8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂教师用书word（人教A版）

8．3　简单几何体的表面积与体积 8．3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课程标准 素养解读 1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式． 2．能用公式解决简单的实际问题. 通过计算棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积，培养数学运算素养，通过求表面积和体积过程中对几何体特征的判断，提升直观想象素养. 对应学生用书P81 [情境引入] 　求一个几何体的表面积时，一般要应用到这个几何体的平面展开图，其平面展开图一定相同吗？其表面积是否确定？ 提示　 对于一个几何体，不同的展开方式，其平面展开图是不同的，但其表面积是唯一确定的． [知识梳理] [知识点一]　棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积的概念 棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．因此，我们可以把多面体展开成平面图形，利用求平面图形面积的方法，求多面体的表面积． 2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图分别是由若干个平行四边形、三角形、梯形组成的．侧面展开图的面积称为几何体的侧面积，故棱柱、棱锥、棱台的侧面积就是它们各个侧面的面积之和． (1)直棱柱的侧面积：直棱柱的侧面展开图是一个矩形．如图(1)，这个矩形的长等于直棱柱底面的周长C，宽为直棱柱的高h，则直棱柱的侧面积S直棱柱侧＝Ch. (2)正棱锥的侧面积：正n棱锥的侧面展开图是由n个全等的等腰三角形组成的．如图(2)，设正n棱锥的底面边长为a，周长为C，斜高为h′，则正n棱锥的侧面积S正n棱锥侧＝n·a·h′＝Ch′. (3)正棱台的侧面积：正n棱台的侧面展开图是由n个全等的等腰梯形组成的．如图(3)，设正n棱台的上、下底面边长分别是a′，a，斜高为h′，则正n棱台的侧面积S正n棱台侧＝n·(a＋a′)·h′＝(na＋na′)·h′＝h′(C＋C′)，其中C′，C分别是上、下底面的周长． 3．棱柱、棱锥、棱台的表面积 (1)棱柱的表面积等于它的侧面积与两底面面积的和． (2)棱锥的表面积等于它的侧面积与底面面积的和． (3)棱台的表面积等于它的侧面积与上下底面面积的和． 1.长方体、正方体的表面积公式是什么？ 提示：(1)长方体是特殊的直棱柱，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则长方体的表面积为S长方体表＝2(ab＋bc＋ac)． (2)正方体的表面积为S正方体表＝6a2(a为正方体的棱长)． [知识点二]　棱柱、棱锥、棱台的体积 1．棱柱、棱锥、棱台的高 (1)棱柱的高：两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． (2)棱锥的高：从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． (3)棱台的高：两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足(垂线与下底面的交点)之间的距离． 2．棱柱的体积 棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱＝Sh. 3．棱锥的体积 棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积V棱锥＝Sh. 4．棱台的体积 棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S′，S，高是h，那么它的体积公式是V棱台＝h(S＋＋S′)． 2.正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间有何联系？ 提示：对于正棱台侧面积S正棱台侧＝h(C＋C′)： 当C′＝C时，得S正棱柱侧＝Ch；当C′＝0时，得S正棱锥侧＝Ch. 所以正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间的联系如图． [预习自测] 1．棱长为2的正四面体的表面积是(　　) A.　　 B．4　　　 C．4　　　 D．16 解析：C　[每个面的面积为×2×2×＝，所以正四面体的表面积为4.] 2．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了(　　) A．6a2 B．12a2 C．18a2 D．24a2 解析：B　[原来正方体的表面积为S1＝6a2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为a，表面积为6×2＝a2，总表面积为S2＝27×a2＝18a2，所以增加的表面积为S2－S1＝12a2.] 3．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为(　　) A．6 B. C．2 D．2 解析：B　[由正六棱锥底面边长为1和侧棱长为，可知高h为2，又因为底面积S＝，所以体积V＝Sh＝××2＝.] 4.如图所示，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边A1B1作一个平行于棱C1C的平面A1B1EF，记平面分三棱台两部分的体积为V1(三棱柱A1B1C1－FEC)，V2两部分，那么V1∶V2＝________. 解析：设三棱台的高为h，上底面的面积是S，则下底面的面积是4S，∴V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh， ∴V1＝Sh，∴＝＝. 答案：3∶4 5.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高PO1的4倍．若AB＝6 m，PO1＝2 m，求仓库的容积． 解：由PO1＝2 m，得OO1＝8 m，则 VP－A1B1C1D1＝S四边形A1B1C1D1×PO1＝×62×2＝24(m3)，VABCD－A1B1C1D1＝S四边形ABCD×OO1＝62×8＝288(m3)，V＝VP－A1B1C1D1＋VABCD－A1B1C1D1＝312 m3，故仓库的容积为312 m3. 对应学生用书P83 　　　求棱柱、棱锥、棱台的侧面积或表面积 [例1]　如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，高SO＝3，求此正三棱锥的表面积． [思路点拨]　转化为求多个三角形的面积． [解]　如图，设正三棱锥的底面△ABC边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′. ∵S侧＝2S底，∴·3a·h′＝a2×2， ∴a＝h′. ∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2. ∴32＋2＝h′2.∴h′＝2，∴a＝h′＝6. ∴S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18. ∴S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27. 棱柱的侧面展开图是矩形，求其侧面积时，只需求出相应底面周长及高．正棱锥的侧面展开图是由若干个全等的等腰三角形组成的，求正棱锥的侧面积的关键是求其底面周长和斜高．棱台的侧面展开图是若干个全等的等腰梯形组成，求其侧面积的关键是求出其上下底面的周长和斜高． [变式训练] 1.《九章算术·商功》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”．所谓“堑堵”就是两底面为直角三角形的直棱柱．如图是一个“堑堵”，AB＝BC＝4，AA1＝5，M是A1C1的中点，过B，C，M三点的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则该三棱台的表面积为(　　) A．40　　　　 B．25＋15＋3 C．50 D．30＋20＋3 解析：B　[如图，取A1B1的中点N，连接BN，MN易知平面BCMN为过B，C，M三点的平面，则所得的三棱台为A1MN－ABC，其中上底面、下底面均为等腰直角三角形，三个侧面均为直角梯形． S△ABC＝×4×4＝8，S△A1MN＝×2×2＝2，S四边形AA1NB＝×(2＋4)×5＝15，S四边形AA1MC＝×(2＋4)×5＝15，S四边形BNMC＝×(2＋4)×＝3，所以该三棱台的表面积为25＋15＋3.] 求棱柱、棱锥、棱台的体积 [例2]　如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积． [思路点拨]　利用等积法求解． [解]　由V三棱锥A1－D1EF＝V三棱锥F－A1D1E， ∵S△A1D1E＝EA1·A1D1＝a2， 又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a， ∴V三棱锥F－A1D1E＝×a×a2＝a3， ∴V三棱锥A1－D1EF＝a3. 棱柱的体积公式是V＝Sh，求棱柱体积的关键是确定棱柱的底面积和高．棱锥的体积公式是V＝S底·h，其中系数易被忽略，解题时应注意．棱台体积公式是V＝h(S＋＋S′)，其中S′，S分别表示棱台的上、下底面面积，公式较为复杂，要记准确．计算棱台体积的关键是求出上、下底面面积及高．在求解相关量时，要充分利用棱台中有关的直角梯形、直角三角形．此外，棱台的体积也可以通过两个棱锥的体积之差来计算． [变式训练] 2．若正四棱锥的底面边长是2，高为，棱锥被平行于底面的平面所截，已知所截得的棱台的上、下底面边长之比为1∶2，则该棱台的体积是________． 解析：如图，因为棱台的上、下底面的边长之比为1∶2，正四棱锥P­ABCD的底面边长是2，高为，所以正四棱锥P­A1B1C1D1的底面边长为1，高为，所以该棱台的体积为VP­ABCD－VP­A1B1C1D1＝×22×－×12×＝. 答案： 求组合体的表面积和体积 [例3]　一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：米)，浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土(钢筋体积略去不计，精确到0.01立方米)? [思路点拨]　首先弄清由哪些简单组合体构成，然后逐一求解． [解]　将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体， S底＝0.6×1.1－×(0.5＋0.3)×0.3＝0.54(平方米)， V＝S底·h＝0.54×24.8≈13.39(立方米)． 故浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米混凝土． 求组合体的表面积或体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减． [变式训练] 3．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1，挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体．其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g. 解析：此题牵涉到的是3D打印新时代背景下的几何体质量，忽略问题易致误，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解． 由题意得，四棱锥O－EFGH的底面积为4×6－4××2×3＝12 (cm2)，其高为点O到底面BB1C1C的距离为3 cm，则此四棱锥的体积为V1＝×12×3＝12 (cm3)．又长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为V2＝4×6×6＝144 (cm3)，所以该模型体积为V＝V2－V1＝144－12＝132 (cm3)，其质量为0.9×132＝118.8 g. 答案：118.8 对应学生课时P297 1．已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线的长是2，则这个长方体的体积是(　　 ) A．6　 B．12　　 C．24　　 D．48 解析：D　[设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x、2x、3x，又对角线长为2，则x2＋(2x)2＋(3x)2＝(2)2，解得x＝2.∴三条棱长分别为2、4、6.∴V长方体＝2×4×6＝48.] 2．若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为(　　 ) A．26 B．28 C．30 D．32 解析：B　[所求棱台的体积V＝×(4＋16＋)×3＝28.] 3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A、C、B1、D1为顶点的正三棱锥的全面积为4，则该正方体的棱长为(　　 ) A. B．2 C．4 D．2 解析：A　[设正方体棱长为a，侧面的对角线长为a，所以正三棱锥A­CB1D1的棱长为a，其表面积为4××(a)2＝4，可得a2＝2，即a＝.] 4.如图所示，ABC­A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是(　　 ) A.　　　　 B. C. D. 解析：C　[因为VC­A′B′C′＝V柱＝，所以VC­AA′B′B＝1－＝.] 5．如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′－EFQ的体积(　　 ) A．与点E，F的位置有关 B．与点Q的位置有关 C．与点E，F，Q的位置都有关 D．与点E，F，Q的位置均无关，是定值 解析：D　[VA′－EFQ＝VQ－A′EF＝××EF×AA′×A′D′，所以其体积为定值，与点E，F，Q的位置均无关．] 6．(多选题)正三棱锥底面边长为3，侧棱长为2，则下列叙述正确的是(　　) A．正三棱锥高为3 B．正三棱锥的斜高为 C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥的侧面积为 解析：ABD　 [设E为等边三角形ADC的中心，F为CD的中点，连接PF，EF，PE，则PE为正三棱锥的高，PF为斜高，又PF＝＝，EF＝×＝，故PE＝＝3，故AB正确．而正三棱锥的体积为×3××9＝，侧面积为3××3×＝，故C错误，D正确．] 7．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧面积为________cm2. 解析：棱柱的侧面积S侧＝3×6×4＝72(cm2)． 答案：72 8．如图，正三棱锥O－ABC的底面边长为2，高为1，则该三棱锥的体积为________． 解析：由已知条件可知，正三棱锥O－ABC的底面△ABC是边长为2的正三角形，经计算得底面△ABC的面积为. 所以该三棱锥的体积为××1＝. 答案： 9.如图，已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的侧面积与表面积分别为________和________． 解析：正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成Rt△POE. ∵OE＝2 cm，∠OPE＝30°， ∴斜高PE＝＝＝4. 因此S棱锥侧＝×4×4×4＝32(cm2)， S棱锥表＝32＋16＝48(cm2)． 答案：32 cm2　48 cm2 10．已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S－ABC如图所示，求它的表面积． 解析：因为四面体S－ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍． 不妨求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D，如图所示． 因为BC＝SB＝a，SD＝＝＝a， 所以S△SBC＝BC·SD＝a×a＝a2. 故四面体S­ABC的表面积S＝4×a2＝a2. 11．若E，F是三棱柱ABC－A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A－BEFC的体积． 解：如图所示，连接AB1，AC1. ∵B1E＝CF，∴梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积． 又四棱锥A－BEFC的高与四棱锥A－B1EFC1的高相等， ∴VA－BEFC＝VA－B1EFC1＝VA－BB1C1C 又VA－A1B1C1＝S△A1B1C1·h， VABC－A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝m，∴VA－A1B1C1＝， ∴VA－BB1C1C＝VABC－A1B1C1－VA－A1B1C1＝m， ∴VA－BEFC＝×m＝，即四棱锥A－BEFC的体积是. 12．如图，三棱台ABC­A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，则三棱锥A1­ABC，B­A1B1C，C­A1B1C1的体积之比为(　　 ) A．1∶1∶1　　　　　　 B．1∶1∶2 C．1∶2∶4 D．1∶4∶4 解析：C　[设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S， ∴VA1－ABC＝S△ABC·h＝Sh，VC－A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh. 又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh， ∴VB－A1B1C＝V台－VA1－ABC－VC－A1B1C1＝Sh－－＝Sh， ∴体积比为1∶2∶4.] 13．如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥D′－A′DC，求棱锥D′－A′DC的体积与剩余部分的体积之比． 解：设AB＝a，AD＝b，DD′＝c， 则长方体ABCD－A′B′C′D′的体积V＝abc， 因为V三棱锥D′－A′DC＝V三棱锥C－A′DD′ 又S△A′DD′＝bc，且三棱锥C－A′DD′的高为CD＝a.所以V三棱锥C－A′DD′＝S△A′DD′·CD＝abc. 则剩余部分几何体的体积V剩＝abc－abc＝abc.故V三棱锥D′－A′DC∶V剩＝abc∶abc＝1∶5. 学科网（北京）股份有限公司 $