8.2 立体图形的直观图-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂教师用书word（人教A版）

8．2　立体图形的直观图 课程标准 素养解读 1.了解斜二测画法的概念． 2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图． 3．通过观察三视图和直观图，了解空间图形的不同表示形式及不同形式间的联系. 通过画平面图形和空间图形的直观图，重点培养学生数学抽象素养及提升直观想象素养. 对应学生用书P77 [情境引入] 　随处可见的建筑、公路、桥梁、工业生产中处处都有空间几何体． 问题　你能用什么方法画出这些几何体的直观图？ 提示　由斜二测画法画出空间图形的直观图． [知识梳理] [知识点一]　空间几何体 如果只考虑一个物体占有的　空间形状　和　大小　，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个　几何体　. [知识点二]　用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 (1)画轴：在已知图形中取互相　垂直　的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝　45°　(或　135°　)，它们确定的平面表示水平面； (2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成　平行　于x′轴或y′轴的线段； (3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度　不变　，平行于y轴的线段，长度为原来的　一半　. 1.斜二测画法中的“斜”和“二测”分别指什么？ 提示：“斜”是指斜投影，具体说是在已知图形的xOy平面内垂直于x轴的线段在直观图中均与x′轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或平行于z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半． 2．相等的角的直观图一定相等吗？请举例说明． 提示：不一定．如图，正方形ABCD的直观图为平行四边形A′B′C′D′，∠A＝∠C，∠A′＝∠C′，同样∠A＝∠B，但∠A′≠∠B′. [知识点三]　用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 (1)在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox和Oy，再作Oz轴，使∠xOy＝90°，∠yOz＝90°； (2)画出与Ox，Oy，Oz对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝45°，∠y′O′z′＝90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面； (3)已知图形中，平行于x轴、y轴和z轴的线段，在直观图中分别画成　平行　于x′轴、y′轴和z′轴的线段，并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同； (4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度　不变　，平行于y轴的线段，长度为原来的　一半　； (5)擦除辅助线，遮挡部分用虚线表示，就得到了几何体的直观图． 3.空间几何体的直观图一定唯一吗？ 提示：不一定唯一．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图就不一定相同． 4．直观图与三视图的联系与区别有哪些？ 提示：三视图和直观图都是呈现空间几何体的一种方法．三视图从细节上刻画了空间几何体的结构．根据三视图，我们就可以得到一个精确的空间几何体，正是因为三视图的这个特点，使它在生产活动中得到广泛应用(零件图纸、建筑图纸等都是三视图)．直观图是对空间几何体的整体刻画，人们可以根据直观图的结构想象实物的形象． [预习自测] 1．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在斜二测直观图中对应的两条线段(　　) A．平行且相等　　　 B．平行不相等 C．相等不平行 D．既不平行也不相等 答案：A 2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是(　　) 解析：C　[正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.] 3.如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，B′C′∥x轴，则△ABC是______三角形． 解析：因为A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，所以∠A′B′C′＝45°，所以在△ABC中∠ABC＝90°，故△ABC为直角三角． 答案：直角 4．用斜二测画法画出的水平放置的一角为60°，边长是4的菱形的直观图的面积是________． 解析：菱形的面积为2××42＝8，所以其直观图的面积为×8＝2. 答案：2 5．已知等边△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为，则等边△ABC的面积是多少？ 解：按照斜二测画法的规则，把如图(1)等边△ABC的平面直观图△A′B′C′还原为如图(2)等边△ABC. 设AB＝x，则B′C′＝x，等边△ABC的高为x， 所以△A′B′C′的高为×x＝x， 所以△A′B′C′的面积为×x×x＝x2＝， 解得x＝1，所以△ABC的面积为×x×x＝x2＝. 对应学生用书P79 画平面图形的直观图 [例1] 用斜二测画法画出如图所示的正五边形的直观图． [思路点拨]　先在原图中建系，再画轴、画线、取长度，最后成图． [解]　画法：(1)在已知的正五边形ABCDE中，取正五边形的中心O为坐标原点， 对称轴FA为y轴，过O与y轴垂直的直线为x轴．