精品解析：吉林省延边朝鲜族自治州延吉市职业高级中学（延吉市外事外语职业高级中学、延吉市职业中等专业学校、延吉市技工学校）2024-2025学年高三下学期5月期中数学试题

吉林省延边朝鲜族自治州延吉市职业高级中学（延吉市外事外语职业高级中学、延吉市职业中等专业学校、延吉市技工学校）2024-2025学年高三下学期5月期中数学试题 （时间：90分钟 满分：150分） 一、单选题（共12小题，每题5分，共计60分） 1. 若集合，且，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的结果确定集合中元素的值，再计算与的并集. 【详解】已知，所以是集合中的元素， 又因为集合，可得，可知集合， 又集合，所以. 故选：C. 2. 三角形中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理，充要条件的判断方法可解. 【详解】，； 反之由正弦定理可知， ，， ，，， 即“”是“”的充要条件； 故选：. 3. 下列各函数中，既是奇函数，又在区间内为单调减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据常见函数的奇偶性以及单调性求解即可. 【详解】选项A.函数关于轴对称，是偶函数，不符合题意. 选项B.函数的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，不符合题意. 选项C.函数是奇函数，且在上单调递增，故不符合题意. 选项D.函数的定义域为，关于原点对称，且， 故函数是奇函数，且函数在区间内为单调递减. 故选：D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数以及根式函数的定义域求解即可. 【详解】为了使函数有意义， 则，解得. 因此函数的定义域为. 故选：C. 5. 已知函数，则的值等于（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由条件，令，代入求值即可. 【详解】由，令  ， 得. 故选：A． 6. 已知，则从小到大的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的性质分别确定、、的取值范围，再比较它们的大小. 【详解】∵，，， ∴， 故选：C. 7. 角的终边过点，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求解即可. 【详解】因为角的终边过点， 所以. 故选：D. 8. 要得到的图像只需将的图像（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦型函数图像的平移变换规律即可得解. 【详解】， 所以将向左平移个单位即可得到图像， 故选：. 9. 函数的最大值和最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦型函数的最值和周期公式求解. 【详解】因为， 所以，当时，函数取得最大值，此时， 函数的最小正周期. 故选：C. 10. 关于数列下列说法正确的是（ ） A. 是首项为0的等差数列 B. 是首项为0的等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 既是等差数列又是等比数列 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的定义即可得到正确答案． 【详解】数列是无穷数列， 从第二项开始起，每一项与它前一项的差都等于常数0，符合等差数列的定义，所以，数列是等差数列， 根据等比数列的定义可知，等比数列中不含有为0的项，所以，数列不是等比数列． 故选：A. 11. 在等差数列中，，则（ ） A. 2 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式结合等差数列的性质求值即可. 【详解】在等差数列中，， 即，则， 由，可得， 故选：B. 12. 将4个不同的小球放入3个不同的盒子，则所有放法总数有（ ）种． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据每个小球都有4种可能的放法，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，每个小球都有3种可能的放法， 根据分步计数原理知共有即种不同的放法， 故选：A． 二、填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13. 已知向量，且，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示求解. 【详解】已知向量 向量，且， 可得：，解得， 故答案为：1. 14. 过点与直线平行的直线方程是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行设出所求直线方程，再将已知点代入方程求解. 【详解】因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线方程为（）， 因为所求直线过点，得到，解得， 故所求直线方程为， 故答案为：. 15. 圆心在点且与直线相切的圆的方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式求出半径，进而写出圆的标准方程即可. 【详解】因为所求圆的圆心在点且与直线相切， 由点到直线的距离公式，所求圆的半径为， 故所求圆的标准方程为. 故答案为：. 16. 若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是__________． 【答案】平行、相交或异面 【解析】 【分析】由两条直线的位置关系分析求解即可. 【详解】两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是平行、相交或异面. 故答案为:平行、相交或异面 三、解答题（共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 已知等腰三角形中，角A为顶角，，求. 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式和倍角公式求出的值，再由同角三角函数的商数关系与平方关系求值即可. 【详解】已知等腰三角形中，角A为顶角， 则， ， ， ，则， ，， . 18. 二次函数满足，且最小值是2. （1）求出函数的解析表达式; （2）说出函数的单调性. 【答案】（1） （2）在上单调递减，在上单调递增 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称轴和最值即可求解函数解析式； （2）根据二次函数的对称轴即可求解单调区间. 【小问1详解】 二次函数满足， 则函数的对称轴方程为，， 解得，， 此函数的最小值为， ，解得， 则此函数的解析式为. 【小问2详解】 函数的对称轴方程为，函数图象开口方向向上， 则函数在上是单调减函数，在上是单调增函数. 19. 已知数列满足，其中为数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列为等比数列． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算求出，再根据前n项和与的关系求解即可. （2）根据等比数列的通项公式求解即可. 【小问1详解】 ，，即. 当时，. 当时，. 检验时，也符合上式． 因此数列的通项为． 【小问2详解】 因为，， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列． 20. 某商场进行促销活动，促销方案是：顾客每消费元，便可以获得1张奖券，每张奖券中奖的概率为，若中奖，则商场返还顾客现金元．某顾客购买一张价格为元的学习桌，得到3张奖券． （1）求商场恰好返还该顾客现金20元的概率； （2）求商场至少返还该顾客现金20元的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率公式求值即可. （2）通过独立事件的概率公式计算没有奖券中奖的概率，然后用1减去这个概率来得到即可. 【小问1详解】 已知张奖券中奖的概率为， 不中奖的概率为， 则3张奖券恰好一张中奖的概率为. 【小问2详解】 已知张奖券中奖的概率为， 不中奖的概率为， 则3张奖券都不中奖的概率为， 因此，至少返还20元的概率为. 21. 如图，，是圆柱上、下底面圆的直径，四边形是边长为2的正方形，E是底面圆周上的一点，. （1）求证：平面. （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）设点到平面的距离为，根据，结合三棱锥的体积公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：因为是圆柱的上、下底面圆的直径， 可得四边形为边长为2的正方形， 点是底面圆上不同于两点的一点，且，所以， 因为，且平面，所以平面. 【小问2详解】 解：因为四边形是边长为2的正方形，且， 所以， 设点到平面的距离为， 因为，所以， 所以， 所以点到平面的距离为. 22. 已知抛物线与椭圆有共同的焦点，斜率为1的直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于两点． （1）求抛物线C的方程和直线l的方程： （2）求直线与抛物线的两交点A与B之间的距离： （3）当点P沿抛物线从点A运动到点B时，求三角形面积的最大值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程确定焦点，再由焦点确定抛物线方程，最后由直线的点斜式方程求出直线方程即可. （2）联立直线与抛物线方程组，设，并由韦达定理得出的值，并由焦点弦长公式求值即可. （3）设与平行且与抛物线相切的直线方程为，当点为与抛物线的切点时，的面积最大，再由两平行线之间的距离公式求三角形的高即可. 【小问1详解】 椭圆中，， ，即， 则椭圆的右焦点，所以抛物线的焦点为， 设抛物线方程，则，， 所以抛物线方程， 又直线l过抛物线的焦点且斜率为1， 所以该直线的方程为，即. 【小问2详解】 联立直线与抛物线方程组得， 即，整理得， 设， 所以，因为直线l过抛物线的焦点， 则. 【小问3详解】 设与平行且与抛物线相切的直线方程为， 当点为与抛物线的切点时，的面积最大， 则，即， 整理得，则， 即，解得， 直线方程为，则两平行线之间的距离为， 所以三角形面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省延边朝鲜族自治州延吉市职业高级中学（延吉市外事外语职业高级中学、延吉市职业中等专业学校、延吉市技工学校）2024-2025学年高三下学期5月期中数学试题 （时间：90分钟 满分：150分） 一、单选题（共12小题，每题5分，共计60分） 1. 若集合，且，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 2. 三角形中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列各函数中，既是奇函数，又在区间内为单调减函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则的值等于（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 6. 已知，则从小到大的关系式为（ ） A. B. C. D. 7. 角的终边过点，则（ ） A. 4 B. C. D. 8. 要得到的图像只需将的图像（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 9. 函数的最大值和最小正周期是（ ） A. B. C. D. 10. 关于数列下列说法正确的是（ ） A. 是首项为0的等差数列 B. 是首项为0的等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 既是等差数列又是等比数列 11. 在等差数列中，，则（ ） A. 2 B. 5 C. D. 12. 将4个不同的小球放入3个不同的盒子，则所有放法总数有（ ）种． A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13. 已知向量，且，则___________． 14. 过点与直线平行的直线方程是___________． 15. 圆心在点且与直线相切的圆的方程为_________. 16. 若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是__________． 三、解答题（共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 已知等腰三角形中，角A为顶角，，求. 18. 二次函数满足，且最小值是2. （1）求出函数的解析表达式; （2）说出函数的单调性. 19. 已知数列满足，其中为数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列为等比数列． 20. 某商场进行促销活动，促销方案是：顾客每消费元，便可以获得1张奖券，每张奖券中奖的概率为，若中奖，则商场返还顾客现金元．某顾客购买一张价格为元的学习桌，得到3张奖券． （1）求商场恰好返还该顾客现金20元的概率； （2）求商场至少返还该顾客现金20元的概率． 21. 如图，，是圆柱上、下底面圆的直径，四边形是边长为2的正方形，E是底面圆周上的一点，. （1）求证：平面. （2）求点到平面的距离. 22. 已知抛物线与椭圆有共同的焦点，斜率为1的直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于两点． （1）求抛物线C的方程和直线l的方程： （2）求直线与抛物线的两交点A与B之间的距离： （3）当点P沿抛物线从点A运动到点B时，求三角形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $