8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂教师用书word（人教A版）

8．3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 课程标准 素养解读 1.知道圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式． 2．知道球的表面积和体积计算公式． 3．能用公式解决简单的实际问题. 通过了解几何体的结构特征，从而计算圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积，培养数学运算素养，提升直观想象和数学建模素养. 对应学生用书P84 [情境引入] 　我们都知道“点动成线，线动成面，面动成体”这句话，线段由点构成，点的多少表示线段的长短；面由线构成，也就是由点构成，点的多少表示面积的大小；几何体由面构成，就是由线构成，最终也就是由点构成，点的多少也表示了体积的大小，要想让两个几何体的体积相等，也就是让构成这两个几何体的点的数量相同，祖暅原理就运用到了它． 问题　同一摞硬币，当改变摆放的形式时，这摞硬币的体积是否会改变？如何计算柱体的体积？ 提示　不会改变；柱体的体积是底面积乘以高． [知识梳理] [知识点一]　圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积 1．圆柱的侧面积和表面积 (1)圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形．如图，设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则这个矩形的长等于圆柱底面的周长C＝2πr，宽等于圆柱的母线长l，于是可得S圆柱侧＝Cl＝2πrl. (2)圆柱的表面积：圆柱的表面积等于它的两个底面面积与侧面积的和，即S圆柱表＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)． 2．圆锥的侧面积和表面积 (1)圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形．如图①，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长C＝2πr，半径等于圆锥的母线长l，于是可得S圆锥侧＝Cl＝πrl. (2)圆锥的表面积：圆锥的表面积等于它的底面面积与侧面积的和，即S圆锥表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)． 3．圆台的侧面积和表面积 (1)圆台的侧面积：圆台的侧面展开图是一个扇环．如图②，设圆台的上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l，上、下底面圆周长分别为2πr′，2πr，于是可得S圆台侧＝π(r′＋r)l. (2)圆台的表面积：圆台的表面积等于它的侧面积与上下底面面积的和，即S圆台表＝π(r′＋r)l＋πr′2＋πr2＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)． 推导过程：设小圆锥的母线长为l′，则＝，所以l′＝·l，所以大圆锥的母线长为l′＋l＝·l，所以圆台的侧面积S侧＝πr(l′＋l)－πr′l′＝π·l－πr′··l＝π·l＝π(r＋r′)l. 所以圆台的表面积S＝S底＋S侧＝πr2＋πr′2＋π(r＋r′)l＝π(r2＋r′2＋rl＋r′l)． [知识点二]　圆柱、圆锥、圆台的体积 1．圆柱、圆锥、圆台的高 (1)圆柱的高：两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． (2)圆锥的高：从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． (3)圆台的高：两个底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线．这点与垂足(垂线与下底面的交点)之间的距离． 2．圆柱的体积 圆柱的体积：底面半径为r，高为h的圆柱的体积是V圆柱＝πr2h＝Sh(S为底面积)． 综上可知，柱体的体积公式是V柱体＝Sh，其中S为底面面积，h为柱体高． 3．圆锥的体积圆锥的体积：底面半径为r，高为h的圆锥的体积是V圆锥＝πr2h＝Sh(S为底面面积)． 4．圆台的体积 圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别为r′，r，高为h，那么它的体积公式是V圆台＝(S＋＋S′)h＝π(r2＋rr′＋r′2)h. 1.棱柱、棱锥、棱台的体积之间有何关系？ 提示：通过比较棱柱、棱锥、棱台的体积公式，可以得到如下结论： V柱体＝Sh(S为底面积，h为柱体高)； V锥体＝Sh(S为底面积，h为锥体高)； V台体＝(S′＋＋S)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体高)． 当S′＝S时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当S′＝0时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式． [知识点三]　球的表面积和体积 1．球的表面积 半径为R的球的表面积是S＝4πR2. 2．球的体积 半径为R的球的体积V＝πR3. 2.球的表面是曲面吗？ 提示：(1)球的表面是曲面，不能在一个平面上展开，即使是球面上任意小的一块，也不能在一个平面上展开，因此球没有展开图． (2)依据此函数关系，已知球的半径可求球的表面积，已知球的表面积可求球的半径． (3)球的表面积之比为其半径比的平方． 球的体积是对球体所占空间的大小的度量，只与半径R有关，是以半径R为自变量的函数． 半径为R的球的体积为V＝πR3. 3．球的体积与半径的关系如何？ 提示：(1)球的体积是关于其半径的三次函数． (2)根据此函数关系，已知球的半径可求球的体积，已知球的体积可求球的半径． (3)球的体积之比为其半径比的立方． [预习自测] 1．若圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为(　　) A．2π　　 B．3π　　　 C．π　　　 D．4π 解析：D　[由题知圆柱的底面半径r＝1，母线长l＝2，则它的侧面积S侧＝2πrl＝2π×1×2＝4π.故选D.] 2．若圆锥的轴截面(过圆锥轴的一个截面)是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为(　　) A．π B．2π C．3π D．4π 解析：B　[由题意，得圆锥的母线长为2，底面半径为1，底面周长为2π，则该圆锥的侧面积为×2π×2＝2π.] 3．把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为(　　) A．3 cm B．6 cm C．8 cm D．12 cm 解析：B　[设大铁球的半径为R cm，则有πR3＝π×()3＋π×()3＋π×()3，解得R＝6.] 4．若一个圆台的轴截面是腰长为a的等腰梯形，下底边长为2a，对角线长为a，则这个圆台的体积为________． 解析：圆台的轴截面如图，由AD＝a，AB＝2a，BD＝a，可知∠ADB＝90°。分别过点D，C作DH⊥AB，CG⊥AB，所以DH＝a，所以HB＝＝＝a，所以DC＝HG＝a，所以圆台的体积为V＝π··a＝πa3. 答案：πa3 5．已知一圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比． 解：如图，设圆柱和圆锥的底面半径分别为r，R，圆锥母线长为l，则有＝ ，即＝，∴R＝2r，l＝R. ∴＝＝＝＝＝－1. 对应学生用书P86 圆柱的表面积与体积 [例1]　(1)已知圆柱的轴截面的面积为S，则圆柱的侧面积为________． (2)底面直径为2的圆柱，被一平面所截，截得的几何体中，最短的母线长为2，最长的母线长为4，求此几何体的体积． [思路点拨]　利用公式直接求解． [解析]　(1)设圆柱的底面半径为r，高为h，则2rh＝S，S侧＝2πrh＝πS. (2)将此几何体补接一个同样的几何体，得到母线长为6的圆柱．∴V＝×π×1×6＝3π. [答案]　(1)πS　(2)3π 对于圆柱，关键抓住底面半径和母线及轴截面来寻找各量的关系． [变式训练] 1．若圆柱的底面面积为S，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是(　　) A．4πS　　 B．2πS　　　 C．πS　　　 D.πS 解析：A　[设圆柱的底面半径为r，则πr2＝S，母线l＝2πr，S侧＝(2πr)2＝4π2r2＝4πS.] 圆锥的体积与表面积 [例2]　如图所示，△ABC中的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，则以AB边所在直线为轴，将此三角形旋转一周所得旋转体的表面积S为________． (2)如图，BD是边长为3的正方形ABCD的对角线，将△BCD绕直线AB旋转一周后形成的几何体的体积等于________． [思路点拨]　先判断旋转一周后所得到的几何体的构成部分，然后再利用公式求解． [解析]　(1)在△ABC中，作CD⊥AB交AB于点D(如图)，则AC＝3，BC＝4，AB＝5，知AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，∴CD＝. 那么以△ABC的AB边所在直线为轴，将此三角形旋转一周所得到的旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r＝，母线长分别是3,4， ∴S＝πr(AC＋BC)＝π××(3＋4)＝π. (2)对角线BD绕着AB旋转，形成圆锥的侧面；边BC绕着AB旋转形成圆面；边CD绕着AB旋转，形成圆柱的侧面，所以该几何体是由圆柱挖去一个同底面的圆锥，所以V＝π·32·3－·π·32·3＝18π. [答案]　(1)π　(2)18π 求圆锥的体积和表面积涉及的关键量是底面半径、高和母线． [变式训练] 2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积等于________． 解析：设圆锥的底面圆的直径为a，则圆锥母线长为a，由题意得a2＝，a＝2，所以圆锥底面半径为1，圆锥的表面积＝π·12＋π·1×2＝3π. 答案：3π 圆台的体积与表面积 [例3]　如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，AD＝2，CD＝2，求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积． [思路点拨]　四边形圆台、圆锥组合体―→利用公式求解． [解]　由∠ADC＝135°，得∠EDC＝45°. 又因为CD＝2，所以ED＝CE＝2. 因为AB＝5，AE＝AD＋DE＝4， 所以BC＝＝5. 所以几何体的表面积S＝S圆锥侧＋S圆台侧＋S圆台下底面 ＝π·CE·CD＋π(CE＋AB)·BC＋π·AB2 ＝π×2×2＋π(2＋5)×5＋π×52 ＝(4＋60)π. V圆锥＝π×CE2·DE＝π. V圆台＝π×4(4π＋＋25π)＝52π. V＝V圆台－V圆锥＝52π－π＝π. 要分清台体的体积公式与上、下底面积的表达关系，常因公式记错而解错问题． [变式训练] 3．圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？ 