分别过点B， E作BG∥Oy、EH∥Oy，与x轴分别交于G，H.画对应的O′x′，O′y′，使∠x′O′y′＝45°. (2)以点O′为中点，在x′轴上取G′H′＝GH， 分别过G′，H′在x′轴的上方作G′B′∥O′y′， H′E′∥O′y′，并使G′B′＝GB，H′E′＝HE； 在y′轴上，x′轴的上方，取O′A′＝OA，在x′轴的下方，取O′F′＝OF， 并以点F′为中点画C′D′∥O′x′，且C′D′＝CD. (3)连接A′B′，B′C′，D′E′，E′A′，所得的五边形A′B′C′D′E′就是正五边形ABCDE的直观图． 画水平放置的平面图形的直观图的技巧： (1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点． (2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定． (3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同． [变式训练] 1.用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图． 解：(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴；以BC边上的高线AO所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (2)画对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°. 在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示． 空间几何体的直观图 [例2]　有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图． [思路点拨]　首先认清几何体的形状大小，然后按斜二测画法的规则及步骤作出直观图即可． 画法：(1)先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示； (2)过正六边形的中心O′建立z′轴，画出正六棱锥的顶点V′，在z′轴上截取O′V′＝3 cm，如图②所示；(3)连接V′A′、V′B′、V′C′、V′D′、V′E′、V′F′，如图③所示； (4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示． 1．画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可． 2．直观图画法口诀可以总结为：“一斜、二半、三不变．” [变式训练] 2．画出底面是边长为2的正方形，侧棱均相等且高为3的四棱锥的直观图． 解：画法：(1)画轴． 画x轴、y轴、z轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图(1)． (2)画底面． 以O为中心在xOy平面内，画出边长为2的正方形水平放置的直观图ABCD. (3)画顶点，在z轴上截取OP，使OP＝3. (4)成图，顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，被面遮挡住的线段AD，PD，CD改成虚线，得四棱锥的直观图如图(2) 直观图的还原与计算 [例3]　 (1)如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为(　　) A.a2　　　　　 B．2a2 C．a2 D．2a2 (2)已知边长为1的菱形ABCD中，A＝，则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为(　　) A.　　 B.　　 C.　　 D. [思路点拨]　逆用斜二测画法还原． [解析]　(1)由直观图还原出原图，如图，所以S＝a·2a＝2a2. (2)菱形ABCD中，AB＝1，A＝，则菱形的面积为S菱形ABCD＝2S△ABD＝2××1×1×sin＝，所以用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积S＝S菱形ABCD×＝×＝.故选D. [答案]　(1)B　(2)D 由直观图还原平面图形关键有两点： (1)平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段长度扩大为原来的2倍； (2)对于相邻两边不与x′，y′轴平行的顶点可通过作x′轴、y′轴的平行线，变换确定其在xOy中的位置． 若平面图形的面积为S原，用斜二测画法得到的直观图面积为S直，则S直＝S原． [变式训练] 3.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，点B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为________． 解：设△AOB的边OB上的高为h，由直观图中边O′B′与原图形中边OB的长度相等，及S原图＝2S直观图，得OB×h＝2×OB·O′A′.∴h＝4. 答案：4 对应学生课时P295 1．关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是(　　 ) A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变 B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的 C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45° D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同 答案：C 2．如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′B′＝A′C′，则△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 解析：B　[∵A′B′∥x′轴，A′C′∥y′轴，∴AB⊥AC.