第19讲 一次函数常考几何模型专项训练 -（寒假衔接课堂）2025-2026学年人教版八年级下册数学寒假衔接讲义

第19讲 一次函数常考几何模型专项训练 题型一 一次函数中的面积问题 题型二 一次函数中的平移模型 题型三 一次函数中的动点问题 题型四 一次函数的交点问题 题型五 一次函数中的全等问题 题型六 一次函数中的翻折模型 题型七 一次函数中的旋转模型（45度角等） 题型八 一次函数中的最值问题 题型九 一次函数中的存在性问题 【核心考点一 一次函数中的面积问题】 1．（24-25八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系上，点D的坐标为，过点D作轴于点E，轴于点F，连接． (1)求三角形的面积； (2)M是y轴上一点，连接． ①若三角形的面积等于三角形的面积的一半，求M点坐标； ②在①的条件下，若直线交x轴正半轴于点P，求三角形的面积和三角形的面积的比值． 2．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，的图象与轴，轴分别交于点，，且两个函数图象相交于点． (1)填空： ， ； (2)求的面积； (3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·月考）如图，在长方形中，，，动点沿着的方向运动，到点运动停止，设点运动的路程为，的面积为． （1）点在边上，求关于的函数表达式． （2）点在边上，的面积是否发生变化？请说明理由． （3）点在边上，的面积是否发生变化？如果发生变化，求出面积的变化范围，并写出关于的函数表达式；如果没有发生变化，求出此时的面积． 4．（24-25八年级下·海南·期中）如图，在长方形中，，、点从出发，沿路线运动，到停止；点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图是点出发秒后，的面积与秒的关系图象；    (1)当点在上运动时，的面积会_______，点在上运动时，的面积会______，点在上运动时，的面积会________；填“增大”或“减小”或“不变” (2)根据图提供的信息，求出、及图中的值； (3)设点离开点的路程为，请写出动点改变速度后与出发后的运动时间秒的关系式． (4)当点出发后几秒时，的面积是长方形面积的？ 5．（25-26八年级上·辽宁锦州·期末）为了加强劳动教育，落实五育并举，某中学在校园内建成了如图所示的一块三角形的劳动实践基地，并邀请数学兴趣小组的同学们将其全部种植甲、乙两种蔬菜．同学们经过测量与调查，得到如下信息： 信息1：； 信息2：甲种蔬菜的种植成本为每平方米30元； 信息3：乙种蔬菜的种植成本（单位：元）与种植面积（单位：平方米）的关系如下表所示，其中； /平方米 10 20 30 40 50 /元 420 660 900 1140 1380 根据以上信息，请帮助该小组的同学们完成下列任务： (1)求该校劳动实践基地的面积； (2)求乙种蔬菜的种植成本与种植面积之间的函数关系式； (3)设甲、乙两种蔬菜的总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，才能使最小？并求出的最小值． 6．（24-25八年级上·上海青浦·期中）如图，长方形边，． (1)直线（），交边于点，求的取值范围； (2)直线（），将长方形的面积分成两部分，直线上方的一部分记作，试写出关于的解析式； (3)直线（），是否可能将长方形的面积分成两部分的面积比为2∶7？若能，求出的值；若不能，说明理由． 7．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图1，多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形．要计算格点多边形的面积，当然我们可以通过统计多边形所围成的方格数得到．有没有更简便的方法呢？我们进行如下的探索． 记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，格点多边形的面积为S．图①中，；图②中，． (1)观察图2，多边形内的格点数a均为4，统计各多边形所围成的方格数，求出各多边形的面积，并填写下表． 图4-37 ① ② ③ ④ b（个） S（平方单位） (2)如图，在直角坐标系中画出S关于b的函数图象．判断S关于b的函数是哪一类函数，并求出函数表达式． (3)上面你求出的函数表达式是当时的情况．更一般地，格点多边形的面积公式可表示为（其中m，n为常数），你能猜测出m，n的值吗？说出你的结论及理由． 用图，验证你所得到的公式是否也适合凹多边形的情形． 奥地利数学家皮克（G．Pick，1859～1942年）证明了格点多边形的面积公式．查找有关皮克定理的资料，并和你探索的结果作比较． 【核心考点二 一次函数中的平移模型】 8．（2025八年级上·全国·专题练习）（1）如图，指出平面直角坐标系中的两个图象，可以怎样由的图象得到，并写出相应的函数表达式； （2）将的图象分别向上平移2个单位长度、向下平移3个单位长度，画出平移后的图象，并写出相应的函数表达式 ___________． 9．（24-25八年级下·河北石家庄·月考）在平面直角坐标系中，直线与轴的交点为，与轴的交点为．将直线向下平移个单位长度得到直线． (1)求点，点的坐标，画出直线及直线； (2)求直线的解析式； (3)直线还可以看作由直线经过其他方式的平移得到的，请写出一种平移方式． 10．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为． (1)在中，点C经过平移后的对应点为，将△ABC作同样的平移得到，画出平移后的； (2)点D是坐标轴上的点，当与的面积相等且点D为格点时，直接写出点D坐标． 11．（25-26八年级上·山东淄博·期中）如图所示，的各顶点坐标为，将先向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到． (1)在图中画出； (2)直接写出的坐标； (3)求在平移过程中，线段扫过的面积． (4)如果将看成是由经过一次平移得到的，请直接指出这一平移的平移方向（平移的方向可看作某条直线）和距离． 12．（2025·河北沧州·一模）在平面直角坐标系中，点P从原点О出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．    【实验操作】借助如图所示的平面直角坐标系，把表格补全； 点P从点O出发后的平移次数 可能到达的点的坐标 1次 2次 ，_______，_______， 3次 ，，_______， 【观察发现】点P从点O出发后平移1次或2次或3次时，点Р可能到达的点都在一条直线上．如平移1次时，点Р可能到达的点所在直线的解析式为； ①求平移2次时，点Р可能到达的点所在直线的解析式； ②猜测：平移n次时，点Р可能到达的点在直线_______上；（请填写相应的解析式） 【探索运用】若点Р从点О出发经过n次平移后，到达直线上的点Q，且平移的路径长s满足，请直接写出点Q的坐标． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 14．（25-26八年级上·江苏南京·月考）【探究发现】创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数的图象可以由正比例函数的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行了如下的探究活动． (1)请你完成探究活动中的相关问题． ①将的图象向上平移4个单位，得到的直线，则的函数表达式为____________； ②请在图1平面直角坐标系中，画出直线的图象； ③观察图象，直线也可以看作由的图象向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (2)【类比迁移】将向下平移3个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移________个单位得到； (3)【拓展升华】将向下平移个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (4)【综合应用】已知一次函数的图象如图2所示，结合（1）－（3）的探究，请用无刻度的直尺和圆规在同一直角坐标系中画出的图象．（不写作法、保留作图痕迹） 【核心考点三 一次函数中的动点问题】 15．（24-25八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，点是轴上的动点． (1)求直线的解析式； (2)当时，求点的坐标； (3)若点为线段的中点，点是线段上的动点，点是线段上的动点，当△的周长取得最小值时，求点和点的坐标． 16．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，已知长方形中，，，为边的中点，为长方形边上的动点，动点以4个单位／秒的速度从出发，沿着运动到点停止，设点运动的时间为秒，的面积为． (1)点运动过程中，求出与之间的关系式； (2)当为何值时，最大？并求出的最大值． 17．（24-25八年级上·山西晋中·期中）综合与探究 如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，有一动点M从A点出发匀速沿x轴向右移动． (1)直接写出点的坐标：点A______；点B______； 将直线向上平移两个单位长度，得到直线，直接写出直线的表达式______． (2)若动点M从A点以每秒2个单位的速度匀速沿x轴向右移动．请你探究求出当时，此时M点的运动时间t（秒）； (3)请你探究动点M在移动过程中，是否存在使得的面积等于面积的？若存在，请直接写出满足条件的所有点M的坐标，不存在则说明理由． 18．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知，一次函数与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线相交于点C，过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点． (1)若，求点P的坐标． (2)若点E是直线上的一个动点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，求点E的坐标． 19．（2025·重庆江北·一模）如图1，在矩形中，，，动点P以每秒1个单位的速度，从点A出发，按的顺序在边上运动．与点P同时出发的动点Q以每秒个单位的速度，从点D出发，在射线上运动．当动点P运动到点D时，动点P、Q都停止运动．在运动路径上，设点P的运动时间为t秒，此时点P、点B之间的路径距离与点P、点C之间的路径距离之和为，动点Q的运动路程为． (1)分别求出，与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (2)在如图2的平面直角坐标系中，画出，的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质：_________________________； (3)根据图象直接写出当时，t的取值范围____________． 20．（24-25九年级上·重庆·期中）四边形中， ，，，，．动点P从A点出发，沿方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发，沿折线方向以每秒2个单位的速度运动，当Q点到达C点时，P 、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒， ． (1)请直接写出关于x 的函数关系式并注明自变量x 的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时x的取值范围． 21．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）【直观想象】 如图甲，动点在数轴上从负半轴向正半轴运动，点到原点的距离先变小再变大，当点的位置确定时，点到原点的距离也唯一确定． 【数学发现】 设动点在数轴上表示的数是，点到原点的距离为，我们发现是的函数，它的函数表达式为． 【数学理解】 （1）请在图丙中画出函数的图像； 【类比迁移】 如图乙，点、在数轴上表示的数分别是1和3，设动点在数轴上表示的数是，到两个定点、的距离和为． （2）当点在线段上运动时（可以和点、重合），的取值范围是______，_____； （3）当点在数轴上运动时，仿照（1）写出与之间的函数表达式：______；（同时写出的取值范围） （4）在图丁中画出关于的函数图像． 【核心考点四 一次函数的交点问题】 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）在同一个直角坐标系中，画出一次函数和的图象，并在图象中标出交点坐标． （2）求二元一次方程组的解． （3）交点坐标与方程组的解有关系吗？什么关系？请说明理由． 23．（24-25八年级下·海南海口·月考）在平面直角坐标系中，是原点，一次函数与轴交点为，与轴交点为． (1)写出交点的坐标________、的坐标________； (2)请直接在平面直角坐标系中，作出一次函数的图象； (3)求的面积． 24．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，线段DE在y轴上，且D点、E点坐标分别为，，直线与线段DE交于点P． (1)当点P与点D重合时，若直线与有交点，求k的取值范围； (2)当点P是线段DE上任意一点时，若直线与有交点，求k的取值范围． 25．（24-25八年级下·贵州铜仁·期末）我们把关于x的一次函数（且m、n都不为0）与一次函数定义为交换函数． (1)根据交换函数的定义，一次函数的交换函数是______； (2)试说明一次函数与其交换函数的交点坐标为； (3)如图，若点是一次函数与其交换函数的交点，与y轴交于点A，点P为上一动点，当取得最小值时，求点P的坐标． 26．（24-25八年级上·河南郑州·开学考试）定义：图象与x轴有两个交点的函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． (1)关于l的对称函数与直线交于点C，如图． ①直接写出点的坐标：A（ ，0）；B（ ，0）；C（1， ）； ②P为关于m的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； (2)当时，直线与关于m的对称函数有两个交点，求m的取值范围． 27．（24-25八年级下·山西忻州·期末）驱动任务： 教材中曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，得到了两个结论：1．以方程 的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象；2．一般地，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．示例：如图1，当我们在画方程 的图象时，可以取方程的两组解与为坐标的点，，作出直线，那么两个二元一次方程组的解的情况与所对应的两个方程的图象之间有什么关系呢？ 研究步骤： （1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可） （2）观察图象，两条直线的交点坐标为______，由此你得出这个二元一次方程组的解为_____． （3）在同一平面直角坐标系中，二元一次方程的图象和的图象如图3所示，请根据图象，判断方程组的解的情况． 总结归纳： （4）当方程组中两方程的图象有交点时，方程组的解的个数有_____；当方程组中的两方程的图象没有交点时，方程组的解的个数有_____．（填选项字母） A．一组解  B．无穷多组  C．无解 28．（24-25八年级上·浙江金华·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一次函数的图象，作该图象在直线的右侧部分关于直线的轴对称图形，与原图象在直线的右侧部分及与直线的交点共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“V型函数”．例如：图1就是一次函数关于直线的“V型函数”图象． (1)请在图2中画出函数关于直线的“V型函数”图象．      (2)若函数关于直线的“V型函数”图象与x轴只有一个交点，则 ． (3)如图3，点，以为斜边在x轴上方作等腰，当函数关于直线的“V型函数”图象与的边只有两个交点时，求m的取值范围．    【核心考点五 一次函数中的全等问题】 29．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，把射线AB绕点A顺时针旋转90°得射线AC，点P是射线AC上一个动点，点Q是x轴上一个动点．若与全等，试确定点Q的横坐标． 30．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点、与y轴交于点． (1)直线的函数表达式为_____． (2)若点C是直线上一点，点D是y轴上一点，当与以D、B、C为顶点的三角形全等时，求点C的坐标． 31．（24-25八年级上·浙江嘉兴·月考）如图，直线分别交轴，轴于点，，点，动点从点出发以每秒1个单位的速度沿轴负方向移动，设点的移动时间为秒． (1)求，两点的坐标． (2)设的面积为，当时，求关于的函数表达式． (3)当为何值时，与全等． 32．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)求、的长； (2)已知点，在x轴上是否存在点D，使得以D、C、O为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由． 33．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，在长方形中， ， ，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒：   (1)当点在上运动时，_________ ．（用的代数式表示） 当点在上运动时，_________ ．（用的代数式表示） (2)用含的代数式表示的面积； (3)当点在上运动时： ①计算说明：当为何值时，？ ②当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，直接写出当与全等时，的数值． 34．（2025·广西柳州·二模）综合与探索 【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、， (1)直接写出______，______； (2)将直线绕点顺时针旋转得直线，求出直线解析式： 小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角，使得，，根据型全等和坐标之间的关系，求出点的坐标为______；通过，两点坐标求出直线的解析式______； (3)如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数解析式． 35．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）【模型建立】 如图1，三个等角的顶点在同一条直线上，简称“一线三等角”，解决此类问题的一般方法是利用三等角关系确定三角形全等所需角的相等条件，然后利用全等三角形的性质来解决．特别地，如图2，等腰直角三角形中，．直线经过点A，过B作于点D，过C作于点E．易证得（无需证明），我们将这个基本图形称为“三垂直”或者叫“K形图”，它是“一线三等角”的特殊情形．接下来，我们就利用这个模型来解决一些问题： 【模型应用】 （1）如图3，直线与坐标轴交于点A、B，将直线绕点A逆时针旋转至直线，求直线对应的函数表达式． （2）如图4，直线与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．分别以为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角和等腰直角，连交y轴于P点，求的面积． 【模型拓展】 （3）如图5，已知点，点B在y轴正半轴上，将线段绕点A顺时针旋转到线段，若点C的坐标为，则_____． 【核心考点六 一次函数中的翻折模型】 36．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，已知的面积为10． (1)求这条直线的表达式； (2)若将这条直线沿轴翻折，求翻折后得到的直线的表达式． 37．（24-25八年级上·江苏宿迁·月考）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处． (1)求点E的坐标； (2)设，写出y关于x的函数表达式，并指出是不是y关于x的一次函数． 38．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，把沿着过点A的某条直线折叠，使点B落在x轴负半轴上的点D处，折痕与y轴交于点C． (1)求直线的解析式； (2)求点C的坐标． 39．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，，点D在边上，将沿翻折，点B恰好落在边上点E处．    (1)求点E的坐标； (2)求折痕所在直线的函数表达式； (3)延长直线交x轴于点F，求的面积． 40．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使，分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接， ． (1)求A、C两点的坐标； (2)将纸片折叠， 使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积； (3)求所在直线的函数表达式． 41．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点． (1)【问题初探】 点的坐标是________，点的坐标是________． 若是直线上一点，求直线的函数表达式． (2)【应用探究】 在直线上是否存在一点（不与点重合），使的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)【拓展延伸】 是轴上一动点，把线段沿着直线翻折，使点落在轴上，请直接写出点的坐标． 42．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图1，直线：与轴交于点、直线上有一动点，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，它们相交于点．将沿直线翻折得到，点的对应点为． (1)直线与轴的交点的坐标为______．直线与轴的交点的坐标为______． (2)如图2，当点的对应点落在轴上时， ①求证：； ②求点P的坐标． (3)如图3，直线上有、两点，当点P从点A运动到点B的过程中，点也随之运动，请直接写出点的运动路径长为______． 【核心考点七 一次函数中的旋转模型（45度角等）】 43．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式． 44．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x轴、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C． (1)点A坐标是（ 　　，　　）、点B坐标是（ 　　，　　）； (2)求直线BC的函数表达式； (3)点M是射线BA上的点，在平面内是否存在点N，使得以M、N、B、C为顶点的四边形是菱形，如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 45．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）定义：已知直线l：（k为常数）绕定点旋转，则称直线l为“旋转簇直线”，点为“旋转簇直线”的不动点， (1)求直线l：的不动点坐标； (2)已知直线：与x、y轴分别交于点A、B． ①如图1，直线l：（k为常数）绕不动点P旋转时，与y轴正半轴相交于点Q，且点Q在点B上方，当时，求点Q坐标； ②）如图2，直线与x正半轴交于点C，与直线相交于第一象限内的点D，且恒有，试问直线是否为“旋转簇直线”，若是，请求出不动点的坐标；若不是，请说明理由． 46．（24-25八年级上·四川成都·月考）如图1，直线和直线相交于点A，直线与x轴交于点C．点P在线段AC上，轴于点D，交直线于点Q．且，已知A点的横坐标为4． (1)求点C的坐标； (2)如图2，平分线交x轴于点M．①求直线QM的解析式．②将直线QM绕着点M旋转45°．旋转后的直线与y轴交于点N．直接写出点N的指标． 47．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）（1）探索发现：如图1，已知中，，，直线过点，过点作，过点作，垂足分别为、．求证：．    （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，试求出的面积．    （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交轴于点．求的面积．    48．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图1，等腰直角三角形中，，过点A作交于点D，过点B作交于点E，易得，我们称这种全等模型为“k型全等”．如图2，在直角坐标系中，直线分别与y轴，x轴交于点A、． (1)求k的值和点A的坐标； (2)在第二象限构造等腰直角，使得，求点E的坐标； (3)将直线绕点A旋转得到，求的函数表达式． 49．（2025·贵州铜仁·模拟预测）（1）探索发现：如图1，已知中，，，直线l过点C，过点A作，过点B作，垂足分别为D、E．求证：． （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，求点M的坐标． （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标． 【核心考点八 一次函数中的最值问题】 50．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数最大值与最小值的差为4，求此一次函数的表达式． 51．（25-26八年级上·江西抚州·月考）如图，直线与x轴、y轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，． (1)求点C坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)若一次函数与的边有交点，求b可取的最大值和最小值． 52．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）阅读理解题： 【定义】对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数． 例如：一次函数，它的相关函数为． （1）已知点A（－2，5）在一次函数的相关函数的图像上，求a的值； （2）已知一次函数． ①若点B（t，－4）在这个函数的相关函数的图像上，求t的值； ②当－1≤ x ≤2时，求函数的相关函数的最大值和最小值． 53．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，直线与两坐标轴分别相交于A、B两点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过点M分别作于点C，于点D． (1)当点M在上运动时，你认为四边形的周长是否发生变化？并说明理由； (2)当点M运动到什么位置时，四边形的面积有最大值？最大值是多少？ 54．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）某大型超市从水果批发市场购进哈密瓜和苹果进行销售，两种水果的进价和售价如下表所示： 水果名称 进价（元/千克） 售价（元/千克） 哈密瓜 a 10 苹果 b 销量不超过100千克的部分 销量超过100千克的部分 16 14 已知超市购进20千克哈密瓜和10千克苹果需要260元，购进10千克哈密瓜和20千克苹果需要310元． (1)求a，b的值； (2)若超市每天购进两种水果共150千克，并在当天都销售完，其中销售哈密瓜不少于40千克且不超过60千克，设每天销售哈密瓜x千克（损耗忽略不计）， ①分别求出每天销售哈密瓜的利润y1（单位：元），销售苹果的利润y2（单位：元）与x（单位：千克）的函数关系式，并写出x的取值范围； ②“端午节”当天超市让利销售，将哈密瓜的售价每千克降低m元，苹果售价全部定为14元，为了保证当天销售这两种水果总利润w（元）的最小值不少于320元，求m的最大值． 55．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）给出如下规定：对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为N上任一点，如果P，Q两点间的距离存在最小值时，就称该最小值为两个图形M和N之间的“闭距离”；如果P，Q两点间的距离存在最大值时，就称该最大值为两个图形M和N之间的“开距离”． 请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下面问题： 在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣8，6），B（﹣8，﹣6），C（8，﹣6），D（8，6）． （1）请在平面直角坐标系中画出四边形ABCD，线段AB和线段CD的“闭距离”为　 　；“开距离”为　 　； （2）设⊙O半径为2，⊙O与四边形ABCD的“闭距离”是　 ，“开距离”是　 　； （3）设直线y＝x+b（b＜0）与x轴，y轴分别交于点E，F，若线段EF与四边形ABCD的“闭距离”是2，求它们的“开距离”； （4）⊙M的圆心为M（﹣6，m），半径为1，若⊙M与△ABD的“闭距离”等于1，直接写出m的取值范围． 56．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）【项目式学习】杆秤中的数学 【问题背景】古希腊数学家、物理学家阿基米德曾说过一句豪言壮语：“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话都赞的其实是“杠杆原理”．生活中，筷子、剪刀、羊角锤、钓鱼竿、跷跷板……，“杠杆原理”的应用无处不在，如图1，“杠杆原理”可通俗地理解为：动力动力臂阻力阻力臂， 【素材1】最简单的“杠杆原理”应用：天平． 如图2，天平两端的托盘底部中心与支点的距离分别是、，且，设左侧托盘所放物体的质量是，右侧托盘所放砝码的质量是． 【任务1】当游码归零时，天平恰好保持平衡，由“杠杆原理”得与的数量关系为 ． 【素材2】现代人的杠杆智慧：手机自拍杆． 如图3，一只手的握点为支点，另一只手在点处竖直向上用力，手机放置在自拍杆的点处，且自拍杆与水平方向的夹角始终保持不变，手机的重力是， 【任务2】由“杠杆原理”得： ①当点固定，增大时，所用的力 （填“增大”或“减小”）； ②当点固定，增大时，所用的力 （填“增大”或“减小”）； 【素材3】古代人的杠杆智慧：杆秤． 如图4，将质量为的待测物挂于秤钩处，提起提纽，在秤杆上移动质量为的秤砣，，，秤杆总长度是． 【任务3】①当秤杆保持水平时，与的函数表达式 ，的最大值 ； ②将待测物与秤砣互换位置，在秤杆上移动待测物，当秤杆保持水平时，求与的函数表达式，此时，是否有最小值？若有直接写出最小值，若没有，请说明理由． 【核心考点九 一次函数中的存在性问题】 57．（24-25八年级上·上海·月考）已知正比例函数经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且的面积为3． (1)求正比例函数的解析式； (2)在x轴上能否找到一点P，使的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点M，使得若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 58．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线的图像分别与x轴，y轴交于A、C两点，直线（b是常数）与x轴交于点B且经过点C． (1)______，______． (2)在直线上是否存在点P，使得？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 59．（2025-2026学年第一学期期末检测八年级数学试卷）如图，直线与直线交于点，与轴交于点． (1)_____，不等式的解集为_____； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． (3)在直线上是否存在一点，使得的面积为6，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点的坐标． 60．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)点A的坐标为_________，点B的坐标为__________； (2)直线上是否存在一点C（C与B不重合），使的面积等于的面积？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由； (3)x轴上是否存在一点D，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存，在请说明理由． 61．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点D、E． (1)求证：； (2)点M是线段DE上的一个动点． ①是否存在点M使得的和最小，若存在，请作图找出点M；若不存在，请说明理由； ②请探究：在x轴上方平面内的是否存在点N，使得以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标． 62．（24-25八年级上·广东梅州·期末）如图，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，且经过定点，直线与交于点．    (1)填空：　　　　；　　　　； (2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若动点在射线上从点开始以每秒2个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为秒．是否存在的值，使和的面积比为？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 63．（24-25八年级上·江苏盐城·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的正半轴交于点，与轴交于点，的面积为4，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度在射线上运动，动点从出发，沿轴的正半轴与点同时以相同的速度运动，过作轴交直线于． (1)求直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，设的面积为，点运动的时间为秒，求与的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）； (3)过点作轴交直线于，在运动过程中（点不与点重合），是否存在某一时刻（秒），使是以为顶点的等腰三角形？若存在，求出时间的值； (4)无论取何值，直线是否过定点，若该定点存在，求的值．若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 一次函数常考几何模型专项训练 题型一 一次函数中的面积问题 题型二 一次函数中的平移模型 题型三 一次函数中的动点问题 题型四 一次函数的交点问题 题型五 一次函数中的全等问题 题型六 一次函数中的翻折模型 题型七 一次函数中的旋转模型（45度角等） 题型八 一次函数中的最值问题 题型九 一次函数中的存在性问题 【核心考点一 一次函数中的面积问题】 1．（24-25八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系上，点D的坐标为，过点D作轴于点E，轴于点F，连接． (1)求三角形的面积； (2)M是y轴上一点，连接． ①若三角形的面积等于三角形的面积的一半，求M点坐标； ②在①的条件下，若直线交x轴正半轴于点P，求三角形的面积和三角形的面积的比值． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合是解题的关键． （1）根据题意求出，再求出三角形的面积即可； （2）①设点M的坐标为，则，再根据面积列出方程，求出a的值即可； ②设点P的坐标为，分别求出三角形的面积，三角形的面积，三角形的面积，再列出方程求解即可． 【详解】（1）由题可知，，， 三角形的面积为 （2）①设点M的坐标为，则 ∴三角形DFM的面积为 ∵三角形的面积等于三角形的面积的一半 ∴ 解得或 ∴点M的坐标为或 ②设点P的坐标为 ∵直线交x轴正半轴于点P ∴点M的坐标为，此时点P的位置如图所示 ∴， ∴三角形的面积为 三角形的面积为 三角形的面积为 ∵三角形的面积＝三角形的面积＋三角形的面积 ∴ 解得 ∴点P的坐标为 ∴ ∴三角形的面积为 三角形的面积为 ∴三角形的面积和三角形的面积的比值为 2．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，的图象与轴，轴分别交于点，，且两个函数图象相交于点． (1)填空： ， ； (2)求的面积； (3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3，6 (2)50 (3)存在， 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答． （1）由是一次函数与的图象的交点，即可解出； （2）由两个一次函数解析式分别求出它们与x轴的交点坐标，得到的长，从而算出的面积； （3）由已知条件可得的面积，进而得出的长，即可得点M的坐标． 【详解】（1）解：是一次函数与的图象的交点， ， 解得， ， 解得， 故答案为：3，6； （2）解：由（1）可知，， 当时，，解得，，即， 当时，，解得，，即， ， ， 的面积为50； （3）解：的面积与四边形的面积比为，， ， 当时，，即， 设，则， ，解得，， ， 存在，且 3．（24-25八年级上·浙江杭州·月考）如图，在长方形中，，，动点沿着的方向运动，到点运动停止，设点运动的路程为，的面积为． （1）点在边上，求关于的函数表达式． （2）点在边上，的面积是否发生变化？请说明理由． （3）点在边上，的面积是否发生变化？如果发生变化，求出面积的变化范围，并写出关于的函数表达式；如果没有发生变化，求出此时的面积． 【答案】（1）；（2）的面积不发生变化，理由见解析；（3）的面积发生变化，，． 【分析】（1）由题意可求出的长，利用三角形的面积公式即可得到求与的关系式； （2）当点在上运动时，的面积不发生改变，过点作于点，利用三角形的面积公式可得的面积为18，是个定值； （3）先求出的长，再利用三角形的面积公式可得与的函数关系式，然后利用点在上可得出的范围，由此即可得出面积的变化范围． 【详解】解：（1）在长方形中，，， ， 由题意知，当点在边上时，，且， ； （2）的面积不发生变化．理由如下： 如图，过点作于点， 则， ，是一个定值， 所以的面积不发生变化； （3）的面积发生变化，求解过程如下： 当点在边上时，，且， ，， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、长方形的性质等知识点，熟练掌握一次函数的求解方法是解题关键． 4．（24-25八年级下·海南·期中）如图，在长方形中，，、点从出发，沿路线运动，到停止；点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图是点出发秒后，的面积与秒的关系图象；    (1)当点在上运动时，的面积会_______，点在上运动时，的面积会______，点在上运动时，的面积会________；填“增大”或“减小”或“不变” (2)根据图提供的信息，求出、及图中的值； (3)设点离开点的路程为，请写出动点改变速度后与出发后的运动时间秒的关系式． (4)当点出发后几秒时，的面积是长方形面积的？ 【答案】(1)增大；不变；减小； (2)； (3)； (4)当点出发5秒或14.5秒时，的面积是长方形面积的． 【分析】此题为一动点运动分析问题，解题时从动点的运动形式上找出规律，分析不同分段区间时的运动性质，找出等式关系列出方程组解出方程解析式． （1）根据函数图象及动点运动即可得出结果； （2）根据三角形的面积公式可求a、b及图②中c的值； （3）确定y与x的等量关系后列出关系式即可； （4）结合题意，分四种情况确定相应的函数解析式，然后计算的面积，然后将计算出来的数值代入所求函数的不同分段，解出对应的x的值，若解出的x值在对应的分段区间内，则x的值即为所求的解，反之则不是． 【详解】（1）解：当点在上运动时，增大，的面积会增大；点在上运动时，的面积会不变；点在上运动时，的面积会减小； 故答案为：增大；不变；减小； （2）∵长方形中，，， ∴， 当点P在上时， 得： ， ∴， ， ； （3）∵， ∴动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式为：； （4）①当时 ， ； ②当时 ， ； ③当x运动到C点时 解得： 即：时 ； ④当时 ， ； 综上： ； ∵， ①时，，符合题意； ②时，，不符合题意，舍去； ③时，，不符合题意，舍去； ④，，符合题意； 所以点P出发后5秒或秒，的面积是长方形面积的． 5．（25-26八年级上·辽宁锦州·期末）为了加强劳动教育，落实五育并举，某中学在校园内建成了如图所示的一块三角形的劳动实践基地，并邀请数学兴趣小组的同学们将其全部种植甲、乙两种蔬菜．同学们经过测量与调查，得到如下信息： 信息1：； 信息2：甲种蔬菜的种植成本为每平方米30元； 信息3：乙种蔬菜的种植成本（单位：元）与种植面积（单位：平方米）的关系如下表所示，其中； /平方米 10 20 30 40 50 /元 420 660 900 1140 1380 根据以上信息，请帮助该小组的同学们完成下列任务： (1)求该校劳动实践基地的面积； (2)求乙种蔬菜的种植成本与种植面积之间的函数关系式； (3)设甲、乙两种蔬菜的总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，才能使最小？并求出的最小值． 【答案】(1) (2) (3)当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，才能使最小，的最小值为1680元 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再根据三角形的面积公式计算即可得； （2）先根据表格可得与之间满足一次函数关系，再利用待定系数法求解即可得； （3）设乙种蔬菜的种植面积为，则甲种蔬菜的种植面积为，先结合（2）的结论，建立与之间的函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴的面积为， 答：该校劳动实践基地的面积为． （2）解：由表格可知，自变量每增加10，函数值就增加240，函数值的变化是均匀的， ∴与之间满足一次函数关系， 设， 将点，代入得：，解得， ∴． （3）解：设乙种蔬菜的种植面积为，则甲种蔬菜的种植面积为， 由题意得：， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， ∴当时，的值最小，最小值为， 此时， 答：当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，才能使最小，的最小值为1680元． 6．（24-25八年级上·上海青浦·期中）如图，长方形边，． (1)直线（），交边于点，求的取值范围； (2)直线（），将长方形的面积分成两部分，直线上方的一部分记作，试写出关于的解析式； (3)直线（），是否可能将长方形的面积分成两部分的面积比为2∶7？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，的值为或 【分析】（1）根据题意，得到，由直线（），交边于点，可知与重合时，最小；与重合时，最大；将点的坐标代入解析式求出值即可得到答案； （2）根据题意，有三种情况：当直线交于时；当直线经过点时；当直线交于点时；分别求解即可得到答案； （3）由（2）中分类，结合，直线（）将长方形的面积分成两部分的面积比为2∶7，分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：长方形边，， ， ∵直线（），交边于点， ∴直线（）经过一、三象限， ∴， 把代入（），得，解得， ∴的取值范围为； （2）解：根据题意，有三种情况： ①当直线交于时，联立，解得， ∴， ∴，即（）； ②当直线经过点时，； ③当直线交于点时，联立，解得， ∴，即（）； 综上所述，关于的解析式为； （3）解：能， ∵，直线（）将长方形的面积分成两部分的面积比为2∶7， ①当直线交于时，， ∵， ∴，解得； ②当直线交于点时，， ∵， ∴，解得； 综上所述，直线（），将长方形的面积分成两部分的面积比为2∶7时，的值为或． 【点睛】本题考查正比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、正比例函数图象与性质、正比例函数的取值范围、不规则图形面积的间接表示、三角形面积等知识，读懂题意，熟记正比例函数图象与性质，数形结合，准确分类是解决问题的关键． 7．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图1，多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形．要计算格点多边形的面积，当然我们可以通过统计多边形所围成的方格数得到．有没有更简便的方法呢？我们进行如下的探索． 记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，格点多边形的面积为S．图①中，；图②中，． (1)观察图2，多边形内的格点数a均为4，统计各多边形所围成的方格数，求出各多边形的面积，并填写下表． 图4-37 ① ② ③ ④ b（个） S（平方单位） (2)如图，在直角坐标系中画出S关于b的函数图象．判断S关于b的函数是哪一类函数，并求出函数表达式． (3)上面你求出的函数表达式是当时的情况．更一般地，格点多边形的面积公式可表示为（其中m，n为常数），你能猜测出m，n的值吗？说出你的结论及理由． 用图，验证你所得到的公式是否也适合凹多边形的情形． 奥地利数学家皮克（G．Pick，1859～1942年）证明了格点多边形的面积公式．查找有关皮克定理的资料，并和你探索的结果作比较． 【答案】(1)见解析 (2)，图像见解析 (3)，验证见解析 【分析】（1）观察图形，根据题意填表即可； （2）设S关于b的函数表达式为，代入（1）中表格中的数据求解即可； （3）将当，，时，和当，，时，代入联立求解即可． 【详解】（1）解：由图可知： 图4-37 ① ② ③ ④ b（个） 5 6 7 8 S（平方单位） 6 7 （2）设S关于b的函数表达式为， 将，代入得， ，解得：， ∴， 函数图像如图所示： （3）当，，时，， 当，，时，， 联立得： ，解得：， ∴， 由图可知：，， 代入得：． 由图可知：． ∴结论正确，． 【点睛】本题最主要考查了一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，会用割补法求格点四边形的面积． 【核心考点二 一次函数中的平移模型】 8．（2025八年级上·全国·专题练习）（1）如图，指出平面直角坐标系中的两个图象，可以怎样由的图象得到，并写出相应的函数表达式； （2）将的图象分别向上平移2个单位长度、向下平移3个单位长度，画出平移后的图象，并写出相应的函数表达式 ___________． 【答案】（1），；（2）图象见解析，； 【分析】此题考查了一次函数与几何变换，涉及的知识有：平移的性质及图象的画法，熟练掌握平移性质是解本题的关键． （1）利用平移规律“上加下减”确定出平移后函数解析式即可； （2）利用平移规律确定出平移后函数解析式，然后再画出图形． 【详解】解：（1）由图象知，l1是将的图象向上平移3个单位长度得到的，其函数表达式为； 是将的图象向下平移2个单位长度得到的，其函数表达式为； （2）将的图象向上平移2个单位长度得到的函数表达式为； 将的图象向下平移3个单位长度得到的函数表达式为； 函数图象如图所示： 故答案为：yx+2；yx﹣3． 9．（24-25八年级下·河北石家庄·月考）在平面直角坐标系中，直线与轴的交点为，与轴的交点为．将直线向下平移个单位长度得到直线． (1)求点，点的坐标，画出直线及直线； (2)求直线的解析式； (3)直线还可以看作由直线经过其他方式的平移得到的，请写出一种平移方式． 【答案】(1)，，画图见解析 (2) (3)见解析 【分析】（）把代入可求出点坐标，进而画出直线； （）根据平移的性质解答即可求解； （）求出直线与轴的交点坐标即可求解； 本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，画一次函数图象，一次函数图象的平移，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴点的坐标为， 把代入，得， ∴点的坐标为， 画图如下： （2）解：∵将直线向下平移个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， 即； （3）解：把代入，得， ∴直线与轴的交点坐标为， ∴直线还可以看作由直线向右平移个单位长度得到的． 10．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为． (1)在中，点C经过平移后的对应点为，将△ABC作同样的平移得到，画出平移后的； (2)点D是坐标轴上的点，当与的面积相等且点D为格点时，直接写出点D坐标． 【答案】(1)见解析 (2)或或． 【分析】此题考查了平移作图，坐标与图形，平移的性质，求一次函数的解析式，熟知图形的平移不变性的性质是解题的关键． （）根据平移的性质画图即可； （）过点作与轴交于格点，与轴交于格点．作关于对称的，过点作的平行线，交y轴于格点，进而求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，过点作与轴交于格点，与轴交于格点， ∵， ∴，与的面积相等，， ∵，， ∴，． 作关于对称的，过点作的平行线，交y轴于格点， ∴和的面积相等， ∵， ∴和的面积相等，即和的面积相等， 延长过点，则， ∵，， ∴． 综上所述，符合要求的点D的坐标为或或． 11．（25-26八年级上·山东淄博·期中）如图所示，的各顶点坐标为，将先向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到． (1)在图中画出； (2)直接写出的坐标； (3)求在平移过程中，线段扫过的面积． (4)如果将看成是由经过一次平移得到的，请直接指出这一平移的平移方向（平移的方向可看作某条直线）和距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3)5 (4)由C到的直线，平移的距离是5个单位长度． 【分析】本题主要考查了作图—平移变换、勾股定理、四边形的面积、坐标与图形等知识点，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）先根据平移的性质确定点A、B、C的对应点，然后再顺次连接即可解答； （2）根据（1）的作图写出的坐标即可； （3）如图：连接，线段扫过的面积为平行四边形，然后运用割补法求解即可； （4）如图：连接，根据勾股定理求出的长以及一次函数的解析式，进而完成解答． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：由（1）作图可得：． （3）解：如图：连接， 则在平移过程中，线段扫过的面积为平行四边形， 平行四边形的面积为， 所以线段扫过的面积为5． （4）解：如图：连接， 由图可知， 设的解析式为：， 根据题意有：，解得：， ∴的解析式为：， ∴如果将看成是由经过一次平移得到的，那么这一平移的平移方向是由C到的直线，平移的距离是5个单位长度． 12．（2025·河北沧州·一模）在平面直角坐标系中，点P从原点О出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．    【实验操作】借助如图所示的平面直角坐标系，把表格补全； 点P从点O出发后的平移次数 可能到达的点的坐标 1次 2次 ，_______，_______， 3次 ，，_______， 【观察发现】点P从点O出发后平移1次或2次或3次时，点Р可能到达的点都在一条直线上．如平移1次时，点Р可能到达的点所在直线的解析式为； ①求平移2次时，点Р可能到达的点所在直线的解析式； ②猜测：平移n次时，点Р可能到达的点在直线_______上；（请填写相应的解析式） 【探索运用】若点Р从点О出发经过n次平移后，到达直线上的点Q，且平移的路径长s满足，请直接写出点Q的坐标． 【答案】实验操作：；观察发现：①；②；探索运用：或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征等知识点，[实验操作]根据题意，填空即可；[观察发现]①待定系数法求出一次函数解析式即可；②根据题意和观察发现平移n次时，直线解析式为；[探索运用]设点Q的坐标为，根据题意得联立方程组解得点Q坐标得到平移的路径长，根据取值范围确定n值，继而得到点Q坐标即可；熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． 【详解】[实验操作]如表： 点P从点O出发后的平移次数 可能到达的点的坐标 1次 2次 3次 故答案为：； [观察发现]①设过点的直线解析式为， 将点坐标代入得：， ∴直线解析式为：； ②根据题意平移后解析式中k值不变，b为， ∴平移n次时，直线解析式为：， 故答案为：； [探索运用]设点Q的坐标为，根据题意得， 解得， ∴点Q的坐标为， ∵平移的路径长：， ∴， ∴． ∵点Q的坐标为正整数， ∴n是3的倍数，n可以取39、42， ∴点Q的坐标为或． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案； （3）在直线取两点，，根据旋转性质求得旋转后对应点，，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：（1）将函数的图象沿x轴向右平移3个单位长度， 平移后与x轴的交点为，将代入中，得 ， 解得， 所以平移后的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：在函数的图象上取两个点、， 关于x轴对称的点的坐标、， 设直线的解析式为， 把代入，得 ， ∴一次函数的表达式为； （3）解：如图，在直线上取两点，， 一次函数的图象绕点逆时针方向旋转， 点、绕点逆时针方向旋转后对应点为点、， 过点作轴于，过点作轴于，过点作于， ， ，， 由旋转可得，， ， ，， ， ， ， ， ，， 轴， 四边形是矩形， ，， ， ， 同理可求得点， 设直线解析式为， 把、代入，得 ， 解得：， ∴旋转后得到函数解析式为：． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·江苏南京·月考）【探究发现】创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数的图象可以由正比例函数的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行了如下的探究活动． (1)请你完成探究活动中的相关问题． ①将的图象向上平移4个单位，得到的直线，则的函数表达式为____________； ②请在图1平面直角坐标系中，画出直线的图象； ③观察图象，直线也可以看作由的图象向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (2)【类比迁移】将向下平移3个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移________个单位得到； (3)【拓展升华】将向下平移个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (4)【综合应用】已知一次函数的图象如图2所示，结合（1）－（3）的探究，请用无刻度的直尺和圆规在同一直角坐标系中画出的图象．（不写作法、保留作图痕迹） 【答案】(1)①；②见解析；③左，2 (2)左，9 (3)右， (4)见解析 【分析】本题考查一次函数图象的平移，以及左右平移规律的探索，关键是通过与坐标轴的交点解决． （1）①利用一次函数“上加下减”(截距增减)的平移规律，直接给的截距加4，得平移后解析式； ②求出直线与坐标轴的交点，过两点作直线即可； ③求与各自与轴的交点、，对比交点横坐标变化，确定左移2个单位； （2）先求“下减”求向下平移3个单位后的解析式，再分别求两直线与轴的交点，通过横坐标变化确定即可； （3）先求与平移后各自与轴的交点，计算横坐标差值，确定平移方向和平移距离； （4）根据“上加下减”，将上移个单位画，再根据与坐标轴的交点变化画． 【详解】（1）解：①根据“上加下减”的平移规律，直线向上平移4个单位，得； 故答案为：； ②当时，；当时，， 过点，作直线，即为直线：的图象，如图所示： ③∵直线与轴的交点是，与轴的交点是，将点向左平移2个单位得到， ∴直线可以看作由的图象向左平移2个单位得到． 故答案为：左，2； （2）解：令，解得， ∴直线与轴的交点坐标为． 将向下平移3个单位，得到． 令，解得， ∴直线与轴的交点坐标为． ∵将点向左平移9个单位得到， ∴直线相当于将向左平移9个单位得到． 故答案为：左，9； （3）解：同理，直线与轴的交点是． 直线向下平移个单位后的函数为， 令，得，解得， ∴新交点为． ∵，即点向右平移个单位得到， ∴将向下平移个单位，相当于将向右平移个单位得到． 故答案为：右，； （4）解：如图所示： 【核心考点三 一次函数中的动点问题】 15．（24-25八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，点是轴上的动点． (1)求直线的解析式； (2)当时，求点的坐标； (3)若点为线段的中点，点是线段上的动点，点是线段上的动点，当△的周长取得最小值时，求点和点的坐标． 【答案】(1) (2)点或 (3)， 【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质，轴对称的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）先求出点，点坐标，利用待定系数法可求直线解析式； （2）由面积关系列出方程可求解； （3）作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接，交于，交轴于，此时的周长有最小值，利用待定系数法可求直线的解析式，可求点坐标，联立方程组可求点坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，． ，， ， 解得：，， 直线的解析式为； （2）设点， ， ， ， ， 或， 点或； （3）如图，作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接，交于，交轴于， 此时，的周长，即的周长的最小值为， 点为线段的中点， ， 点， 点与点关于轴对称， ， 点， 点与点关于直线对称， ，， ， 点， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点， 点是直线与直线的交点， ， 解得：， 点． 16．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，已知长方形中，，，为边的中点，为长方形边上的动点，动点以4个单位／秒的速度从出发，沿着运动到点停止，设点运动的时间为秒，的面积为． (1)点运动过程中，求出与之间的关系式； (2)当为何值时，最大？并求出的最大值． 【答案】(1) (2)当时，最大，的最大值为． 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了三角形面积求法，求一次函数的解析式和一次函数的性质，分类讨论是关键． （1）分两种情况讨论，求出函数解析式即可； （2）根据一次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：①当P在上时，即时（如图1）， 此时，， ∴的面积为， ②当点P在上时，即（如图2）， 此时， 则 ． 所以y与之间的关系式为， ∴ （2）当时，的面积为， ∵ ∴y随着x的增大而增大， ∴当时，， 当时，的面积为， ∵ ∴y随着x的增大而减小， ∴当时，， 综上可知，当时，最大，的最大值为． 17．（24-25八年级上·山西晋中·期中）综合与探究 如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，有一动点M从A点出发匀速沿x轴向右移动． (1)直接写出点的坐标：点A______；点B______； 将直线向上平移两个单位长度，得到直线，直接写出直线的表达式______． (2)若动点M从A点以每秒2个单位的速度匀速沿x轴向右移动．请你探究求出当时，此时M点的运动时间t（秒）； (3)请你探究动点M在移动过程中，是否存在使得的面积等于面积的？若存在，请直接写出满足条件的所有点M的坐标，不存在则说明理由． 【答案】(1)，； (2)M点的运动时间为秒 (3)存在，或 【分析】本题考查的是求解一次函数与坐标轴的交点坐标，勾股定理的应用，坐标与图形； （1）分别令，，，，从而可得的坐标，再根据一次函数图象的平移规则可得直线的解析式； （2）如图，设，当时，可得，再建立方程求解即可； （3）设，结合，的面积等于面积的，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴当时，， 当时，， ∴，； 将直线直线l：向上平移两个单位长度，得到直线， ∴为； （2）解：如图，设，当时， 则有， ∴， 解得：， ∴， ∴M点的运动时间为秒； （3）解：设， ∵，的面积等于面积的， ∴， 解得：， ∴或. 18．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知，一次函数与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线相交于点C，过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点． (1)若，求点P的坐标． (2)若点E是直线上的一个动点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，求点E的坐标． 【答案】(1)或 (2)或或或 【分析】（1）先求得，；再联立两直线解析式求出交点C的坐标，然后由面积相等求出线段的长度，继而得出点P的坐标； （2）设点、点，当时，当点P在y轴右侧且点P在点E的左侧时，如图，过P作于N，过E作于M，当点P在点E的右侧时，如图∶当时，当点P在y轴左侧时，如图，再利用全等三角形的性质建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：由， 当时，；当时，， ∴，； 联立，解得：， ∴C为． ∴． ∴，解得：． ∴或． （2）解：设点、点， 当时， 当点P在y轴右侧且在点E的左侧时，如图1， 过P作于N，过E作于M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴． 如图：当点P在点E的右侧时， 同理可得：，解得， ∴； 如图， 当时，当点P在y轴左侧时， 同理可得： ， 解得：， ∴点；   如图： 同理可得： ，解得：， ∴． 综上，E点坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题、坐标与图形、等腰直角三角形的定义、全等三角形的判定与性质、二元一次方程组的应用等知识点，正确作出辅助线、构建几何图形、利用数形结合的方法是解题的关键． 19．（2025·重庆江北·一模）如图1，在矩形中，，，动点P以每秒1个单位的速度，从点A出发，按的顺序在边上运动．与点P同时出发的动点Q以每秒个单位的速度，从点D出发，在射线上运动．当动点P运动到点D时，动点P、Q都停止运动．在运动路径上，设点P的运动时间为t秒，此时点P、点B之间的路径距离与点P、点C之间的路径距离之和为，动点Q的运动路程为． (1)分别求出，与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (2)在如图2的平面直角坐标系中，画出，的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质：_________________________； (3)根据图象直接写出当时，t的取值范围____________． 【答案】(1)， (2)图见解析，当时，随t的增大而减小；当时，随t的增大而不变；当时，随t的增大而增大；函数是轴对称图象，对称轴是直线 (3) 【分析】（1）根据题意可分当P在上，当P在上，当P在上，然后分类求解即可； （2）根据（1）可直接进行作图，然后根据图象可进行求解； （3）把函数向上平移一个单位长度，进而根据函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： ①当P在上，即时，则有：， ∴； ②当P在上，即时，则有：； ③当P在上，即时，； 综上，； ； （2）解：函数图象如下所示： 当时，随t的增大而减小；当时，随t的增大而不变；当时，随t的增大而增大； （3）解：把函数向上平移一个单位长度，如图所示，根据图象可知当时，则有； 故答案为． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 20．（24-25九年级上·重庆·期中）四边形中， ，，，，．动点P从A点出发，沿方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发，沿折线方向以每秒2个单位的速度运动，当Q点到达C点时，P 、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒， ． (1)请直接写出关于x 的函数关系式并注明自变量x 的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】(1) (2)函数图象见解析；当时，函数值随的增大而减小（答案不唯一） (3)或 【分析】本题考查了一次函数的应用，勾股定理，矩形的判定和性质，一次函数与不等式，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键． （1）作于点，证明四边形是矩形，从而求出，分两种情况讨论：当时，点在上；当时，点在上，分别表示出和，即可得到答案； （2）根据（1）所得关系式画出函数图象，再写出性质即可； （3）根据函数图象写出不等式取值范围即可． 【详解】（1）解：如图，作于点， ，， 四边形是矩形， 是直角三角形，，， ， 当时，点在上，，， ； 当时，点在上，，， ； 综上所述：； （2）解：函数图象如图所示， 该函数的性质：当时，函数值随的增大而减小；当时，函数值随的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：由函数图象得，时x的取值范围为：或． 21．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）【直观想象】 如图甲，动点在数轴上从负半轴向正半轴运动，点到原点的距离先变小再变大，当点的位置确定时，点到原点的距离也唯一确定． 【数学发现】 设动点在数轴上表示的数是，点到原点的距离为，我们发现是的函数，它的函数表达式为． 【数学理解】 （1）请在图丙中画出函数的图像； 【类比迁移】 如图乙，点、在数轴上表示的数分别是1和3，设动点在数轴上表示的数是，到两个定点、的距离和为． （2）当点在线段上运动时（可以和点、重合），的取值范围是______，_____； （3）当点在数轴上运动时，仿照（1）写出与之间的函数表达式：______；（同时写出的取值范围） （4）在图丁中画出关于的函数图像． 【答案】（1）作图见解析；（2），2；（3），取一切实数；（4）作图见解析 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，画一次函数图像，正确理解题意是解题的关键． （1）由解析式，按照画一次函数的方法即可作图； （2）由于点、在数轴上表示的数分别是1和3，那么当点在线段上运动时（可以和点、重合），的取值范围是，此时； （3）根据数轴上两点之间距离公式即可建立函数解析式； （4）分类讨论，按照画一次函数的方法即可作图． 【详解】解：（1）的图像如图： （2）∵点、在数轴上表示的数分别是1和3， ∴由题意得，当点在线段上运动时（可以和点、重合），的取值范围是，此时， 故答案为：，2； （3）由题意得，， ∴与之间的函数表达式为，取一切实数， 故答案为：，取一切实数； （4）∵， ∴当时，； 当时，； 当时，， ∴可作图如下： 【核心考点四 一次函数的交点问题】 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）在同一个直角坐标系中，画出一次函数和的图象，并在图象中标出交点坐标． （2）求二元一次方程组的解． （3）交点坐标与方程组的解有关系吗？什么关系？请说明理由． 【答案】（1）图象见解析；（2）；（3）有关系，关系为交点的横坐标与纵坐标即为方程组的解，理由见解析 【分析】本题考查画一次函数图象，解二元一次方程组，一次函数与二元一次方程组； （1）用描点法画出两一次函数的图象； （2）用加减消元法解二元一次方程组； （3）两一次函数图象的交点的横坐标与纵坐标即为方程组的解. 【详解】解：（1）图象及交点坐标，如图所示， （2） 将得： 解得 将代入①得： 解得 ∴方程组的解为. （3）交点坐标与方程组的解有关系，关系为交点的横坐标与纵坐标即为方程组的解，理由如下： ∵方程组中可变形为，可变形为， ∴方程组中的两个方程为两一次函数的解析式， ∵交点坐标是同时满足两个解析式的， ∴交点的横坐标与纵坐标满足两个方程， ∴交点的横坐标与纵坐标即为方程组的解. 23．（24-25八年级下·海南海口·月考）在平面直角坐标系中，是原点，一次函数与轴交点为，与轴交点为． (1)写出交点的坐标________、的坐标________； (2)请直接在平面直角坐标系中，作出一次函数的图象； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点，画一次函数的图象，求三角形的面积，掌握求一次函数与坐标轴的交点是解题的关键． （1）令，求出x的值得到点A的坐标；当求出y的值得到点B的坐标； （2）在平面直角坐标系中描出点和点的坐标，过两点作直线即可； （3）根据三角形的面积公式计算解题． 【详解】（1）解：令，则，解得， ∴点A的坐标为； 当时，， ∴点B的坐标为； 故答案为：，； （2）解：如图所示： （3）解：． 24．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，线段DE在y轴上，且D点、E点坐标分别为，，直线与线段DE交于点P． (1)当点P与点D重合时，若直线与有交点，求k的取值范围； (2)当点P是线段DE上任意一点时，若直线与有交点，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求直线的解析式，解一元一次不等式组，理解题意，正确求解是解题的关键． （1）利用待定系数法将点D，分代入表示出解析式，然后分别求得直线经过A、B、C、时的解析式，即可求解； （2）利用待定系数法分别求得直线经过A，B时的解析式，再根据，列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：当直线经过时，， 将代入中，得， 当直线经过时， 将代入中，得． 当直线经过时， 将代入中，得． ∴当直线与有交点时，k的取值范围是； （2）当直线经过时， ，即， ∵点P是线段DE上任意一点，且、，即， ∴， 解得：， 当直线经过时， ，即， ∵点P是线段上任意一点，且、，即， ∴， 解得：， ∴直线与有交点，则k的取值范围是． 25．（24-25八年级下·贵州铜仁·期末）我们把关于x的一次函数（且m、n都不为0）与一次函数定义为交换函数． (1)根据交换函数的定义，一次函数的交换函数是______； (2)试说明一次函数与其交换函数的交点坐标为； (3)如图，若点是一次函数与其交换函数的交点，与y轴交于点A，点P为上一动点，当取得最小值时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)点P的坐标为． 【分析】本题主要考查了一次函数的性质以及根据一次函数求解其与坐标轴的交点等知识，掌握一次函数的性质以及新定义交换函数的含义是解答本题的关键． （1）根据交换函数的定义，直接写出即可； （2）联立求解即可； （3）先求得，当时，取得最小值，作于点，得到是等腰直角三角形，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得一次函数的交换函数是； 故答案为：； （2）解：由题意得一次函数的交换函数是； 联立得，解得， ∴， ∴一次函数与其交换函数的交点坐标为； （3）解：∵点是一次函数与其交换函数的交点， ∴，解得， ∴，， 令，则，， ∴直线与轴的交点坐标为，直线与轴的交点坐标为， 令，则，解得， ∴直线与轴的交点坐标为， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当时，取得最小值， ∵， ∴，， 作于点， 此时是等腰直角三角形， ∴，， ∴点P的坐标为． 26．（24-25八年级上·河南郑州·开学考试）定义：图象与x轴有两个交点的函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． (1)关于l的对称函数与直线交于点C，如图． ①直接写出点的坐标：A（ ，0）；B（ ，0）；C（1， ）； ②P为关于m的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； (2)当时，直线与关于m的对称函数有两个交点，求m的取值范围． 【答案】(1)①；②或或 (2) 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①分别令，求出的值，得到的坐标，求出时的值，求出点坐标；②根据，得到，进而得到，进行求解即可； （2）求出点坐标，进而求出点恰好在直线上时的的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴当时，；当时，， 当时，； ∴； 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， ∴当时，，当时，，当时，， ∴或或； （2）∵， ∴当时，把代入，得：， ∴点， 当直线过点时，直线与关于m的对称函数有两个交点， 将点C的坐标代入得：，解得； ∴当时，直线与关于m的对称函数有两个交点． 27．（24-25八年级下·山西忻州·期末）驱动任务： 教材中曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，得到了两个结论：1．以方程 的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象；2．一般地，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．示例：如图1，当我们在画方程 的图象时，可以取方程的两组解与为坐标的点，，作出直线，那么两个二元一次方程组的解的情况与所对应的两个方程的图象之间有什么关系呢？ 研究步骤： （1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可） （2）观察图象，两条直线的交点坐标为______，由此你得出这个二元一次方程组的解为_____． （3）在同一平面直角坐标系中，二元一次方程的图象和的图象如图3所示，请根据图象，判断方程组的解的情况． 总结归纳： （4）当方程组中两方程的图象有交点时，方程组的解的个数有_____；当方程组中的两方程的图象没有交点时，方程组的解的个数有_____．（填选项字母） A．一组解  B．无穷多组  C．无解 【答案】（1）见解析；（2），，（3）无解；（4）A、C． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是关键． （1）利用描点法画出两条直线图象即可； （2）利用画出的图象写出交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标即可得到方程组的解； （3）根据图象，两直线没有交点，方程组无解即可； （4）根据上面的小题进行判断即可． 【详解】解：（1）， 当时，；当时，； 当时，；当时，； 如图示：    （2）观察图象，两条直线的交点坐标为，由此你得出这个二元一次方程组的解是； 故答案为：，； （3）根据图象，两直线没有交点，方程组无解． （4）由上可得：当方程组中两方程的图象有交点时，方程组的解的个数有一组解；当方程组中的两方程的图象没有交点时，方程组无解， 故选：A、C． 28．（24-25八年级上·浙江金华·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一次函数的图象，作该图象在直线的右侧部分关于直线的轴对称图形，与原图象在直线的右侧部分及与直线的交点共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“V型函数”．例如：图1就是一次函数关于直线的“V型函数”图象． (1)请在图2中画出函数关于直线的“V型函数”图象．      (2)若函数关于直线的“V型函数”图象与x轴只有一个交点，则 ． (3)如图3，点，以为斜边在x轴上方作等腰，当函数关于直线的“V型函数”图象与的边只有两个交点时，求m的取值范围．    【答案】(1)见解析 (2) (3)，或 【分析】（1）根据题意作出图象即可； （2）求得直线与x轴的交点坐标即可求解； （3）分两种情况求解，直线在，以及“V型函数”图象在直线与x轴的交点的左侧，据此求解即可. 【详解】（1）解：函数关于直线的“V型函数”图象如图所示，    ； （2）解：令，则，解得， ∵函数关于直线的“V型函数”图象与x轴只有一个交点， ∴， 故答案为：； （3）解：∵等腰中，点， ∴， ∴点， ∴直线的解析式为， 解方程得， 由（2）知直线与x轴的交点为， ∴当时，函数关于直线的“V型函数”图象与的边只有两个交点， ∵直线与的边已经有两个交点， ∴函数关于直线的“V型函数”图象与的边不能再有交点，即在点的左侧，      ∴与点关于对称， ∴时，函数关于直线的“V型函数”图象经过点， ∴当函数关于直线的“V型函数”图象与的边只有两个交点时，m的取值范围为或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用；理解并运用新定义“V型函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键． 【核心考点五 一次函数中的全等问题】 29．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，把射线AB绕点A顺时针旋转90°得射线AC，点P是射线AC上一个动点，点Q是x轴上一个动点．若与全等，试确定点Q的横坐标． 【答案】7或8 【分析】根据与全等分两种情况分类讨论即可解答． 【详解】解：在直线中， 当x=0时，y=0+4=4，即， 当y=0时，0=， ∴ ，即； ∵与全等， ∴分两种情况： 当时，，如图所示， 则， ∴点Q的横坐标为：， 当时，，如图所示， 则， ∵ ， ∴点Q的横坐标为：； 综上所述：点Q的横坐标为7或8． 【点睛】本题主要考查三角形全等的应用，一次函数的应用，勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 30．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点、与y轴交于点． (1)直线的函数表达式为_____． (2)若点C是直线上一点，点D是y轴上一点，当与以D、B、C为顶点的三角形全等时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)点C的坐标为或或． 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理，全等三角形的性质． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分三种情况讨论，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为， 把，代入，得：， 解得， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 当时，且点在点的上方，如图： ∴，，即轴， ∴，即， ∴； 当时，且点在点的上方，如图：作轴于点， ∴，， ∴， ∴， 当时， ∴； 当时，且点在点的下方，如图： 同理，； 综上，点C的坐标为或或． 31．（24-25八年级上·浙江嘉兴·月考）如图，直线分别交轴，轴于点，，点，动点从点出发以每秒1个单位的速度沿轴负方向移动，设点的移动时间为秒． (1)求，两点的坐标． (2)设的面积为，当时，求关于的函数表达式． (3)当为何值时，与全等． 【答案】(1)， (2) (3)当或时，与全等 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、全等三角形的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）分别求出当时，的值；当时，的值，由此即可得； （2）先求出点的坐标，从而可得的长，再利用三角形的面积公式求解即可得； （3）先判断出只能是，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）解：对于一次函数， 当时，，解得， 当时，， 则点的坐标为，点的坐标为． （2）解：由（1）已得：点的坐标为， ∵动点从点出发以每秒1个单位的速度沿轴负方向移动，且点的移动时间为秒， ∴， ∴当时，， ∵， ∴， ∵轴轴， ∴的面积为， 所以关于的函数表达式为． （3）解：由（2）已得：， ∴， ∵，，，轴轴， ∴，，， ∴与全等只有一种情况：， ∴，即， 解得或， 所以当或时，与全等． 32．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)求、的长； (2)已知点，在x轴上是否存在点D，使得以D、C、O为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，利用图象与坐标轴交点求法分别得出即可； （2）根据全等三角形的判定，以及的长度，得出对应边关系求出即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴当，则； 当，则， ∴A点坐标为：，B点坐标为：； ∴； （2）解：， ， ，点D在x上； ， ， 点的坐标为或． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及一次函数与坐标轴交点坐标求法，找准D、C、O为顶点的三角形与对应顶点是解题关键． 33．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，在长方形中， ， ，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒：   (1)当点在上运动时，_________ ．（用的代数式表示） 当点在上运动时，_________ ．（用的代数式表示） (2)用含的代数式表示的面积； (3)当点在上运动时： ①计算说明：当为何值时，？ ②当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，直接写出当与全等时，的数值． 【答案】(1) (2) (3)① ②2， 【分析】本题主要考查了矩形的性质、分段函数、全等三角形的判定与性质． 当点在上运动时，根据即可得出结果；当点在上运动时，根据即可得出结果； 分点在上运动、在上运动、在上运动，求出与的函数关系式； ①根据，可知，得到关于的方程，解方程求出的值； ②分当时和当时，两种情况列方程求出的值． 【详解】（1）解：当点在上运动时，； 当点在上运动时，； 故答案为：，； （2）解：当点在上运动时，即时， 可得：； 当点在上运动时，即时， 可得：； 当点在上运动时，即时， 可得：； 综上所述，； （3）①解：， ， ， 秒； ②解：当时，，， 可得：， 解得：， 当点运动的速度是时，； 当时，，， 可得：， 解得：， 当点运动的速度是时，； 综上所述，当与全等时，的数值是或． 34．（2025·广西柳州·二模）综合与探索 【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、， (1)直接写出______，______； (2)将直线绕点顺时针旋转得直线，求出直线解析式： 小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角，使得，，根据型全等和坐标之间的关系，求出点的坐标为______；通过，两点坐标求出直线的解析式______； (3)如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数解析式． 【答案】(1)，； (2)，； (3)的函数表达式为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）由即可求出点的坐标为，点的坐标为，从而求解； （）根据“型全等”证明，则有点的坐标为，设解析式为，然后把，坐标代入求解即可； （）过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，证明，则有，设，则，，得出，最后通过待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：如图，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， 令，解得，令，得，解得：， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， 故答案为：，； （2）解：过点作轴于，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴点的坐标为， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 故答案为：，； （3）解：过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴设直线解析式为 ，解得， ∴的函数表达式为． 35．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）【模型建立】 如图1，三个等角的顶点在同一条直线上，简称“一线三等角”，解决此类问题的一般方法是利用三等角关系确定三角形全等所需角的相等条件，然后利用全等三角形的性质来解决．特别地，如图2，等腰直角三角形中，．直线经过点A，过B作于点D，过C作于点E．易证得（无需证明），我们将这个基本图形称为“三垂直”或者叫“K形图”，它是“一线三等角”的特殊情形．接下来，我们就利用这个模型来解决一些问题： 【模型应用】 （1）如图3，直线与坐标轴交于点A、B，将直线绕点A逆时针旋转至直线，求直线对应的函数表达式． （2）如图4，直线与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．分别以为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角和等腰直角，连交y轴于P点，求的面积． 【模型拓展】 （3）如图5，已知点，点B在y轴正半轴上，将线段绕点A顺时针旋转到线段，若点C的坐标为，则_____． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先求出，得到，过点B作直线的垂线交直线于点Q，过点Q作轴，先证明是等腰直角三角形，再证明，得到，求出，利用待定系数法即可求解； （2）先求出，得到，过点E作轴，同理（1）证明，得到，求出，再根据等腰直角三角形的性质得到，求出，利用待定系数法求出直线的解析式，再求出点P的坐标，进而得到，即可求解； （3）在x轴上取点D和点E，使得，过点C作于点F，在中，解直角三角形可得，，再证明，则，，求得，在中，得，，得到，解方程即可求得答案． 【详解】（1）令，解得：； 将代入，解得：； ∴， ∴， 过点B作直线的垂线交直线于点Q，过点Q作轴， ∵直线与直线夹角为，即，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点，则， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）令，解得：； 将代入，解得：； ∴， ∴， 过点E作轴， 同理（1）证明， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点，则， 解得：， ∴直线的解析式为； 将代入，解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为； （3）解：在x轴上取点D和点E，使得，过点C作于点F， ∵点C的坐标为， ∴，， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵（旋转的性质）， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 【点睛】本题考查坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理；构造全等三角是解题的关键． 【核心考点六 一次函数中的翻折模型】 36．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，已知的面积为10． (1)求这条直线的表达式； (2)若将这条直线沿轴翻折，求翻折后得到的直线的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由解析式得到点B的坐标，根据三角形面积求出点A的坐标，即可利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）关于轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，据此直接解答． 【详解】（1）解：当时，，则． 当时，，解得，则． 因为的面积为10，所以， 解得，所以这条直线的表达式为． （2）因为关于轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数， 所以将直线沿轴翻折，翻折后得到的直线的表达式为，即． 37．（24-25八年级上·江苏宿迁·月考）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处． (1)求点E的坐标； (2)设，写出y关于x的函数表达式，并指出是不是y关于x的一次函数． 【答案】(1) (2)，是关于x的一次函数 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理． （1）根据折叠的性质得到，在中利用勾股定理求得，据此即可求得点E的坐标； （2）由折叠得到，有，在中利用勾股定理列式，整理即可解． 【详解】（1）解：依题意可知，折痕是四边形的对称轴， 在中，，， 由勾股定理，得， 则， ∴； （2）解：在中，由勾股定理，得， 又∵，，， ∴， 整理得， 是关于x的一次函数． 38．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，把沿着过点A的某条直线折叠，使点B落在x轴负半轴上的点D处，折痕与y轴交于点C． (1)求直线的解析式； (2)求点C的坐标． 【答案】(1) (2)点C的坐标为 【分析】（1）直接利用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）由折叠的性质可知，．可得，．求解，可得．设，则．再结合勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：设直线的解析式为． 将点，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：由折叠的性质可知，． ∴，． ∵，， ∴，． 在中，根据勾股定理，得， ∴． ∴ 设，则． 在中，根据勾股定理，， ∴， 解得， ∴． ∴点C的坐标为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数解析式，轴对称的性质，勾股定理的应用，全等三角形的性质，掌握基础知识是解本题的关键． 39．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，，点D在边上，将沿翻折，点B恰好落在边上点E处．    (1)求点E的坐标； (2)求折痕所在直线的函数表达式； (3)延长直线交x轴于点F，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)54 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理以及待定系数法求一次函数的解析式的综合应用．解答此题时注意坐标与图形的性质的运用以及方程思想的运用． （1）根据折叠的性质知．在中，由勾股定理求得； （2）根据知，由折叠的性质与勾股定理，求得，利用待定系数法求所在直线的解析式． （3）先求出点，利用三角形面积公式求出答案即可． 【详解】（1）解：四边形是长方形， ，， 由折叠的性质知，， ， 在中，由勾股定理得， ； （2）解：设所在直线的解析式为， ， ， 由折叠的性质知，， 设， ，， 由勾股定理得， 即， 解得， ， ， 代入得，， 故所在直线的解析式为：． （3）在中，令，则， ∴， ∴． 40．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使，分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接， ． (1)求A、C两点的坐标； (2)将纸片折叠， 使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积； (3)求所在直线的函数表达式． 【答案】(1) (2)折叠后纸片重叠部分的面积为10 (3) 【分析】本题考查了一次函数的面积问题，求一次函数解析，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握待定系数法，求出重叠部分三角形的底和高是解题的关键． （1）根据得出，根据勾股定理得出，列出方程求解即可； （2）设，则，在中，根据勾股定理可得，列出方程求出，根据，即可解答； （3）由（2）可得，设，则，在中，根据勾股定理可得：，列出方程求出，则，在用待定系数法即可求出所在直线的函数表达式． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形为长方形， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为长方形， ∴， ， 由折叠可得：， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∴， ∴折叠后纸片重叠部分的面积为10； （3）解：由（2）可得， ∴， 由折叠可得：， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∴， 设所在直线的函数表达式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴所在直线的函数表达式为． 41．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点． (1)【问题初探】 点的坐标是________，点的坐标是________． 若是直线上一点，求直线的函数表达式． (2)【应用探究】 在直线上是否存在一点（不与点重合），使的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)【拓展延伸】 是轴上一动点，把线段沿着直线翻折，使点落在轴上，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)存在， (3)或 【分析】本题属于一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，折叠的性质，勾股定理，用待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）令，求B点坐标，令，求A点坐标； 先求出m的值，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）先求出，设点D的坐标为，根据的面积等于的面积，列出方程，即可求解； （3）设，当B点的对称点在x轴负半轴上时，在中，，可求；当B点的对称点在x轴正半轴上时，在中，，可求． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点， 令，则；令，则， ∴，， 故答案为：，； ∵点是直线上一点， ∴，解得：， ∴点， 设直线的解析式是， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式是． （2）解：存在点D，使的面积等于的面积；理由如下： 由（1）得：点A的坐标是．点B的坐标是， ∴， 设， ∴， ∵的面积等于的面积， ∴， 解得（舍）或， ∴； （3）解：设， 如图1，当B点的对称点在x轴负半轴上时， 由折叠可知，， ∵， ∴， 在中，， 解得， ∴； 如图2，当B点的对称点在x轴正半轴上时， 由折叠可知，，， ∴， 在中，， 解得， ∴， 综上，或． 42．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图1，直线：与轴交于点、直线上有一动点，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，它们相交于点．将沿直线翻折得到，点的对应点为． (1)直线与轴的交点的坐标为______．直线与轴的交点的坐标为______． (2)如图2，当点的对应点落在轴上时， ①求证：； ②求点P的坐标． (3)如图3，直线上有、两点，当点P从点A运动到点B的过程中，点也随之运动，请直接写出点的运动路径长为______． 【答案】(1)， (2)①证明见解析；② (3)6 【分析】（1）分别令和，即可求出点G和点D的坐标； （2）①首先求出点G、的坐标，利用平行线的性质和角平分线的定义得，可得结论；②设点的坐标为，则可得点的坐标为，在中，利用勾股定理得：，解方程即可； （3）分别过点，作轴的平行线，与过点垂直于轴的直线分别交于点，，则点在线段上运动，根据对称性知，点运动路径长度为的长，从而解决问题． 【详解】（1）当时，即 解得 ∴点D的坐标为； 当时， ∴点G的坐标为； （2）①如图， 证明：在中，当时，， ． ， ，， 由对称得：，， 轴， ， ， ， ； ②设点的坐标为，则可得点的坐标为， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得， 当时，， ； （3）分别过点，作轴的平行线，与过点垂直于轴的直线分别交于点，， 则点在线段上运动，根据对称性知，点运动路径长度为的长， ，， ， 点的运动路径长为6， 故答案为：6． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数图像上点的坐标的特征，翻折的性质，勾股定理等知识，确定点的运动路径长是解题的关键． 【核心考点七 一次函数中的旋转模型（45度角等）】 43．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式． 【答案】 【分析】根据已知条件得到A（，0），B（0，﹣3），求得OA＝，OB＝3，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的判定与性质证明△AOB≌△FEA得到AE＝OB＝3，EF＝OA＝，求得F（，－），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论． 【详解】解：∵一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B， ∴当x=0时，y=－3，当y=0时，x=， ∴A（，0），B（0，﹣3）， ∴OA=，OB=3， 过点A作AF⊥AB交BC于F，过点F作FE⊥x轴于E． 则∠AOB=∠FEA=∠BAF=90°， ∵∠OAB+∠EAF=90°，∠AFE+∠EAF=90°， ∴∠OAB=∠AFE． 又∵∠ABF＝45°，∠BAF＝90°， ∴∠AFB＝45°， ∴∠ABF＝∠AFB， ∴ AB＝AF ∴△AOB≌△FEA（AAS） ∴AE＝OB，EF＝OA， ∴ OE＝AE+OA＝3+＝，EF＝OA＝， ∴F（，－）． 设直线BC为y＝kx－3，把点F（，－）代入y＝kx－3中， ∴－＝k－3， ∴k＝， ∴直线BC的函数表达式为． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质、等角对等边，正确的作出辅助线是解题的关键． 44．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x轴、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C． (1)点A坐标是（ 　　，　　）、点B坐标是（ 　　，　　）； (2)求直线BC的函数表达式； (3)点M是射线BA上的点，在平面内是否存在点N，使得以M、N、B、C为顶点的四边形是菱形，如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，0； 0，1 (2) (3)符合要求点 N 的坐标是（2， 2）、（ 1，2）、（3，2）． 【分析】（1）由，分别令，，即可求解； （2）过A作交BC于F，过F作轴于E，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得F点的坐标，设直线BC的函数表达式为，利用待定系数法即可得到结论； （3）分当BC是对角线时；当BC是边，四边形BMNC为菱形时；当BC是边，四边形BCMN为菱形时三种情况，根据菱形的性质去分析求解即可求得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B， ∴令x=0，得y=-1，令y=0，则， ∴，． 故答案为：，0；0，-1； （2）解：过A作交BC于F，过F作轴于E． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ． 设直线BC的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线BC的函数表达式为：； （3）解：存在． 如图，当BC是对角线时，四边形BMCN为菱形． ∴，． ∵直线BM为， ∴设直线CN的函数表达式为． ∵直线BC的函数表达式为：， ∴， ∴， 解得， ∴直线CN的函数表达式为， 设． ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴点N的坐标为； 如图，当BC是边，四边形BMNC为菱形时． ∴，． ∵直线BM为， ∴设直线CN的函数表达式为． ∵直线BC的函数表达式为：1， ∴， ∴， 解得， ∴直线CN的函数表达式为， 设． ∵，， ∴， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴点N的坐标为； ③如图，当BC是边，四边形BCMN为菱形时． ∴， 设． ∵，， ∴， ∴， 解得或0（不合题意，舍去）， ∴点M的坐标为． ∵，， ∴点N的坐标为． 综上所述，满足条件的点N的坐标为（2， 2）、（ 1，2）、（3，2）． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，菱形的性质以及勾股定理．解题的关键是注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用． 45．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）定义：已知直线l：（k为常数）绕定点旋转，则称直线l为“旋转簇直线”，点为“旋转簇直线”的不动点， (1)求直线l：的不动点坐标； (2)已知直线：与x、y轴分别交于点A、B． ①如图1，直线l：（k为常数）绕不动点P旋转时，与y轴正半轴相交于点Q，且点Q在点B上方，当时，求点Q坐标； ②）如图2，直线与x正半轴交于点C，与直线相交于第一象限内的点D，且恒有，试问直线是否为“旋转簇直线”，若是，请求出不动点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②直线是“旋转簇直线”，不动点的坐标 【分析】（1）由直线l：，令，即可解答； （2）①先求出，过点A作，垂足为，分别过点，点E作x轴的垂线，垂足分别为，由题意得，易证是等腰直角三角形，得到，再证明，推出，由（1）知，则，进而求出，求出，得到，再利用待定系数法即可求出直线l，即可求出点Q的坐标；②设直线的解析式为，点，代入直线得到直线的解析式为，联立，求出，再根据，代入数据即可解答． 【详解】（1）解：∵直线l：， 令，则， ∴直线l：的不动点坐标为； （2）①解：令，解得：； ∴， 如图1，过点A作，垂足为，分别过点，点E作x轴的垂线，垂足分别为， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点代入直线l：，则， 解得：， ∴直线l的解析式为：， 将代入，则， ∴； ②直线是“旋转簇直线”，不动点的坐标， 设直线的解析式为，点， 将点代入直线得，解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴直线是“旋转簇直线”，不动点的坐标． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形全等的判定与性质，两点距离公式，等腰直角形的性质，熟练掌握以上知识点，作出合适的辅助线是解题的关键． 46．（24-25八年级上·四川成都·月考）如图1，直线和直线相交于点A，直线与x轴交于点C．点P在线段AC上，轴于点D，交直线于点Q．且，已知A点的横坐标为4． (1)求点C的坐标； (2)如图2，平分线交x轴于点M．①求直线QM的解析式．②将直线QM绕着点M旋转45°．旋转后的直线与y轴交于点N．直接写出点N的指标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）求出A的坐标为，用待定系数法求出直线的表达式，即可求解； （2）①延长交y轴于点H，设，，则，根据求出n，进而求出， 证明，则，再求出，进而求出直线的表达式； ②作交直线于点E，作交直线于点F，证明得，，求出，用待定系数法求出直线的表达式即可求解． 【详解】（1）解：当时，，即点A的坐标为， 将点A的坐标代入得：， 解得：， 故直线的表达式为：， 令y=0，得 解得， ∴； （2）解：①延长交y轴于点H， ∵点A的坐标为， ∴， ∵， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； ∵轴，则， ∵平分线交x轴于点M，则， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得 ， ∴， ∴； ②作交直线于点E，作交直线于点F， 令， 解得， ∴． 由旋转的性质可知， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 设直线的表达式为， 把，代入，得 ， ∴， ∴， 当时，， ∴． 【点睛】此考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，旋转的性质，坐标与图形的性质，平行线的性质等，数形结合是解本题的关键． 47．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）（1）探索发现：如图1，已知中，，，直线过点，过点作，过点作，垂足分别为、．求证：．    （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，试求出的面积．    （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交轴于点．求的面积．    【答案】（1）见解析；（2）5；（3） 【分析】（1）先判断出，再判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）过点作轴，垂足为，过点作，判断出，，设列方程组求解，即可得出结论； （3）过点作，交于，过点作轴于，先求出，由得，进而得出，，再判断出，即可判断出，，进而求出直线的解析式，即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ． ，， ， ，． ， ， （2）解：如图2，过点作轴，垂足为，过点作，交的延长线于，    由已知得，且， 由（1）得， ，， 设， ，， ，， 点的坐标为， ， 解得， 点的坐标为； ∴， （3）解：如图3，    过点作，交于，过点作轴于， 对于直线，由得， ， ， 由得， ，， ， ． ． 由（1）得，． ，． ， 设直线为， 则， 解得． 直线为． 由得，， ，． ∴，． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键． 48．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图1，等腰直角三角形中，，过点A作交于点D，过点B作交于点E，易得，我们称这种全等模型为“k型全等”．如图2，在直角坐标系中，直线分别与y轴，x轴交于点A、． (1)求k的值和点A的坐标； (2)在第二象限构造等腰直角，使得，求点E的坐标； (3)将直线绕点A旋转得到，求的函数表达式． 【答案】(1)，点 (2)点E的坐标为 (3)或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，正确利用模型是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）过点C作轴交于点F，证明，据此即可求解； （3）当直线绕点A顺时针旋转得到时，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，证明，求得，利用待定系数法即可求解；当直线绕点A逆时针旋转得到时，同理可求． 【详解】（1）解：将点B的坐标代入得：， 解得：， 则该函数的表达式为：， 令，则； ∴， 即，点 （2）解：过点E作轴交于点F， ∵， ∴由K型全等模型可得， ∴，则， ∴点E的坐标为； （3）解：当直线绕点A顺时针旋转得到时， 过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D， ∵， ∴， ∴由K型全等模型可得， ∵与x轴的交点， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴； 当直线绕点A逆时针旋转得到时， 同理可得； 综上所述：直线的解析式为或． 49．（2025·贵州铜仁·模拟预测）（1）探索发现：如图1，已知中，，，直线l过点C，过点A作，过点B作，垂足分别为D、E．求证：． （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，求点M的坐标． （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标． 【答案】（1）见详解；（2）点M的坐标为（1，3）；（3）R（，0） 【分析】（1）先判断出∠ACB=∠ADC，再判断出∠CAD=∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论； （2）过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，判断出MF=NG，OF=MG，设M（m，n）列方程组求解，即可得出结论； （3）过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，先求出OP=4，由y=0得x=1，进而得出Q（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可判断出OH=5，SH=OQ=1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l， ∴∠ACB＝∠ADC． ∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE， ∴∠CAD＝∠BCE， ∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC． ∴△ACD≌△CBE， ∴CD＝BE， （2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G， 由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°， ∴由（1）得△OFM≌△MGN， ∴MF＝NG，OF＝MG， 设M（m，n）， ∴MF＝m，OF＝n， ∴MG＝n，NG＝m， ∵点N的坐标为（4，2）   ∴ 解得 ∴点M的坐标为（1，3）； （3）如图3， 过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H， 对于直线y＝﹣4x+4，由x＝0得y＝4， ∴P（0，4）， ∴OP＝4， 由y＝0得x＝1， ∴Q（1，0），OQ＝1， ∵∠QPR＝45°， ∴∠PSQ＝45°＝∠QPS． ∴PQ＝SQ． ∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP． ∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝4+1＝5，SH＝OQ＝1． ∴S（5，1）， 设直线PR为y＝kx+b，则 ， 解得． ∴直线PR为y＝x+4． 由y＝0得，x＝， ∴R（，0）． 【点睛】 本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键． 【核心考点八 一次函数中的最值问题】 50．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数最大值与最小值的差为4，求此一次函数的表达式． 【答案】(1)①；②P的最大值为7 (2)一次函数解析式为或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征． （1）①把已知点的坐标代入中即可得到k的值； ②用x表示P得到，根据一次函数的性质，时，P的值最大，即可求解； （2）分和两种情况，根据一次函数的增减性求出最大值与最小值，根据函数最大值与最小值的差为4列出方程，求解得到k，从而得到对应的一次函数解析式． 【详解】（1）解：①∵点在一次函数的图象上 ∴， 解得； ②当时，该一次函数为， ∴， ∴P随x的增大而减小， ∵ ∴当时，P的值最大，为． （2）解：当时，一次函数中，y随x的增大而增大， ∵ ∴当时，y取得最小值，为 当时，y取得最大值，为， ∵函数最大值与最小值的差为4， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 当时，一次函数中，y随x的增大而减小， ∵ ∴当时，y取得最大值，为 当时，y取得最小值，为， ∵函数最大值与最小值的差为4， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 综上所述，一次函数解析式为或． 51．（25-26八年级上·江西抚州·月考）如图，直线与x轴、y轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，． (1)求点C坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)若一次函数与的边有交点，求b可取的最大值和最小值． 【答案】(1)点的坐标为 (2) (3)可取的最大值为36，最小值为6 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法和三角形全等的判定方法． （1）过点作轴于点，证明，即可解答； （2）利用待定系数法即可解答； （3）将的顶点B和C，代入，解方程，即可求得b的最大值和最小值． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ，， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：设直线的函数表达式为， 将点和点代入得， 解得， 所以直线的函数表达式为； （3）解：当一次函数与点相交时， ， 解得， 当一次函数与点相交时， ， 解得， 所以可取的最大值为36，最小值为6． 52．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）阅读理解题： 【定义】对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数． 例如：一次函数，它的相关函数为． （1）已知点A（－2，5）在一次函数的相关函数的图像上，求a的值； （2）已知一次函数． ①若点B（t，－4）在这个函数的相关函数的图像上，求t的值； ②当－1≤ x ≤2时，求函数的相关函数的最大值和最小值． 【答案】（1）a＝1；（2）①t＝－0.5或3.5；②最小值为－5，最大值为3． 【分析】（1）根据定义，先写出一次函数的相关函数，因为点A的横坐标是负数，得到2a＋3＝5，即可求出a的值； （2）①根据定义，写出一次函数的相关函数，然后分情况讨论，t＜0或t≥0，求出t的值； ②分情况讨论，当－1≤x＜0时或当0≤x≤2时，根据一次函数的增减性求出最值． 【详解】（1）函数的相关函数是 ∵－2＜0， ∴2a＋3＝5， ∴a＝1； （2）的相关函数是 ①当t＜0时，2t－3＝－4解得t＝－0.5； 当t≥0时，－2t＋3＝－4解得t＝3.5； ∴t＝－0.5或3.5 ②当－1≤x＜0时，y＝2x－3随着x的增大而增大， ∴－5≤y＜－3； 当0≤x≤2时，y＝－2x＋3随着x的增大而减小， ∴－1≤y≤3； ∴最小值为－5，最大值为3． 【点睛】本题考查一次函数，解题的关键是理解题目中定义的相关函数的意义，利用一次函数的性质进行求解． 53．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，直线与两坐标轴分别相交于A、B两点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过点M分别作于点C，于点D． (1)当点M在上运动时，你认为四边形的周长是否发生变化？并说明理由； (2)当点M运动到什么位置时，四边形的面积有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)不发生变化，总是等于8，理由见详解 (2)即当点位于时，四边形的面积取得最大值，最大值为4 【分析】（1）设点的横坐标为，则点的纵坐标为，从而可得出矩形的周长，继而可作出判断； （2）求出关于的表达式，利用配方法确定最值即可． 【详解】（1）解：设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 则，， ， 当点在上运动时，四边形的周长不发生变化，总是等于8． （2）解：根据直线的解析式可得，点的坐标为，点的坐标为， ， 当时，取得最大值，最大值为4． 即当点位于时，取得最大值，最大值为4． 【点睛】本题考查了一次函数综合题，解答本题的关键是熟练点的坐标与线段长度之间的转化，掌握三角形及矩形的面积计算公式，总体来说本题难度不大． 54．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）某大型超市从水果批发市场购进哈密瓜和苹果进行销售，两种水果的进价和售价如下表所示： 水果名称 进价（元/千克） 售价（元/千克） 哈密瓜 a 10 苹果 b 销量不超过100千克的部分 销量超过100千克的部分 16 14 已知超市购进20千克哈密瓜和10千克苹果需要260元，购进10千克哈密瓜和20千克苹果需要310元． (1)求a，b的值； (2)若超市每天购进两种水果共150千克，并在当天都销售完，其中销售哈密瓜不少于40千克且不超过60千克，设每天销售哈密瓜x千克（损耗忽略不计）， ①分别求出每天销售哈密瓜的利润y1（单位：元），销售苹果的利润y2（单位：元）与x（单位：千克）的函数关系式，并写出x的取值范围； ②“端午节”当天超市让利销售，将哈密瓜的售价每千克降低m元，苹果售价全部定为14元，为了保证当天销售这两种水果总利润w（元）的最小值不少于320元，求m的最大值． 【答案】(1)，； (2)①； ② 【分析】（1）设哈密瓜进价元/千克，苹果进价元/千克，根据题意列出二元一次方程组求解即可得出答案； （2）①根据利润=（售价-进价）数量，结合表格内容可分别求出，的解析式；②先表示出再利用一次函数性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设哈密瓜进价元/千克，苹果进价元/千克， 根据题意得：， 解得， ，； （2）①设每天销售哈密瓜x千克， 根据题意得： 当，即时， 当，即时， ②根据题意，得，其中 当时，，不合题意 随得增大而增大 当时，得取得最小值 由题意，得 解得 得最大值为 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． 55．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）给出如下规定：对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为N上任一点，如果P，Q两点间的距离存在最小值时，就称该最小值为两个图形M和N之间的“闭距离”；如果P，Q两点间的距离存在最大值时，就称该最大值为两个图形M和N之间的“开距离”． 请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下面问题： 在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣8，6），B（﹣8，﹣6），C（8，﹣6），D（8，6）． （1）请在平面直角坐标系中画出四边形ABCD，线段AB和线段CD的“闭距离”为　 　；“开距离”为　 　； （2）设⊙O半径为2，⊙O与四边形ABCD的“闭距离”是　 ，“开距离”是　 　； （3）设直线y＝x+b（b＜0）与x轴，y轴分别交于点E，F，若线段EF与四边形ABCD的“闭距离”是2，求它们的“开距离”； （4）⊙M的圆心为M（﹣6，m），半径为1，若⊙M与△ABD的“闭距离”等于1，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）16，20；（2）4，12；（3）2或2；（4）当m＝8或﹣7或-2≤m≤4时，⊙M与△ABD的“闭距离”等于1． 【分析】（1）由点的坐标画出图形，由“闭距离”和“开距离”的定义可求解； （2）由点的坐标画出图形，由“闭距离”和“开距离”的定义可求解； （3）分两种情况讨论，求出点F坐标，即可求解； （4）分点M在y轴左侧和右侧讨论，找到特殊点，即可求解． 【详解】解：（1）如图1所示： ∴线段AB和线段CD的“闭距离”为16，“开距离”＝BD＝＝20， 故答案为：16，20； （2）如图2所示：设圆与y轴坐标轴交于点E， ∴⊙O与四边形ABCD的“闭距离”是6-2＝4，“开距离”＝OC+r＝+2＝12 故答案为：4，12； （3）∵线段EF与四边形ABCD的“闭距离”是2， ∴点F坐标为（0，-4）或点F（0，-20）， 当点F坐标为（0，-4）时， ∴线段EF与四边形ABCD的“开距离”，即为FD的长度＝＝2， 当点F坐标为（0，-20）时， ∴线段EF与四边形ABCD的“开距离”，即FD的距离为＝＝2， 综上，它们的“开距离”为2或2； （4）如图3，设直线y＝-6与AB交于点N，交AC于点E， ∵M（-6，m），半径为1， ∴当点M在y轴左侧时，MN＝2时，⊙M与△ABD“闭距离”等于1， ∴m＝8或4， 当点M在y轴右侧时，ME＝时，⊙M与△ABD的“闭距离”等于1， ∴m＝-2或-7， ∴当m＝8或-7或-2≤m≤4时，⊙M与△ABD的“闭距离”等于1． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，理解“闭距离”和“开距离”的定义，并能运用是本题的关键． 56．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）【项目式学习】杆秤中的数学 【问题背景】古希腊数学家、物理学家阿基米德曾说过一句豪言壮语：“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话都赞的其实是“杠杆原理”．生活中，筷子、剪刀、羊角锤、钓鱼竿、跷跷板……，“杠杆原理”的应用无处不在，如图1，“杠杆原理”可通俗地理解为：动力动力臂阻力阻力臂， 【素材1】最简单的“杠杆原理”应用：天平． 如图2，天平两端的托盘底部中心与支点的距离分别是、，且，设左侧托盘所放物体的质量是，右侧托盘所放砝码的质量是． 【任务1】当游码归零时，天平恰好保持平衡，由“杠杆原理”得与的数量关系为 ． 【素材2】现代人的杠杆智慧：手机自拍杆． 如图3，一只手的握点为支点，另一只手在点处竖直向上用力，手机放置在自拍杆的点处，且自拍杆与水平方向的夹角始终保持不变，手机的重力是， 【任务2】由“杠杆原理”得： ①当点固定，增大时，所用的力 （填“增大”或“减小”）； ②当点固定，增大时，所用的力 （填“增大”或“减小”）； 【素材3】古代人的杠杆智慧：杆秤． 如图4，将质量为的待测物挂于秤钩处，提起提纽，在秤杆上移动质量为的秤砣，，，秤杆总长度是． 【任务3】①当秤杆保持水平时，与的函数表达式 ，的最大值 ； ②将待测物与秤砣互换位置，在秤杆上移动待测物，当秤杆保持水平时，求与的函数表达式，此时，是否有最小值？若有直接写出最小值，若没有，请说明理由． 【答案】任务1：；任务2：①增大；②减小；任务3：①；；②，m有最小值，且最小值为 【分析】本题考查了正比例函数，反比例的应用，正确理解题意，弄清楚各量间的数量关系是解题的关键． 任务1：由“杠杆原理”得，再根据即得答案； 任务2：由“杠杆原理”得，所以，①根据正比例函数的性质，即可得到答案； ②根据反比例的性质，即可得到答案； 任务3：①根据“杠杆原理”得，再根据正比例函数的性质，即可解答； ②根据“杠杆原理”得，再根据反比例的性质，即可解答． 【详解】解：任务1：由“杠杆原理”得，而， 所以； 故答案为：． 任务2：由“杠杆原理”得， 所以 ①当点A固定，和G不变，所以F是关于的正比例函数，所以当增大时，即增大时，所用的力F也随之增大； ②当点B固定，和G不变，所以F与成反比例，所以当增大时，所用的力F反而减小； 故答案为：①增大；②减小． 任务3：①根据“杠杆原理”得， ， ， ， ， ， 随着l的增大而增大， 当时，取最大值，最大值为； 故答案为：，． ②由“杠杆原理”得， 与l的函数表达式为， ∵， ， ， ，， m随l的增大而减小， ∴当时，m有最小值，且最小值为． 【核心考点九 一次函数中的存在性问题】 57．（24-25八年级上·上海·月考）已知正比例函数经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且的面积为3． (1)求正比例函数的解析式； (2)在x轴上能否找到一点P，使的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点M，使得若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)正比例函数的解析式是 (2)P点坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意点P的坐标有两个． （1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式； （2）利用三角形的面积公式求得，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标． （3）设点，当或时，分点M在线段上与在线段延长线两种情况，由列方程，从而可得点M的坐标． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为3，且的面积为3 ∴， 解得，， ∴点A的坐标为， ∵正比例函数经过点A， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式是； （2）解：存在． 设， ∵的面积为5，点A的坐标为， ∴， ∴或， ∴P点坐标为或． （3）解：设，如图， ①点在上时， 当时，， 又, 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； 当点时，， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； ②点在的延长线上时， 当时，， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； 当点时，， 若时，同理可得，点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 58．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线的图像分别与x轴，y轴交于A、C两点，直线（b是常数）与x轴交于点B且经过点C． (1)______，______． (2)在直线上是否存在点P，使得？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；9 (2)存在；点P的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴交点算法，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积公式，熟练掌握一次函数与坐标轴交点算法、待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积公式是解题的关键． （1）先计算直线与x轴、y轴交点A、C的坐标，再根据直线经过C计算出b，从而得直线表达式，再计算直线与x轴交点B的坐标，最后根据A、B的坐标计算出； （2）由，结合计算出点P的纵坐标，再根据直线的表达式计算出点P的横坐标，进而得出点P的坐标． 【详解】（1）解：将代入，得， 点C的坐标为， 将代入，得， ， 将代入，得， 点B的坐标为， 将代入，得， 点A的坐标为， ， 故答案为：；9． （2）解：存在； ， ， 解得， 点P在直线上， 当时，；当时，， 点P的坐标为或． 59．（2025-2026学年第一学期期末检测八年级数学试卷）如图，直线与直线交于点，与轴交于点． (1)_____，不等式的解集为_____； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． (3)在直线上是否存在一点，使得的面积为6，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点的坐标． 【答案】(1)1； (2) (3)存在；或 【分析】本题主要考查了一次函数的解析式求解、一次函数与不等式的关系、一次函数的最值问题以及三角形面积的计算，熟练掌握一次函数的图象与性质，结合数形结合思想和分类讨论思想解题是解题的关键． （1）将点代入直线的解析式求值；再结合函数图象，确定不等式的解集． （2）先根据点在线段上、点在直线上，分别写出和的表达式，再构造的函数，结合自变量的取值范围求最大值． （3）先求出点的坐标，设出点的坐标，分点在轴下方和上方两种情况，利用面积关系列方程求解． 【详解】（1）解：∵ 点在直线上， ∴ ， 解得 ， ∵ 不等式， ∴ 解得 ， 解得 ， ∴ 不等式的解集为； （2）解：由（1）知：点在线段上，点在直线上， ，， ， ，， 当时，有最大值， 的最大值为； （3）解：存在．直线，令得， ． 点在直线上，设点坐标为， ①当时，点在轴的下方, ， 解得，点坐标为， ②当时，点在轴的上方, ， 解得，此时点坐标为． 点的坐标为或． 60．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)点A的坐标为_________，点B的坐标为__________； (2)直线上是否存在一点C（C与B不重合），使的面积等于的面积？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由； (3)x轴上是否存在一点D，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存，在请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， (3)存在，或或或 【分析】本题考查了一次函数性质，掌握用取特殊值的方法求定点坐标，设C点坐标根据面积相等求出未知数是解题关键． （1）令，，列出一元一次方程，解出即可； （2）先求出，设点C的坐标为，再根据的面积等于的面积，列方程求解即可； （3）设点，则，，，在根据，，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：令，则，解得， 令，则， ∴A点的坐标为，B点的坐标为． 故答案为：，； （2）解：存在，理由： ∵A点的坐标为，B点的坐标为， ∴，， ∴， ∵直线上一点C， ∴设点C的坐标为， ∵的面积等于的面积， ∴， 解得，（与点B重合，舍去）， ∴点C的坐标为； （3）解：存在，理由： 设点， ∵A点的坐标为，B点的坐标为， ∴，，， 当时，即，则，解得：，此时点或； 当时，即，则，解得：，此时点； 当时，即，则，解得：，时与重合，此时点； 综上，或或或． 61．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点D、E． (1)求证：； (2)点M是线段DE上的一个动点． ①是否存在点M使得的和最小，若存在，请作图找出点M；若不存在，请说明理由； ②请探究：在x轴上方平面内的是否存在点N，使得以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)存在，作图见解析；或． 【分析】（1）根据矩形的性质可得轴，轴，再根据一次函数的图象与性质求出点D和点E的坐标，进而即可求得答案． （2）①作点C关于对称的点，连接，交于点M，连接，此时的值最小； ②分两种情况讨论：若以为对角线，得到菱形；若以为对角线，得到菱形，结合图形，利用菱形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， 轴，轴， 一次函数的图象与边分别交于点D、E，点B的坐标为， 当时，，即， 当时，，即， ， ； （2）存在，作图如下： 作点C关于对称的点，连接，交于点M，连接，此时的值最小， 如图所示，若以为对角线，得到菱形， 则垂直平分，M和N关于对称， ， 点M和N的纵坐标均是， 将代入得：， 解得：， 点， ， ， 点； 如图所示，若以为对角线，得到菱形，则，线段与线段的中点重合，过点M作轴于点G， 设点M的横坐标为a，则纵坐标为， ， ， 即， 解得：（不能构成菱形，舍去）或， 将代入得：， 点， 菱形， ， 点； 综上所述，以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形，点N的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质、菱形的判定与性质、矩形的性质，正确根据菱形的性质进行分类讨论求得M的坐标是解题的关键． 62．（24-25八年级上·广东梅州·期末）如图，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，且经过定点，直线与交于点．    (1)填空：　　　　；　　　　； (2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若动点在射线上从点开始以每秒2个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为秒．是否存在的值，使和的面积比为？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，4 (2)存在一点，使的周长最短，； (3)存在t的值，使和的面积比为，t的值为或． 【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）利用待定系数法求解即可． （2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于E，连接，则的周长最小．求出直线的解析式，即可解决问题； （3）分两种情况：①点P在线段上，②点P在线段的延长线上，由和的面积比为，可得，根据比例的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，且经过定点， ∴， ∴， ∴直线， ∵直线经过点， ∴， ∴， 把代入，得到． ∴，， 故答案为：，4； （2）解：作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于E，连接，则的周长最小．    ∵， ∴． 设直线的解析式为， 把，代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， 令，得到， ∴， ∴存在一点E，使的周长最短，； （3）解：∵点P在射线上从点D开始以每秒2个单位的速度运动，直线， ∴， ∵， ∴， ∵点P的运动时间为t秒， ∴， 分两种情况：①点P在线段上，    ∵和的面积比为， ∴， ∴， ∴   ∴； ②点P在线段的延长线上，      ∵和的面积比为， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上：存在t的值，使和的面积比为，t的值为或． 63．（24-25八年级上·江苏盐城·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的正半轴交于点，与轴交于点，的面积为4，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度在射线上运动，动点从出发，沿轴的正半轴与点同时以相同的速度运动，过作轴交直线于． (1)求直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，设的面积为，点运动的时间为秒，求与的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）； (3)过点作轴交直线于，在运动过程中（点不与点重合），是否存在某一时刻（秒），使是以为顶点的等腰三角形？若存在，求出时间的值； (4)无论取何值，直线是否过定点，若该定点存在，求的值．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， (4)过定点， 【分析】（1）根据三角形的面积公式求出，确定A的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先表示出点P、Q，再表示出，求出，然后利用直角三角形的面积公式解答即可； （3）先求出，再根据是以为顶点的等腰三角形，得出，列出关于t的方程，解方程即可． （4）变形，得出当时，，说明直线过定点，根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 则， ∴点， 将点、的坐标代入一次函数表达式：得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：； （2）解：∵动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度在射线上运动，动点从出发，沿轴的正半轴与点同时以相同的速度运动， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 把代入得：， ∴， ∴； （3）解：存在；把代入得：， ∴， ∵是以为顶点的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； （4）解：∵， ∴当时，， ∴直线过定点， 根据解析（2）可知， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数综合题型，主要利用了三角形的面积、待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的定义，两点之间距离公式，利用平方根解方程，解题的关键在数形结合． 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