6.4.1-6.4.2 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业word （人教A版）

对应学生课时P273 1.如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为θ，已知礼物的质量为mkg，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为(重力加速度g)(　　) A. B. C. D. 解析：C　[设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小|F|，则8|F|cos θ＝mg，故|F|＝.] 2．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　 ) A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 解析：D　[∵·＝·，∴(－)·＝0. ∴·＝0.∴OB⊥AC.同理OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为三条高的交点．] 3．如图，在圆C中，弦AB的长为4，则·＝(　　 ) A．8 B．－8 C．4 D．－4 解析：A　[如图所示， 在圆C中，过点C作CD⊥AB于D，则D为AB的中点； 在Rt△ACD中，AD＝AB＝2，可得cos A＝＝，∴·＝||×||×cos A＝＝8.故选A.] 4．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量υ＝(4，－3)(即点P的运动方向与υ相同，且每秒移动的距离为|υ|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(　　 ) A．(－2,4) B．(－30,25) C．(10，－5) D．(5，－10) 解析：C　[设(－10,10)为A，设5秒后P点的坐标为A1(x，y)， 则＝(x＋10，y－10)，由题意有＝5v. 即(x＋10，y－10)＝(20，－15)⇒ ⇒] 5．(多选题)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是(　　) A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变 解析：AC　[设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ(0<θ<\f(π,2))．则|F|cos θ＝|f|，∴|F|＝\f(|f|,cos θ)． ∵θ增大，cos θ减小，∴|F|增大． ∵|F|sin θ增大，∴船的浮力减小．] 6．在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是(　　 ) A． B． C． D． 解析： C　[由＋＋＝，得+++＝0， 即＝2，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示． 故＝＝．] 7．已知两个粒子A、B从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为Sa＝(4,3)，Sb＝(3,4)，则Sa在Sb上的投影向量为________． 解析：由题知Sa与Sb的夹角θ的余弦值为cos θ＝＝． ∴Sa在Sb上的投影为|Sa|cos θ ＝5×·＝（，． 答案：（， 8．已知点A(0,0)，B(\r(3),0)，C(0,1)．设AD⊥BC于D，那么有＝λ，其中λ＝________ 解析：如图 ||＝，||＝1，||＝2，由于AD⊥BC，且＝λ， 所以C、D、B三点共线，所以＝，即λ＝． 答案：． 9．在四边形ABCD中，若＝(1,2)，＝(－4,2)，则向量与的夹角为____________，四边形ABCD的面积为________． 解析：由·＝1×(－4)＋2×2＝0知⊥，夹角为． 又∵||＝，||＝＝2， ∴S＝||| |＝××2＝5. 答案：　5 10.如图所示，一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东60°；|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功． 解析：以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则F1＝(1，)，F2＝(2,2)，F3＝(－3,3)，所以F＝F1＋F2＋F3＝(2－2,2＋4)．又位移s＝(4,4)，故合力F所做的功为W＝F·s ＝(2－2)×4＋(2＋4)×4 ＝4×6 ＝24(J)． 即合力F所做的功为24\J. 11．已知正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证： (1)BE⊥CF； (2)AP＝AB. 证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)． (1)＝(－1,2)，＝(－2，－1)．∴·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴⊥，即BE⊥CF. (2)设点P坐标为(x，y)，则＝(x，y－1)， ＝(2,1)，∵∥，∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2， 同理，由∥，得y＝－2x＋4，由 得 ∴点P的坐标为（，)．∴||＝＝2＝||，即AP＝AB. 12．点O在△ABC所在平面内，给出下列关系式： ①＋＋＝0； ②·＝·＝0； ③(＋)·＝(＋)·＝0. 则点O依次为△ABC的(　　) A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．重心、内心、外心 D．外心、垂心、重心 解析：C　[①由于＝－( ＋)＝－2，其中D为BC的中点，可知O为BC边上中线的三等分点(靠近线段BC)，所以O为△ABC的重心； ②向量，分别表示在AC和AB上取单位向量和，它们的差是向量，当·＝0，即OA⊥B′C′时，则点O在∠BAC的平分线上，同理由·＝0，知点O在∠ABC的平分线上，故O为△ABC的内心； ③＋是以，为边的平行四边形的一条对角线，而是该四边形的另一条对角线，·(＋)＝0表示这个平行四边形是菱形，即| |＝| |，同理有| |＝||，于是O为△ABC的外心．] 13.如图，在一场足球比赛中，中场队员在点A位置得球，将球传给位于点B的左边锋，随即快速直向插上．边锋得球后看到对方后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门前，球到达点C时前插的中场队员正好赶到，直接射门得分．设BC＝30 m，∠ABC＝37°.(取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) (1)求中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移； (2)这一过程中中场队员的位移与球的位移是否相等？ 解：(1)由题意，△ABC为直角三角形， 由BC＝30 m，∠ABC＝37°，得AC＝BC·tan 37°＝30× ＝22.5 m，又＋＝， 所以中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移大小为22.5 m，方向为正前方； (2)因为＋＝，所以中场队员的位移与球的位移相等． 学科网（北京）股份有限公司 $