又AC＝2A′C′＝2AB，∴△ABC是直角三角形，不是等腰三角形．] 3．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形是(　　) A．正方形　　　 B．矩形 C．菱形 D．梯形 解析：C　[设y′轴与B′C′交于点D′，则O′D′＝2. 在原图形中，OD＝4，CD＝2，则OD⊥CD. ∴OC＝＝6＝OA，∴原图形是菱形．] 4．边长为12的正三角形直观图的面积为(　　 ) A．9 B．18 C．36 D．36 解析：A　[在△ABC中，作AD⊥BC，交BC于D，则AD＝12sin 60°＝6. 所以，在直观图中，A′D′＝AD＝3.又∵∠A′D′C′＝45°， ∴△A′B′C′的高h＝A′D′sin 45°＝3·＝. ∴S△A′B′C′＝B′C′·h＝×12×＝9.] 5．(多选题)利用斜二测画法得到的图形，以下结论正确的是(　　) A．三角形的直观图是三角形 B．平行四边形的直观图是平行四边形 C．正方形的直观图是正方形 D．菱形的直观图是菱形 解析：AB　[根据斜二测画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平行性不变，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半．A三角形的直观图显然是三角形，所以正确；B平行四边形的直观图是平行四边形，所以正确；C正方形中的直角在直观图中为45°角，不是正方形，所以错误；D菱形的直观图高的长度减半，对应的直观图不是菱形，所以错误．故选A、B.] 6．(多选题)如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D′为B′C′的中点，且A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，那么在原平面图形ABC中(　　) A．AB与AC相等 B．AD的长度大于AC的长度 C．AB的长度大于AD的长度 D．BC的长度大于AD的长度 解析：AC　[由直观图易知A′D′∥y′轴，根据斜二测画法规则，在△ABC中有AD⊥BC，又AD为BC边上的中线，所以△ABC为等腰三角形，则AB与AC相等，且长度都大于AD的长度，但BC与AD的长度大小不确定，故选A、C.] 7．阅读下列说法： ①不等边三角形的水平放置的直观图一定是不等边三角形； ②两条相交直线的直观图可能是平行直线； ③画出菱形的直观图的两条对角线，其在直观图中仍然互相垂直； ④直角梯形的直观图可能是等腰梯形； ⑤一个直角三角形的内角是60°，则画出其直观图后可能是等边三角形； ⑥一个平行四边形的直观图中其对角线可能不再平分． 这些说法中正确的是________． 答案：④ 8．如图所示是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则△AOB的面积为________． 解析：由题图可知△AOB的底边长为4，高为16，所以面积为×4×16＝32. 答案：32 9.在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系中原四边形OABC为________(填具体形状)，其面积为________ cm2. 解析：由斜二测画法规则可知，在四边形OABC中，OA⊥OC，OA＝O′A′＝2 cm，OC＝2O′C′＝4 cm，所以四边形OABC是矩形，其面积为2×4＝8(cm2)． 答案：矩形　8 10．如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S.求梯形OABC的面积． 解：设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h. 过C′作C′D′⊥O′A′于D′， 则C′D′＝h. 由题意知C′D′(C′B′＋O′A′)＝S. 即h(C′B′＋O′A′)＝S. 又原直角梯形面积为S′＝·2h(C′B′＋O′A′)＝h(C′B′＋O′A′)＝＝2S. 所以梯形OABC的面积为2S. 11.如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝OB＝1，△AOD为等腰直角三角形，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积． 解：在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1.由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，如图所示． 在直观图中，O′D′＝OD＝， 梯形的高D′E′＝， 于是，梯形A′B′C′D′的面积S＝×(1＋2)×＝. 12．如图所示，已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为__________. 解析：过点C′作C′M′∥y′轴，且交x′轴于点M′. 过C′作C′D′⊥x′轴，且交x′轴于点D′，则C′D′＝a. ∴∠C′M′D′＝45°，∴C′M′＝a.∴原三角形的高CM＝a，底边长为a，其面积为S＝×a×a＝a2，或S直观＝S原，∴S原＝·a2＝a2. 答案：a2 13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形 用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积． 解：四边形ABCD的真实图形如图所示， ∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形， ∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°， ∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC， ∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝， ∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $