设d＜0，令an＝ak＋(n－k)d＜0可得n＞k－，且k－＞k， 当n＞＋1时，an＜0，与题设矛盾，假设不成立，则d＞0，即数列{an}是递增数列． 所以“{an}是递增数列”⇐“存在正整数N0，当n＞N0时，an＞0”． 所以，“{an}是递增数列”是“存在正整数N0，当n＞N0时，an＞0”的充分必要条件．] 14．在数列{an}中，已知an＝，且a2＝，a3＝. (1)求通项公式an； (2)求证：{an}是递增数列； (3)求证：1≤an＜. 解：(1)∵a2＝，a3＝， ∴解得，因此an＝. (2)证明： ∵an＋1－an＝－ ＝＞0， ∴an＋1＞an，故{an}是递增数列． (3)证明：∵an＝＝＝－，而n∈N＋，n≥1，∴an＜，an＝－≥－＝1， 故1≤an＜. 学科网（北京）股份有限公司 $