解：如图设圆台的上底面圆的周长为c，因为扇环的圆心角是180°， 所以c＝π·SA. 又c＝2π×10＝20π， 所以SA＝20. 同理SB＝40. 所以AB＝SB－SA＝20. 所以S表＝S侧＋S上底＋S下底＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)． 所以圆台的表面积为1 100π cm2. 球的表面积与体积 [例4]　若圆锥的体积与球的体积相等，且圆锥的底面半径与球的直径相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为(　　) A.∶2　　　　　　 B．2∶1 C.∶2 D．3∶2 (2)若三个球的表面积之比为1∶4∶9，则这三个球的体积之比为________． [思路点拨]　(1)先设出圆锥与球的各相关量，然后根据题中的两个等量关系求各相关量的关系，再求圆锥侧面积与球的表面积之比． (2)先根据球的表面积的关系，得出半径之比，再求出体积之比． [解析]　(1)设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，球的半径为R， 则由题意得解得 ∴l＝＝h， ∴S圆锥侧＝πrl＝π×2h×h＝2πh2，S球＝4πR2＝4πh2， ∴＝＝. 故圆锥侧面积与球的表面积之比为∶2. (2)设三个球的半径分别为R1，R2，R3， ∵三个球的表面积之比为1∶4∶9， ∴4πR∶4πR∶4πR＝1∶4∶9，即R∶R∶R＝1∶4∶9， ∴R1∶R2∶R3＝1∶2∶3， ∴V1∶V2∶V3＝πR∶πR∶πR＝R∶R∶R＝1∶8∶27. [答案]　(1)C　(2)1∶8∶27 对于球的表面积公式S＝4πR2及球的体积公式V＝πR3，一定要记准、记牢．计算球的表面积或体积的关键是确定球的半径R.一般来说，题中不会直接给出球的半径，而是将其隐藏在某些条件中．解题过程中，一定要注意 [变式训练] 4．已知三个球的半径分别为R1，R2，R3，且满足R1＋2R2＝3R3，则 (1)它们相应的表面积S1，S2，S3满足的等量关系是________； (2)它们相应的体积V1，V2，V3满足的等量关系是________． 解析：(1)因为S1＝4πR，所以R1＝＝，同理可得R2＝，R3＝.由R1＋2R2＝3R3，得＋2＝3. (2)由V1＝πR，得R1＝＝， 同理可得R2＝＝，R3＝＝， 由R1＋2R2＝3R3，得＋2＝3. 答案：(1)＋2＝3 (2)＋2＝3 球的切、接问题 [例5]　(1)半球内有一个内接正方体，若正方体的棱长为，则这个半球的体积为________． (2)已知三棱锥P－ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA＝2，PB＝PC＝1，则三棱锥P－ABC的内切球的表面积为________． [思路点拨]　通过切点或接点转化为平面问题求解． [解析]　(1)方法一　过正方体对角面作截面如图所示，设半球的半径为R，因为正方体的棱长为，所以CC′＝，OC＝×＝. 在Rt△C′CO中，由勾股定理，得 CC′2＋OC2＝OC′2，即()2＋()2＝R2，所以R＝3.故V半球＝×πR3＝18π. 方法二　将其补成球和内接长方体，设原正方体棱长为a，球的半径为R，则根据长方体外接球的直径等于其对角线长，得(2R)2＝a2＋a2＋(2a)2，即4R2＝6a2，所以R＝a＝3. 故V半球＝×πR3＝18π. (2)由题意，设三棱锥P－ABC的内切球的半径为r，球心为O，则V三棱锥P－ABC＝V三棱锥O－PAB＋V三棱锥O－PAC＋V三棱锥O－PBC＋V三棱锥O－ABC，即××2×1×1＝××2×1×r×2＋××1×1×r＋××××r，解得r＝. 故内切球的表面积为4πr2＝. [答案](1)18π　(2) 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．对于球与旋转体的组合，通常作出它们的轴截面来解题；对于球与多面体的组合，通常过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图解题．在球的截面中，常利用球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离组成的直角三角形计算其中的未知量来解题． [变式训练] 5．张衡(78年～139年)是中国东汉时期杰出的天文学家、数学家、发明家、地理学家、文学家，他的数学著作有《算罔论》．张衡给立方体定名为质，给球体定名为浑．他研究过球的外切立方体体积和内接立方体体积，研究过球的体积，其中还定圆周率值为10的开平方，直到五百多年后，印度和阿拉伯的数学家才得出这个数值．现有棱长为6的正方体，利用张衡的结论可得该正方体的内切球的体积为________． 解析：设正方体的棱长为a，内切球的半径为r，由a＝2r，求得半径，再代入球的体积公式求解．设正方体的棱长为a，内切球的半径为r，则a＝2r，因为a＝6，所以r＝3，又π＝，所以球的体积为V＝πr3＝××(3)3＝3 600. 答案：3 600 对应学生课时P299 1．如果两个球的半径之比为1∶3，那么这两个球的表面积之比为(　　 ) A．1∶9　　　　　 B．1∶27 C．1∶3 D．1∶1 解析：A　[设这两个球的表面积分别为S1，S2，半径分别为r1，r2，则＝＝2＝2＝.] 2．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为(　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A．1 B. C. D. 解析：D　[设圆柱底面半径为R，圆锥底面半径r，高都为h，由已知得2Rh＝rh，∴r＝2R， V柱︰V锥＝πR2h︰πr2h＝3︰4，故选D.] 3．已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为(　　) A. B．4π C. D. 解析：D　[设正方体的棱长为a，则6a2＝24，解得a＝2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长为2，等于球的直径长，所以球的半径长是，所以此球的体积为π×()3＝.] 4.轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的(　　 ) A．4倍 B．3倍 C.倍 D．2倍 解析：D　[设轴截面正三角形的边长为2a， ∴S底＝πa2，S侧＝πa×2a＝2πa2，∴S侧＝2S底．故选D.] 5．圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是(　　 ) A．4πS　　 B．2πS　　　 C．πS　　　 D.πS 解析：A　[底面半径是，所以正方形的边长是2π＝2，故圆柱的侧面积是(2)2＝4πS.] 6．(多选题)圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的(　　) A．母线长是20 B．表面积是1 100π C．高是10 D．体积是π 解析：ABD　[ 如图所示，设圆台的上底面周长为C，因为扇环的圆心角为180°， 所以C＝π·SA，又C＝10×2π， 所以SA＝20，同理SB＝40， 故圆台的母线AB＝SB－SA＝20， 高h＝＝10， 体积V＝π×10×(102＋10×20＋202)＝π，表面积S＝π(10＋20)×20＋100π＋400π＝1 100π，故选A，B，D.] 7．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________． 解析：易知圆锥的母线长为2，设圆锥的底面半径为r，则2πr＝×2π×2，∴r＝1，则高h＝ ＝ .∴V圆锥＝πr2· h＝π×＝. 答案： 8．《本草纲目》中记有麦门冬这一种药物，书中所提麦门冬，别名麦冬、寸冬等，临床可用于治疗肺燥干咳、津伤口渴、喉痹咽病、阴虚劳嗽等．一个麦门冬可近似看作底面拼接在一起的两个圆锥，如图所示，则该麦门冬的体积约为________． 解析：由题意可知麦门冬的体积为两个底面直径为2，高为4的圆锥的体积之和，故该麦门冬的体积V＝×π×12×4×2＝π. 答案：π 9．把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为________，表面积等于________． 解析：设圆锥的母线长为l，如图，以S为圆心，SA为半径的圆的面积S＝πl2. 又圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝8πl. 根据圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，∴πl2＝2.5×8πl，∴l＝20(cm)． 圆锥的表面积S＝S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋π×82＝224π(cm2)． 答案：20 cm　224π cm2 10．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积． 解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，则2πr＝πl，得l＝6r. 又S圆锥＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝， 圆锥的高h＝＝·，V＝πr2h＝π×××＝π. 11．如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积． 解：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S. 则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝＝2. 如图所示易知△AEB∽△AOC，∴＝，即＝， ∴r＝1，S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2π. ∴S＝S底＋S侧＝2π＋2π＝(2＋2)π. 12．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，则h＝________. 解析：设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为πR2h，圆柱形容器内的液体体积为π2h. 根据题意，有πR2h＝π2h，解得R＝a.再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得＝， 所以h＝a. 答案：a 13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比． 解：设正方体的棱长为a.如图所示． (1)中正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心， 经过四个切点及球心作截面，所以有2r1＝a，r1＝， 所以S1＝4πr＝πa2. (2)中球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点， 过球心作正方体的对角面得截面， 2r2＝a，r2＝a，所以S2＝4πr＝2πa2. (3)中正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面， 所以有2r3＝a，r3＝a，所以S3＝4πr＝3πa2. 综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3. 学科网（北京）股份有限公司 $