8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业word （人教A版）

对应学生课时P297 1．已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线的长是2，则这个长方体的体积是(　　 ) A．6　 B．12　　 C．24　　 D．48 解析：D　[设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x、2x、3x，又对角线长为2，则x2＋(2x)2＋(3x)2＝(2)2，解得x＝2.∴三条棱长分别为2、4、6.∴V长方体＝2×4×6＝48.] 2．若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为(　　 ) A．26 B．28 C．30 D．32 解析：B　[所求棱台的体积V＝×(4＋16＋)×3＝28.] 3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A、C、B1、D1为顶点的正三棱锥的全面积为4，则该正方体的棱长为(　　 ) A. B．2 C．4 D．2 解析：A　[设正方体棱长为a，侧面的对角线长为a，所以正三棱锥A­CB1D1的棱长为a，其表面积为4××(a)2＝4，可得a2＝2，即a＝.] 4.如图所示，ABC­A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是(　　 ) A.　　　　 B. C. D. 解析：C　[因为VC­A′B′C′＝V柱＝，所以VC­AA′B′B＝1－＝.] 5．如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′－EFQ的体积(　　 ) A．与点E，F的位置有关 B．与点Q的位置有关 C．与点E，F，Q的位置都有关 D．与点E，F，Q的位置均无关，是定值 解析：D　[VA′－EFQ＝VQ－A′EF＝××EF×AA′×A′D′，所以其体积为定值，与点E，F，Q的位置均无关．] 6．(多选题)正三棱锥底面边长为3，侧棱长为2，则下列叙述正确的是(　　) A．正三棱锥高为3 B．正三棱锥的斜高为 C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥的侧面积为 解析：ABD　 [设E为等边三角形ADC的中心，F为CD的中点，连接PF，EF，PE，则PE为正三棱锥的高，PF为斜高，又PF＝＝，EF＝×＝，故PE＝＝3，故AB正确．而正三棱锥的体积为×3××9＝，侧面积为3××3×＝，故C错误，D正确．] 7．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧面积为________cm2. 解析：棱柱的侧面积S侧＝3×6×4＝72(cm2)． 答案：72 8．如图，正三棱锥O－ABC的底面边长为2，高为1，则该三棱锥的体积为________． 解析：由已知条件可知，正三棱锥O－ABC的底面△ABC是边长为2的正三角形，经计算得底面△ABC的面积为. 所以该三棱锥的体积为××1＝. 答案： 9.如图，已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的侧面积与表面积分别为________和________． 解析：正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成Rt△POE. ∵OE＝2 cm，∠OPE＝30°， ∴斜高PE＝＝＝4. 因此S棱锥侧＝×4×4×4＝32(cm2)， S棱锥表＝32＋16＝48(cm2)． 答案：32 cm2　48 cm2 10．已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S－ABC如图所示，求它的表面积． 解析：因为四面体S－ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍． 不妨求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D，如图所示． 因为BC＝SB＝a，SD＝＝＝a， 所以S△SBC＝BC·SD＝a×a＝a2. 故四面体S­ABC的表面积S＝4×a2＝a2. 11．若E，F是三棱柱ABC－A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A－BEFC的体积． 解：如图所示，连接AB1，AC1. ∵B1E＝CF，∴梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积． 又四棱锥A－BEFC的高与四棱锥A－B1EFC1的高相等， ∴VA－BEFC＝VA－B1EFC1＝VA－BB1C1C 又VA－A1B1C1＝S△A1B1C1·h， VABC－A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝m，∴VA－A1B1C1＝， ∴VA－BB1C1C＝VABC－A1B1C1－VA－A1B1C1＝m， ∴VA－BEFC＝×m＝，即四棱锥A－BEFC的体积是. 12．如图，三棱台ABC­A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，则三棱锥A1­ABC，B­A1B1C，C­A1B1C1的体积之比为(　　 ) A．1∶1∶1　　　　　　 B．1∶1∶2 C．1∶2∶4 D．1∶4∶4 解析：C　[设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S， ∴VA1－ABC＝S△ABC·h＝Sh，VC－A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh. 又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh， ∴VB－A1B1C＝V台－VA1－ABC－VC－A1B1C1＝Sh－－＝Sh， ∴体积比为1∶2∶4.] 13．如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥D′－A′DC，求棱锥D′－A′DC的体积与剩余部分的体积之比． 解：设AB＝a，AD＝b，DD′＝c， 则长方体ABCD－A′B′C′D′的体积V＝abc， 因为V三棱锥D′－A′DC＝V三棱锥C－A′DD′ 又S△A′DD′＝bc，且三棱锥C－A′DD′的高为CD＝a.所以V三棱锥C－A′DD′＝S△A′DD′·CD＝abc. 则剩余部分几何体的体积V剩＝abc－abc＝abc.故V三棱锥D′－A′DC∶V剩＝abc∶abc＝1∶5. 学科网（北京）股份有限公司 $