6.4.3 第二课时 正弦定理-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂教师用书word（人教A版）

第二课时　正弦定理 课程标准 素养解读 1.探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理． 2．能用正弦定理解决简单的实际问题. 通过证明正弦定理的过程，培养逻辑推理素养．通过运用正弦定理解三角形，提升数学运算素养. 对应学生用书P36 [情境引入] 在雷达兵的训练中，有一个项目叫“捉鬼(战士语)”，即准确地发现敌台的位置．在该项目的训练中，追寻方的安排是以两个小组作为一个基本单位去执行任务，用战士的话说就是两条线(即用两台探测器分别探出敌台的方向)一交叉就把敌人给“叉”出来了，想藏？想跑？门都没有．其实这里面不仅仅是两线交叉确定交点的问题，还隐藏了另一个数学问题，即两个探寻小组之间的位置是已知的，它们和敌台构成一个三角形，战士探明了敌台的方向，也就是知道了该三角形的两个内角．通过本课时的学习，我们就会知道其中的奥秘了． 问题　在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比有什么关系？ 提示　相等． [知识梳理] [知识点一]　正弦定理 在一个三角形中．各边和它所对角的正弦的比相等． 即＝　　＝　　＝2R.(R为△ABC外接圆的半径) [知识点二]　正弦定理的常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)． (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)． (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. (4) ＝＝＝． (5)asin B＝bsin A，asin C＝csin A．bsin C＝csin B． [知识点三]　对三角形解的个数的判断 已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形未必被唯一确定，例如，已知a，b和A解三角形为例，从两个角度予以说明： (1)代数角度 由正弦定理得sin B＝， ①若>1，则满足条件的三角形个数为0.即无解． ②若＝1，则满足条件的三角形个数为1.即一解． ③若<1，则满足条件的三角形个数为1或2. 已知两边和其中一边的对角解三角形时一定是一解吗？ [提示]　在△ABC中，已知两边和其中一边的对角解三角形时，可先用正弦定理求出另一边的对角的正弦值，此时解的个数不确定，应注意讨论：(1)其正弦值大于1，无解．(2)其正弦值等于1，一解，(3)其正弦值小于1，①对应边小于或等于已知角的对边，一解．②对应边大于已知角的对边，两解． (2)几何角度 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a＝bsin A； ②a≥b 一解 bsin A<a<b 二解 a<bsin A 无解 A为钝角 或直角 a>b 一解 a≤b 无解 [预习自测] 1．在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝，则B＝(　　) A．45°或135° B．60° C．45° D．135° 解析：C　[由正弦定理＝，得sin B＝＝＝．∵a＞b，∴A＞B，∴B＝45°.] 2．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝b，则角A等于(　　) A． B． C． D． 解析：D　[∵2asin B＝b，∴＝， 又由正弦定理可得：＝ ∴sin A＝＝， 又∵△ABC为锐角三角形． ∴A＝，故选D.] 3．在△ABC中，若BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：A　[利用正弦定理化简sin C＝2sin A，得AB＝2BC，∵BC＝，∴AB＝2．] 4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________. 解析：由条件可得sin A＝，sin C＝，从而有sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝．由正弦定理＝，可知b＝＝． 答案： 5．在△ABC中，c＋b＝12，A＝60°，B＝30°，则c＝________，b＝________. 解析：因为A＝60°，B＝30°，所以C＝90°，由正弦定理＝，得b＝c.又c＋b＝12，所以c＝8，b＝4. 答案：8　4 对应学生用书P38 已知两角及一边解三角形 [例1]　已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B. [思路点拨]　(1)由内角和定理求角B. (2)由正弦定理计算出另两边a，b. [解]∵＝， ∴a＝＝＝10． B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°. 又∵＝， ∴b＝＝＝20sin 75° ＝20×＝5(＋)． 已知三角形的两角和任一边解三角形的方法 (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求出第三边． (2)若所给边不是已知角的对边时，可先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边． [变式训练] 1．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝(　　) A．4 B．2 C． D． 解析：B　[由正弦定理＝，得＝，所以AC＝×＝2．] 　　已知两边及一边的对角解三角形 [例2]　已知一三角形中a＝2\r(3)，b＝6，A＝30°，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形． [思路点拨]　先利用正弦定理求另一边对角的正弦值，再利用三角形中大边对大角考虑解的情况，然后解三角形． [解]　(方法一)∵bsin A<a<b，∴△ABC有两解． ∵＝， ∴sin B＝·sin A＝×＝， ∴B＝60°或120°. (1)当B＝60°时，C＝180°－30°－60°＝90°， c＝＝4， (2)当B＝120°时，C＝30°，∵A＝C＝30°，∴c＝a＝2． (方法二)由a2＝b2＋c2－2bccos A得， (2)2＝62＋c2－2×6c×． c2－6c＋24＝0， ∴c＝，即c＝4或2． 当c＝4时，有c2＝a2＋b2，∴C＝90°，B＝60°. 当c＝2，a＝c，∴C＝A＝30°，B＝120°. 已知两边和其中一边的对角解三角形时的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值． (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求出该锐角，满足条件的三角形唯一． (3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，需要分类讨论，满足条件的三角形有两个． (4)如果用余弦定理构造二次方程直接求另一边，解方程时，只要为正根，都适合题意；若有两个不等正根，则满足条件的三角形有两个；若只有一个正根，则满足条件的三角形唯一；若无正根，则满足条件的三角形不存在． [变式训练] 2．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝(　　) A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对 解析：C　[∵＝，A＝60°，a＝4，b＝4， ∴sin B＝＝＝． ∵0°<B<180°， ∴B＝45°或135°. 又∵4>4，∴B＝45°.] 　　利用正弦定理判断三角形的形状 [例3]　在△ABC中，已知\f(b＋a,a)＝\f(sin B,sin B－sin A)且2sin Asin B＝2sin2 C，试判断该三角形的形状． [思路点拨]　本题给出的已知条件中含有边角关系，首先需进一步明确边角关系，其次利用正弦定理和逆用二倍角的正弦公式确定三角形中角的关系． [解]　由已知＝＝． ∴b2－a2＝ab，① 又2sin Asin B＝2sin2C，由正弦定理得2ab＝2c2.② 由①②，得b2＝a2＋c2. ∴该三角形是以B为直角的直角三角形． 利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径 (1)化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A＝，sin B＝，sin C＝． (2)化边为角．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. [变式训练] 3．在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，则△ABC的形状为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 解析：D　[∵在△ABC中，a2tan B＝b2tan A， ∴由正弦定理，得＝． 又sin A≠0，sin B≠0，∴＝． ∴sin Acos A＝sin Bcos B，即 sin 2A＝sin 2B，即sin 2A＝sin 2B， ∴A＝B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝， ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．] 正弦定理的综合应用 [例4]如图所示，D是Rt△ABC的斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β. (1)求证：sin α＋cos 2β＝0； (2)若AC＝DC，求β的值．(注：cos 2β＝1－2sin2 β) [思路点拨]　根据正弦定理，实现边角互化． (1)证明　在Rt△ABC中，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABC＝β. ∵α＝－∠BAD＝－(π－2β)＝2β－， ∴sin α＝sin(2β－)，即sin α＝－sin(－2β)． ∴sin α＝－cos 2β，∴sin α＋cos 2β＝0. (2)[解]　在△ADC中，根据正弦定理得 ＝． 又AC＝DC，∠ADC＝π－β， ∴＝，∴sin β＝sin α. 由(1)知sin α＝－cos 2β，∴sin β＝－cos 2β. ∴2sin2 β－sin β－＝0， 解得sin β＝或－． ∵0<β<，∴sin β＝，∴β＝． (1)在三角形中，进行三角函数式的化简、证明或求值时，一要注意边角互化，二要注意三角函数公式的灵活应用，特别是三角恒等式变形的技巧． (2)判断三角形形状的常用方法有：①化边为角．将题目中的条件利用正弦定理化边为角(若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝)，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状；②化角为边．将题目中的所有条 件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状。 [变式训练] 4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且＋c＝a，则角B＝(　　) A．　　 B．　　　 C．　　 D． 