1.2.2 第2课时 等差数列前n项和的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业word（北师大版）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．为了参加学校的长跑比赛，某中学高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划．已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离．若小李同学前三天共跑了3 600米，最后三天共跑了10 800米，则这15天小李同学总共跑的路程为(　　) A．34 000米　　　　 B．36 000米 C．38 000米 D．40 000米 解析：B　[根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为an，则a1＋a2＋a3＝3a2＝3 600，故a2＝1 200，a13＋a14＋a15＝3a14＝10 800，故a14＝3 600，则Sn＝(a1＋a15)×15＝(a2＋a14)×15＝36 000.故选：B.] 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a5＋5a9＝0，且a9＞a5，则Sn取得最小值时n的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：B　[由7a5＋5a9＝0，得＝－.又a9＞a5，所以d＞0，a1＜0.因为函数y＝x2＋x的图像的对称轴为x＝－＝＋＝，取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6.] 3．《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、大寒、雨水的日影长的和为36.3尺，小寒、惊蛰、立夏的日影长的和为18.3尺，则冬至的日影长为(　　) A．4尺 B．8.5尺 C．16.1尺 D．18.1尺 解析：C　[由题意，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，记为数列{an}，公差为d，则有，即，解得：， 即冬至的日影长为16.1尺．] 4．(多选)首项为正数的等差数列的前n项和为Sn，且S3＝S8，当Sn取到最大值时，n的取值是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：BC　[∵S3＝S8，∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0.∴a6＝0.∵a1>0，∴a1>a2>a3>a4>a5>a6＝0，a7<0.故当n＝5或6时，Sn最大．] 5．已知数列{an}的通项公式为an＝n－1－n－1，则数列{an}(　　) A．有最大项，没有最小项 B．有最小项，没有最大项 C．既有最大项又有最小项 D．既没有最大项也没有最小项 解析：C　[∵数列{an}的通项公式为an＝n－1－n－1，令t＝n－1，t∈(0,1]，t是减函数， 则an＝t2－t＝2－， 由复合函数单调性知an先递减后递增． 故有最大项和最小项，选C.] 6．等差数列{an}中，已知a5＞0，a4＋a7＜0，则{an}的前n项和Sn的最大值为　________　. 解析：∵∴ ∴Sn的最大值为S5. 答案：S5 7．某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要维修费12万元，从第二年起维修费比上一年增加4万元，则第5年的维修费是　________　万元，前10年维修费总和为　________　万元． 解析：由题意，从第二年起维修费比上一年增加4万元，即每年的维修费成等差数列．设从第二年起，每年的维修费构成的等差数列为{an}，则an＝12＋4(n－1)＝4n＋8，所以a5＝4×5＋8＝28(万元)，S10＝10×12＋×10×9×4＝300(万元)． 答案：28　300 8．(2021·新高考Ⅱ卷，2)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)求使Sn>an成立的n的最小值． 解：(1)由等差数列的性质可得：S5＝5a3，则a3＝5a3，∴a3＝0， 设等差数列的公差为d，从而有a2a4＝(a3－d)(a3＋d)＝－d2， S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a3－2d)＋(a3－d)＋a3＋(a3－d)＝－2d， 从而－d2＝－2d，由于公差不为零，故d＝2， 数列的通项公式为an＝a3＋(n－3)d＝2n－6. (2)由数列的通项公式可得a1＝2－6＝－4，则Sn＝n×(－4)＋ ×2＝n2－5n， 则不等式Sn>an，即n2－5n>2n－6，整理可得(n－1)(n－6)>0， 解得n<1或n>6，又n为正整数，故n的最小值为7. [能力提升练] 9．(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，a3＝3a5，则下列说法正确的是(　　) A．数列{an}单调递减 B．当n＝5，n＝6时，Sn同时达到最大值 C.＝ D．