1.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业word（北师大版）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．已知等差数列{an}中，a2＝7，a4＝15，则S10等于(　　) A．100　　　　　　 B．210 C．380 D．400 解析：B　[∵d＝＝＝4，又a1＋d＝7，∴a1＝3.∴S10＝10a1＋d＝10×3＋45×4＝210.] 2．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1＋a8＋a9为一确定的常数，则下列各数中也是常数的是(　　) A．S6 B．S11 C．S13 D．S12 解析：B　[设等差数列{an}的公差为d，由a1＋a8＋a9＝a1＋a1＋7d＋a1＋8d＝3(a1＋5d)＝3a6＝ (a1＋a11)为一确定的常数，从而S11＝ (a1＋a11)×11＝11a6为确定的常数．] 3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　) A．63 B．45 C．36 D．27 解析：B　[∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.] 4．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7>0，a8<0，则下列结论正确的是(　　) A．S7<S8 B．S15<S16 C．S13>0 D．S15>0 解析：C　[由等差数列的性质及求和公式得S13＝ ＝13a7>0，S15＝ ＝15a8<0.] 5．(多选)已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，且2a1＋2a3＝S5，下列结论中正确的是(　　) A．S7＝0 B．S13＝0 C．S4＝S9 D．a7＝0 解析：BCD　[设等差数列{an}的公差为d.由2a1＋2a3＝S5，有2a1＋2(a1＋2d)＝5a1＋ d，即a1＋6d＝0, 所以a7＝0，故D正确．S7＝7a1＋ d＝7(a1＋3d)＝－21d，∴S7≠0，故A错误．S13＝ ×13＝13a7＝0，故B正确．S9－S4＝a9＋a8＋a7＋a6＋a5＝5a7＝0，所以S4＝S9，故C正确．] 6．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝　________　. 解析：由等差数列的前n项和公式可得：＝＝＝×＝×＝1. 答案：1 7．已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝　________　. 解析：∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5. 答案：5 8．在等差数列{an}中， (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8； (2)已知a2＋a4＝，求S5. 解：(1)方法一　∵a6＝10，S5＝5， ∴解得 ∴a8＝a6＋2d＝16. 方法二　∵S6＝S5＋a6＝15，∴15＝，即3(a1＋10)＝15. ∴a1＝－5，d＝＝3.∴a8＝a6＋2d＝16. (2)方法一　∵a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝，∴a1＋2d＝. ∴S5＝5a1＋10d＝5(a1＋2d)＝5×＝24. 方法二　∵a2＋a4＝a1＋a5，∴a1＋a5＝，∴S5＝＝×＝24. [能力提升练] 9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：C　[∵{an}是等差数列，∴Sm＝＝0⇒a1＝－am＝－(Sm－Sm－1)＝－2，又am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，∴d＝am＋1－am＝1,3＝am＋1＝a1＋m＝－2＋m⇒m＝5，故选C.] 10．(多选)等差数列{an}的前n项和Sn，且Sn＝ ，Sm＝ (m，n∈N＋，m≠n)，则下列各值中可以为Sm＋n的值的是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：CD　[因为等差数列{an}的前n项和Sn，所以可设Sn＝An2＋Bn(A，B∈R)， 因为Sn＝，Sm＝(m，n∈N＋，m≠n)，所以 即解得所以Sm＋n＝A(m＋n)2＝＝＋2≥＋2＝4，当且仅当m＝n时等号成立，又m≠n，所以等号不能取得，因此Sm＋n＞4，故CD正确，AB错误．] 11．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是　________　，项数是　________　. 解析：设等差数列{an}的项数为2n＋1，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝(n＋1)·an＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，所以＝＝，解得n＝3，所以项数2n＋1＝7，S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项． 答案：11　7 12．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列 的前n项和，求Tn. 解：设等差数列{an}的公差为d， 则Sn＝na1＋ n(n－1)d. 由S7＝7，S15＝75，得 解得 ∴＝a1＋ (n－1)d＝－2＋ (n－1)． ∵－＝ － ＝ ， ∴数列是首项为－2、公差为 的等差数列． 根据题意得Tn＝－2n＋ n(n－1)× ＝ n2－ n. [素养培优练] 13．(多选)已知等差数列{an}的公差d≠0，前n项和为Sn，若S6＝S12，则下列结论中正确的有(　　) A．a1∶d1＝－17∶2 B．S18＝0 C．当d＞0时，a6＋a14＞0 D．当d＜0时，|a6|＞|a14| 解析：ABC　[因为{an}是等差数列，前n项和为Sn，由S6＝S12，得S12－S6＝a7＋a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝0，即3(a9＋a10)＝0，即a9＋a10＝0， 对于选项A：由a9＋a10＝0，得2a1＋17d＝0，可得a1∶d＝－17∶2，故选项A正确； 对于选项B：S18＝＝＝0，故选项B正确； 对于选项C：a6＋a14＝a9＋a11＝a9＋a10＋d＝d，若d＞0，则a6＋a14＝d＞0，故选项C正确； 对于选项D：当d＜0时，a6＋a14＝d＜0，则a6＜－a14，因为d＜0，所以a6＞0，a14＜0， 所以|a6|＜|a14|，故选项D不正确，故选：ABC.] 14．(2021·全国新高考卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ (1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式； (2)求{an}的前20项和． 解：(1)由题设可得b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5， 又a2k＋2＝a2k＋1＋1，a2k＋1＝a2k＋2，(n∈N＋) 故a2k＋2＝a2k＋3，即bn＋1＝bn＋3，即bn＋1－bn＝3， 所以{bn}为等差数列，故bn＝2＋(n－1)×3＝3n－1. (2)设{an}的前20项和为S20，则S20＝a1＋a2＋a3＋…＋a20， 因为a1＝a2－1，a3＝a4－1，…，a19＝a20－1， 所以S20＝2(a2＋a4＋…＋a18＋a20)－10 ＝2(b1＋b2＋…＋b9＋b10)－10＝2×(10×2＋ ×3)－10＝300. 5 学科网（北京）股份有限公司 $