解析：A　[因为＋c＝ a，由正弦定理可得＋sin C＝ sin A， 即sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin Acos B， 所以sin(B＋C)＝sin Acos B，即sin(π－A)＝sin Acos B， 即sin A＝sin Acos B，又sin A>0，所以cos B＝，因为B∈(0，π)，所以B＝．] 对应学生课时P277 1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝(　　) A． B． C． D．1 解析：B　[由＝，知＝，即sin B＝，选B.] 2．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A＝60°，c＝6，a＝6，则此三角形有(　　 ) A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解 解析：B　[由等边对等角可得C＝A＝60°，由三角形的内角和可得B＝60°，所以此三角形为正三角形，有唯一解．] 3．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(　　 ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析：B　[由题意有＝b＝，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．] 4．在△ABC中，若c＝，C＝60°，则＝(　　 ) A．6 B．2 C．2 D． 解析：C　[利用正弦定理的推论， 得＝＝＝2.] 5．(多选题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝1，b＝，A＝30°，则角B可以等于(　　) A．30° B．150° C．60° D．120° 解析：CD　[由正弦定理＝可得sin B＝＝＝，所以B＝60°或B＝120°.故选CD.] 6．(多选题)锐角△ABC中，三个内角分别是A，B，C，且A>B，则下列说法正确的是(　　) A．sin A>sin B B．cos A<cos B C．sin A>cos B D．sin B>cos A 解析：ABCD　[A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，故A成立． 函数y＝cos x在区间[0，π]上是减函数， ∵A>B，∴cos A<cos B，故B成立． 在锐角三角形中，∵A＋B>，∴A>－B， 函数y＝sin x在区间[0，] 上是增函数， 则有sin A>sin(－B)，即sin A>cos B，故C成立，同理sin B>cos A，故D成立．] 7．在△ABC中，若a＝3，cos A＝－，则△ABC的外接圆的半径为________． 解析：由cos A＝－，得sin A＝＝，设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理，有2R＝＝2，即△ABC的外接圆的半径为． 答案： 8．在△ABC中，若B＝，b＝a，则C＝________. 解析：在△ABC中，由正弦定理＝，得＝＝＝2a，所以sin A＝，所以A＝或π.因为b＝a＞a，所以B＞A，即A＜，所以A＝，所以C＝π－A－B＝π－－＝π. 答案：π 9．在△ABC中，B＝，BC边上的高AD等于BC，且AD＝1，则AC＝________，sin A＝________. 解析： 如图，由AD＝1，B＝，知BD＝1，又AD＝BC＝BD， ∴DC＝2，AC＝＝． 由正弦定理可知，sin∠BAC＝＝×3＝． 答案：　 10．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B. 解：因为c＝10，A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°. 由＝，得a＝＝＝10．由＝，得b＝＝＝20sin 75°＝20×＝5＋5 11．已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C＋c＝b. (1)求角A的大小； (2)若a＝1，b＝\r(3)，求c的值． 解析：(1)由acos C＋c＝b，得sin Acos C＋sin C＝sin B． 因为sin B＝sin (A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，所以sin C＝cos Asin C. 因为sin C≠0，所以cos A＝．因为0＜A＜π，所以A＝． (2)由正弦定理，得sin B＝＝．所以B＝或． ①当B＝时，由A＝，得C＝，所以c＝2； ②当B＝时，由A＝，得C＝，所以c＝a＝1. 综上可得c＝1或2. 12．在△ABC中，A＝，AB＝4，AC＝3，则△ABC外接圆的面积为(　　) A．3π B． C． D．4π 解析：C　[在△ABC中，∵A＝，AB＝4，AC＝5， ∴由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos A＝32＋42－2×3×4×＝13， ∵BC>0，∴BC＝， 设△ABC外接圆的半径为R， 由正弦定理得＝2R，∴R＝＝＝，∴△ABC外接圆的面积为πR2＝．] 13．在△ABC中，已知c＝10，＝＝，求a，b及△ABC的内切圆半径． 解析：由正弦定理知＝，∴＝． 即sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B. 又∵a≠b，∴2A＝π－2B，即A＋B＝． ∴△ABC是直角三角形，且C＝90°， 由得a＝6，b＝8. 故内切圆的半径为r＝＝＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $