7.1.2 全概率公式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦全概率公式与贝叶斯公式核心知识点，从三个罐子取球的情境引入问题，通过知识梳理明确公式定义、特点及转化与化归思想，再结合投手选拔、产品合格概率等例题与变式训练，构建“问题情境-概念解析-应用实践”的学习支架。 该资料以市场占有率、产品合格等真实情境为载体，引导学生用数学眼光发现问题，通过公式分解与逆向推理培养逻辑推理的数学思维。包含预习自测、当堂达标等分层练习，课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升数学运算与应用能力。

7．1.2　全概率公式 课程标准 素养解读 1.理解并掌握全概率公式 2.了解贝叶斯公式 3.会用全概率公式及贝叶斯公式解题 1.通过学习全概率公式及贝叶斯公式，体会逻辑推理的数学素养 2.借助全概率公式及贝叶斯公式解题，提升数学运算的素养 [情境引入] 有三个罐子，1号装有2红球1黑球，2号装有3红球1黑球，3号装有2红球2黑球．某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率． 问题：如何求取得红球的概率？ [知识梳理] [知识点一]　全概率公式 1． 公式：一般地，设A1，A2，…An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝ 2．特点：①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n. 则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝　　＝. 3．全概率公式求概率的关注点 (1)实质：为了求复杂事件的概率，往往可以把它分解成若干个互斥的简单事件之和，然后利用条件概率和乘法公式，求出这些简单事件的概率，最后利用概率可加性，得到最终结果． (2)应用：把事件B看作某一过程的结果，把A1，A2，…，An看作该过程的若干个原因，根据历史资料，每一原因发生的概率(即P(An))已知，而且每一原因对结果的影响程度(即P(B|An))已知，则可用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B))． 全概率公式体现了哪种数学思想？ 提示：全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和即可． [知识点二]　贝叶斯公式 1．公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)＞0，有P(Ai|B)＝　　＝　　. 2．特点：(1)任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； (2)A1＋A2＋…＋An＝Ω； (3)1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，则对Ω中的任意概率非零的事件B，有P(Ai|B)＝＝　　. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)．(√) (2)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(|A)．(×) (3)P(A|B)＝＝.(×) 2．已知事件A，B，且P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，则P(B)等于(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析：C　[P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) ＝×＋×＝.故选C.] 3．质量调查发现，某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意购买一部智能手机，则买到的是优质品的概率为(　　) A．99.5%　　　　　 B．88.5% C．98.5% D．87.5% 解析：B　[设Ai(i＝1,2,3)分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B：是优质品，则P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%，所以，由全概率公式可知，P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%.] 4．现有8道4选1的单选题，学生李明对其中的6道题有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.8，没有思路的题只好任意选一个答案，猜对答案的概率为0.25，李明从这8道题中任选1题，则他做对该题的概率为　________　. 解析：设A：李明选的是有思路的题，B：答对该题，则P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，所以，由全概率公式可知，P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P()·P(B|)＝×＋×＝. 答案： 　　　全概率公式及其应用 [例1]　某投篮小组共有20名投手，其中一级投手4人，二级投手8人，三级投手8人，一、二、三级投手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9、0.7、0.4.求任选一名投手能通过选拔进入比赛的概率． [思路点拨]　把样本空间分为一、二、三级三种情况，求出每一种情况下的概率，然后根据互斥事件的概率加法公式求解． 解：此问题实际上涉及到两部分：第一，选出的投手不知道是哪个级别的，由全概率公式知，都应该考虑到，才为全面．第二，某个级别的投手能通过选拔进入比赛的概率是已知的，记为：Ai＝“选出的i级投手”，i＝1,2,3，则A1，A2，A3构成一个完备事件组，有： A1∪A2∪A3＝Ω，且AiAj＝∅，i≠j，i、j＝1,2,3， 由题意P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝. 令B＝“选出的投手能通过选拔进入比赛”． 则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝×0.9＋×0.7＋×0.4＝62%. 即任选一名选手能通过选拔进入比赛的概率为62%. 全概率公式的适用范围及步骤 什么样的问题适合用全概率公式求解？所研究的事件试验前提或前一步骤有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． 运用全概率公式的一般步骤如下： 1．求出样本空间Ω的一个划分A1，A2，…，An； 2．求P(Ai)(i＝1,2，…，n)； 3．求P(B|Ai)＝(i＝1,2，…，n)； 4．求目标事件的概率P(B)． 可以形象地把全概率公式看成“由原因推结果”． [变式训练] 1．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． 解：(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为 C＝＝28，这2个产品都是次品的事件数为C＝3. ∴这2个产品都是次品的概率为. (2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥． P(B1)＝＝，P(B2)＝＝， P(B3)＝＝，P(A|B1)＝， P(A|B2)＝，P(A|B3)＝， ∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋ P(B3)P(A|B3)＝×＋×＋×＝. 　贝叶斯公式及其应用 [例2] 甲盒装有1个白球2个黑球，乙盒装有3个白球2个黑球，丙盒装有4个白球1个黑球，采取掷一骰子决定选盒，出现1、2或3点选甲盒，4、5点选乙盒，6点选丙盒，在选出的盒里随机摸出一个球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得一个白球，求此球来自乙盒的概率． [思路点拨]　先求出摸得白球的概率，再求此球来自乙盒的概率． 解：设A1＝{摸出的球来自甲盒}， A2＝{摸出的球来自乙盒}， A3＝{摸出的球来自丙盒}， B＝{摸得白球}， 则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝， P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝， 于是由贝叶斯公式可知白球来自乙盒的概率为 P(A2|B)＝ ＝＝. 1．贝叶斯公式的应用 把事件B看作某一过程的结果，把A1，A2，…，An…看作该过程的若干个原因，根据历史资料，每一原因发生的概率即P(An)已知，而且每一原因对结果的影响程度(即P(B|An))已知，如果已知事件B已经发生，要求此时是由第i个原因引起的概率，则用贝叶斯公式(即求P(Ai|B))． 2．利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算P(A)，即P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)； 第二步：计算P(AB)，可利用P(AB)＝P(B)P(A|B)求解； 第三步：代入P(B|A)＝求解． [变式训练] 2．某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%、20%、30%、35%，又这四条流水线的不合格品率依次为0.05、0.04、0.03及0.02，现在从该厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为多少？ 解：设Ai＝第i条流水线生产的产品，i＝1,2,3,4；B＝抽到不合格品， 则P(A1)＝0.15，P(A2)＝0.20，P(A3)＝0.30， P(A4)＝0.35， ∴P(B|A1)＝0.05，P(B|A2)＝0.04，P(B|A3)＝0.03， P(B|A4)＝0.02. 　　　全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 [例3]　同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，将三家产品混合在一起． (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率； (2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？ [思路点拨]　首先分清是全概率还是贝叶斯概率，然后选择公式求解． 解：设事件A表示“取到的产品为正品”，B1，B2，B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”， 由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5， P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8. (1)由全概率公式得： P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86. (2)由贝叶斯公式得 P(B1|A)＝＝ ≈0.220 9， P(B2|A)＝＝ ≈0.314 0， P(B3|A)＝＝ ≈0.465 1. 由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大． 若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体怎样未知，那么： 1．如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式； 2．如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效． [变式训练] 3．假定具有症状S＝{S1，S2，S3，S4}的疾病有d1，d2，d3三种，现从20 000份患有疾病d1，d2，d3的病历卡中统计得到下列数字： 疾病 人数 出现S症状人数 d1 7 750 7 500 d2 5 250 4 200 d3 7 000 3 500 试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的资料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？ 解：以A表示事件“患有出现S中的某些症状”， Di表示事件“患者患有疾病di”(i＝1,2,3)，由于该问题观察的个数很多，用事件的频率作为概率的近似是合适的，由统计数字可知 P(D1)＝＝0.387 5，P(D2)＝＝0.262 5， P(D3)＝＝0.35，P(A|D1)＝≈0.967 7， P(A|D2)＝＝0.8，P(A|D3)＝＝0.5. 从而P(A)＝P(A|D1)P(D1)＋P(A|D2)P(D2)＋P(A|D3)P(D3)＝0.387 5×0.967 7＋0.262 5×0.8＋0.35×0.5≈0.76.由贝叶斯公式得 P(D1|A)＝＝≈0.493 4，P(D2|A)＝＝≈0.276 3， P(D3|A)＝＝≈0.230 3，从而推测病人患有疾病d1较为合理． [当堂达标] 1．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为(　　) A．0.21 B．0.06　 C．0.94 　D．0.95 解析：D　[令B＝取到的零件为合格品，Ai＝零件为第i台机床的产品，i＝1,2.由全概率公式得： P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2) ＝×0.96＋×0.93＝0.95.故选D.] 2．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为(　　) A．0.08　 B．0.1 　　C．0.15 　　D．0.2 解析：A　[以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，则 P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝， P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝， 则由全概率公式，所求概率为 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝×＋×＋×＝0.08.] 3．设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占，另外2,3,4,5号4个袋子中白球都占，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析：A　[设Ai：取到第i号袋子，i＝1,2,3,4,5. B：取到白球，由贝叶斯公式得 P(A1|B)＝ ＝＝.] 4．某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别有2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，则该小组在比赛中射中目标的概率为　________　. 解析：设B＝{该小组在比赛中射中目标}， Ai＝{选i级射手参加比赛}，(i＝1,2,3,4)． 由全概率公式，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝ ×0.85＋×0.64＋×0.45＋×0.32 ＝0.527 5. 答案：0.527 5 5．某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%、35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65、0.70和0.85，求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率． 解：设A1：药材来自甲地，A2：药材来自乙地，A3：药材来自丙地，B：抽到优等品． P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.35，P(A3)＝0.25， P(B|A1)＝0.65，P(B|A2)＝0.7，P(B|A3)＝0.85， P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＋P(B|A3)P(A3) ＝0.65×0.4＋0.7×0.35＋0.85×0.25＝0.717 5. 即取得优等品的概率为0.717 5. [基础过关] 1．有朋自远方来，乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3,0.1,0，则他迟到的概率为(　　) A．0.65　 B．0.075　　 C．0.145　　 D．0 解析：C　[设A1＝{他乘火车来}，A2＝{他乘轮船来}，A3＝{他乘汽车来}，A4＝{他乘飞机来}，B＝{他迟到}．易见：A1，A2，A3，A4构成一个完备事件组，由全概率公式得 P(B)＝P(Ai)P(B|Ai) ＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145.] 2．假设某市场供应的笔记本电脑中，市场占有率和合格率如下表： 甲厂 乙厂 市场占有率 合格率 在该市场中随机购买一台笔记本电脑，已知买到的是合格品，则这台电脑是甲厂生产的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：B　[用A表示买到的电脑是甲厂生产的，B表示买到的电脑是合格品，则P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，由贝叶斯公式可知P(A|B)＝ ＝＝.] 3．某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为.当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为；否则，第一件产品合格的概率为.某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，则当天生产线初始状态良好的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：D　[用A表示生产线初始状态良好，B表示第一件产品是合格品，则P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，从而P()＝，因此由贝叶斯公式可知 P(A|B)＝ ＝＝.] 4．某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率： 一批产品中 的次品数 0 1 2 3 4 概率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，则一批产品通过检验的概率为(　　) A．0.814 B．0.809 C．0.727 D．0.652 解析：A　[以Ai表示一批产品中有i件次品，i＝0,1,2,3,4，B表示通过检验，则由题意得， P(A0)＝0.1，P(B|A0)＝1，P(A1)＝0.2， P(B|A1)＝＝0.9，P(A2)＝0.4， P(B|A2)＝≈0.809，P(A3)＝0.2， P(B|A3)＝≈0.727，P(A4)＝0.1， P(B|A4)＝≈0.652.由全概率公式，得 P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝0.1×1＋0.2×0.9＋0.4×0.809＋0.2×0.727＋0.1×0.652≈0.814.] 5．(多选)在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S，疾病D3的发病率为0.5%，症状S在病人中占60%，则(　　) A．任意一位病人有症状S的概率为0.02 B．病人有症状S时患疾症D1的概率为0.4 C．病人有症状S时患疾症D2的概率为0.45 D．病人有症状S时患疾症D3的概率为0.25 解析：ABC　[P(D1)＝0.02，P(D2)＝0.05， P(D3)＝0.005，P(S|D1)＝0.4，P(S|D2)＝0.18， P(S|D3)＝0.6， 由全概率公式得P(S)＝P(Di)P(S|Di) ＝0.02×0.4＋0.05×0.18＋0.005×0.6＝0.02. 由贝叶斯公式得： P(D1|S)＝＝＝0.4， P(D2|S)＝＝＝0.45， P(D3|S)＝＝＝0.15.] 6．(多选)中国象棋是一种益智游戏，也体现博大精深的中国文化．某学校举办了一次象棋比赛，李明作为选手参加．除李明之外的其他选手中，甲、乙两组的人数之比为2∶1，李明与甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为0.6,0.5.从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与李明比赛，下列说法正确的是(　　) A．李明与甲组选手比赛且获胜的概率为 B．李明获胜的概率为 C．若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为 D．若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为 解析：ABC　[设事件A为“李明与甲组选手比赛”，事件B为“李明与乙组选手比赛”，事件C为“李明获胜”，则由题可知P(A)＝，P(B)＝，对于A，李明与甲组选手比赛且获胜的概率为P(AC)＝P(A)P(C|A)＝×0.6＝，故A正确；对于B，李明获胜的概率为P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×0.6＋×0.5＝，故B正确；对于C，若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为P(A|C)＝＝＝，故C正确；对于D，若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为P(B|C)＝＝＝＝，故D错误．] 7．某学校只有三个学院：理学院、工学院和商学院．各学院今年毕业的学生人数分别为180人、180人和240人，考上硕士研究生的概率分别为30%,25%,30%.现从该校毕业的学生中随意抽查一人，则该学生考上硕士研究生的概率为　________　. 解析：设A＝{该学生考上硕士研究生}，B1＝{该学生来自理学院}，B2＝{该学生来自工学院}，B3＝{该学生来自商学院}，则B1∪B2∪B3＝Ω，B1，B2，B3两两互不相容，故由全概率公式知所求概率为 P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3) ＝＝0.285. 答案：0.285 8．盲盒中有外观、大小、质地完全相同的2个绿球、3个黄球、7个红球，分别代表一等奖、二等奖、三等奖，先进行射箭游戏，射箭一次，规定射中10环可从盲盒中一次性抽取3个球，射中7～9环可从盲盒中一次性抽取2个球，射中6环及6环以下可从盲盒中抽取1个球．某人射中10环、7～9环、6环及6环以下的概率分别为，，，则此人抽到的全是一等奖或二等奖的概率为　______　. 解析：设“射中10环”为事件A1，“射中7～9环”为事件A2，“射中6环及6环以下”为事件A3，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，盲盒中共有12个球，由全概率公式可得抽到的全是一等奖或二等奖的概率为P＝×＋＋＋×＋＋＋×＝. 答案： 9．5张彩票中仅有1张中奖彩票，5个人依次摸奖，则第二个人摸到中奖彩票的概率为　________　，第三个人摸到中奖彩票的概率为　________　. 解析：记“第i个人抽中中奖彩票”为事件Ai， 显然P(A1)＝，而P(A2)＝P[A2∩(A1∪1)] ＝P(A2∩A1)＋P(A2∩1)＝P(A2A1)＋P(A21) ＝P(A1)P(A2|A1)＋P(1)P(A2|1) ＝×0＋×＝， P(A3)＝P[A3∩(A1A2＋A12＋1A2＋12)] ＝P(A1A2A3)＋P(A12A3)＋P(1A2A3)＋ P(12A3)＝0＋0＋0＋P(A312) ＝P(1)P(2|1)P(A3|12)＝××＝. 答案：　 10．某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如下表所示的数据： 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志．在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率． 解：设事件Bi表示所取到的产品是由第i家元件制造厂提供的(i＝1,2,3)，事件A表示取到的是一件次品．其中B1，B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一发生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两互斥．运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，得 P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A) ＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3) ＝0.15×0.02＋0.80×0.01＋0.05×0.03 ＝0.012 5. 因此，在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率为0.012 5. 11．小张从家到公司上班总共有三条路可以走，如右图，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为P(L1)＝0.5，P(L2)＝0.3，P(L3)＝0.2，每天上述三条路不拥堵的概率分别为P(C1)＝0.2，P(C2)＝0.4，P(C3)＝0.7. 假设遇到拥堵会迟到，那么： (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？ (2)已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率是多少？ 解：(1)由题意知，不迟到就意味着不拥堵，设事件C表示到公司不迟到，则 P(C)＝P(L1)×P(C|L1)＋P(L2)×P(C|L2)＋P(L3)×P(C|L3) ＝P(L1)×P(C1)＋P(L2)×P(C2)＋P(L3)×P(C3)＝ 0．5×0.2＋0.3×0.4＋0.2×0.7＝0.36. (2)P(L1|C)＝＝≈0.28. 所以已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率约为0.28. [能力提升] 12．如图，有三个箱子，分别编号为1,2,3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率，并说明该球取自几号箱的可能性最大． 解：设事件Bi表示球取自i号箱(i＝1,2,3)，事件A表示取得红球． 由全概率公式，可得 P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝×＋×＋×＝.因为P(B1|A)＝＝＝＝，P(B2|A)＝＝＝＝， P(B3|A)＝＝＝＝，所以该球取自1号箱的概率为，该球取自3号箱的可能性最大． 13．南昌二中一直有个优秀的传统“毕业学习经验分享会”：每届高考结束后，各班推荐优秀学生代表与下一届学生进行学习经验分享.2024届高三年级班号依次为0,1,2，…，27，高三、0班推荐2名男生和2名女生，其余各班均推荐1名男生和1名女生参加分享会；第一场分享会的4名学生嘉宾是从高三、0班的优秀学生代表中选出的2名和高三、1班的2名优秀学生代表共同形成，第二场分享会的4名学生嘉宾是从上一场4名嘉宾中选出的2名和高三、2班的2名优秀学生代表共同形成，…，按照这样的方式，依次进行到第二十七场分享会． (1)求在第一场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率； (2)求在第二场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率． 解析：设第i(i∈N＋，i≤27)场分享会学生嘉宾中有1名男生为事件Ai，有2名男生为事件Bi，有3名男生为事件Ci.(1)第一场分享会学生嘉宾中有2名男生，则需从高三0班推荐2名男生中选1人，2名女生中选1人，则P(B1)＝＝； (2)在第二场分享会学生嘉宾中有2名男生，分三种情况，第一场分享会有1男3女，2男2女和3男1女，P(B2)＝P(A1)·P(B2|A1)＋P(B1)·P(B2|B1)＋P(C1)·P(B2|C1)＝×＋×＋×＝＝. [素养培优] 14．第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中．某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球． (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球．求抽到的球是红球的概率； (3)在(2)的条件下，若抽到的球是红球，求它是来自乙箱的概率． 解析：(1)记事件A表示“抽出的2个球中有红球”，事件B表示“两个球都是红球”，则P(A)＝1－＝，P(AB)＝＝，故P(B|A)＝＝＝； (2)设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”，则P(C)＝＝，P()＝＝，P(D|C)＝，P(D|)＝，可得P(D)＝P(CD)＋P(D)＝P(C)P(D|C)＋P()P(D|)＝×＋×＝； (3)在(2)的条件下P(C|D)＝＝＝. 答案：(1)　(2)　(3) 学科网（北京）股份有限公司 $