8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业word （人教A版）

对应学生课时P299 1．如果两个球的半径之比为1∶3，那么这两个球的表面积之比为(　　 ) A．1∶9　　　　　 B．1∶27 C．1∶3 D．1∶1 解析：A　[设这两个球的表面积分别为S1，S2，半径分别为r1，r2，则＝＝2＝2＝.] 2．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为(　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A．1 B. C. D. 解析：D　[设圆柱底面半径为R，圆锥底面半径r，高都为h，由已知得2Rh＝rh，∴r＝2R， V柱︰V锥＝πR2h︰πr2h＝3︰4，故选D.] 3．已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为(　　) A. B．4π C. D. 解析：D　[设正方体的棱长为a，则6a2＝24，解得a＝2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长为2，等于球的直径长，所以球的半径长是，所以此球的体积为π×()3＝.] 4.轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的(　　 ) A．4倍 B．3倍 C.倍 D．2倍 解析：D　[设轴截面正三角形的边长为2a， ∴S底＝πa2，S侧＝πa×2a＝2πa2，∴S侧＝2S底．故选D.] 5．圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是(　　 ) A．4πS　　 B．2πS　　　 C．πS　　　 D.πS 解析：A　[底面半径是，所以正方形的边长是2π＝2，故圆柱的侧面积是(2)2＝4πS.] 6．(多选题)圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的(　　) A．母线长是20 B．表面积是1 100π C．高是10 D．体积是π 解析：ABD　[ 如图所示，设圆台的上底面周长为C，因为扇环的圆心角为180°， 所以C＝π·SA，又C＝10×2π， 所以SA＝20，同理SB＝40， 故圆台的母线AB＝SB－SA＝20， 高h＝＝10， 体积V＝π×10×(102＋10×20＋202)＝π，表面积S＝π(10＋20)×20＋100π＋400π＝1 100π，故选A，B，D.] 7．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________． 解析：易知圆锥的母线长为2，设圆锥的底面半径为r，则2πr＝×2π×2，∴r＝1，则高h＝ ＝ .∴V圆锥＝πr2· h＝π×＝. 答案： 8．《本草纲目》中记有麦门冬这一种药物，书中所提麦门冬，别名麦冬、寸冬等，临床可用于治疗肺燥干咳、津伤口渴、喉痹咽病、阴虚劳嗽等．一个麦门冬可近似看作底面拼接在一起的两个圆锥，如图所示，则该麦门冬的体积约为________． 解析：由题意可知麦门冬的体积为两个底面直径为2，高为4的圆锥的体积之和，故该麦门冬的体积V＝×π×12×4×2＝π. 答案：π 9．把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为________，表面积等于________． 解析：设圆锥的母线长为l，如图，以S为圆心，SA为半径的圆的面积S＝πl2. 又圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝8πl. 根据圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，∴πl2＝2.5×8πl，∴l＝20(cm)． 圆锥的表面积S＝S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋π×82＝224π(cm2)． 答案：20 cm　224π cm2 10．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积． 解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，则2πr＝πl，得l＝6r. 又S圆锥＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝， 圆锥的高h＝＝·，V＝πr2h＝π×××＝π. 11．如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积． 解：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S. 则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝＝2. 如图所示易知△AEB∽△AOC，∴＝，即＝， ∴r＝1，S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2π. ∴S＝S底＋S侧＝2π＋2π＝(2＋2)π. 12．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，则h＝________. 解析：设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为πR2h，圆柱形容器内的液体体积为π2h. 根据题意，有πR2h＝π2h，解得R＝a.再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得＝， 所以h＝a. 答案：a 13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比． 解：设正方体的棱长为a.如图所示． (1)中正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心， 经过四个切点及球心作截面，所以有2r1＝a，r1＝， 所以S1＝4πr＝πa2. (2)中球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点， 过球心作正方体的对角面得截面， 2r2＝a，r2＝a，所以S2＝4πr＝2πa2. (3)中正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面， 所以有2r3＝a，r3＝a，所以S3＝4πr＝3πa2. 综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3. 学科网（北京）股份有限公司 $