满足不等式Sn≥0的n的最大值为10 解析：ABC　[由题得a1＋2d＝3(a1＋4d)，∴a1＝－5d＞0，∴d＜0，所以数列{an}单调递减，所以选项A正确；由题意令an＝a1＋(n－1)d＝(n－6)d≥0，∴n≤6，所以a1，a2，…，a5＞0，a6＝0，a7，a8，…，an＜0，所以当n＝5，n＝6时Sn同时达到最大值，所以选项B正确； ＝＝＝，所以选项C正确；Sn＝na1＋＝－5nd＋≥0，∴n≤11，所以不等式Sn≥0的n的最大值为11.所以选项D错误．] 10．一百零八塔位于宁夏青铜峡市，是喇嘛式实心塔群(如图)．该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔．则该塔群最下面三阶的塔数之和为(　　) A．39 B．45 C．48 D．51 解析：D　[设该塔群共有n阶，自上而下每一阶的塔数所构成的数列为{an}，依题意可知a5，a6，…，an成等差数列，且公差为2，a5＝5，则1＋3＋3＋5＋5(n－4)＋×2＝108，解得n＝12. 故最下面三阶的塔数之和为a10＋a11＋a12＝3a11＝3(5＋2×6)＝51.] 11．已知数列{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝1，Sn表示数列{an}的前n项和，若当且仅当n＝20时，Sn取到最大值，则a2＋a4＋a6的取值范围是　________　. 解析：由a1＋a3＋a5＝1，得3a3＝1，即a3＝，a2＋a4＋a6＝3a4＝3a3＋3d，当且仅当n＝20时，Sn取到最大值，则， 则，即，得到d∈， a2＋a4＋a6＝3a4＝3a3＋3d＝1＋3d， 由d∈，可得＜1＋3d＜.故答案为：， 答案： 12．在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22. (1)数列{an}前多少项和最大？ (2)求{|an|}的前n项和Sn. 解：(1)由得∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53. 令an＞0，得n＜，∴当n≤17，n∈N＋时，an＞0；当n≥18，n∈N＋时，an＜0，∴{an}的前17项和最大． (2)当n≤17，n∈N＋时，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an ＝na1＋d＝－n2＋n. 当n≥18，n∈N＋时，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an ＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an) ＝2－ ＝n2－n＋884. ∴Sn＝ [素养培优练] 13．风雨桥是侗族最具特色的建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成．其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影．其正六边形的边长计算方法如下：A1B1＝A0B0－B0B1，A2B2＝A1B1－B1B2，A3B3＝A2B2－B2B3，…，AnBn＝An－1Bn－1－Bn－1Bn，其中Bn－1Bn＝…＝B2B3＝B1B2＝B0B1，n∈N＋.根据每层边长间的规律．建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若A0B0＝6，B0B1＝1.则这五层正六边形的周长总和为(　　) A．100 B．110 C．120 D．130 解析：C　[由已知得：AnBn＝An－1Bn－1－Bn－1Bn，Bn－1Bn＝…＝B2B3＝B1B2＝B0B1＝1，因此数列 {AnBn}(n∈N＋，1≤n≤5)是以a1＝A0B0＝6为首项，公差为d＝－1的等差数列，设数列{AnBn}(n∈N＋，1≤n≤5)的前5项和为S5，因此有，S5＝5a1＋×5×4·d＝5×6－×5×4×1＝20，所以这五层正六边形的周长总和为6S5＝6×20＝120.故选C.] 14．新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3 500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．福建某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12 800元，第一年每台设备的维修保养费用为1 000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6 400元． (1)每台充电桩第几年开始获利？(参考数据： ≈5.7) (2)每台充电桩前几年的年平均利润最大(前n年的年平均利润＝)． 解：(1)每台充电桩第n年总利润为 6 400n－ －12 800， ∵6 400n－ －12 800＞0， 化简得－200(n2－28n＋64)＞0，即n2－28n＋64＜0. 解得14－2 ＜n＜14＋2 ， ∴2.6＜n＜25.4. ∵n∈N＋，∴3≤n≤25. ∴每台充电桩第3年开始获利． (2)每台充电桩前n年的年平均利润 ＝200 ≤200＝2 400，当且仅当n＝，即n＝8时取等号，∴每台充电桩前8年的年平均利润最大． 1 学科网（北京）股份有限公司 $